[理学]材料力学第10章
合集下载
材料力学第10章_梁的应力(1)
M
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
材料力学 第五版 第10章 高等教育出版社
横截面上的正应力为 FNd ρω 2 D 2 σd = = A 4
12
材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案
例 10－4 直径d =100 mm的圆轴，右端有重量 P =0.6 kN,直径 － D=400 mm的飞轮，以均匀转速n =1 000 r/min旋转（图a）。在 轴的左端施加制动力偶Md（图b），使其在t＝0.01s内停车。不 计轴的质量。求轴内的最大切应力τdmax。
B
z
A C
1.5m 1.5m
B
z
(a)
(b)
22
材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案
动荷载·交变应力 第十章 动荷载 交变应力
P h
解：
1. 图a
由型钢查得20b号工字钢的 A Wz和Iz分别为
1.5m 1.5m
B
z
Wz=250×103 mm3，Iz=2 500×104 mm4 梁的最大静应力为
σ st ,max
6
(1) (2) (3)
FN d = K d P
材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案
钢索横截面上的动应力为
FN d P σd = = K d = K dσ st A A
（4）
式中，σ st =
P 为静应力。 A
由（3）,（4）式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载 的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因 数反映动荷载的效应。
动荷因数为
2h 2 × 20 = 1+ 1+ = 14.7 ∆st 0.214 3 梁的最大动应力为 Kd = 1 + 1 +
σ d = K dσ st ,max = 14.7 × 6 = 88.2 MPa
材料力学第10章应变转换
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
398
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
398
10.2 平面應變轉換之一般方程式
慣用符號 此習慣與在 2.2 節中所設定相同，吾人將重新描述以用於 平面應變條件。參考圖10-2(a) 中微元素，若正向應變 x 及 y 分別使沿 x 及 y 軸伸長，則其為正，而且若內角 AOB 變成比 90 小則剪應變 xy 為正。此慣用符號亦可用 於平面應力之對應習慣推斷之，圖9-5(a)，亦即，正的 x , y , xy 將使元素分別以正的 x , y , xy 變形。 已知在某點上相對於 x , y 軸所量測之 x , y , xy 則欲 定出該點相對於 x , y 軸所量測之正向及剪應變 x , y , xy。若介於 x 及 x 間角度為 ，如同平面應力情況，若 順沿右手四指旋轉則其為正的，亦即，逆時鐘旋轉，如 圖10-2(b) 中所示。
版權所有
(10-2)
第10章 應 變 轉 換
399
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
399
考慮下列三種作用在 y 方向之位移分量：其一由於 x，產 生 x dxsin，圖10-4(b)；另一由於 y，產生 y dycos，圖 10-4(c)；最後由於 xy，產生 xy dysin，圖10-4(d)，因此， 由此三應變分量所產生之 y 為
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
10-3
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
普林斯頓
版權所有
401
版權所有
第10章 應 變 轉 換
398
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
398
10.2 平面應變轉換之一般方程式
慣用符號 此習慣與在 2.2 節中所設定相同，吾人將重新描述以用於 平面應變條件。參考圖10-2(a) 中微元素，若正向應變 x 及 y 分別使沿 x 及 y 軸伸長，則其為正，而且若內角 AOB 變成比 90 小則剪應變 xy 為正。此慣用符號亦可用 於平面應力之對應習慣推斷之，圖9-5(a)，亦即，正的 x , y , xy 將使元素分別以正的 x , y , xy 變形。 已知在某點上相對於 x , y 軸所量測之 x , y , xy 則欲 定出該點相對於 x , y 軸所量測之正向及剪應變 x , y , xy。若介於 x 及 x 間角度為 ，如同平面應力情況，若 順沿右手四指旋轉則其為正的，亦即，逆時鐘旋轉，如 圖10-2(b) 中所示。
版權所有
(10-2)
第10章 應 變 轉 換
399
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
399
考慮下列三種作用在 y 方向之位移分量：其一由於 x，產 生 x dxsin，圖10-4(b)；另一由於 y，產生 y dycos，圖 10-4(c)；最後由於 xy，產生 xy dysin，圖10-4(d)，因此， 由此三應變分量所產生之 y 為
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
10-3
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
普林斯頓
版權所有
第10章 應 變 轉 換
404
普林斯頓
版權所有
401
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
材料力学第10章(动载荷)
突加荷载 h 0,
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
《材料力学》第十章 疲劳强度的概念
试件分为若干组，最大应力值由高到底，以电动 机带动试样旋转，让每组试件经历对称循环的交变应 力，直至断裂破坏。
记录每根试件中的最大应力（名义应力，即疲 劳强度）及发生破坏时的应力循环次数（又称疲劳 寿命），即可得S —N应力寿命曲线。
max
m ax,1 m ax,2
O
应力—寿命曲线，也称S—N曲线。
应力循环：应力每重复变化一次，称为一个应力循环。 完成一个应力循环所需的时间T ，称为一个周期。
o
t
max
o
min
：最大应力
max
：最小应力
min
a
a m
t
：平均应力
m
：应力幅值
a
max
m in
a
a m
循环特征：r min max
o
m
1 2
max
min
t
a
1 2
max
min
max
[ 1]
0 1
nf
其中： max 是构件危险点的最大工作应力；
nf 是疲劳安全系数。
或表示成：n
0
1
max
1 K max
同理，对扭转交变应力有：n
k
1 k
1 n f
max
max
nf
10.4 提高构件疲劳强度的措施
疲劳裂纹主要形成于构件表面和应力集中部位，故提高 构件疲劳极限的措施有：
表面加工质量愈低， 愈小， r 降低愈多。 一 般 1，但可通过对构件表面作强化处理而得到大于1 的 值。
综合上述三种因素，对称循环下构件的疲劳极限为：
0
1
K
1
或
0
第十章材料力学课程课件PPT
M ( x ) = Fcr y
(a)
2.11
y (tm + 1)
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
x F cr F cr l x O (a) δ l/2 y x O y y M(x) x
FN
(b)
图10.3 细长压杆的平衡形式 (a) 细长压杆的受压平衡;(b) 细长压杆受压局部受力分析
2.19
πx y = δ sin l
A
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
δ 但实际上, 之所以具有不确定性,是因为在公式推导过程中使用了式 (b)的挠曲线近似微分方程.若采用挠曲线的精确微分方程
F y dθ = cr ds EI
F F cr A
(j)
C B D
O
δ
图10.4 压杆的F-δ 关系
a =δ
上式说明积分常数a的物理意义为压杆中点处所产生的最大挠度,则 压杆的挠曲线方程又可以表示为
δ 在上式中, 是一个随机值.因为当 F = Fcr 时, = 0 ,即压杆处于稳 δ 定平衡状态而保持为直线;当 F < Fcr 时,在横向因素的干扰下,压 杆可在 δ 为任意微小值的情况下而保持微弯平衡状态,压杆所受压力 F和中点挠度 δ 之间的关系可由图10.4中的OAB折线来表示.
2.12
σ
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
当压杆的应力在比例极限范围以内,即在线弹性工作条件下,可利 用第6章的公式(6.1),即梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程
M ( x) d2 y = 2 dx EI
将式(a)代入式(b)可得杆轴微弯成曲线的近似微分方程为
材料力学 第10章 弯曲应力及强度
a
Φ14
30 工件
Fa x
10.4 弯曲强度条件
例10-5 梁的载荷及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力
[t]=40MPa、容许压应力[c] =100MPa，试校核该梁的强度。
q=10kN/m
F=20kN
AB 2m
CD 3m 1m
q=10kN/m
A
B
FB M
F=20kN
C
D
FD
10kN.m
x
157.5 200 30
10.3 横力弯曲时梁的切应力
三、其它形状截面
T型截面
圆形截面
环形截面
max
z
max
FSS
* z,m
ax
I zb1
z
max
z
max
max
4 3
FS A
max
2
FS A
10.3 横力弯曲时梁的切应力
21 560
例10-2 56a号工字钢制成的简支梁如图所示，F=150kN，求最大 切应力及最大切应力所在截面上K点处的切应力。
ad bc
a
d
b
c
σσ
M
ττ
10.2 纯弯曲时梁的正应力
3. 变形几何关系
o1o2 dx ρdθ
k1k2 (ρ y)dθ Δl=k1k2 k1k2 ( ρ y)dθ ρdθ ydθ
dx 中性层
y o1
o2
k1
k2
dx 变形前
o
d
o1
o2
k1
k 2
变形后
10.2 纯弯曲时梁的正应力
第10章 弯曲应力及弯曲强度
10.1 引言 10.2 纯弯曲时梁的正应力 10.3 横力弯曲时梁的切应力 10.4 弯曲强度条件 10.5 提高梁弯曲强度的措施
[理学]材料力学第10章_OK
![[理学]材料力学第10章_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/c0a30de55f0e7cd1852536a1.png)
应力值，若材料的许用拉应力和许用压应力相等，则可选 取其中绝对值最大的应力作为强度计算的依据，即强度条 件为：
max
F M y zmax
A
Iy
M z ymax Iz
24
若材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相等时，则须
分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。
t max
F A
限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还
可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点 的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负 值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。
在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情
况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面 上的应力分布情况。
M y z M sin z
Iy
Iy
M
co s
Iz
y sin
Iy
z
M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。
8
3、 中性轴方程
为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴
的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴
各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：
力发生在铅垂直径
的上、下两端点C1
29
和C2处。
危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化 如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。
其中正应力和切应力值为
M W
Fl πd 3 / 32
T
Wp
T 2W
Fa πd 3 /16
30
对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两 点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。 C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力 状态，其三个主应力为
max
F M y zmax
A
Iy
M z ymax Iz
24
若材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相等时，则须
分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。
t max
F A
限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还
可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点 的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负 值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。
在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情
况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面 上的应力分布情况。
M y z M sin z
Iy
Iy
M
co s
Iz
y sin
Iy
z
M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。
8
3、 中性轴方程
为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴
的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴
各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：
力发生在铅垂直径
的上、下两端点C1
29
和C2处。
危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化 如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。
其中正应力和切应力值为
M W
Fl πd 3 / 32
T
Wp
T 2W
Fa πd 3 /16
30
对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两 点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。 C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力 状态，其三个主应力为
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
材料力学第10章 组合变形
5
第二节 斜弯曲 在第6章讨论过平面弯曲，例如，如图10.2(a) 所示的矩形截面梁，外力F1，F2作用于同一纵向 平面内，作用线通过截面的弯心，且与形心主惯性 轴之一平行，梁弯曲后，梁的挠曲线位于外力所在 的形心主惯性平面内，这类弯曲为平面弯曲。如图 10.2(b)所示的矩形截面梁，外力F的作用线虽然通 过截面的弯心，但它与截面的形心主惯性轴斜交， 此时，梁弯曲后的挠曲线不再位于外力F所在的纵 向平面内，这类弯曲则称为斜弯曲(oblique bendin g)。
13
图10.4
图10.５
14
在梁的斜弯曲问题中，一般不考虑切应力的影 响，直接对危险截面上的危险点进行正应力强度计 算，其强度条件为
对于矩形、工字形及槽形截面梁，则可写成
15
五、斜弯曲梁的变形计算 梁在斜弯曲情况下的变形，仍可根据叠加原理 求解。如图10.3所示悬臂梁在自由端的挠度就等于 力F的分量Fy，Fz在各自弯曲平面内的挠度的矢量 和。因为
第10章
第一节 概述 一、组合变形的概念 前面有关章节分别讨论了杆件在各基本变形情 况下的强度计算和刚度计算。在实际工程中，许多 常用杆件往往并不处于单一的基本变形，而可能同 时存在着几种基本变形，它们的每一种变形所对应 的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时都必 须考虑。
1
图10.1
2
二、组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存 在的几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼 此独立的，即在组合变形中的任一种基本变形都不 会改变另外一种基本变形相应的应力和变形。这样， 对于组合变形问题就能够用叠加原理来进行计算。
3
具体的方法及步骤是： ①荷载标准化。找出构成组合变形的所有基本 变形，将荷载化简为只引起这些基本变形的相当力 系。 ②基本变形计算。按构件原始形状和尺寸，计 算每一组基本变形的应力和变形。
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。
它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。
本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。
在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。
其中，弯曲问题是最为常见的。
在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。
第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。
4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。
总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。
它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。
通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。
材料力学第10章
10.2.1 外力功与应变能
F ( x)dx dΔ N EA
V Βιβλιοθήκη 2 FN ( x)dx 1 dV FN ( x)dΔ 2 2 EA
2
l
2 FN ( x) EA dΔ dx dx l 2EA 2 dx
图10-2
若轴力为常量，且等于外力F1，则显然有
2FN EA
FN
F 2 sin
sin tan
Δ l
Δ F EA l
3
F Δ 的非线性关系曲线如图（b）所示。
几何非线性问题
10.2 应变能与应变余能
10.2.2 应变能密度
应变能密度：单位体积所储存的应变能，用 表示。 v
1
0
d
的各基本变形可认为是互不耦合的，即每一种内力只在与之相应的变形上做功，
所以整个弹性杆件的应变能为拉、扭、弯应变能的总和，可写为
2 T 2 ( x) M 2 ( x) FN ( x) dx dx dx l l 2 EA 2GI p 2 EI
V
l
2 2 T 2l My l M z2 l FN l V 2 EA 2GI p 2 EI y 2 EI z
应变能将转换为其它形式的能量。若不考虑能量以热或其它形式的损
耗，根据功能原理，外力功全部转化为弹性体的应变能（变形能）。 利用上述功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力等的 方法，统称为能量法。 能量法的应用很广泛，它也是用有限单元法求解固体力学问题的重 要基础。
10.2 应变能与应变余能
2 FN l 1 EA 2 V F1 Δ1 Δ1 W 2 EA 2 2l
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Iy
Iy
M
c
os
Iz
y sin
Iy
z
M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。
8
材料力学
出版社 科技分社
3、 中性轴方程
为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性
轴的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中 性轴各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：
16
材料力学
出版社 科技分社 17
材料力学
出版社 科技分社
将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F 和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z
的分量My和Mz(图b)：
用截面法可求得横截面ABCD上的内力为：
FN F
M y F zF M z F yF
它们将分别使杆件发生轴向拉伸和在两纵向对称平面（即 形心主惯性平面）内的纯弯曲。可见，偏心拉伸为轴向拉 伸与弯曲的组合。
cmax D2
若材料的许用拉应力与许用压应力相等， 其强度条件可写成：
max
M zmax Wz
M ym Wy
a
x
对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面
都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，
故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，
可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉应力、
压应力的位置，而无需定出中性轴。 11
材料力学
例题10-1
出版社 科技分社 12
材料力学
拉伸（压缩）与弯曲
出版社 科技分社
横向力与轴向力共同作用
图9.7所示的梁为一矩形截面梁，承受横向力q和轴向拉力 F的作用。产生拉伸和弯曲的组合变形。
在轴向力F作用下
M Iz
y
14
材料力学
出版社 科技分社
危险截面上最大正应力发生在截面下边缘处
max
FN A
M max Wz
由于危险点为单向应力状态，则正应力强度条件为
max
FN A
M max Wz
拉伸（压缩）与弯曲组合变形时，中性轴不经过截面
的形心。当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，
力的平移定理； ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，
确定危险面；
③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危
险点的强度条件。 4
材料力学
出版社 科技分社
斜弯曲
一、定义：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平 面内同时承受横向外力时，杆件产生弯曲变形，但 弯曲后，挠曲线与合成弯矩不共面。这种弯曲称为 斜弯曲。
杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的 拉、压强度条件。
15
材料力学
出版社 科技分社
偏心拉伸（压缩） 当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重
合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）。这种外力称
为偏心力。
图9.7示矩形截 面直杆，拉力F 作用在A点，作
用点A到z轴、 y
轴的距离分别为 zF和yF 。
cos sin
Iz y0 I y z0 0
中性轴与y轴的夹角：
tan z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中α角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。 9
材料力学
出版社 科技分社
一般，Iy≠Iz，中性轴与外力作用平面并不垂直，这是斜 弯曲的特点。当Iy=Iz，如圆形、正方形以及一般正多边 形截面梁，中性轴与外力作用平面垂直。只要外力通过 截面形心，只产生平面弯曲，而不会发生斜弯曲。
材料力学
出版社 科技分社
第十章
组合变形
1
材料力学
概述
出版社 科技分社
一、组合变形 ：在荷载作用下，构件往往产生两种或 两种以上的基本变形，当几种变形所对应的应力属 同一数量级时，则构件的变形称为组合变形。
2
材料力学
出版社 科技分社
吊车立柱（图a）受偏心压缩，发生弯压组合变 形。
工字钢梁 （图b）两个相互垂直平面内的弯曲变 形的组合
Fz F sin 6
材料力学
出版社 科技分社
Fy将使梁在铅垂平面xOy内发生平面弯曲；而Fz 将使梁在 水平平面xOz内发生平面弯曲。
1、任意截面m－m处的弯矩
M z Fy l x F l xcos M cos
M y Fz l x F l xsin M sin
力F在m-m截面上产生的总弯矩
M
M
2 y
M
2 z
Fl x 7
材料力学
出版社 科技分社
2、 截面上C 点处的正应力为：
设横截面m-m上K点处在xOy和xOz平面内发生平面弯曲时
的正应力分别为σ'、σ"
M z y M cos y
Iz
Iz
在Fy和Fz共同作用下，总应力：
M y z M sin z
＝
N
FN A
F A
13
材料力学
出版社 科技分社
在横向力q作用下，梁发生平面弯曲，最大弯矩发生在跨 中截面 ，即为组合变形时的危险截面
弯矩作用下的正应力沿高度按直线规律分布（图d），其
值为
M
M Iz
y
在轴向拉力和横向力共同作用下，危险截面上任一点
处的正应力，可按下式计算：
N
M
FN A
4、最大正应力 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力
点。按下述方法确定：
作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相
切，这两个切点（图9.3中的点D1，D2）就是该截面上 拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖
直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。
10
材料力学
出版社 科技分社
t max D1
齿轮传动轴（图c）发生弯曲与扭转组合变形 （两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。
3
材料力学
出版社 科技分社
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件 下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位 移进行叠加。
①、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解，
二、斜弯曲的研究方法 ：
1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于
是得到两个正交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果
叠加。 5
材料力学
出版社 科技分社
现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲问题中应
力和变形的计算。
选取梁轴线为x轴，两个对称轴分别为y轴和z轴。
将F沿y轴和z轴分解得： Fy F cos