正余弦定理应用举例范文

《正余弦定理应用举例---测算距离》教

学实录

一、教学目标

1.引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，形成一定的数学视野，提高学生学数学的兴趣.

2.提高学生数学的提出、分析和解决实际问题的能力，加强数学表达和交流的能力.

3.通过对实际问题解决方案的自主探究，达到准确熟练应用正余弦定理的目的.

4.培养学生的数学应用意识和创新意识，发展自己的想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度.

二、学法与教法

本节是一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，再给出要解决的实际问题，让学生利用手中的测量工具，在现有的认识范畴内，通过想象，设计解决方案(个别学生提议).再组织学生探讨方案的实效性(集体协作).最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.

要“测量”不可直接到达的距离，常放到三角形中通过解三角形来求解，变“不可测”为“可以算”.所以要利用手中的测量工具，设计有关能测量的数据(边、角)，利用正、余弦定理，通过求三角形的一边来解决.

三、重点、难点、疑点、及关键

1.教学重点：应用正余弦定理解决实际中的距离测算问题.

2.教学难点：找到解决实际问题实施方案.

3.教学疑点：方案设计的实效性与最优化.

4.教学关键：做出正确的图形.

5.教学手段：圆规、米尺、彩粉笔.

四、教学过程

(一)复习导入

师：正余弦定理内容及应用是什么？

生：正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．

余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc cosA.

师：板书

师：数学源于实践，又反作用于实践，学数学的最终目的就是应用数学知识解决生产生活中的实际问题.本节课我们去郊游，看看实际生活中有哪些问题可以利用正余弦定理来解决。

师：介绍测量工具：米尺：可以测长度；经纬仪：可以得到在一点看另两点的视角；水平尺：测量俯角、仰角

(二)研讨新课

师：让我们走出教室，看到楼西侧旗台东侧工厂，两地被楼隔离开，如何能知道它们之间的距离？谁能设计一个解决方案？

(学生在思考讨论中)

生A：在操场上选能看到两地的某一点为测量点，可以利用米尺测出该点到两地的距离，再利用经纬仪测出该点与两地的视角，利用余弦定理直接可以求出两地的距离.

师：把你的想法编写成具体的数学问题.

生A：△ABC中，已知∠C=α AC=b BC=a，求AB.

(学生中传出了一阵掌声)

师：我们走出校门，到了小凌河岸边.河水东岸是望河小区，西岸是绿景湾小区，两个小区的正门距离怎么能知道？请同学们思考后编成一道数学问题.

(学生再一次在思考讨论中)

生B：在河一侧(例如B侧)选一点C，用米尺测BC=a ，用经纬仪测∠B=α，∠C=β，求AB.

求解思路是：α，β(内角和)→∠A ，∠C，B C(正弦定理)→AB.

(学生中又传出了一阵掌声)

【点评：通过简单实际

问题的分析与解决，激活学

生的思维，由解单个三角形，使学生熟练正余弦定理的简单应用，进而过渡到解多个三角形，让学生的思维经历一个由浅入深的发展过程.】

师：大家再想想，我们怎么能知道小凌河在这一带的宽度？

(学生在静静的思考)

生C：在河边选定两点B、C，在对岸选一标志物A，用经纬仪测∠ABC=α，∠BCA=β，米尺测BC=c,求河宽AD.

求解思路：在ΔABC中，由∠A B C，∠B C A(内角和)→∠BAC.由∠ABC，BC，∠BAC(正弦定理)→AC.在RtΔACD中，由AC，∠BCA→AD.

师：大家说可行吗？

生：非常好！

(又一阵掌声)

师：秀水游过后，我们再去看看青山，来到锦州名山――观音洞.听说望海寺是锦州第一高山峰，我们能测测它的高度吗？现在我们进行小组擂台赛，每一行为一组，共分成四个小组.每组同学相互探讨，看哪个组先想出办法，而且是可行的方案.

第二组生D：设线段AB表示山高.在山脚下，选位置C、D进行测量.先测出CD长度，再测出∠ACD与∠ADC和由C点得点A的仰角∠ACB大小.

求解方法是：在△ACD中，利用正弦定理能求出AC，再在△ABC中可算出AB长.

师：大家认为方案怎么样？

生：太好了！

师：那就是第二组同学获胜啦！

第三组生E：我还有别的办法.

师：那好啊，说说看！

生E：望着山顶从D点走到C点，在C、D两点测得A点仰角分别为α、β，C、D距离可测.

求解方法是：在△ACD中，∠CAD=α-β.利用正弦定理能求出AC，，再在△ABC中可算出AB长.

师：大家说可行吗？

生：完全可以.

师：这位同学的方法就是教材课后A组练习题3，回去大家把这个题目完成好.

(给学生极大的想象空间，让他们感到学有所用，同时又完成了练习题的分析.)

师：看看教材例题是怎么解决这个问题的，打开教材看例题4，测底部不能到达的建筑物的高度.

例如，北京故宫四个角各耸立一座角楼，求角楼高度.

教材的解决方案：分析：如图，设线段AB表示角楼的高.在宫墙外护城河畔马路边，选位置C对角楼进行测量.设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′.这时由C′可测得点A的仰角a的大小.在△AB′C′中，三条边的长度都无法测出，因而AB′的长无法求得.如果移动测量仪CC′至DD′(测量仪高度不变)，便可通过测量数据求得.某校学生用自制的仪器测得α=∠AC′B′=20°, β=∠B′C′D′=99°,

γ=∠B′D′C′=45°，CD=60m，测量仪器的高为1.5m，可求出角楼高度.大家看看这样的方案可行吗？可以相互讨论.

学生先静静的看教材，然后你一言我一语讨论开来.

生F：该方案存在一定的实际问题：角β与角γ是如何通过自制的仪器测得的？角的测量包括仰角、俯角、方位角、视角，可通过水平尺，经纬仪测得.而此方案中B与B′都是在角楼内部(B点是楼顶A在地面的投影，不可到达)，是虚设点，在实际中是看不到的.而AB也应该用虚线表示.学生自制的仪器不是高尖的，不是客观存在的，虚点所构成的视角β与γ是不能用粗略仪器测得的.

师：大家认为他说的对吗？

师：很好，大家就应该具有这种敢于怀疑的科学态度.

【点评：通过复杂实际问题的分析与解决，激发学生思维的深度和广度，由解多个三角形，使学生进一步熟练正余弦定理的应用，达到知识应用的深化与升华.】

(三)课题小结

师：今天我们的旅行就先告一段落.通过今天的出游，你学到了哪些知识与技能？

生：1.了解了测量工具，体会到了数学在生活中的应用.