《导数各种题型及解法总结》---学生
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数常考题型归纳总结
导数常考题型归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。
在高中数学中，导数是一个常考的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，本文将对导数常考题型进行归纳总结，以便同学们能够更好地应对考试。
一、常数函数求导常数函数的导数始终为零。
这个结论是很容易推导出来的，因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为零，所以导数为零。
二、幂函数求导对于幂函数（如x的n次方），我们可以利用求导的定义直接推导求导公式。
设y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = n*x^(n-1)。
例如，对于y=x^2，求导后得到dy/dx=2x。
对于y=x^3，求导后得到dy/dx=3x^2。
这个公式是求解幂函数导数的基础公式，需要同学们熟练掌握。
三、指数函数求导对于指数函数（如e^x），其导数仍然是指数函数本身。
即dy/dx = e^x。
这个结论在微积分中是非常重要的，往往与幂函数求导相结合，可以解决很多复杂问题。
四、对数函数求导对于对数函数（如ln(x)），其导数可以通过指数函数的导数求出。
根据求导的链式法则，我们可以得到对数函数的导数公式：dy/dx = 1/x。
这个公式对于解决对数函数的导数问题非常有用。
五、三角函数求导对于三角函数（如sin(x)和cos(x)），它们的导数也具有一定的规律性。
我们可以根据求导的定义和三角函数的性质，得到以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为sec^2(x)；cot(x)的导数为-csc^2(x)。
这些公式可以根据求导的定义进行推导，同学们需要牢记。
六、复合函数求导复合函数指的是由多个函数复合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以利用链式法则。
链式法则的公式为：如果y=f(u)，u=g(x)，则有dy/dx = dy/du * du/dx。
通过链式法则，我们可以将复合函数的导数求解转化为简单函数的导数求解。
导数大题20种主要题型总结及解题方法
导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。
下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。
1.求函数在某点的导数。
对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。
导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。
基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。
2.求函数的导数表达式。
已知函数表达式，要求其导数表达式。
可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。
3.求高阶导数。
如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。
可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。
4.求导数的导函数。
导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。
要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。
5.利用导数计算函数极值。
当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。
可以利用导数求函数的极值。
6.利用导数判定函数的增减性。
根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。
如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。
7.利用导数求函数的最大最小值。
当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。
要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。
当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。
8.利用导数求函数的拐点。
如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。
可以使用导数的二阶导数判定。
9.利用导数求函数的弧长。
曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。
通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。
10.利用导数求函数的曲率。
曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。
曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。
11.利用导数求函数的速度和加速度。
导数题型总结
导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。
题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。
题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。
求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
导数函数几何向量题型归纳总结
导数函数几何向量题型归纳总结一、导数题型。
1. 求函数的导数。
题目：求函数y = x^3+2x 1的导数。
解析：根据求导公式(x^n)^′=nx^n 1，对于y = x^3+2x 1，y^′=(x^3)^′+(2x)^′-(1)^′。
(x^3)^′ = 3x^2；(2x)^′=2；(1)^′ = 0。
所以y^′=3x^2+2。
2. 导数的几何意义（求切线方程）题目：已知函数y = x^2，求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
解析：首先求函数y = x^2的导数，根据求导公式(x^n)^′=nx^n 1，y^′ = 2x。
曲线在点(1,1)处的切线斜率k就是函数在x = 1处的导数，把x = 1代入y^′=2x，得k = 2×1=2。
由点斜式方程y y_0=k(x x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y 1=2(x 1)，即y = 2x 1。
3. 利用导数求函数的单调性。
题目：求函数y = x^3-3x^2+2的单调区间。
解析：先求函数的导数y^′=3x^2-6x = 3x(x 2)。
令y^′>0，则3x(x 2)>0，解这个不等式：当x>0且x 2>0，即x>2时，不等式成立；当x<0且x 2<0，即x<0时，不等式成立。
令y^′<0，则3x(x 2)<0，解这个不等式：当x>0且x 2<0，即0时，不等式成立。
所以函数的单调递增区间是(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间是(0,2)。
二、函数题型。
1. 函数的定义域。
题目：求函数y=(1)/(√(x 1))的定义域。
解析：要使函数有意义，则分母不为0且根号下的数大于0。
对于y=(1)/(√(x 1))，x-1>0，解得x>1。
所以函数的定义域为(1,+∞)。
2. 函数的值域。
题目：求函数y = x^2+2x 3，x∈[-2,2]的值域。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结我折腾了好久导数常见题型与解题方法这件事，总算找到点门道。
导数这东西啊，刚接触的时候简直一头雾水。
就说求导公式吧，那时候我就死记硬背，结果一到做题就懵。
像简单的求函数的导数，比如说y = x²，我一开始还能根据公式(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹得出y' = 2x，可稍微复杂点的就不行了。
后来我碰到那种复合函数求导的题，就彻底傻了。
有个题是y = (2x + 1)²，我还按照原来的方法做，根本做不对。
后来我才知道复合函数求导要一层一层来，就像剥洋葱一样。
对于这个题，我们可以设u = 2x+1，那y = u²。
先对y关于u求导得y' = 2u，再对u关于x求导得u' = 2，最后根据复合函数求导公式(y(u(x)))' = y'(u) u'(x)，就得到y' = 2(2x + 1) 2 = 4(2x + 1)。
还有那种利用导数求函数单调性的题。
我一开始想当然的认为只要导数大于零就是单调递增，小于零就是单调递减，可是忽略了定义域。
有次考试给了一个分式函数，在求单调性的时候，我没在意分母不能为零这个定义域的限制，结果得出了完全错误的答案。
后来我学乖了，先求定义域，然后再求导判断导数在定义域内的正负情况。
比如说y = 1 / (x - 1)，先确定定义域是x≠1，再求导y' = - 1 / (x - 1)²，在定义域内y'一直小于零，所以函数在x≠1的时候单调递减。
再就是利用导数求函数极值和最值。
我试过很多方法，有时候分不清楚极大值和极小值。
后来我就发现如果函数在某点的导数由正变为负，那这个点就是极大值点，如果导数由负变为正，就是极小值点。
求最值的话，就把极值点的值和区间端点的值都求出来比较一下。
比如说y = x³- 3x²在区间[ - 1,3]上的最值，先求导y' = 3x²- 6x = 3x(x - 2)，得到极值点x = 0和x = 2，然后把y在- 1,0,2,3这些点的值都算出来，比较得出最大值和最小值。
导数大题求参归类(学生版)
导数大题求参归类目录题型01 恒成立求参：常规型题型02 恒成立求参：三角函数型题型03恒成立求参：双变量型题型04 恒成立求参：整数型题型05恒成立求参：三角函数型整数题型06“能”成立求参：常规型题型07“能”成立求参：双变量型题型08“能”成立求参：正余弦型题型09 零点型求参：常规型题型10 零点型求参：双零点型题型11 零点型求参：多零点综合型题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构题型13 虚设零点型求参高考练场热点题型归纳题型01恒成立求参：常规型【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法：(1)分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；(2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.1(2024上·北京·高三阶段练习)设a>0，函数f(x)=x a ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤x，求a的取值范围；(3)若f (x)≤1，求a．2(2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数f x =2xe x+a ln x+1.(1)当a=0时，求f x 的最大值；(2)若f x ≤0在x∈0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.【变式训练】1(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数f x =x2-ax e x．(1)若f x 在-2,-1上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若f x ≥sin x对x∈-∞,0恒成立，求实数a的取值范围．2(2024上·山西·高三期末)已知函数f x =m x-12-2x+2ln x，m≥2.(1)求证：函数f x 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间a,b的长度b-a的取值范围；(2)当x≥1时，f x ≤2xe x-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.3(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=2x2-a ln x-1，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x+1)>(x+1)2+1x+1-1e x恒成立，求实数a的取值范围．题型02恒成立求参：三角函数型【解题攻略】三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sin x x≥0.1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin xx，g x =a cos x．(1)求证：x∈0,π2时，f x <1；(2)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x >g x 恒成立，求实数a的取值范围；(3)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x2>g x 恒成立，求实数a的取值范围．2(2023上·全国·高三期末)已知函数f (x )=e x sin x -2x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2)求f (x )在区间0,π2上的最大值；(3)设实数a 使得f (x )+x >ae x 对x ∈R 恒成立，求a 的最大整数值.【变式训练】1(2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习)已知函数f x =e ax -2ax a ∈R ,a ≠0 .(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≥sin x -cos x +2-2ax 对任意x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.2(2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习)已知函数f x =e x-sin x-cos x,f x 为其导函数．(1)求f x 在-π,+∞上极值点的个数；(2)若f (x)≥ax+2-2cos x a∈R对∀x∈-π,+∞恒成立，求a的值．题型03恒成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2023·四川攀枝花·统考模拟预测)已知函数f x =ae x -x a ∈R ．(1)当a =1时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =x 2-1 e x -x -f x ，当g x 有两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 时，总有tg x 2 ≥2+x 1 ex 2+x 22-3 成立，求实数t 的值．2(2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)设函数f x =e x -ax ，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )在[1,+∞)上的极值；(2)若函数f (x )有两零点x 1,x 2x 1<x 2 ，且满足x 1+λx 21+λ>1，求正实数λ的取值范围.【变式训练】1(2023·上海松江·校考模拟预测)已知函数f (x )=ax -a ln x -e xx.(1)若a =0，求函数y =f (x )的极值点；(2)若不等式f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y =f (x )有三个不同的极值点x 1、x 2、x 3，且f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)≤3e 2-e ，求实数a 的取值范围.2(2023下·山东德州·高三校考阶段练习)已知函数f x =2ln x +12(a -x )2，其中a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f x 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ,f x 2 -f x 1 的取值范围为34-ln2,158-2ln2 ，求a 的取值范围.题型04恒成立求参：整数型【解题攻略】恒成立求参的一般规律①若k ≥f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≥f (x )max ；②若k ≤f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≤f (x )min ；③若k ≥f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≥f (x )min ；④若k ≤f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≤f (x )max ；如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号1(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知f x =e x -2x +a ．(1)若f x ≥0恒成立，求实数a 的取值范同：(2)设x 表示不超过x 的最大整数，已知e x +2ln x -e +2 x +2≥0的解集为x x ≥t ，求et ．(参考数据：e ≈2.72，ln2≈0.69，ln3≈1.10)2(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =ae x-2，g x =x+1x+2ln x，e=2.71828⋯为自然对数底数．(1)证明：当x>1时，ln x<x2-12x；(2)若不等式f x >g x 对任意的x∈0,+∞恒成立，求整数a的最小值．【变式训练】1(2023·江西景德镇·统考一模)已知函数f x =sin x+sin ax，x∈0,π2.(1)若a=2，求函数g x =f x +sin x值域；(2)是否存在正整数a使得f xx>3cos x恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =5+ln x，g x =kxx+1k∈R．(1)若函数f x 的图象在点1,f1处的切线与函数y=g x 的图象相切，求k的值；(2)若k∈N∗，且x∈1,+∞时，恒有f x >g x ，求k的最大值．(参考数据：ln5≈1.61,ln6≈1.7918,ln2+1≈0.8814)题型05恒成立求参：三角函数型整数1(2020·云南昆明·统考三模)已知f(x)=e x-2x-1 2．(1)证明：f(x)>0；(2)对任意x≥1，e sin x+x2-ax-1-ln x>0，求整数a的最大值．(参考数据：sin1≈0.8,ln2≈0.7)2(2020上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =a sin x +sin2x ，a ∈R .(1)若a =2，求函数f x 在0,π 上的单调区间；(2)若a =1，不等式f x ≥bx cos x 对任意x ∈0,2π3恒成立，求满足条件的最大整数b .【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x +a cos x -2x -2，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)讨论f ′(x )在区间0,π2 内极值点的个数；(2)若x ∈-π2，0时，f (x )≥0恒成立，求整数a 的最小值．2(2023·云南保山·统考二模)设函数f x =x sin x ，x ∈R (1)求f x 在区间0,π 上的极值点个数；(2)若x 0为f x 的极值点，则f x 0 ≥λln 1+x 20 ，求整数λ的最大值.题型06“能”成立求参：常规型【解题攻略】形如f x ≥g x 的有解的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x max≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a≥φx 或a≤φx 恒成立，即a≥φx min或a≤φx max恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可.1(2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中)已知函数f x =a ln x+x，a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x∈e,e2，使f x ≤ax+1 2ln x成立，求实数a的取值范围.注：e为自然对数的底数.2(2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习)已知函数f x =a2e2x+a-2e x-12x2，y=g x 是y=f x 的导函数.(1)若a=3，求y=g x 的单调区间；(2)若存在实数x∈0,1使f x >32a-2成立，求a的取值范围.【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =x2+a ln ex．(1)讨论f x 的单调性；(2)若存在x∈1,e，使得f x -ax-a≤2，求实数a的最小值．2(2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习)已知函数f x =a ln x+1-a2x2-x a∈R.(1)若a=2，求函数f x 的单调区间；(2)若存在x0≥1，使得f x0<aa-1，求a的取值范围.题型07“能”成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)相等关系记y =f x ,x ∈a ,b 的值域为A , y =g x ,x ∈c ,d 的值域为B ,①若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊆B ；②若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊇B ；③若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，故A ∩B ≠∅；(2)不等关系(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2022·江西上饶·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=2ax -e x +2，其中a ≠0.(1)若a =12，讨论函数f (x )的单调性；(2)是否存在实数a ，对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f x 1 +f x 2 =4成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．2(2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f x =a ln x +1xx >0 ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x 1，x 2满足0<x 1<x 2，且x 1+x 2=1，f x 1 =f x 2 ，求实数a 的取值范围．【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 2-2+5a x +5ln x a ∈R ，g x =x 2-52x .(1)若曲线y =f x 在x =3和x =5处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f x 的单调区间；(3)若对任意x 1∈0,52 ，均存在x 2∈0,52，使得f x 1 <g x 2 ，求a 的取值范围．2(2023上·重庆·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ax +ln x (a ∈R ),g (x )=x 2-2x +2．(1)当a =-12时，求函数f (x )在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)若对任意的x 1∈[-1,2]，均存在x 2∈(0,+∞)，使得g x 1 <f x 2 ，求a 的取值范围．题型08“能”成立求参：正余弦型1(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)函数f (x )=a cos x -x +b (a >0,b >0).(1)求证：函数f (x )在区间0,a +b 内至少有一个零点；(2)若函数f (x )在x =-π6处取极值，且∃x ∈0,π2 ，使得f (x )<3cos x -sin x 成立，求实数b 的取值范围.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x +2-2cos x(1)求函数f (x )在-π2，π2 上的最值：(2)若存在x ∈0，π2使不等式f (x )≤ax 成立，求实数a 的取值范围【变式训练】1(2020·四川泸州·统考二模)已知函数f (x )=sin x x,g (x )=(x -1)m -2ln x .(1)求证：当x ∈(0,π]时，f (x )<1；(2)求证：当m >2时，对任意x 0∈(0,π]，存在x 1∈(0,π]和x 2∈(0,π](x 1≠x 2)使g (x 1)=g (x 2)=f (x 0)成立.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ln1+x-a sin x，a∈R．(1)若y=f x 在0,0处的切线为x-3y=0，求a的值；(2)若存在x∈1,2，使得f x ≥2a，求实数a的取值范围．题型09零点型求参：常规型【解题攻略】零点常规型求参基础：1.分类讨论思想与转化化归思想2.数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处(极值点处)3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)
《导数》知识点和各种题型归纳方法总结一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①；②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：①换元，令，则②分别求导再相乘③回代题型一、导数定义的理解1..已知的值是（）A. B. 2 C. D. －2变式1：（）A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1变式2：（）A．B．C．D．题型二：导数运算1、已知，则2、若，则3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。
2.V＝s/(t)表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
（了解）四．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。
于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。
相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数；（2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板：（1）求导数(2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论①该区间内为增函数；②该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一：（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
导数题型及解题方法归纳
导数题型及解题方法归纳一、导数概述导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
具体来说，导数表示函数在某一点的切线斜率。
导数不仅在微积分中有重要应用，而且在物理、经济等领域也有广泛的应用。
二、导数的定义1. 函数f(x)在x=a处可导的充分必要条件是：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$存在，若该极限存在，则称其为函数f(x)在x=a处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{df}{dx}(a)$。
2. 函数f(x)在区间I上可导的充分必要条件是：对于I上任意一点$x_0$，极限$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在。
3. 函数f(x)在区间I上可导，则称函数f(x)在I上为可导函数。
若函数f(x)在区间I上每个点都可导，则称函数f(x)在I上为光滑函数。
三、常见的求导法则1. 常数法则：若c为常数，则$(c)'=0$。
2. 幂法则：若$f(x)=x^n$，其中n为正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
3. 和差法则：若$f(x)=u(x)+v(x)$，则$f'(x)=u'(x)+v'(x)$。
4. 积法则：若$f(x)=u(x)v(x)$，则$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。
5. 商法则：若$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$，其中$v(x)\neq0$，则$$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$6. 复合函数求导法则：若$y=f(u), u=g(x)$，则$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}=f'(u) \cdot g'(x)$$四、高阶导数1. 函数f的一阶导数为$f'$，二阶导数为$(f')'$或$f''$。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。
2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法：结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。
基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。
例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。
解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。
当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。
根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数题型及解题方法归纳
导数题型及解题方法归纳一、导数的定义1. 导数的概念在微积分中，导数是用来描述函数变化率的量。
给定函数f(x)，其导数可以看作是函数在某一点x 处的瞬时变化率。
导数的定义可以用以下式子表示：f′(x )=lim Δx→0f (x +Δx )−f (x )Δx2. 函数可导性一个函数在某一点可导的条件是该点邻近的间断点和极限不存在，且函数曲线经过该点处的切线存在。
二、导数的求解方法1. 基本导数公式可以通过基本导数公式来求常见函数的导数。
一些常用的基本导数公式包括： - 常数函数的导数为0：(c )′=0，其中c 为常数。
- 幂函数的导数：(x n )′=nx n−1，其中n 为常数。
- 指数函数的导数：(e x )′=e x 。
- 对数函数的导数：(lnx )′=1x 。
- 三角函数的导数： - (sinx )′=cosx - (cosx )′=−sinx - (tanx )′=sec 2x - (cotx )′=−csc 2x2. 求导法则为了更方便地求导，可以使用一些求导法则。
一些常用的求导法则包括： - 和差法则：(u ±v )′=u′±v′ - 乘法法则：(uv )′=u′v +uv′ - 商法则：(u v )′=u′v−uv′v 2，其中v 不等于0。
- 复合函数求导法则：若y = f(g(x))，则dy dx =dy du ⋅du dx ，其中u = g(x)。
3. 高阶导数高阶导数表示对函数进行多次求导得到的导数。
高阶导数可以通过多次使用导数公式和求导法则求解。
4. 隐函数求导有些函数可以通过隐函数形式表示，这时可以使用隐函数求导方法来求导。
隐函数求导的关键是利用导数的定义和求导法则，将相关变量分离并进行求导。
三、导数题型及解题方法1. 常函数的导数对于常函数f(x) = c，其导数为0，即f′(x)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为(x n)′=nx n−1。
高中数学导数题型总结
高中数学导数题型总结在高中数学学习中，导数是一个重要的概念，也是考试中经常考察的一个知识点。
导数是函数在某一点的变化率，具有很多重要的应用，同时也涉及到各种不同类型的题型。
在学习导数的过程中，我们需要掌握各种导数的求法和应用技巧。
下面对高中数学中常见的导数题型进行总结。
一、基本导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c(c为常数）的导数为f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（n为常数）的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x(a为常数且a>0且a≠1）的导数为f'(x) = a^x *ln(a)。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)(a为常数且a>0且a≠1）的导数为f'(x) =1/(x * ln(a))。
5. 三角函数的导数（1）sin函数的导数为cos函数，即(d/dx)sin(x) = cos(x)。
（2）cos函数的导数为-sin函数，即(d/dx)cos(x) = -sin(x)。
6. 反三角函数的导数（1）arcsin函数的导数为1/√(1-x^2)，即(d/dx)arcsin(x) = 1/√(1-x^2)。
（2）arccos函数的导数为-1/√(1-x^2)，即(d/dx)arccos(x) = -1/√(1-x^2)。
二、常见导数题型1. 导数的四则运算根据导数的性质，可以对各种函数进行求导。
常见的导数运算包括求和、差、积、商等。
2. 复合函数的导数对于复合函数，可以利用链式法则来求导数。
链式法则是导数运算中的重要方法，可以将复杂的函数拆分为简单的函数求导。
3. 隐函数的导数当函数关系以隐式形式给出时，需要利用隐函数求导法则来求导数。
通过对隐含方程两边同时对x求导，可以求得隐函数的导数。
4. 参数方程的导数对于参数方程给出的函数关系，可以通过对参数t求导来求得函数关系的导数。
高考导数题型分析及解题方法学生版
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ ； 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围2．已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式；(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．3．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．函数的图像为14313+-=x x y ( )3．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.2．已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
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at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 《导数各种题型及解法总结》基础知识梳理1. 常见题型一、小题：1.函数的图象2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；二、大题：1. 求曲线在某点处的切线的方程；()y f x =2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间；4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域；6. 求参数的取值范围7. 证明不等式； 8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。
()y f x =0x x =0()f x '000()()()y f x x x f x '=-+(2)若可导函数在处取得极值，则。
反之，不成立。
()y f x =0x x =0()0f x '=(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。
()f x ()f x '0>0<（）()f x (4)函数在区间I 上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.()f x x I ∀∈()f x '0≥(0)≤()f x '(5)函数（非常量函数）在区间I 上不单调等价于在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()f x ()f x 在区间I 上有实根且为非二重根。
（若为二次函数且I=R ，则有）。
()0f x '=()f x '0∆>(6) 在区间I 上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或()f x ()f x ()f x '0≥在I 上恒成立()f x '0≤(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则x I "Î()f x 0>min ()f x 0>x I ∀∈()f x 0<max ()f x 0<(8)若，使得，则；若，使得，则.0x I ∃∈0()f x 0>max ()f x 0>0x I ∃∈0()f x 0<min ()f x 0<(9)设与的定义域的交集为D ，若 D 恒成立，则有()f x ()g x x ∀∈()()f x g x >.[]min ()()0f x g x ->(10)若对、 ，恒成立，则.11x I ∀∈22x I ∈12()()f x g x >min max ()()f x g x >若对，，使得,则.11x I ∀∈22x I ∃∈12()()f x g x >min min ()()f x g x >若对，，使得，则.11x I ∀∈22x I ∃∈12()()f x g x <max max ()()f x g x <（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B ，()f x 1I ()g x 2I 若对,，使得=成立，则。
11x I ∀∈22x I ∃∈1()f x 2()g x A B ⊆(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.()0f x '=12x x 、(13)证题中常用的不等式:① ② ③ ln 1(0)x x x ≤->ln +1(1)x x x ≤>-（）1x e x≥+④ ⑤⑥ 1xex -≥-ln 1(1)12x x x x -<>+22ln 11(0)22x x x x <->3. 解题方法规律总结1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。
要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。
2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；0)('=x f 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D 上的导数为，在区间D 上的导数为，若在区间D 上，()y f x =()f x '()f x '()g x 恒成立，则称函数在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，()0g x <()y f x =4323()1262x mx x f x =--（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；()y f x =[]0,3（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.2m ≤m ()f x (),a b b a -例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a 的取值范围.],2,1[++∈a a x ()f x a '≤（二次函数区间最值的例子）点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型)()(x g x f >0)()()(>-=⇔x g x f x h 例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，32()f x x ax =+(1,)P b 3-326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求的值域；,a b [1,4]x ∈-()f x （Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围。
[1,4]x ∈()()f x g x ≤二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)(0)(''≤≥x f x f 或解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；例4：已知，函数．R a ∈x a x a x x f )14(21121)(23++++=（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；)()(x f x g '=)(x f （Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．)(x f ),(∞+-∞a 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求的单调区间； （II ）若在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想()f x ()f x 三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数，，且在区间上为增函数．232)1(31)(x k x x f +-=kx x g -=31)()(x f ),2(+∞（1）求实数的取值范围；k （2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．)(x f )(x g k根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数321()22f x ax x x c =+-+（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；（2）若21()2g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。
题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数0x 例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为32()f x ax bx cx =++0x '()0f x >x ，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取(1,3)()f x (1,)P m -()y f x =m 值范围．题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数()f x 解法：根分布或判别式法例8、例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令23213)(x x a x f +=)0,(≠∈a R a )(x f ＝x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．()g x 14ei n g其它例题1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在R 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 区间上的最大值是5，最小值是－11.[]2,1-（Ⅰ）求函数的解析式；()f x （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.]1,1[-∈t 0(≤+'tx x f ）x 解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令=0,得 '()f x []1240,2,13x x ==∉-因为，所以可得下表：0>a x [)2,0-0(]0,1'()f x +0-()f x ↗极大↘因此必为最大值,∴因此， ，)0(f 50=）（f 5=b (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>- 即，∴，∴11516)2(-=+-=-a f 1=a .52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵，∴等价于，x x x f 43)(2-='0(≤+'tx x f ）0432≤+-tx x x 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，x x xt t g 43)(2-+=0)(g ≤t ]1,1[-∈t x 为此只需，即，⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x 解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].10≤≤x x 2、（根分布与线性规划例子）已知函数322()3f x x ax bx c =+++(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求()f x 1=x (0,1)30x y +=的解析式；)(x f (Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈(2,1)M b a -+域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,∴2()22f x x ax b '=++()f x 1=x 220a b ++=∵∴ 又∵ 在处的切线与直线平行,(0)1f =1c =()f x (0,1)30x y +=∴ 故∴ ………. 7分(0)3f b '==-12a =3221()3132f x x x x =+-+ (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,2()22f x x ax b '=++()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈∴ 即 令, 则(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩(,)M x y 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ ∴ 故点所在平面区域S 为如图△ABC, 12a y b x =-⎧⎨=+⎩20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>Mng sa 易得, , , , , (2,0)A -(2,1)B --(2,2)C -(0,1)D -3(0,2E -2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, ∴ 所求一条直线L 的方程为:13DEC ABED S S ∆=四边形0x =另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为,它与ykx =AC,BC 分别交于F 、G, 则 , 0k >1S =四边形D E G F由 得点F 的横坐标为: 220y kx y x =⎧⎨++=⎩221F x k =-+由 得点G 的横坐标为:460y kx y x =⎧⎨++=⎩641G x k =-+∴ 即 OGE OFD S S S ∆∆=-四边形D E G F 61311222214121k k =⨯⨯-⨯+⨯=+216250k k +-=解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:12k =58k =-12y x =综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分0x =12y x =(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,2()22f x x ax b '=++()f x (0,1)x ∈(1,2)x ∈∴ 即 令, 则(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩(,)M x y 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ ∴ 故点所在平面区域S 为如图△ABC, 12a y b x =-⎧⎨=+⎩20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩M 易得, , , , , (2,0)A -(2,1)B --(2,2)C -(0,1)D -3(0,2E -2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, ∴所求一条直线L 的方程为:13DEC ABED S S ∆=四边形0x =另一种情况由于直线BO 方程为: , 设直线BO 与AC 交于H ,12y x =由 得直线L 与AC 交点为: 12220y xy x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩1(1,2H --∵ , ,2ABC S ∆=1112222DECS ∆=⨯⨯=11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=A B ∴ 所求直线方程为: 或 0x =12y x =3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。