极坐标系课件(上课)
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《极坐标系》上课共25页
《极坐标系》上课
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢
11、越是有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
极坐标系 课件
(2)ρ＝
12＋－
32＝2，tan
－ θ＝ 1
3＝－
3.
又因为点 P 在第四象限且 0≤θ<2π，得 θ＝53π.
因此点 P 的极坐标是2，53π.
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与 原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，有相同的长度单位， 三者缺一不可．
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做_极__点__， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做_极__轴___；再选定一个_长__度__单__位__， 一个角度单位(通常取弧度)及其__正__方__向__ (通常取逆时针方 向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面则 M 点关于极点的对称 点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称 点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一 对应的．
点的极坐标与直角坐标的互化
[例 2] (1)把点 A 的极坐标2，76π化成直角坐标； (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．
[解] (1)x＝2cos76π＝－ 3，y＝2sin76π＝－1，
故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
x＝ρcos θ， (2)互化公式 y＝ρsin θ；
ρ2＝x2＋y2，
，
tan
θ＝xyx≠0.
.
点的极坐标
[例 1] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极坐标． (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝π2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角 两个量，为此应明确它们的含义．
极坐标系课件(上课)
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标.
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。 几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
教学目标：
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系 的结构（ 建立极坐标系的四要素）；
2、已知一点的极坐标会在极坐标系中 描点，以及已知点能写出它的极坐标。
3、理解广义极坐标系下点的极坐标 （ρ，θ）与点之间的多对一的对应 关系；
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系公开课精品PPT课件
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be
第一章第二节极坐标系课件
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
3 求两点间的距离. B
2
π 解：∠AOB =
6
A o
用余弦定理求 AB的长即可.
x
题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 6 的点是( A ) 13 A.(3, ) B. (3, － 6 )
6
C. (3,
17 ) 6
D. (3,
5 － 6
)
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( ) B A.(ρ,θ) B.(ρ, － θ) C.(ρ,θ＋π) D.(ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(8, )关于极 6
点对称的点 的一个坐标是(
7 A.(－ 8, 6 )
A
)
5 B. (－ 8, － ) 6
M 如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
X
M
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些 必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（，）负极径时的规定：
极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标系 课件
穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以 表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面
内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标
的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角 ，记为 θ ．有序数对 (ρ，θ) 叫做点
M的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0
，θ可
取 任意实数 ．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②
已知定点P4，π3 . (1)将极点移至O′ 2 3，π6 处极轴方向不变，求P点的 新坐标；
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 6 角，求P点的新坐 标．
[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求 法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然 后求相应的点的极坐标．
(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知
|OO′|＝2 3，|OP|＝4，∠POx＝π3 ，∠O′Ox＝π6 ， π
∴∠POO′＝ 6 .来自在△POO′中，ρ2＝42＋(2
3 )2－2·4·2
3 ·cos
π 6 ＝16
＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
π ∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝ 2 .
∴∠OPO′＝π3 . ∴∠OP′P＝π－π3 －π3 ＝π3 .
法一：由A(3，－
2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面
内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标
的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角 ，记为 θ ．有序数对 (ρ，θ) 叫做点
M的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0
，θ可
取 任意实数 ．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②
已知定点P4，π3 . (1)将极点移至O′ 2 3，π6 处极轴方向不变，求P点的 新坐标；
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 6 角，求P点的新坐 标．
[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求 法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然 后求相应的点的极坐标．
(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知
|OO′|＝2 3，|OP|＝4，∠POx＝π3 ，∠O′Ox＝π6 ， π
∴∠POO′＝ 6 .来自在△POO′中，ρ2＝42＋(2
3 )2－2·4·2
3 ·cos
π 6 ＝16
＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
π ∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝ 2 .
∴∠OPO′＝π3 . ∴∠OP′P＝π－π3 －π3 ＝π3 .
法一：由A(3，－
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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极坐标系的概念 课件
极坐标系的概念
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
极坐标系 课件
A322，－322，B(－1，－ 3)，C－ 23，0，D(0，－4)．
(2)根据
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝yx得
A2
3，116π，
B 35，π2，C4，23π.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．把直角坐标化为极坐标的注意事项 设点 M 的直角坐标为(x，y)，极坐标是(ρ，θ)． (1)由于 ρ≥0，解得 ρ＝ x2＋y2. (2)tan θ＝yx(x≠0)，当 x＝0 时，点 M(x，y)在 y 轴上， 当 y>0 时，点 M 的极角可取π2；当 y＝0 时，点 M 的极角可 取 0；当 y<0 时，点 M 的极角可取32π. 当 x≠0 时，由 tan θ 的值确定 θ，要注意点 M 所在的象限．
极坐标系
1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 __极__坐__标__系____．设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的_极___径__，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终 边的角 xOM 叫做点 M 的__极__角__，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．
要点一 点的极坐标 1.求点 M 的极坐标的方法 (1)根据图形求点 M 到极点 O 的距离|OM|； (2)根据图形确定∠xOM 的一个值(一般取极轴 Ox 按逆时针 方向旋转到与 OM 重合时转过的角，即在[0,2π)内的一个角； (3)得点 M 的极坐标．
2．由极坐标确定点的位置的方法步骤
问题探究 1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联 系？
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
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课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
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小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
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β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
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(, 2k+)
极坐标系(优秀)课件
趋势。
图像处理
在图像处理中，极坐标系用于将二 维平面上的图像转换为极坐标形式 ，便于进行图像旋转、缩放和剪裁 等操作。
信号处理
在信号处理中，极坐标系用于表示 信号的幅度和相位信息，便于进行 信号分析和特征提取。
利用极坐标系进行数值计算
积分计算
在数值积分中，极坐标系常用于 计算与圆心对称的函数在圆域内 的积分，简化计算过程。
极坐标系与参数方程的关系
在极坐标系中，参数方程可以用来描述曲线或曲面，其中参数与极 坐标之间存在一定的转换关系。
参数方程的应用
参数方程在几何学、物理学等领域有广泛应用，例如描述行星轨道 、电路中的电流等。
极坐标系在微积分中的应用
微积分基本概念
微积分是研究函数及其极限、导数、积分等概念的数学分支。
极坐标系在微积分中的应用
解决几何问题
在解决一些几何问题时，极坐标系也经常被使用，例如求点 到直线的距离、求两条直线的交点等，通过极坐标系可以简 化计算过程，提高解题效率。
04
极坐标系的应用实例
利用极坐标系解决实际问题
物理学中的应用
在解决物理问题时，极坐标系常用于描述点电荷的电场强度、磁场 强度等物理量，简化计算过程。
地球科学中的应用
极坐标系中的圆
极坐标方程：ρ=a 直角坐标方程：x²+y²=a²
图像：在极坐标系中，圆的图像是一个圆环，中心在原点，半径为a。
极坐标系中的圆锥曲线
极坐标方程
ρ=2a*sinθ
直角坐标方程
x²/a²+y²/(a²-1)=1
图像
在极坐标系中，圆锥曲线的图像是一个双曲线， 中心在原点，焦点在极轴上。
03
三角形式
复数还可以表示为三角形式$z=r(costheta + isintheta)$，其中$r$为模长，$theta$为幅角。
图像处理
在图像处理中，极坐标系用于将二 维平面上的图像转换为极坐标形式 ，便于进行图像旋转、缩放和剪裁 等操作。
信号处理
在信号处理中，极坐标系用于表示 信号的幅度和相位信息，便于进行 信号分析和特征提取。
利用极坐标系进行数值计算
积分计算
在数值积分中，极坐标系常用于 计算与圆心对称的函数在圆域内 的积分，简化计算过程。
极坐标系与参数方程的关系
在极坐标系中，参数方程可以用来描述曲线或曲面，其中参数与极 坐标之间存在一定的转换关系。
参数方程的应用
参数方程在几何学、物理学等领域有广泛应用，例如描述行星轨道 、电路中的电流等。
极坐标系在微积分中的应用
微积分基本概念
微积分是研究函数及其极限、导数、积分等概念的数学分支。
极坐标系在微积分中的应用
解决几何问题
在解决一些几何问题时，极坐标系也经常被使用，例如求点 到直线的距离、求两条直线的交点等，通过极坐标系可以简 化计算过程，提高解题效率。
04
极坐标系的应用实例
利用极坐标系解决实际问题
物理学中的应用
在解决物理问题时，极坐标系常用于描述点电荷的电场强度、磁场 强度等物理量，简化计算过程。
地球科学中的应用
极坐标系中的圆
极坐标方程：ρ=a 直角坐标方程：x²+y²=a²
图像：在极坐标系中，圆的图像是一个圆环，中心在原点，半径为a。
极坐标系中的圆锥曲线
极坐标方程
ρ=2a*sinθ
直角坐标方程
x²/a²+y²/(a²-1)=1
图像
在极坐标系中，圆锥曲线的图像是一个双曲线， 中心在原点，焦点在极轴上。
03
三角形式
复数还可以表示为三角形式$z=r(costheta + isintheta)$，其中$r$为模长，$theta$为幅角。
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请问：去阜阳 三中怎么走？
以三环路为X轴 以柳林路为Y轴...
神经病！
以三环路为X轴 以柳林路为Y轴...
神经病！
从这向南走 500米。
请问：去阜阳 三中怎么走？
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 5 0 0 米 ！ 出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置 ——它直观、方便
－π＜θ≤ π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )关于 6
极点对称的点的一种表示是
( 3,
6
)
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点的一种表示是 (ρ, － θ)
交流平台：
你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗？
M
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M O (ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标. 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（ ， ）。 2 2
互化练习
2 1(1)将点M的极坐标 5, 化为直角坐标； 3 ( 2)将点M的直角坐标 3 ,1 化成极坐标. 2.已知两点的极坐标 2, ， . 3, ，求两点间的距离 3 2
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数种。是因为极角引起的。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)
kZ
作 业
课后练习1、2
y y
M
0
y
x
N
x
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin
y x y， tan ( x 0) x
2 2 2
①
②
y
M
0
y
x
N
x
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合; • 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; • 3. 两种坐标系的单位长度相同.
三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ (2,2k ), (k Z ) 极径相同，不同的是极角 本题点 M的极坐标统一表达式： 4 思考：这些极角有何关系？ (2,2k ), (k Z ) 这些极角的始边相同，终边也相同。也 4 就是说它们是终边相同的角。
极径是负的时候M点为：
5 M 2， 4
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
4
C
E F A O B X
4 3
D
G
5 3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
互化关系式
极坐标化直角坐标： x cos , y sin
y
θ
x
M ( , )
y
x
O
直角坐标化极坐标： y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
2 例1：将点 M的极坐标（ 5， ）化成直角坐标。 3
9 E（1， ） 特别规定： 当一个点的极坐标中的极径=0， 4
G ( 2, ) ? F （2 ， ） 4 即（ 0 ， ）表示极点坐标。 4
此点就在极点位置，此时可以取任意值。
4
G (2, ) 4
M
M 2， 4
G
O
X
G 2， 4
教学目标：
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系 的结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、已知一点的极坐标会在极坐标系中 描点，以及已知点能写出它的极坐标。 3、理解广义极坐标系下点的极坐标 （ρ，θ）与点之间的多对一的对应 关系；
导弹在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴， 坐标是...
算的太慢了！
以三环路为X轴 以柳林路为Y轴...
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX转到OM的角度， 即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：在极坐标系中描出下列各点
A （ 3 ， 0） B（2， ）
C （ 3， ） 2
5 D （ 1， ） 6 4
5 6
2
C
4
B E D A F
五、极坐标与直角坐标的区别:
直角坐标 极 坐 标
表示形式 与平面内点 的对应关系
( x, y ) x, y R
一一对应
( , ) , R
x、y R 0, [0,2 )或( , ]
一一对应
•思考：我们已经学了直角坐标系和
极坐标系两种刻画点的方式，平面 内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示，那么，他们 之间能不能找到一种关系让他们之 间怎么互相转化呢？
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
y
M
M
0 N
0
y
x
N
x
y
M
M
0
y
0x N
x
N
y
M
M
0
y
x
0
N
x
N
y
M
M
0 0 x
y
N
x N
y
MM
0 0
y
x
NN x
M M
0 0
y
x
N N x
y
M
0
y
x
N
x
把直角坐标系的原点作 为极点，x轴的正半轴作 为极轴，并在两种坐标 系中取相同的长度单位 。 设M是平面内任意一点，它 的直角坐标（x，y）， 极坐标是（，）。从图 1 — 14可以得出他们之 间的关系：
那天早上的7点02分，两位雷达兵发现雷达屏上出现了一堆堆闪闪发光的斑 点。几经校核，他俩确认是一支庞大的机群正朝瓦胡岛的方向飞来。他们将 这一发现报告了泰勒中尉：“有一大批飞机正从北面3度角方向飞来。”泰 勒中尉只说了句：“别紧张，是本土来的B-17轰炸机。” 两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点39分，22英 里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。 几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……