直线与直线方程专题复习

直线与直线方程专题复习

一、知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211

212x x x x y y k ≠--=

3. 直线方程的五种形式 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．

9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

二、典例精析

题型一：倾斜角与斜率

【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②倾斜角为0

30的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等

A. 0个

B.1个

C.2个

D.3个

【练习】如果0

【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )

A ．k sin α>0

B ．k cos α>0

C ．k sin α≤0

D ．k cos α≤0 【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．

A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 3＜k 1＜k 2

C ．k 3＜k 2＜k 1

D ．k 1＜k 3＜k 2

【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，

A ，()1,4

B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，

P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。

【例4】若直线l 的方程为2tan +=αx y ，则（ ） A.α一定是直线l 的倾斜角 B.α一定不是直线l 的倾斜角 C.α—π一定是直线l 的倾斜角 D.α不一定是直线l 的倾斜角

【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（ ） A.1=+b a B.1=b a — C.0=+b a D.0=b a —

题型二：斜率的应用

【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.

【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 1

1+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求x

y

的最大值为_______，最小

值为_________________

【练习】1、若4

5

ln ,23ln ,12ln =

==

c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<

2、求函数1

21

2+=x x y —的值域.

题型三：两直线位置关系的判断

已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为21,k k ，若两直线平行或重合则有21__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .

【例7】已知直线1l 的倾斜角为

60，直线2l 经过点()3,1，A ，()

322—，

—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.

【练习】1、已知点()3,2P ，()5,4Q ,()a A ，—1

，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？

2、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若

21m m ⊥，求a 的值.

【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）

.A 互相平行 .B 互相垂直 .C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称

【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.

题型四：求直线方程 （一）点斜式

【例9】根据条件写出下列直线的方程： （1）经过点A(1,2),斜率为2；

（2）经过点B （—1,4），倾斜角为

135； （3）经过点C （4,2），倾斜角为

90； （4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行. 已知直线过一点，可设点斜式

【练习】已知ABC ∆中，()()()0,26,241

—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.

（二）斜截式

【例10】根据条件写出下列直线的方程： （1）斜率为2，在y 轴上的截距是5； （2）倾斜角为

150，在y 轴的截距为—2； （3）倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0.