基于复调制的ZoomFFT算法在局部频谱细化中的研究与实现

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成分不可分辨。图 2（b）为采用本文提出的频谱细化方法，
细化 100 倍，中心频率为 500Hz，中心频率附近的频谱我们能
够清晰可见，很明显各频率成分与理论完全一致，其幅值误
差也小于 1%。
幅值谱（未细化） 幅值谱（细化后）
图 2(a) 未细化全频谱图
图 2(b) 细化后全频谱图
从以上可以看出 ZoomFFT 算法得到的信号的频率值比直 接 FFT 得到的信号的频率值更加接近真实信号，不但频谱分 辨率高、误差小，而且算法的稳定性好，能够有效的提高信 号检测的准确性。在实际的应用中，我们成功地将该算法运 用到某基于 DSP 的频谱分析仪项目中，效果良好。
倍数 D=100。我们分别用接 FFT 和 ZoomFFT 法对其进行谱分析，
由此还可以计算出直接 FFT 的频谱分辨率为 2Hz，ZoomFFT 的
分辨率为 0.02Hz。图 2（a）为未细化的频谱，由此能够看到，
几个谱峰完全叠加在一起形成了一个谱峰，由于各频率成分
的间隔小于 2 个频率分辨率，幅值也有很大的误差，各频率
x(n)
=
x0 (n)
e−
j 2π nfe /
fs
=
x0 (n)
cos
2π nfe fs
-
jx0 (n) sin
2π nfe fs
= x0 (n) cos 2π nL0 -j x0 (n) sin 2π nL0
N
N
（4）
式中采样频率为 fs = N Δf ，谱线间隔为 Δf ，频率的中心移 位 L0 = fe / Δf 是在全局频谱显示中所对应中心频率 fe 的谱线 序号。
Y (k) = X (k)H (k) = X 0 (k + L0 ) （k=0,1,2,… N −1 ,…N-1） 2
（6）
式中 H (k ) 为理想低通滤波器的频率响应。滤波器的输出为
∑ ∑ y(n)
=
1 N
N −1
Y (k )WN−nk
k =0
=
1 N
N −1
X (k )H (k )WN−nk
k =0
/ D ，分辨率提
高了 D 倍。利用 DFT 公式，我们可以得到 g(m) 的频谱函数为：
∑ G(k) =
N −1
g (m)WNmk
m=0
⎧1
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
D 1
⎪⎩ D
X 0 (k X 0 (k
+ +
L0
),
(k
=
0,1,
2,...
N 2
L0
−
N ), (k
=
N 2
,
N 2
−1) + 1, ...N
【参考文献】 [1] 胡广书.数字信号处理[M].北京:清华大学出版社,2004. [2] E.A.Hoyer,R.F.Stork, ” The Zoom FFT Using Complex
Modulation”,IEEE Proc. 1977,ICASSP,pp.78-81. [3] P.C.Y.Yip,”Some Asppects of the zoom Transform”,IEEE Trans. On
mN / 2
DN 点 FFT
262144
0
0
1114112
N点 ZoomFFT
2048
131072
512000
5120
（四）算法在多频率信号条件下的频率分辨率在
Matlab 下的仿真和验证
建立如下信号模型：
x(t)=cos(2 π 499.76t)+cos(2 π 499.9t)+cos(2 π 500t) +cos(2 π 500.1t)+cos(2 π 500.24t)+5cos(2 π 500.3t) 其中，采样频率为 fs =2048Hz；采样点数 N=1024；细化
半阶数为 M，只考虑三角运算和复乘法运算，则对 DN 点的采
样信号 x(n)直接进行 FFT 变换与 N 点 ZoomFFT 算法的运算量 见表。考虑到一个三角函数的运算量至少是复乘法的十倍以 上，则 ZoomFFT 算法的计算量原小于ＤＮ点直接ＦＦＴ方法， 由此可见) = 1 N
N −1 2
N −1
X 0 (P + L0 )W − pm + X 0 (P − N + L0 )W − pm
p=0
p= N
2
（8）
4.复 FFT 处理 对重采样后的 N 点复序列进行复 FFT 处理，得到 N 条谱
线，其频率分辨率， Δf ′ =
f
′
s
/N
=
fs
/
ND = Δf
傅里叶变换为
∑ X 0 (k ) = N−1 x0 (n)WNnk (k = 0,1, 2,...N −1) ， n=0
（1）
式中
WN = e− j 2π / N
（2）
假定要求在频带（ f1 ～ f2 ）范围内进行频率细化分析，
则欲观测的频带中心频率为
fe =
f1 + f2 2
（3）
对 x0 (n) 以 e− j 2π nfe / fs 进行复调制，得到移频信号为
为了解决只对一个窄频带的范围进行细致观测的问题， 提出了频谱细化的概念，其基本思路是对信号频谱中的某一 频段进行局部放大，也即在某一频率附近局部增加谱线密度， 实现可选择的频段分析。近些年以来频谱细化技术发展非常 迅速，常见的方法有基于复调制的 ZoomFFT 法、Chirp-Z 变换、 Yip-ZOOM 变换等一些方法，但是从分析精度、计算效率、分 辨率、灵活性等方面来看，基于复调制的 Zoom-FFT 方法[6] 是一种比较好的方法，可以大大提高细化倍数、运算速度， 因而在很多领域得到了广发应用，尤其在频谱分析仪系统中 很容易得到实现与应用。
【收稿日期】2010-03-19 【作者简介】江波（1982－），男，湖北赤壁人，电子科技大学光电信息学院硕士研究生，研究方向为数字信号处理、DSP 技术及其应用；唐普英，男，广西人，电子科技大学光电信息学院副教授，研究方向为计算智能、智能信号处理及其在通信中 的应用、数据库应用等。
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地方。为了得到 X (k) 零点附近的部分细化频谱，可用选抽（也 就是重采样）的方法把采样率降低到 fs / D ，D 被称为选抽比
为细化分析频带，fe 为需要细化的频带中心频率，D 为细化倍 数，N 为 FFT 分析的点数，具体算法过程可归纳为如下五个步
骤：
1.复调制移频
所谓复调制移频就是将频域坐标向左右移动，使得被观
察频段的起点为频域坐标的零频位置。模拟信号 x(t) 经抗混 滤波、A/D 转换以后，得到采样后离散信号 x0 (n) ，其离散
表 1 直接 FFT 和 ZOOMFFT 算法的计算量比较
算法
三角函数计 算量
移频计算量（复乘 法）
滤波计算量（复乘 法）
FFT 计算量（复乘法）
DN 点 FFT
2DN
0
0
(m + m')DN / 2
N点
ZoomFFT 示例
2N
DN
NM
m'
设 N=1024，D=128，M=500，则 m=10,
=7
的计算频谱，且分辨率不高；但是采用频谱细化技术就能对频域信号中感兴趣的局部频段进行频谱分析，就能得到很高的分辨
率。常见的方法有基于复调制的 ZoomFFT 法、Chirp-Z 变换、Yip-ZOOM 变换等，但是从分析精度、计算效率、分辨率、灵
活性等方面来看，基于复调制的 ZoomFFT 方法是一种行之有效的方法，因而也得到了比较广泛的应用。在介绍复调制 ZoomFFT
完全能反映出原数字序列在某一频率范围内频谱特性。与相
同点数的直接 FFT 相比，这一细化方法所获得的分辨率要高 D
倍。因为直接进行 FFT 分析时，频率分辨率 Δf = fs / N ，重采 样后的分辨率为 Δf = fs / DN ，因此 D 有时又被称为细化倍数。
（三）直接 FFT 和 ZoomFFT 算法计算量的比较 设 FFT 计算点数 N= 2m ，细化倍数 D= 2m' ，低通滤波器的
−1)
5.频率调整 将上述谱线移至实际频率处即得到细化后的频段，则有
X0
(k)
=
X
(k
−
L0
)
=
⎧⎪⎪D ⎨ ⎪⎪⎩ D
*G(k *G(k
− −
L0 ), (k = L0 L0 + N ), (k
, L0,...L0
+
N 2
−1)
=
L0
−
N 2
,...L0
−1)
由以上五个步骤分析可知，经过分析所得的最终结果，
2010 年第 7 期 （总第 131 期）
大众科技 DA ZHONG KE JI
No.7，2010 (Cumulatively No.131)
基于复调制的 ZoomFFT 算法在局部频谱细化中 的研究与实现
江 波 唐普英
(电子科技大学光电信息学院，四川 成都 610054)
【摘 要】一种基于数字信号处理（DSP）技术的频谱分析系统，如果采用传统的快速傅里叶（FFT）算法则只能比较粗略
根据 DFT 的移频性质，x(n) 的离散频谱 X (k ) 同 x0(n) 的离 散频谱 X0 (k) 应有关系式为： X (k) = X 0 (k + L0 ) （5）
此式表明，复调制使 x0 (n) 的频率成分 fe 移到 x(n) 的零频 点，也就是说 X 0 (k ) 中的第 L0 条谱线移到 X (k) 中零点频谱的