初二数学竞赛讲座——勾股定理

勾股定理

例1 (1)直角ABC ∆的三边的长分别是,1x x +和5，则ABC ∆的周长=_________，ABC ∆的面积=_____________.

(2)如图，已知RT ABC ∆的两直角边5,12,AC BC D ==是BC 上一点，当AD 是

A ∠的平分线时，则CD =______________.

（第2题） (例2) 例2 四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长.

练习：如图，四边形ABCD 中，//,1,2DC AB BC AB AC AD ====,则BD 的长为___________________.

例3 如图，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45,60ABC APC ∠=∠=

，求ACB ∠的度数.

练习 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A 求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC

例4 已知RT ABC ∆中，90,,45.ACB AC BC MCN ∠==∠=

(1)如图①，当M 、N 在AB 上时，求证：2

2

2

MN AM BN =+；

(2)如图②，将MCN ∠绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

例5 如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD 求证：AB ＝AC

例6 已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b ,且S EFGH ＝

3

2

，求：a b -的值

二、课后练习

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，_____，_____ ②8，_____，_____ ③9，_____，_____ ④ 10，_____，_____ ⑤11，_____，_____ ⑥12，_____，_____ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 252－242＝_____， ②52＋122＝_____，

③22158+＝_____， ④2

215-25＝_____

3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。那么S △ABC ＝_____，

CH ＝_____，MH ＝_____

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝_____

5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD

求证：AE ＝AF

5.等腰直角三角形ABC 斜边上一点P ，求证：AP 2＋BP 2＝2CP 2

A B C

D F G H

E (5)A B C E

F D

6.已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC ，ME ⊥MF

求证：EF 2＝BE 2＋CF 2

7.Rt △ABC 中，∠ABC ＝90 ，∠C ＝60°，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是_____。

(12)A

B C E F D (11)

B

A

C

M

F

E