探求和差运算中无穷小的等价代换方法_李胜正

证明: ( 1) 由于 lim
1+ +
1+ 1= lim
1+
1
= lim
1 + 1∃ 1+
=
1+ 1+
l l
=
1
( l # - 1) 由等价
无穷小定义立得: + ~ 1+ 1 同理可证( 2) 。
( l # - 1)
例1
lim
x0
arcsin2x sin3x + tan2x
解: 由 定 理 ( 1) 知, 分 母 可 分 别 代 换, 则 原 式
LI Sheng- zheng1, WANG Mao- qiang2, FANG Yi- xian1
( 1. School of Mathematics and Physics, Shandong Institute of Light Industry , Jinan 250353, China ; 2. NO. 2 M iddle School of Yantai, Yantai 264000, China)
1+ 2t - 1~
t-
1 2
t2,
1+ t - 1~
1 2
t-
1 8
t2
原式=
tlim
t 0+
1 2
t 2-
2(
1 2
t
-
t2
1 8
t2) =
-
1 4
.
以下再举一例, 以说明该方法简单易行。
例4
求极限 lim x0
x2 5 1+ 5x - 1-
x
解 ∋: 用洛必达法则直接求
原式=
lim
x0
1 5
(
x3
sin x
x+ = lim
x0
1 3
x
3-
(x -
x3 6
)
x3
=
lim
x0
(
1 3
+
1 6
x3
)x3 =
1 2
.
实质: 适当提高各个等价无穷小中的阶数, 可
将整个分子( 无穷小量) 代换成阶数较高( 相对 x ) 的
等价无穷小量。
注意: 若 x
!
, 可利用倒代换, 令 t =
1 x
转化为
无穷小量 ( t ) , ( t ) 在 t 0 时应用之( 见下例 3) 。
可以分别作等价无穷小代换的条件讨论如下: 定理: 设 , 1, , 1 是自变量的同一变化过程
中( x x 0 或 x ! ) 的无穷小量, 且 ~ 1, ~ 1,
如果 lim = l ( l 为有限数) , 那么:
( 1) 若 l # - 1 若, 则 + ~ 1+ 1 ( 2) 若 l # 1, 则 - ~ 1- 1
x2 2x
2=
-
1 2
.
两相比较可知, 解法 (要比解法 ∋ 简单的多。
最后, 由以上各题我们注意到: 若各部分无穷小
所取等价无穷小的阶数较高时, 其表达式繁难程度
也随之增大, 但其实际应用计算量并不大。
2 结束语
通过以上分析探讨, 在求极限时, 欲施行无穷小 等价代换, 可注意以下几点:
( 1) 可直接对分子或分母整体进行等价代换, 亦 可对分子、分母中的无穷小因式等价代换( 引理) 。
式适当提高等价无穷小的阶数进行代换, 从而使某些极限运算大大简化。
关键词: 和差运算; 等价无穷小; 等价无穷小代换; 泰勒公式
中图分类号: O171
文献标识码: A
ห้องสมุดไป่ตู้
Exploring the method of equivalent substitution for infinite small in calculation of sum and difference
说明&的方法) , 由于分子为 x 2, 故按泰勒公式应有
( 下转第 102 页)
1 02
山东轻工业学 院学报
第 22 卷
( 上接第 72 页)
以下等价无穷小 5 1+ 5x - 1~
1 5
∃5x
+
1 2!
∃
1 5
(
1 5
-
1) ∃( 5x) 2= x- 2x2( x 0 时)
故
原式=
lim
x0
-
收稿日期: 2008- 01- 12 作者简介: 李胜正( 1965- ) , 男, 山东省临朐县人, 学士学位, 山东轻工业学院副教授, 从事基础数学方面的研究.
72
山东轻工业学 院学报
第 22 卷
例如
lim
x0
tanx x3
sinx
=
lim
x0
x
x3
x
=
0(
∀
)
错误的。
就是
为此, 我们对 + ( 或 - ) 中的无穷小 、
0 引言
等价无穷小代换是求函数极限的常用方法, 若 运用得当可化繁为简、化难为易, 不失为一种好的求 极限方法。但在用等价无穷小代换时, 常常受到一 些条件的限制和约束, 其代换的一般原则是如下的 常用定理:
引理: 设 , 1, , 1 是自变量的同一变化过程 中( x x 0 或 x ! ) 的无穷小量, 且
教育出版社, 2002.
设 、 是 x x 0 时的无穷小量, 且 、 在点x 0
的某邻域内有直到 n 阶的导数, 如果 lim = l , 则 xx 0
当 l = - 1( 或 l = 1) 时, 可由泰勒公式, 适当提高 、
的等价无穷小中的阶数, 将 + ( 或 - ) 中的 、 分别代换。
以下以极限
lim
x0
tanx - sinx x3
从而, 和差运算中的无穷小等价代换问题得到 了很好的解决。
参考文献:
[ 1] 郭大钧, 陈玉妹, 裘卓明. 数学分析[ M ] . 济南: 山东科学技术 出 版社, 1982.
[ 2] 陈文灯. 高等数学复习指导[ M ] . 北京: 清华大学出版社, 2003. [ 3] 同济大学应用数学系. 高等数学( 第五版上册) [ M ] . 北京: 高 等
李胜正1, 王茂强2, 房毅宪1
( 1. 山东轻工业学院 数理学院, 山东 济南 250353; 2. 山东省烟台市 二中, 山东 烟台 264000)
摘要: 等价无穷小代换求极限的一般原则是无穷小因子进行等 价代换, 对于和 差运算 中的无 穷小一 般不能 直接代
换。本文讨论了在一定条件下, 和差运算中的无穷小可直接进 行等价代 换, 否 则和差 运算中 的无穷 小可按 泰勒公
(2) 当分子、分母中含有和差运算, 且和差运算
中的各部分无穷小满足一定条件, 则各部分无穷小 也可直接进行等价代换( 定理) 。
( 3) 当定理的条件不满足时, 和差运算中的各部 分无穷小可按泰勒公式展开, 适当选取等价无穷小 的阶数, 则各部 分无穷 小也 可直接 分别 等价 代换 ( % 补充说明&) , 并且注意到分别代换后的结果其实 质都是把整个和差运算的无穷小量整体代换成阶数 较高的等价无穷小量。
Abstract: The common principle of finding limit with equivalent infinite small substitution is equivalent substi tution with infinite small factors, inf inite small can t commonly be substituted in sum/ difference operat ion. In this paper, in a certain condit ion, infinite small can directly be substituted in sum/ difference operation , oth erwise infinite small in sum/ difference operation can be subst ituted by increasing orders of equivalent infinite small according to Taylor formula. Consequent ly, certain limit operations are greatly predigested. Key words: sum/ difference operation; equivalent inf inite small; the substitution of equivalent infinite small; Taylor formula
第 22 卷 第 2 期
2008 年
6月
山东轻工业学院学报 JOU RNAL OF SHANDONG INSTITUTE OF LIGHT INDUSTRY
文章编号: 1004- 4280( 2008) 02- 0071- 02
Vol. 22 No. 2 June. 2008
探求和差运算中无穷小的等价代换方法
1+
2x 5x ) -
4
5∃5-
1
=
lim 2x x 0 1-
5 ( 1+ 5x ) 4
5
( 1+
5x ) 4
=
2 lim
x0
5
( 1+
5x ) 4+
2x∃
4 5
(
1+
5x ) -
-
4 5
(
1+
5x ) -
1
5 ∃5
1
5∃5
=
lim
x0
2( 1+
5x ) + -4
8x=
-
1 2
解 (: 用等价无穷小代换( 分析知, 应使用% 补充
( 1) ~ 1, ~ 1
( 2) lim 1 = A ( 或 ! ) 则
1
lim = lim 1= A ( 或 ! ) .
1
由此可以看出, 无穷小的等价代换是对分子或 分母的整体代换, 或者对分子、分母中的无穷小因式 单独进行代换。
1 和差运算中的无穷小等价代换定理
一般教科书中都特别强调: 对分子、分母中和差 运算的各部分无穷小不能分别作代换。
为例,
说明该方法的
应用。
例2
求极限
lim
x0
tanx x3
s
inx
解: 分析: 前述已知, 此极限不能使用上述定理,
故可考虑使用% 补充说明&的方法。
由于分母为 x 3, 故各项无穷小按泰勒公式在 x = 0
点展开后, 应取 tanx ~
x+
x3 3
sinx ~
x-
x3 3!
(x
0)
则
lim
x0
tanx
3
例 3 求极限 lim x 2 ( x + 2- 2 x + 1+ x ) x +!
解: 利用倒代换: 令 x =
1 t
,
则
原式= lim ( t 0+
1+ 2t - 1) - 2( t2
1+ t - 1)
经分析知, 应使用% 补充说明&的方法; 由于分母
为 t 2, 故当 t 0+ 时, 按泰勒公式应取
=
lim
x0
2x 3x + 2x
=
2 5
.
容易看出,
该例若用洛必达法则
求极限, 对分母求导时是相当繁琐的。
由定理( 2) 可知, ( ∀ ) 式中的代换是错误的。实 际上它将分子这个无穷小量整体代换为零, 这不是
等价代换, 因为任何非零的无穷小都不可能与零等
价。
补充说明: 当 l = - 1( 或 l = 1) 时, + ( 或 ) 中的无穷小 、 可由下列方法分别代换: