探求和差运算中无穷小的等价代换方法_李胜正
等价无穷小替换公式
等价无穷小替换公式所谓等价无穷小替换公式，是数学中一类常用的极限计算方法。
当在求极限过程中遇到无穷小量时，我们可以将它替换为一个与之等价但更易计算的无穷小量，从而简化求解过程。
以下是一些常用的等价无穷小替换公式：1. $\sin x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sinx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. $\tan x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tanx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
3.$e^x-1$等价无穷小替换公式：当$x$趋近于$0$时，$e^x-1$可以被替换为$x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
4. $\ln(1+x)$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$等价于 $x$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。
等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用
等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用郭欣红【摘要】利用等价无穷小代换求极限是一种非常实用的方法,教材上一般只介绍2个等价无穷小相除的代换定理,并且指出在加减法中不要随意使用无穷小代换.针对在含有和差运算式中求极限的问题,论述如何使用无穷小代换定理的条件,用等价无穷小进行代换,扩大等价无穷小代换的使用范围.【期刊名称】《北京工业职业技术学院学报》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】4页(P26-29)【关键词】极限;和差运算;等价无穷小;代换【作者】郭欣红【作者单位】辽宁金融职业学院,沈阳110122【正文语种】中文【中图分类】O13;B270 引言极限计算是高等数学中一个重要内容，除了四则运算法则、2个重要极限公式和洛必达法则之外，等价无穷小代换也是求极限常用的一种方法。
目前教材上一般只给2个等价无穷小相除的代换定理，并且指出无穷小代换的使用范围是乘除法，在加减法中不要随意使用无穷小代换。
为此学生往往会出现疑惑，是所有含有和差形式的运算式都不能使用无穷小代换吗？为什么有些含有和差运算式的极限问题使用无穷小代换结果是正确的，有时又是错误的呢？等价无穷小代换还有其他形式吗？针对这些疑问，本文对无穷小代换定理在含有和差运算式的情形进行补充，并对如何应用加以阐述。
1 乘除运算式中等价无穷小代换定理回顾定理1 设α,β,α＇,β＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，且α～α＇,β～β＇，存在，则推论1[1] 设α,α＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，α～α＇，且limα＇f(x)存在，则limαf(x)=limα＇ f(x)推论2 设α,α＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，α～α＇，则定理2 (等价无穷小代换的传递性) 在自变量的同一变化过程中，若α～β,β～γ，则α～γ。
例1 求分析：此题属于“”型未定式，如果利用洛必达法则来解，求导过程会非常复杂。
解当x→0时，因为arcsin(sin2x)～sin2x-x2，原式2 和差运算式中等价无穷小代换定理定理3 在自变量的同一变化过程中，α～α＇,β～β＇，且α与β不等价。
等价无穷小代换在求解含和差运算因子的极限中的应用
它能使求极限计算过程大大简化 。然而一般教材
和 文献 ［ １ ， ２ ］ 都 指 明 等 价 无 穷 小 只 能 用 在 乘 积 （ 或商 ） 因子 中进 行代 换 ， 并 特别 强 调 在含 有 和 差 运 算式 中的各部 分 ， 则不 能进行 等价无 穷 小代换 。 然而 ， 笔者 在具 体教 学实践 中发 现 ： 在 求解 因子 中 含有 和差运 算式 的极 限 时 ， 采取 适 当的方 法 ， 可 以 利 用等 价无 穷小 代 换 进 行求 解 ， 并 能简 洁 而快 速 地 得到 正确 结果 。本 文主要 根据 和差 运算 式 中各 部 分 无 穷 小 的 比较 关 系 （ 同 阶、 等价 和高 （ 低） 阶） ， 分 类探 讨 了 等 价 无 穷 小 代 换 在 求 含 有 和 差 运 算式 极 限 中的应 用 ， 并 总 结 出 了一 些 无 穷 小 代
＋ 一
求 极 限
解析 因 为 — ｕ
Ｓ １ ｎ ＺＸ
＝ ｌ ｉ ｍ ３ ２ ｘ ￣ — ｕ
＝
軎≠ 二 １ ，
２ 和差运算 中高阶无穷小忽略定理
定理 ２ 若 ， ， ， 卢 是 自变量 的 同一 变 化 过 程 中 的无穷 小量 ， 且 一 ， 卢 一卢 ￣ ｌ ｉ ｍｉ ｆ － －＝
ＮＯ Ｖ． ２ ０ ｌ ３ ＶＯｌ ＿ ｌ ９ Ｎ０． ４
网络出版时间 ： ２ ０ １ ３—１ ２—１ ９ ２ ０： １ ６ 网 络 出版 地 址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ４ ． １ １ ５ ０ ． Ｎ ． ２ ０ １ ３ １ ２ １ ９ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ２ ７ ． ｈ ｔ ｍｌ
变限积分等价无穷小替换证明
变限积分等价无穷小替换证明说到变限积分，这个话题对很多人来说就像个大难题一样。
其实呢，变限积分就好像在游乐园里玩过山车，起初你可能觉得有点恐怖，但一旦坐上去，发现它其实也没那么难。
今天咱们就来聊聊变限积分中的一个小技巧——等价无穷小替换。
你别看这名字长得吓人，其实就像做一道简单的数学题，考验的只是你能不能抓住那几个小窍门。
什么是等价无穷小呢？简单来说，等价无穷小就是两个数学式子在“无限小”的时候长得越来越像，就像是两个人长得特别像，站在一起都分不清楚谁是谁。
你想，咱们知道，很多时候咱们做积分，那个积分区域的上下限可能会随着变量变化而变化。
那时候，积分就变得更复杂了，问题也多了，然而通过换个角度看，它其实能变得简单。
这就像你在做菜，突然发现少了点什么，可是你加了一点别的东西，突然一切都变得美味起来。
现在，回到咱们的数学题。
如果给你一个变限积分，你可能第一眼就会觉得头大，眼前一片迷茫，变限积分是什么？什么叫无穷小？等等问题一起涌上来。
别急，慢慢来。
首先要搞清楚一点，积分的上限和下限其实是关于某个变量的函数，跟普通的固定积分不一样。
就拿我们最熟悉的，定积分来说，积分的上下限都是常数，而变限积分的上下限是可变的，它们随着某个参数变化。
这时候，你可能就得调整思路，动脑筋找找看有没有什么更简便的方法，能帮你更快地解决。
等价无穷小替换就派上用场了。
就像你在地图上找路，碰到一个难题，突然有个捷径就出来了。
假设有一个函数，在趋近于某个点时，和另一个函数的行为越来越相似，那我们就可以用那个相似的函数来代替原函数。
就好比你去找一个比你自己还懂的人来帮忙，轻松许多。
通过等价无穷小替换，咱们可以把复杂的变限积分简化成一个更容易求解的积分。
举个简单的例子吧，咱们就用一个常见的无穷小替换来试试。
假设咱们有这么一个函数 (frac{sin x{x)，它在(x to 0)的时候，大家都知道，直接计算会出问题。
可是，如果你稍微动点脑筋，会发现它其实在趋近零时就变得特别“乖巧”——它和 1 越来越像。
探求和差运算中无穷小的等价代换方法_李胜正
1+ 2t - 1~
t-
1 2
t2,
1+ t - 1~
1 2
t-
1 8
t2
原式=
tlim
t 0+
1 2
t 2-
2(
1 2
t
-
t2
1 8
t2) =
-
1 4
.
以下再举一例, 以说明该方法简单易行。
例4
求极限 lim x0
x2 5 1+ 5x - 1-
x
解 ∋: 用洛必达法则直接求
原式=
lim
x0
1 5
(
教育出版社, 2002.
(2) 当分子、分母中含有和差运算, 且和差运算
中的各部分无穷小满足一定条件, 则各部分无穷小 也可直接进行等价代换( 定理) 。
( 3) 当定理的条件不满足时, 和差运算中的各部 分无穷小可按泰勒公式展开, 适当选取等价无穷小 的阶数, 则各部 分无穷 小也 可直接 分别 等价 代换 ( % 补充说明&) , 并且注意到分别代换后的结果其实 质都是把整个和差运算的无穷小量整体代换成阶数 较高的等价无穷小量。
前述已知上接第72则各部分无穷小也可直接进行等价代换和差运算中的各部分无穷小可按泰勒公式展开并且注意到分别代换后的结果其实质都是把整个和差运算的无穷小量整体代换成阶数较高的等价无穷小量和差运算中的无穷小等价代换问题得到了很好的解决解法要比解法简单的多由以上各题我们注意到
第 22 卷 第 2 期
2008 年
为例,
说明该方法的
应用。
例2
求极限
lim
x0
tanx x3
s
inx
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式一、等价无穷小等价替换的概念等价无穷小等价替换是指在求解极限、积分、微分等数学问题时，将一个无穷小量替换为与它具有相同极限的无穷小量，从而简化计算的过程。
等价无穷小等价替换的基本思想是在保持原有极限不变的前提下，用一个更便于计算的表达式替代原有函数或者无穷小量。
二、等价无穷小等价替换的原理等价无穷小等价替换的原理可以用极限的定义来解释。
假设函数f(x)和g(x)在x=a的一些邻域内定义，且f(x)和g(x)在x=a处连续，如果有lim(x→a)g(x)=0，lim(x→a)g(x)≠0，则称g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小。
根据无穷小的定义，对于任意一个无穷小g(x)，它满足lim(x→a)g(x)=0。
那么如果g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小，就意味着lim(x→a)(f(x)-g(x))=0。
这样，我们可以用g(x)替代f(x)，从而简化计算的过程。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1) sin(x) ~ x(2) tan(x) ~ x(3) arcsin(x) ~ x(4) arctan(x) ~ x(5) ln(1+x) ~ x(6)e^x-1~x2.当x趋于正无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^x~+∞(2)a^x~(x→+∞)+∞(其中a>1)(3)(1+x)^n~+∞(其中n为正整数)3.当x趋于负无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^(-x)~0(2)a^(-x)~0(其中a>1)四、例子下面通过具体的例子来说明等价无穷小等价替换的应用。
例1：求极限lim(x→0)sin(x)/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有sin(x)~x。
所以原极限可以等价替换为lim(x→0)x/x=1例2：求极限lim(x→0)(ln(1+x))/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有ln(1+x)~x。
等价无穷小常见替换公式
等价无穷小常见替换公式在我们学习数学的漫漫征途中，等价无穷小可是个相当厉害的“武器”，它能帮我们在解决极限问题时，披荆斩棘，轻松过关。
今天咱就来好好聊聊等价无穷小常见的替换公式。
先来说说啥是等价无穷小。
简单讲，就是当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋向于 1 ，那这两个函数就叫做等价无穷小。
比如说，当 x 趋向于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
常见的等价无穷小替换公式有不少呢。
比如当 x 趋向于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 1/2 x²，ln(1 + x) 等价于 x 等等。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别可爱。
他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
假如我们要计算极限：lim(x→0) (tan x - sin x) / x³。
如果直接算，那可就头疼了。
但如果我们用等价无穷小替换，把 tan x 换成 x ，sin x换成 x ，式子就变成了lim(x→0) (x - x) / x³ = 0 ，是不是一下子就简单多啦？等价无穷小的替换在计算极限的时候，能大大简化运算过程，提高解题效率。
但这里要注意一个重要的点，那就是等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，如果是加减运算，就得小心啦，不能随便替换，不然可能会出错。
比如说，计算极限lim(x→0) (sin x - x) / x³，如果直接把 sin x 换成x ，那就错啦，因为这是个加减运算。
再给大家举个例子加深印象。
计算极限lim(x→0) (1 - cos x) / x²，因为 1 - cos x 等价于 1/2 x²，所以可以替换，结果就是 1/2 。
等价无穷小的替换公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂极限问题的大门。
但要记住，使用的时候一定要谨慎，遵循规则，不然可就打不开这扇门咯。
论述利用等价无穷小代换求极限
万方数据论述利用等价无穷小代换求极限作者：蒋开宽作者单位：杭州师范大学钱江学院刊名：科技信息英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2009，""(26)被引用次数：0次1.同济大学应用数学系高等数学 20022.李花妮利用等价无穷小代换方法求极限 2005(24)3.吴信贤用"等价无穷小替代法"求极限的研究 2003(02)4.王绍乾.赵进超利用等价无穷小代换求函数的极限 2003(06)5.谢黎东利用"等价无穷小的替换"求函数的极限 2007(03)1.期刊论文李胜正.王茂强.房毅宪.LI Sheng-zheng.WANG Mao-qiang.FANG Yi-xian探求和差运算中无穷小的等价代换方法-山东轻工业学院学报（自然科学版）2008,22(2)等价无穷小代换求极限的一般原则是无穷小因子进行等价代换,对于和差运算中的无穷小一般不能直接代换.本文讨论了在一定条件下,和差运算中的无穷小可直接进行等价代换,否则和差运算中的无穷小可按泰勒公式适当提高等价无穷小的阶数进行代换,从而使某些极限运算大大简化.2.期刊论文冯变英.FENG Bian-ying幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨-运城学院学报2006,24(5)幂指函数的极限若能恰当地使用等价无穷小代换可使求极限问题大大简化.本文主要通过对三种形式的幂指函数极限的无穷小表达式的变形、分析,确定幂指函数可使用等价无穷小代换求极限的条件,使人们能尽快判断和使用等价小代换求幂指函数的极限.3.期刊论文刘克勤.张效成.Liu Keqin.Zhang Xiaocheng含加减运算极限式中等价无穷小代换的研究-高等理科教育2005,""(6)在求极限时如果遇到分子或分母中含有加减项时能否进行等价无穷小代换?如果能,怎样进行代换?这是在教学中难以回避的一个问题.本文对此进行了讨论,并提出了一个寻找可代换的等价无穷小的"待定系数法".4.期刊论文于延荣关于等价无穷小代换的若干结论-工科数学2001,17(4)陈汝栋等在[1],[2]中讨论了等价无穷小的代换问题.本文对无穷小代换问题再给出若干充分条件,从而解决了一批加减乘除混合运算的等价无穷小代换问题.5.期刊论文张明会.高婷婷用等价无穷小代换求极限-甘肃科技纵横2009,38(3)极限理论是数学分析的核心,贯穿在数学分析的全部内容之中,也是从初等数学到高等数学的第一道坎.对极限理论的理解和处理是专业数学与其它学科的分水岭之一,因而熟练掌握求极限的方法 和技巧对于学习和研究这门课程至关重要.本文讨论了用等价无穷小代换求一般极限的方法 ,并对具有高阶导数的函数给出了求其等价无穷小的一般方法 .6.期刊论文吴维峰.Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报2008,21(2)本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.7.期刊论文郑国彪等价无穷小代换定理的一个结论及其应用-青海师专学报(教育科学版)2004,24(5)未定型极限是极限问题中的重点和难点之一.等价无穷小代换定理及其推论1、2为计算x→x0时0/0型的极限带来了方便.但推论2不一定总是成立,如果只从形式上套用该推论,而对其成立的条件不加分析与判断,便会造成错误.本文给出推论2之补充结论,从而弥补这一不足.8.期刊论文廖仲春等价无穷小代换在求不定型极限中的应用-长沙民政职业技术学院学报2008,15(4)文中介绍了如何利用等价无穷小代换求不定型极限,从而简化了不定型极限的计算.9.期刊论文王剑红.杨素芳等价无穷小应用探析-太原城市职业技术学院学报2008,""(3)等价无穷小代换法是解决极限问题的重要方法,我们既要理解等价无穷小的定义,还要熟悉常见的等价无穷小形式,既要能灵活应用等价无穷小代换,又要清楚其使用的前提,还能灵活自如地运用等价无穷小的性质和结论.10.期刊论文李花妮利用等价无穷小代换方法求极限-中国科技信息2005,""(24)等价无穷小代换方法是求极限过程中最常用的方法之一,同时也是高等数学的重要知识点之一,但学生在应用此方法时往往会出现一些常见错误,本文对错误的根源进行了相应的理论分析,并对等价无穷小代换定理作了相应的推广,这对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义.本文链接：/Periodical_kjxx200926369.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7d371a18-5028-40ce-b45e-9dca00fe3ec1下载时间：2010年8月6日。
无穷小等价替换公式
无穷小等价替换公式在数学中，无穷小是一种极限的概念，指的是当自变量趋于其中一值时，相应的函数值无限接近于零的量。
无穷小等价替换则是指当无穷小之间相互替换时，它们可以在一些操作下被视为等价的。
下面详细介绍无穷小等价替换公式及其应用。
一、无穷小等价替换公式的基本概念1. 定义：设f(x)和g(x)是x趋于a时的无穷小，如果lim(x→a) [f(x)/g(x)] = 1，则称f(x)与g(x)是等价无穷小。
2.等价无穷小的性质：设f(x)和g(x)是x趋于a时的等价无穷小，则有以下性质：-基本性质：f(x)±g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-符号性质：当f(x)为正无穷小时，g(x)也为正无穷小，反之亦然；-乘法性质：f(x)g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-除法性质：f(x)/g(x)也是x趋于a时的等价无穷小。
1.x趋于零时的等价无穷小：-当n为正整数时，x的n次幂x^n是x趋于0时的等价无穷小；-当n为正整数时，x的n次方根x^(1/n)也是x趋于0时的等价无穷小；- sin(x)、tan(x)、arcsin(x)、arctan(x)等三角函数在x趋于0时都是等价无穷小。
2.无穷大替换为无穷小：-当x趋于无穷时，常数C是x趋于无穷时的等价无穷小；-当x趋于无穷时，指数函数a^x是x趋于无穷时的等价无穷小；- 当x趋于无穷时，对数函数log_a(x)是x趋于无穷时的等价无穷小。
三、无穷小等价替换公式的应用范围1.极限计算：在计算极限时，可以利用等价无穷小替换掉原函数中的无穷小项，从而将复杂的问题简化为计算等价无穷小的极限问题。
2.微分方程：在研究微分方程的解时，可以将微分方程转化为等价的无穷小方程，从而更容易求解。
3.泰勒展开：在进行泰勒展开时，可以用等价无穷小替代高阶无穷小，从而简化泰勒展开的计算过程。
4.渐近线研究：在研究函数的渐近线时，可以用等价无穷小替代函数中的无穷大项，从而找到函数的渐近线方程。
关于和差项的等价无穷小量代换
穷 小 量 代换 问题 进 行 分 析 ． 设 ａ～ ａ ， ～ ， 因为 等 价无 穷 小量 的代换 是
对 极 限式 中积 商 因子 的代 换 ， 所 以， 只要 有 ＋口～ ａ ＋ 和 —ｐ～ ａ 一 ， 极 限式 中和 差项 就能 用 等 价 无穷 小量 代 换 ． 关 于 ＋ Ｊ ８ ～ ａ ＋ 和 — ～
（ 江 西 农 业 大 学 理 学 院 ，江 西 南 昌 ３ ３ ０ ０ ４ ５ ）
摘 要 针对极限式中和差项用等价无穷小量代换容易出错的问题， 根据和差项等价无穷小量代换的条件，
进行 实例求解与分析．
关 键 词 无 穷 小量 ； 等价无 穷小量 ； 极 限 中 图 分 类 号 Ｏ１ ７ ２ ． １ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ３ １ — ０ ２
●
又 因 为
、 ｉ— —Ｃ ＯＳ 一 １
一
【
ｒ
小 量代换 ， 要 另想其 他 方 法 如 罗必 塔 法 则 或用 泰勒 公 式等 ．
参 考 文 献≠ 一 １。
ｌ ｌ
ｈ ｒ
所 以
、
ｍ
＿ 一
关 于极 限 式 中 和 差 项 的 等 价 无 穷 小 量 代 换 ，
一
身并 不相 等 ， 它们 之 间相 差 一 个 较 它 们 高 阶 的无 穷
小量 ， 例 如
ｓ ｉ ｎ ｚ～ ｔ ａ ｎ ３ ７ （ ÷ Ｏ）。
所 以
ｓ ｉ ｎ — ｔ ａ ｎ — Ｏ（ ） ．
３ ２
高 等数 学研 究
２ ０ １ ３年 ９月
１— —Ｃ ＯＳ
等价无穷小的替换公式
等价无穷小的替换公式等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在本文中，我们将介绍等价无穷小的替换公式及其应用。
我们来看一下等价无穷小的定义。
在微积分中，当一个函数f(x)在x趋近于某个数a时，如果它的极限为0，那么我们称f(x)是a处的一个无穷小。
如果另一个函数g(x)在x趋近于a时也是无穷小，并且f(x)和g(x)的极限相等，那么我们称f(x)和g(x)是等价无穷小。
接下来，我们来看一下等价无穷小的替换公式。
假设f(x)和g(x)是等价无穷小，那么在计算极限时，我们可以用g(x)来替换f(x)，即lim f(x) = lim g(x)。
这个公式的意义在于，当x趋近于a时，f(x)和g(x)的差距越来越小，因此它们的极限也应该相等。
等价无穷小的替换公式在微积分中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的极限时，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
此外，在求导和积分时，等价无穷小的替换公式也可以帮助我们更好地理解和计算。
下面，我们来看一个例子。
假设我们要求lim (1-cosx)/(x^2)，当x 趋近于0时。
这个极限比较复杂，但是我们可以将1-cosx化简成等价无穷小的形式。
具体来说，我们可以将1-cosx展开成泰勒级数，得到1-cosx = (1/2)x^2 + O(x^4)，其中O(x^4)表示比x^4更高阶的无穷小。
因此，原式可以化简为lim [(1/2)x^2 + O(x^4)]/(x^2)，即lim (1/2) + O(x^2)，当x趋近于0时。
由于O(x^2)是一个比x^2更高阶的无穷小，因此它的极限为0。
因此，原式的极限为1/2。
等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在实际应用中，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
无穷小的等价代换公式大全
无穷小的等价代换公式大全
无穷小的等价代换公式是微积分中非常重要的一部分，它在极限计算和微分方程等领域有着广泛的应用。
下面我将从不同的角度列举一些常用的无穷小的等价代换公式。
1. 当 x 趋向于 0 时，常用的无穷小等价代换有：
sin(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
1-cos(x) ≈ x^2/2。
ln(1+x) ≈ x.
e^x 1 ≈ x.
(1+x)^a 1 ≈ ax，其中 a 是常数。
2. 当 x 趋向于无穷大时，常用的无穷小等价代换有：
e^x ≈ x^n (n 是任意正整数)。
ln(x+1) ≈ x.
sin(x) ≈ x.
cos(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
(1+1/x)^x ≈ e.
3. 在一些特殊的极限计算中，还可以利用洛必达法则进行无穷小的等价代换，即对于两个函数 f(x) 和 g(x) 当它们在某一点的极限为 0/0 或者±∞/±∞ 的形式时，可以对 f(x) 和 g(x) 求导数并用导数的极限值代替原函数，从而简化极限的计算。
总的来说，无穷小的等价代换公式是微积分中的重要内容，它们在求极限、解微分方程、近似计算等方面都有着重要的应用。
深入理解和灵活运用这些等价代换公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分的知识。
和差运算中无穷小的等价替换方法利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求无穷小量代数和的极限
差
运
算
中
无穷小的等价替换方法
&
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公
式求无穷小量代数和的极限
1 2 3
01 和 差 运 算 中 无 穷 小 的等价替换方法
复习：常见的求极限的方法 方法1：极限运算法则
函数和差积商的极限=极限的和差积
方法2：等价无穷小替换 无穷小的比较
常见等价无穷小
x→0
sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x
在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃， 以简化计算。(即：低阶无穷小＋高阶无穷小⇔低阶无穷小)P54定理1
为什么上一题的sin x 和xcos x要用三阶的麦克劳林公式而不用一阶或 者五阶的呢？拿到一个题目要怎么确定要用几阶的麦克劳林公式呢？有大佬总结出两个规律来自分式上下同阶原则和加减幂次最低原则
arctan x ~ x
ln(1+ x) ~ x
x＋1
x＋1
★在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意： 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量 来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换。
推论：两个同阶但非等价的无穷小之差的每 一项都可以用与之等价的无穷小替换。
简单地说：替换后分子或分母不为0的均可替换
thank you for watching!
2019.05.23
两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
运用等价无穷小的替换时，可以只替换分子或分母，也可以将 分子和分母同时替换。
02 泰 勒 公 式
泰勒公式是高等数学的核心内容之一，其基本思想是将一些
复杂的函数关系近似地表示为简单的幂级数的形式达到化繁
等价无穷小量的替换
高等数学课程教案授课题目 §2.7 利用等价无穷小量求极限主讲人刘艳授课时间2013年11月9日课时安排 两课时教学目的：（1）掌握常用的等价无穷小量替换。
（2）会用等价无穷小量替换求极限。
教学重点、难点重点：用等价无穷小量替换求极限。
难点：利用等价无穷小量求极限 授课类型：理论课教学方式：讲授教学手段：板书教学过程备注 回顾：两个重要极限0sin lim1x x x →=，1lim(1)x x e x→∞+=及其变形导入：先让学生回忆无穷小量的定义，以及等价无穷小量的概念。
前面我们学习了利用极限的四则运算来求解极限，今天我们来学习一种新的计算极限的方法。
新课：定理1如果在同一变化过程中，α，1α，β，1β都是无穷小量，且1~αα，1~ββ，那么有()()1lim lim f x f x αα=，11limlim ααββ=。
证明 ()()11lim limf x f x αααα= ()()()1111limlim 1lim lim f x f x f x ααααα=⨯=⨯= 111111111111limlim lim lim lim 1lim 1lim αβαβαααααβαββαββββ=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 注：（1）定理说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时，可使用其等价无穷小量代换，不影响极限值的结果，但可简化求极限的步骤。
（2）替换一般不能用来加减运算。
学生回忆口述 喊学生回答几种常用的等价无穷小量：()()sin ~0,tan ~0x xx x xx →→ ()()arcsin ~0,arctan ~0x xx x xx →→()()21cos ~0,11~02nx x x x x x n-→+-→()()()ln 1~0,e 1~0x x xx x x +→-→证明：略注：将x 替换成()x φ也成立。
例题：例1 求0sin lim(0)tan x axb bx→≠。
等价无穷小代换在求解含和差运算因子的极限中的应用
等价无穷小代换在求解含和差运算因子的极限中的应用赵玉杰;李李【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(19)4【摘要】利用等价无穷小代换求极限可以简化计算过程，并能迅速得到正确结果。
本文探讨了等价无穷小代换在求解极限式中含有和差运算式因子情况下的具体应用：在一定条件下，和差运算中的各部分无穷小可按泰勒公式展开，适当选取等价无穷小的阶数，则各部分无穷小也可直接分别等价代换。
最后总结了和差运算中一些无穷小代换定理和推论，并加以证明和具体应用。
求解过程和结果表明，这些定理和推论非常有效。
%Calculation of limit can be simplified by using the equivalent substitution for infinitesimal quantity .The applica-tions of those substitutions in the calculations of addition and subtractions are discussed in detail , which is seldom touched in some referencebook.Some theorems of substitution for equivalent infinite small quantityin the sum and difference are generalized , which are also applied in some examples to calculate limits in this paper .Computed process and results indicate that these theo-rems are substantially efficient.【总页数】3页(P104-106)【作者】赵玉杰;李李【作者单位】安庆师范学院物理与电气工程学院，安徽安庆246133;安庆师范学院物理与电气工程学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O13【相关文献】1.等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用 [J], 郭欣红2.含加减运算极限式中等价无穷小代换的研究 [J], 刘克勤;张效成3.等价无穷小代换在极限运算中的应用 [J], 唐加冕4.剖析等价无穷小代换求解极限运算 [J], 杨春芝5.等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用 [J], 李珊;栗巧玲;余旭洪;;;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
探求和差运算中无穷小的等价代换方法
探求和差运算中无穷小的等价代换方法1无穷小的定义无穷小是数学上用以描述非常小的量值的一种概念，它以及其衍生概念在一些领域，如求解微分方程、数据建模以及统计分析中都有所应用。
无穷小的数学定义为：某数x和0的差越来越小，但不能等于0。
这样就形成了一个无限接近于0的序列，IL=x_1,x_2,x_3,…对于任意正数ε（ε>0），总存在N个h_N=x_N…x_1，使得由h_N<ε。
也就是说，这个无穷小差x_N…x_1可以被无限接近零，但永远不会等于零。
2无穷小运算中的等价代换无穷小运算中的等价代换是指用其他符号，特殊符号代换无穷小，使之可以被准确计算的一种方法。
无穷小的代换可以分为数学符号代换和数学模型的应用。
1）数学符号代换：用数学符号来替换无穷小。
例如：用δ代换一个无穷小数据。
2）数学模型：使用特定数学模型来代换无穷小，其中最常用的是Fourrier分析法。
这种方式可以替代掉无穷小，把复杂的无穷小的计算过程变得更加简单。
3和差运算中的等价代换等价代换也可以用在和差运算中。
它能够准确描述小量的和差，同时也可以将大的和差分解成一系列小的差，比如：在和差运算中，当一个数值表达式中有很多小参数相加或相减，就可以使用无穷小等价代换，将其分解成一系列无穷小相加或相减。
这种类型的等价代换也能够提高数学计算的准确性和准确度。
4无穷小的运算技巧无穷小的等价代换可以在和差运算中带来极大的优势。
它能够使其成为一个更加简便的数学运算，而且可以让计算变得更加精准。
以上就是关于探求和差运算中无穷小的等价代换的一些基本知识。
虽然无穷小的等价代换在和差运算中拥有更好的运算效率和精准度，但是由于无穷小的概念的抽象、深奥，识别无穷小的量值仍然是个挑战。
在实际的运算中，还需要根据实际情况进行拆解和替换，才能真正实现有用的代换。
等价无穷小和差代替规则
等价无穷小和差代替规则
嘿，朋友们！今天咱来聊聊等价无穷小和差代替规则，这可真是个超级有趣又超级实用的东西呢！
你们想想啊，在数学的海洋里遨游，要是没有一些巧妙的方法和规则，那可不得晕头转向呀！等价无穷小和差代替规则就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
比如说吧，当我们遇到一些复杂的极限问题时，直接去计算可能会让我们头疼不已。
但要是我们能发现其中可以用等价无穷小来代替的部分，哇塞，那就一下子简单多啦！就好像原本要翻越一座高山，突然发现有条捷径可以走，那得多爽呀！
咱再打个比方，等价无穷小就像是我们生活中的小窍门。
比如你要去开一个很紧的瓶盖，直接拧可能很难，但要是你知道用块布包着拧会更容易，这不就是找到了一个好方法嘛！在数学里也是这样，等价无穷小能让我们更轻松地解决问题。
你们可别小瞧了这个规则哦！它虽然看起来简单，但是用起来可神奇啦！有时候一个小小的替换，就能让整个计算过程变得清晰明了。
这就像是在黑暗中突然点亮了一盏灯，一切都变得清楚啦！
我记得我之前做过一道题，那可真是把我给难住了。
我在那苦思冥想了好久，都不知道该怎么下手。
后来我突然想到了等价无穷小和差代替规则，一试，嘿！还真就解决了！当时我那个高兴啊，就像找到了宝藏一样！
而且哦，这个规则还很灵活呢！不是死板的，需要我们根据具体情况去判断和运用。
这就需要我们多练习，多积累经验啦！就像学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多练几次，不就会啦！
朋友们，好好去体会这个神奇的规则吧！让它成为我们解决数学问题的得力助手。
在数学的世界里，有了它，我们就能更加游刃有余啦！反正我是觉得它超棒的，你们觉得呢？。
等价无穷小代换在求和式极限中的应用
等价无穷小代换在求和式极限中的应用
仝淑芳;郑军
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2016(032)001
【摘要】等价无穷小代换经常用于求函数乘积的极限,讨论了如何利用等价无穷小代换求函数和式的极限.
【总页数】5页(P105-109)
【作者】仝淑芳;郑军
【作者单位】西南交通大学交通运输系,四川蛾眉山614202;西南交通大学基础课部,四川蛾眉山614202
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.等价无穷小代换在求函数极限教学中的应用 [J], 牛艳秋;王千
2.等价无穷小代换在求不定型极限中的应用 [J], 廖仲春
3.应用等价无穷小量的代换方法求极限 [J], 范晓兰
4.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广 [J], 陈大桥
5.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广 [J], 陈大桥;
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
用等价无穷小代换求极限中的一些问题
用等价无穷小代换求极限中的一些问题
陈新明
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2008(11)5
【摘要】学生用等价无穷小代换求极限的过程中出现许多我们认为是错误的方法,但有些错误的方法又能够得到正确的结论,如求极限时对复合函数的中间变量作等价无穷小代换;两非等价无穷小和差分别做等价无穷小代换等,这应该算对还是错?本文在理论上作了分析.
【总页数】2页(P56-56,58)
【作者】陈新明
【作者单位】仲恺农业技术学院计算科学系,广州,510225
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.等价无穷小代换在求函数极限教学中的应用 [J], 牛艳秋;王千
2.等价无穷小代换在求不定型极限中的应用 [J], 廖仲春
3.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广 [J], 陈大桥
4.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广 [J], 陈大桥;
5.论述利用泰勒公式求极限和利用等价无穷小的代换求极限及二者的关系 [J], 陈丽
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
李胜正1, 王茂强2, 房毅宪1
( 1. 山东轻工业学院 数理学院, 山东 济南 250353; 2. 山东省烟台市 二中, 山东 烟台 264000)
摘要: 等价无穷小代换求极限的一般原则是无穷小因子进行等 价代换, 对于和 差运算 中的无 穷小一 般不能 直接代
换。本文讨论了在一定条件下, 和差运算中的无穷小可直接进 行等价代 换, 否 则和差 运算中 的无穷 小可按 泰勒公
证明: ( 1) 由于 lim
1+ +
1+ 1= lim
1+
1
= lim
1 + 1∃ 1+
=
1+ 1+
l l
=
1
( l # - 1) 由等价
无穷小定义立得: + ~ 1+ 1 同理可证( 2) 。
( l # - 1)
例1
lim
x0
arcsin2x sin3x + tan2x
解: 由 定 理 ( 1) 知, 分 母 可 分 别 代 换, 则 原 式
教育出版社, 2002.
x2 2x
2=
-
1 2
.
两相比较可知, 解法 (要比解法 ∋ 简单的多。
最后, 由以上各题我们注意到: 若各部分无穷小
所取等价无穷小的阶数较高时, 其表达式繁难程度
也随之增大, 但其实际应用计算量并不大。
2 结束语
通过以上分析探讨, 在求极限时, 欲施行无穷小 等价代换, 可注意以下几点:
( 1) 可直接对分子或分母整体进行等价代换, 亦 可对分子、分母中的无穷小因式等价代换( 引理) 。
Abstract: The common principle of finding limit with equivalent infinite small substitution is equivalent substi tution with infinite small factors, inf inite small can t commonly be substituted in sum/ difference operat ion. In this paper, in a certain condit ion, infinite small can directly be substituted in sum/ difference operation , oth erwise infinite small in sum/ difference operation can be subst ituted by increasing orders of equivalent infinite small according to Taylor formula. Consequent ly, certain limit operations are greatly predigested. Key words: sum/ difference operation; equivalent inf inite small; the substitution of equivalent infinite small; Taylor formula
式适当提高等价无穷小的阶数进行代换, 从而使某些极限运算大大简化。
关键词: 和差运算; 等价无穷小; 等价无穷小代换; 泰勒公式
中图分类号: O171
文献标识码: A
Exploring the method of equivalent substitution for infinite small in calculation of sum and difference
( 1) ~ 1, ~ 1
( 2) lim 1 = A ( 或 ! ) 则
1
lim = lim 1= A ( 或 ! ) .
1
由此可以看出, 无穷小的等价代换是对分子或 分母的整体代换, 或者对分子、分母中的无穷小因式 单独进行代换。
1 和差运算中的无穷小等价代换定理
一般教科书中都特别强调: 对分子、分母中和差 运算的各部分无穷小不能分别作代换。
收稿日期: 2008- 01- 12 作者简介: 李胜正( 1965- ) , 男, 山东省临朐县人, 学士学位, 山东轻工业学院副教授, 从事基础数学方面的研究.
72
山东轻工业学 院学报
第 22 卷
例如
lim
x0
tanx x3
sinx
=
lim
x0
x
x3
x
=
0(
∀
)
错误的。
就是
为此, 我们对 + ( 或 - ) 中的无穷小 、
0 引言
等价无穷小代换是求函数极限的常用方法, 若 运用得当可化繁为简、化难为易, 不失为一种好的求 极限方法。但在用等价无穷小代换时, 常常受到一 些条件的限制和约束, 其代换的一般原则是如下的 常用定理:
引理: 设 , 1, , 1 是自变量的同一变化过程 中( x x 0 或 x ! ) 的无穷小量, 且
第 22 卷 第 2 期
2008 年
6月
山东轻工业学院学报 JOU RNAL OF SHANDONG INSTITUTE OF LIGHT INDUSTRY
文章编号: 1004- 4280( 2008) 02- 0071- 02
Vol. 22 No. 2 June. 2008
探求和差运算中无穷小的等价代换方法
3
例 3 求极限 lim x 2 ( x + 2- 2 x + 1+ x ) x +!
解: 利用倒代换: 令 x =
1 t
,
则
原式= lim ( t 0+
1+ 2t - 1) - 2( t2
1+ t - 1)
经分析知, 应使用% 补充说明&的方法; 由于分母
为 t 2, 故当 t 0+ 时, 按泰勒公式应取
从而, 和差运算中的无穷小等价代换问题得到 了很好的解决。
参考文献:
[ 1] 郭大钧, 陈玉妹, 裘卓明. 数学分析[ M ] . 济南: 山东科学技术 出 版社, 1982.
[ 2] 陈文灯. 高等数学复习指导[ M ] . 北京: 清华大学出版社, 2003. [ 3] 同济大学应用数学系. 高等数学( 第五版上册) [ M ] . 北京: 高 等
1+
2x 5x ) -
4
5∃5-
1
=
lim 2x x 0 1-
5 ( 1+ 5x ) 4
5
( 1+
5x ) 4
=
2 lim
x0
5
( 1+
5x ) 4+
2x∃
4 5
(
1+
5x ) -
-
4 5
(
1+
5x ) -
1
5 ∃5
1
5∃5
=
lim
x0
2( 1+
5x ) + -4
8x=
-
1 2
解 (: 用等价无穷小代换( 分析知, 应使用% 补充
1+ 2t - 1~
t-
1 2
t2,
1+ t - 1~
1 2
t-
1 8
t2
原式=
tlim
t 0+
1 2
t 2-
2(
1 2
t
-
t2
1 8
t2) =
-
1 4
.
以下再举一例, 以说明该方法简单易行。
例4
求极限 lim x0
x2 5 1+ 5x - 1-
x
解 ∋: 用洛必达法则直接求
原式=
lim
x0
1 5
(
LI Sheng- zheng1, WANG Mao- qiang2, FANG Yi- xian1
( 1. School of Mathematics and Physics, Shandong Institute of Light Industry , Jinan 250353, China ; 2. NO. 2 M iddle School of Yantai, Yantai 264000, China)
说明&的方法) , 由于分子为 x 2, 故按泰勒公式应有
( 下转第 102 页)
1 02
山东轻工业学 院学报
第 22 卷
( 上接第 72 页)
以下等价无穷小 5 1+ 5x - 1~
1 5
∃5x
+
1 2!
∃
1 5
(
1 5
-
1) ∃( 5x) 2= x- 2x2( x 0 时)
故
原式=
lim
x0
-
设 、 是 x x 0 时的无穷小量, 且 、 在点x 0
的某邻域内有直到 n 阶的导数, 如果 lim = l , 则 xx 0
当 l = - 1( 或 l = 1) 时, 可由泰勒公式, 适当提高 、
的等价无穷小中的阶数, 将 + ( 或 - ) 中的 、 分别代换。
以下以极限
lim
x0
tanx - sinx x3
可以分别作等价无穷小代换的条件讨论如下: 定理: 设 , 1, , 1 是自变量的同一变化过程
中( x x 0 或 x ! ) 的无穷小量, 且 ~ 1, ~ 1,
如果 lim = l ( l 为有限数) , 那么:
( 1) 若 l # - 1 若, 则 + ~ 1+ 1 ( 2) 若 l # 1, 则 - ~ 1- 1