多元函数微积分练习题
多元函数微积分测试题
第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题一、单项选择题（每题2分）1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（ ）。
A 、垂直于x 轴的平面B 、垂直于y 轴的平面C 、垂直于z 轴的平面D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（ ）。
A 、圆B 、直线C 、抛物线D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。
A 、可偏导一定连续B 、可微一定可偏导C 、连续一定可偏导D 、连续一定可微4、设32y xy x z +-=，则=∂∂∂yx z2（ ）。
A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z∂∂∂2=（ ）A ．y sin -B ．x sinC ．x cosD ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（ ）A ．取极大值B ．取极小值C ．无极值D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且y y f xy xz==∂∂),0(,2，则=),(y x f （ ）A ．y x 2B ．2xy C ．y y x +2D ．y xy +28、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与⎰⎰Ddxdy 的值不相等的是（ ）。
A 、⎰12dx xB 、⎰1dy y C 、⎰-1)1(dy y D 、⎰⎰12x dy dx9、二次积分dy y x x dx x ⎰⎰-+2402220转化为极坐标下的二次积分为（ ）A 、dr r d ⎰⎰2032cos θθπ B 、dr r d ⎰⎰222cos θθπC 、dr r d ⎰⎰2030cos θθπD 、dr r d ⎰⎰220cos θθπ10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=⎰⎰Ddxdy （ ）。
(完整版)多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
(完整版)多元函数微分学测试题及答案
第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。
(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
第八章 多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sin lim .4.)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322====-=+=+++-+-=→→x xyx x f x x x x y x y x f yx z z y x f y x x y x z ay x ψϕψϕ则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数yx sin sin 1的所有间断点是:(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。
答：（ ）2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。
答：（ ） 三、求.42lim 0xy xy ay x +-→→四、证明极限2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122=-+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f yxy x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2)(:,2222222y x y x y x y y x y D ey x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设答：（ ）三、试解下列各题：.,arctan .2.,,tan ln .12yx zx y z yzx z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设四、验证.2222222222r zr y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足第 三 节 作 业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1====∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x xyz xy 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。
微积分II(甲)多元函数积分学练习
微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分 １.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。
高等数学(下)多元函数微积分试题
x2 y2 0 x2 y2 0
,则在点（0，0）处（
）
（B）连续但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。
2
多元函数微积分
6、设平面区域 D： ( x 2) ( y 1) 1，若 I 1
2 2
( x y)
D
2
d ， I 2 ( x y)3 d 则有（
D
） （A）
I1 I 2 ； （B） I1 I 2 ；
7、设 z x ，结论正确的是（
y2
（C） I 1 I 2 ； ）
（D）不能比较。
2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z （A） （B） （C） （D） 0； 0； 0； 0。 xy yx xy yx xy yx xy yx
( xy cos x cos y)dxdy (
D
)
(D) 0 。
cos x sin ydxdy
D1
；
(B) 2
xydxdy
D1
； (C) 4
xydxdy ；
D1
19、下列命题正确的是（
）
(A) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在该点处连续； (B) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在； (C) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续； （D） 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处的二阶偏导数都存在， 则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续。 20、下列论述正确的是（ ）
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题、单项选择题1 •函数f x,y 在点X o , y o 处连续是函数在该点可微分的（B ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•2 •设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件；（C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.CA. 若 Ijm =A )则必有 Iim f (X ) y) = A 且有 Iim f (X ) y) = A;X % X r X Qy >y oy 泌B. 若在（X 0,y °）处'z 和2∙z 都存在,则在点（x °, y °）处z =f （x,y ）可微;CX Cy C.若在（x 0,y 0）处和2∙z 存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x,y ）可微; CX Cy5. 二元函数Z r f （X,y ）在点（X 0,y °）处满足关系（）.C A. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续； B. 可微=可导=连续；C. 可微二•可导，或可微=连续，但可导不一定连续；D.可导=连续，但可导不一定可微.J4科・6. 向量a =3,7-2, b = 1,2,-1 ,则 aLb = （ A ）（A ） 3 （B ）-3（C ）-2（D ） 2D.若 -2三和:X -2-2:Z α ■y√2 Z5.已知三点 M( 1, 2, 1), A (2, 1, 1), B (2 !, 1, 2),贝U MMAB = ( C)(A) -1 ； (B) 1(C) 0 ；(D) 27—⅛ T6.已知三点M(0, 1, 1), A (2, 2,1), B C 2, 1, 3),则 IMA ABl = ( B)(A) - .2;(B)2、2 (C)一 2 ;(D)-2;7 .设D 为园域x 2寸乞2ax (a 0),化积分 F(x,y)d 匚为二次积分的正确方法r>是D2aa2a : 2a -x 2A. O dx f(x, y)dy0 - _aB.20dxf (x, y)dya2acosθC. Od a f(「cos ),「sinV)JdJ2a cos --ID.2小 O 一 f(τcosγ TSin RTd T^23 ln X8 .设I = j dx 0 f (x, y)dy ,改变积分次序，则I= ____________ ■ Bcos -,9.二次积分『川山f(Pcos^, P s in 日)P d P 可以写成 ____________________ . D 1 y -ydy 0 f(x,y)dx B. 1 1dx 0f(x, y)dyD.10 .设门是由曲面x 2 y^2z 及z =2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I=川f (x, y, z)dxdydz 表示为三次积分，I= ____________ . CΩP2 (1).A . d r d 「2 f(「cosd 「sin=z)dzj 0J 0』0 ∖ Z2兀 2 £B. d » ! d 「2 f (「cos=,「sin P Z)「dz*0‘0‘0∖ ' , ZA. C.ln3e y 0 dy 0 f(x, y)dx B. ln33dy 0 f(x, y)dx D.ln33dy e yf(x, y)dx3InXI dy 0 f (x, y)dx11今2dy 0 f(x, y)dx1x -x 2dx 0 f (x, y)dyA. C.2兀 2 2C . 0 dr 0 d ；Iff( TCOSd,「sinr, Z) TdZ^2"2兀 2 2D . d d「f(「cosv,「sinv,z) 'dz■ o .0 ■ o11.设L为x0y面内直线段，其方程为贝U P x, y dx =L(A) a(C) 012 .设L为x0y面内直线段，其方程为(A) a(C) 0 L:y=a, c_x_d ,贝U Px, ydy =L(B) C(D) dQQ13.设有级数a U n,则lim Un= 0是级数收敛的心n→c(A) 充分条件；(B) 充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D) 必要条件；QQ14.幂级数' nχnn珀的收径半径R =(A) 3 (B) 0(C) 2 (D) 115.幕级数a -X n的收敛半径R-n三n(A) 1 (B) 0(C) 2 (D) 3OO OO16 .若幕级数a n X n的收敛半径为R ,则7a n X n 2的收敛半径为n =0 n=0(A) R (B) R2(C) 、R (D) 无法求得OO17.若IimU n= 0,则级数X U n ()F n三DA. 收敛且和为B.C. 发散D. 收敛但和不一定为可能收敛也可能发散QQ18.若Vu n为正项级数，则()n =1L : x = a, c^ymd ,(B) C(D) dQQQQC.若V U n 2 ,则VU n 也收敛D.nJ n 二OO19. 设幕级数a C n X n 在点X =3处收敛,则该级数在点x = -1处（）An 4A.绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数J Sn 巴（Xn 0）,则该级数（） Bn4n!A.是发散级数B.是绝对收敛级数 C.是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散：、填空题1•设 f(χ, y)=sinx+(y-1)ln(χ2+y 2),则 f x '(0,1) = ____________ 1___.2. _______________________________________________ 设 f (x, y )=cosx+ (y -1 $n (χ2 + y 2 ),贝U f x (0,1) = ___________________________ 0 _____ 3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是!∣f X, y dxdy = f 'cos[ 's in ； ∣'d d -DD 4 5 68. 设积分区域D 为仁X 2 ∙ y 2乞4 , .. 2dxdy 6-4 .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 111 f x, y, Z dxdydz ： 111 f H cos∖ ? Sin Z ∣ ： d 「d 「dzΩΩ5 .柱面坐标下的体积元素_dv = T dd z6 .设积分区域 D : x 2 y 2 -a 2,且 dxdy =9二，则 a = _3DA.若 Iim U n=0,则VU n 收敛n =1B.若VU n 收敛,则u n 2收敛Bn 4nJ若V U n 发散,n 4则 Iim Un=7. 设D 由曲线Q =asin^, = a 所围成, 3则 11dxdy a 24D19. 设f X, y 在［0 , 1］上连续，如果0 f X dx =3,1 1则 0 dx 0 f X f ydy= _______ 9.2 2 219. 积分y dx χe~y dy 的值等于20. 设 D 为园域 χ2+y 2≤a 2,若 川 χ2 + y 2 )dxdy = 8兀，则 a= _________ . 2D21. 设 I=出2dxdydz,其中 0 : x 2 + y 2+z 2 兰 a 2, z^0,则 I= _____________ . → a 3Ω 310. 设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则XydS= 2 .L设L 为连接(1,0)与(0, 1) 贝U J (x - y )ds = _____L两点的直线段,.012. 等比级数J aq nn =1(a = 0)当 qc1时，等比级数aq n =4收敛.13 .当_P>1—时,o° IP-级数a -P 是收敛的.14.当QQ时，级数V-1心丄是绝对收敛的.n P15 .若 f (X , y) = J χy +∙x则 f χ(2,1)=16.若2f(x, y)=xy 3(X -1)arccos-,贝U f 2x (1,y)=3y 217 .设Z XyI y In XdX XIn Zdy^ydZ Z 18.设 z=y lnx ,则—2 =CXln y(ln y -1) InX2 y X1 .4 尹 - e"4),二、计算题1.求过点-2,0,1 且与平面2x-5y ∙4z -8=0平行的平面方程•解：已知平面的法向量n= (2, -5, 4),所求平面的方程为2( X +2)-5( y -0)+4( Z -1)=0 即 2 X -75y +4z = 02•求经过两点M i ( -1 , -2, 2)和M 2 (3, 0, 1)的直线方程。
多元函数微积分期末练习题及答案
多元函数微积分期末练习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多元函数微积分期末练习题及答案一．填空：1．空间直角坐标系中，点P（2，3，4）Q（2，4，-1）距离∣PQ∣=2．过点P（1，2，3）且与xoy平面平行的平面方程为3．函数z =x2-y2 + 2x - 4y的驻点为4．已知z =f（x,y）的二阶偏导数连续且fxy (x,y) = 4xy+ x 则fyx(x,y)=5．已知在平面区域D内f (x,y)>O,则由D为底 z = f (x,y)为顶的曲顶柱体体积可表示为二．单项选择填空1．点P(0,2,-1)在A 第V卦限B 第 VIII 卦限C x轴上D yoz平面2．方程x2+y2=1在空间直角坐标系中表示A 单位圆B 单位圆包围的平面区域C 圆柱面D 平面3．z =f (x,y) 在(x0, y)点偏导数存在,则在该点A 全微存在B 偏导数连续C 函数连续D A,B,C均不对4．z = f（x,y）在驻点(x0, y)处存在二阶偏导数，且fxy(x。
,y。
) 2-f xx (x。
,y。
)-fyy(x。
,y。
)>O fxx(x。
,y。
) >O 则 (x。
,y。
) 点为函数z = f（x,y）的A 极大值点B 极小值点C 不是极值点D 不能确定25．则等式成立的是A =B =C =D =三．计算题1．求2．z=求全微分dz3．设cos（x+y）+y=0，求4．设x+y2+z2=xy+2z，求5．求 z=2x-4y-x2-y2+5的极值6．改变二次积分积分次序7． D y=x2 y=x围成答案：一、填空：1 2 3 （-1，-2） 435二、单项选择：D C D C A三、计算题：12 34 56 74。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
多元函数微分学习题
多元函数微分学习题第五部分多元函数微分学第1页共27页第五部分多元函数微分学（1）[选择题]简单问题1-36，中等问题37-87，困难问题88-99。
?x?3y?2z?1?01．设有直线l:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线l()2倍？Y10z？3.0（a）平行于？。
（b）在路上？。
（c）垂直于？。
（d）然后呢？歪曲回答：C?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处()? （x，y）？(0,0)? 0，（a）连续，偏导数存在（b）连续，偏导数不存在（c）不连续，偏导数存在（d）不连续，偏导数不存在a:c?x?u?v?u?()3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，u?v22?xy?u?v?(a)十、五、uy（b）（c）（d）u？似曾相识？似曾相识？似曾相识？答案：B4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()（a）如果f（x，y）在点（x0，Y0）是连续的，那么f（x，y）在点（x0，Y0）是可微的。
(b)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
(c)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。
(d)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
答：d5．函数f(x,y,z)?(a)(,答：a3.x2？y2？点（1，±1,2）处Z2的梯度为（）1?121?121?121?12,)(b)2(,,)(c)(,,)(d)2(,,)3333339999991第五部分多元函数微分学第2页，共27页6．函数z?f(x.y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)是函数存在全微分的（）。
（a）。
充分条件（b）必要和充分条件（c）必要条件（d）回答c既不充分也不必要7．对于二元函数z?f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。
多元函数微分习题-（1）
多元函数微分习题-（1）多元函数微分法及其应⽤同步测试（2009年4⽉）注:红⾊的题⽬超出范围,不做.测试1⼀、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=??? ?+，则=),(y x f 。
2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。
3、设xyze z y xf =),,(，则=zy x f 3 。
4、曲线==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线⽅程为。
⼆、选择题（4分×3=12分）1、设有⼆元函数=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。
A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；D 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各⼀阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既⾮必要也⾮充分条件。
3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。
A 、极⼩值点；B 、驻点但⾮极值点；C 、极⼤值点；D 、最⼤值点。
三、计算题（6分×5=30分）1、设=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各⼀阶偏导数。
2、设+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。
3、设),(y x f z =由⽅程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz 。
多元函数微积分练习题共6页
练习题一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二 多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
第八章多元函数微积分
第八章 多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是 。
[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。
消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y 2, 则 f(x+y,x-y)= 。
[解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。
[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx= 。
[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。
[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。
第七章-多元函数微积分简介-自测题
第七章-多元函数微积分简介-自测题第七章 多元函数微积分简介 自测题一．选择题1．二元函数z=f(x,y)在点(0,x y )处可微的充分条件是 （ ）A f(x,y)在点（0,x y ）处连续；B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（）的某邻域存在；C 220000(,)(,),0x y f x y x f x y y x y ''∆∆-∆∆+∆→z-当时，是无穷小量；D2222(,)(,)0f x y x f x y yx y x y''∆∆-∆∆+∆∆+∆z-，当时，是无穷小量。
2．22221()sin ,(,)0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩222200x y x y +≠+=，。
则在原点（0,0）处f(x,y) ( )A 偏导数不存在；B 不可微C 偏导数存在且连续D 可微3．设x ϕ（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知22F f,(,)F x y x y x y∂∂≠∂∂∂∂则是 （ ） A f(x,y)+x ϕ（） B f(x,y)+ψ（y ）C f(x,y)+x ϕ（）+ψ（y ）D f(x,y)+ x ϕ（）ψ（y ）4．已知3222（axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是 （ ） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y（ ）(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续6．函数z f x y =(,)在点(,)x y 0处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ ）(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 7．设函数z x y =-+122，则点(,)00是函数 z 的（ ）（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
第七章 多元函数微积分
高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域 （ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第三节 偏导数 第四节 全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于 （ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ） （A ）221()f x y y -； （B ）4f yf y '+； （C ）0； （D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分 解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第五节 多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ） （A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。
多元函数微积分+无穷级数习题附带答案
1． 设则=（ ）2(,)f x y x y xy y +-=+(,)f x y A ．B ．()2x x y -2xy y +C ．D ．()2x x y +2x xy-2． = （ ）221cos lim 1x x y oe y x y →→++A ． 0 B ．1 C ． D ． 1e 2e 3．设在点处有偏导数存在，则=（ ）(,)f x y 00(,)x y 0000(2,)(,)limh o f x h y f x h y h →+--A ．0B ．'00(,)x f x yC ．D ．'002(,)x f x y '003(,)x f x y 4．偏导数存在是可微的（ ）(,)z f x y =(,)z f x y =A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关条件5．函数在点（1，1）的全微=（ ）xy z e =dz A ． B ．2()e dx dy +()xy e dx dy +C ． D ．()e dx dy +dx dy+6．已知且，则= （ ）22(,)()x y x y y x ϕ=++(,1)z x x =z x ∂∂A ．2 B ．12xy x +-22x y+C ．D ．21x x -+-212xy x++7． 的定义域是 )z r R =<<8．设在点（1，1，）取得极值，则 22(,)2f x y x ax xy by =+++a =b =9．方程确定则2221x y z ++=(,)z z x y === 2z x y ∂∂∂2z y x∂∂∂10．设2sin(23)23x y z x y z+-=+-则= 2222z z x y+11．方程确定，则= 0z e xyz -=(,)z z xy =z x ∂∂12．交换积分次序后，()110,I dx f x y dy =⎰I =13．计算，其中D 由22Dx dxdy y ⎰⎰所围闭区域1,2,xy x y x ===14．计算，D 由2Dy d σ⎰⎰所围闭区域21,0,0,1y x x y y =-===15．交换积分次序()()12330010,,y y I dy f x y dx dyf x y dx -=+⎰⎰⎰⎰16．计算10I dx =⎰17．计算10I dx=⎰18．计算2222000y R y x y x I dy e dx dy dx ----=+⎰19．求在条件下的极值22z x y =+2x y +=20．函数z=z(x,y),由方程F(xy,z)=x 所确定，其中F(0,0)有连续一阶偏导数，求2222z z x y+21．设 其中可微，22()x z x y ϕ=-ϕ证明211z z z x x y y x∂∂+=∂∂22．设，证明ln()x y z e e =+222222()z z z x y x y∂∂∂⋅=∂∂∂∂23．计算22201ln ln ln e e x x e y x x I dy dx dy dx e e=+⎰⎰⎰⎰24．由圆及直线所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量221x y +=0,0x y ==25．设为连续函数且(),f x y ，其中D ：()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰所围闭区域，证明：20,,1y y x x ===()1,8D f x y dxdy =⎰⎰1、解： (,)()f x y x y x y y+-=+ []1()()()2x y x y x y =++--(,)()2x f x y x y ∴=-2、解：在点（1，0）连续22cos (,)1x e y f x y x y =++ '221cos cos 0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++3、解：原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+-='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解：若可微，则存在，(,)z f x y =,z z x y∂∂∂∂反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5、解：在（1，1） ()xy dz e ydx xdy =+'()dz e dx dy =+6、解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++= 2()1x x x ϕ∴=--（2）222(,)1z x y x y y x x =++--（3）212z xy x x∂=+-∂7、解： 22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ 定义域∴{}2222(,)R D x y r x y =<+<8、解：'2'4,2x y f x a y f xy b=++=+ 又，即 (1,1)0f ='(1,1)0y f =，410a ++=20b +=5,2a b ∴=-=-9、解：令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z==（2），z x x z ∂=-∂z y y z ∂=-∂（3）22231(0z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂10、解：方程两边全微分：2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz+-+-=+-∴,,(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--= 23dx dy dz +=2123z x =2223z y =故22122z z x y +=11、解：令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy=-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂-12、解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式＝I=2100(,)y dy f x y dx⎰⎰13、解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y 分积分，后对x 积分原式＝221121()xdx x d y-⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰14、解：（1）画出积分区域D（2）为了不分片先对分积分，后对y 积分x 原式＝2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰＝11530011118535315y y +=+=⎰⎰15、解：（1）画出12D D D+=1:01,02D y x y≤≤≤≤2:13,03D y x y≤≤≤≤-（2）交换积分次序I ＝()2302x x dx f x y dy-⋅⋅⎰⎰16、解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I ＝21120sin sin yy o y y y dy dx x dy y y y =⋅⎰⎰⎰ ＝110sin cos o dy dy y +=⎰⎰111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-17、解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰42411cos 28ππθ=-=18、解：（1）画出12D D D+=（2）改用极坐标定限，计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R Re e ππ--=⋅-=-19、解：（1）化为无条件极值一元函数的极值22()z x z x =+-（2）， '22(2)0x z x x =--=440,1x x -==极小值''40xx z =>221(21)2z =+-=注：22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+=代入约束条件'20y F y x y λ=+=→=得驻点。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
第七章-多元函数微积分简介-自测题
(C)充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件第七章 多元函数微积分简介 自测题．选择题1．二元函数 z=f(x,y) 在点 ( x 0,y 0 )处可微的充分条件是 ( ) A f(x,y) 在点( x 0,y 0 )处连续；B f x (x,y), f y (x,y)在( x 0 , y 0)的某邻域存在；C z- f x(x 0,y 0) x f y(x 0,y 0) y,当 x 2y 20 时，是无穷小量；6．函数 z f(x,y) 在点 (x 0,y 0) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )2． z-f x(x 0,y 0) x f y (x 0,y 0) y ，x 2(x 2 f (x,y) 0,y 2)sin x 2 1y 2 ,2x 2 x偏导数不存在； x 22y 22y0时，0，则在原点 0。
B 不可微C 偏导数存在且连续 3．设 ( x)为任意一个 x 的可微函数， y)为任意一个是无穷小量。
0,0)处 f(x,y) (可微y 的可微函数，若已知 2F,则F(x, y)是x y x yA f(x,y)+ ( x )B f(x,y)+ ( y)C f(x,y)+ ( x )+ y )D f(x,y)+ ( x) 4．已知( axy 3-y 2cosx ) dx+(1+bysinx+3x 2y 2)dy 为某一函数 f(x,y) 的全微分，则 的值分别是 ( A -2 和 2， B )2 和 -2 ，C -3 和 3D 3 和 -3.xy2xy 20 ，5．设函数 f(x,y)22x2 y 2则f(x,y)2xy 2(A) 处处连续；(B) 处处有极限， 但不连续； (C) 仅在点连续；(D) 除( 0,0)点外处处连(y) a 和b (A) 必要而非充分条件；(B) 充分而非必要条件；7．设函数z 1 x2y2，则点(0,0) 是函数z 的(A )极大值点但非最大值点；(B)极大值点且是最大值点；( C)极小值点但非最小值点；(D)极小值点且是最小值点。
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(1,2,1)
（4） z xy yf (x, y)
dz
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
（7） z e2x y cos(3x 2 y)
（9） u
1
x2 y2 z2
7 计算下列函数的二阶偏导数
（1） z x 4 3xy y 2
（3） z e xy sin y
（5） z f (xy, x2 )
x y
不存在.
练习题
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
0
（2） z y ln(xy)
（4） z x 2 f (x, y)
x2 y2
x4
y4
sin 2(x 2 y 2 )
x2 y2
8 求下列函数的全微分
（1） z xe xy
（3） z arcsin xy
9 设 f (x, y) xy sin t 2dt ，求 df .
1
10 （1） z u 2v uv 2 ，其中 u x cos y ， v y sin x ,求 z ， z x y
11 （1）设 x 2 2xy ln(x y) 0 ，求 dy . dx
（2）设 e z xyz ，求 z , z . x y
12
13
（3）已知 x
求曲线
求曲线
x x
x
z
y
xyz0
2 y2 y
t 1 1
t
2
y2
t
t t
z z
z2
x y
，求
1
d法平面方程.
（5） lim
( x, y)(2,1)
4 证明极限 lim
x2
2xy x 2 y 2
x2
(x,y)(0,0) x y
y2
y2
5 指出函数 f (x, y) x y 的间断点. x 2y2
6 计算下列函数的偏导数
（1） z ln(x 2 y)
（3） z x 2 f (x, y)
（5） z x 4 y 4 3xy 2 y
一 多元函数微分学部分练习题
1 求函数 z 1 1 的定义域. xy xy
2 已知 f (x y, xy) x 2 y 2 5xy ，求 f (x, y) .
3 计算下列极限
ln(x e y ) （1） lim
( x, y)(1,0)
3xy （3） lim
( x, y)(0,0) xy 4 2
2
0
6
在点
14 求曲面 e z z xy 3 在点 M (2,1,0) 处的切平面和法线方程.
15 求函数 z x 2 ( y 1)2 的极值.
16 求函数 u xy 2 z 3 在条件 x y z a (x, y, z, a 0) 下的极值.
M
0
，
（2） z 1 x2 y2
（2）
lim
( x, y)(,)
1
（4） lim (1 xy) x ( x, y)(0,1)
（6） lim
（2） z (1 xy) x
（4）
z
(x, y)(0,0)
x ( xy)
（6） z ln(x 2 y 2 ) （8） z (1 xy) y
x2 y2
（10） z sin tdt
（2） u f (x, y, z) arctan(x y z) ，其中 z cos(xy) ,求 z ， z x y
（3） z euv ， u sin t ， v t 2 , dz dt
（4） z f ( x , x 2 y 2 ) ,求 z ， z
y
（5）设 z f (2x y) g(x, xy) ，求 z ， z ； x y