天线方位角位置随动系统的建模与分析

天线方位角位置随动系统建摸系统的原理图如图2-7所示，其方块图如图2-8所示。

系统的任务是使输出的天线方位角θ0(t)跟踪输入方位角θi (t)的变化，试建立该系统的数学模型。

系统的参数值如下：电源电压V=10v ；功率放大器的增益和时间常数K 1=1，T 1=0.01s ；伺服电动机的电枢回路电阻R d =8Ω，转动惯量J a =0.02Kg ∙m 2， 粘性摩擦系数f a =0.01N ∙m ∙s/rad ， 反电势系数C e =0.5V ∙s/rad ，转矩 系数C m =0.5N ∙m/A ；减速器各齿 轮的齿数为Z 1=25， Z 2= Z 3=250；负载端的转动惯量J L =1 Kg ∙m 2粘性摩擦系数f L =1N ∙m ∙s/rad 。

采用组合系统建摸法，根据原理图2-7可以将系统划分为六个环节：输入电位器，差分放大器，功率放大器，电动机，减速器和输出电位器。

首先建立各个环节的数学模型，然后将它们组合起来则可得系统的数学摸型。

1环节的数学模型(1) 输入电位器与输出电位器由于输入电位器与输出电位器的线路和电位器的结构均相同，故这两个环节的传递函数是一样的。

对电位器环节的输出电压与输入角位移的特性进行线性化处理则可视其为一比例环节。

由图2-7可知；当动触头位于电位器中心时其输出电压为零；朝前或朝后转动5圈其输出电压变化均为10V 。

于是可得它们的传递函数为00()()100.318/()52()i pot i u s u s k v rad s s θπθ====⨯(2) 差分放大器与功率放大器放大器通常工作在放大状态，可不考虑饱和的影响。

差分放大器的时间常数比起功率放大器以及系统的其他环节的时间常数要小得多，可以忽视不计。

故这两个环节的输入输出传递函数分别为差分放大器c e C K s U s U =)()(功率放大器 1()1()10.011do c i u s k u s T s s ==++(3) 电动机在小功率伺服系统中直流电动机的结构图中，由于电动机的电枢回路电感很小，可以忽略不计。

图中的J 与f 为折算至电动机轴上系统转动部分的等效转动惯量和等效粘性摩擦系数，其值分别为2212(/)0.021(25/250)0.03a L J J J Z Z =+=+⨯= 2212(/)0.011(25/250)0.02a L f f f Z Z =+=+⨯=将具体参数值代入，于是可求得电动机的电枢（空载）电压与转子角位移之间的传递函数为()/ 2.083()[()][1/(/)]( 1.708)m mm ddo d s e m e m d s C C JR u s s R J f C C s s J f C C R s s θ===+++++(4) 减速器齿轮减速器的传动比为21/i z z ==250/25=10，于是减速器的传递函数为()1/0.1()o m s i s θθ==2 系统的输入输出模型将个环节的数学模型按照信号的传递关系组合起来，则可绘制系统的结构图如图2-8所示。

应用梅森公式或结构图化简，由图则可求得系统的传递函数为32() 6.62()101.71170.8 6.62o ci cs k s s s s k θθ=+++天线方位角位置控制系统的时域分析 在2-5b 已建立该系统的数学模型，其结构如图2-7所示，若系统采用比例控制（即其前置放大器的增益c K 是可调的），试求（1）当c K ＝1000时系统的时间响应特性；（2）若要求超调量20%pσ=，c K 应调整为何值？并分别应用MA TLAB 和近似估算的方法求系统的暂态性能，说明近似估算的适用条件。

（1）增益c K 的稳定取值范围 天下女子面目可憎言语无味 由系统的传递函数32() 6.62()101.71170.8 6.62o ci cs K s s s s K θθ=+++，可得系统的特征方程为32det()101.71170.8 6.620c sI A s s s K -=+++=于是可构造劳斯表如下：320S 1170.8S 101.71 6.62S 17372.07 6.620S6.62c ccK K K -减速器根据劳斯判据，为确保系统稳定必须使劳斯表第一列的元素不变号，即 17372.07-6.62K c >0 6.62 K c >0故可求得系统在比例控制时，放大器增益的稳定取值范围为0< K c <2624.18。

（2） 当K c ＝1000时系统暂态特性的分析由题2-5b 系统结构图2-7可得，系统的开、闭环传递函数为0.06620.0388()(0.011)( 1.708)(0.011)(0.591)cck K K G s s s s s s s ==++++32() 6.62()()101.71170.8 6.62o ci cs K s s s s s K θφθ==+++由于K c 远低于其临界值（K er ＝2624.18），在系统的3个开环极点中功率放大器的极点P o3＝-1/0.01＝-100远离虚轴（相应的时间常数T 3=0.01很小）可忽略不计，故系统的开、闭环传递函数可简化为22220.06620.06620.0662()'()(0.011)( 1.708)( 1.708)( 1.708)'()66.2()'()1'()1.70866.22cc k k k nk n nK K G s G s s s s s s s s G s s s G s s s s s ωφφξωω=≈≈=++++≈===+++++ （3-9）式中8.14/n rad s ω==， 1.708/(2)0.105n ξω==。

于是可按二阶规范系统的表达式，估算系统的暂态性能如下：0.39p t s == %77.71%100*21/==--ζπζσep44.68s nt s ξω==（3）当要求超调量20%p σ=时系统暂态特性的分析(a) 暂态性能的估算 由于系统响应的超调量远低于第（2）项的相应值（71.77％），可以预计这时的增益K c <<1000，故开环时间常数T3＝0.01可忽略不计。

于是系统的开环传递函数可简化为'()0.0662/[( 1.708)]k c G s K s s =+，从而系统的闭环传递函数可近似为2222'()66.2'()1'()1.70866.22k cnk cn nG s K s G s s s K s s ωφξωω===+++++ （3-10）根据对超调量的要求0.2peπξσ-==，则可得系统的阻尼比为ln(1/)0.4558σξ==而2 1.708n s ξω=， 20.0662n c K ω=。

故可求得 1.708/(2) 1.8736/n rad s ωξ==，2/0.066253.03c n K ω==。

于是根据二阶规范系统的性能指标表达式，则可估算系统的暂态性能如下：' 1.88p t s == '20%p σ= 4'4.68s nt s ξω== （b ）应用MA TLAB 进行时域分析由式（3-9）和(3-10)应用MA TLAB 程 序A3.1，则可求得系统的实际暂态性能 为p t =1.9s ，p σ＝20.8546％，s t ＝4.4 （s ）；并绘制系统的单位阶跃响应曲线， 如图3-20所示。

图中实线为按式（3-9） 求得的准确相应曲线，用”.”标出数据点 的为按式（3-10）将系统视为二阶系统 的近似响应曲线。

由图中可见：当K c 远 比其临界值小得多时，忽略小环节时间 常数的影响并进行近似估算，在工程上 是可行的。

MA TLAB 程序A3.1G1=tf(0.0662*53.03,[1,1.708,0.0662*53.03]);G=tf(6.62*53.03,[1,101.71,170.8,6.62*53.03]);T=0:0.1:8;y=step(G ,t);y1=step(G1,t);plot(t,y,’-‘,t,y1,’.’),grid Xlabel(‘t(sec)’)Legend(‘y ’,’y1’)Y=dcgain(G);[yp,p]=max(y);peaktime=t(p) Percentovershoot=100*(yp-Y)/YK=length(t);while(y(k)>0.98*Y&(y(k)<1.02*Y),k=k-1;endSettingtime=t(k)(4)稳态特性分析由式（3-9）可知：系统为1型的，且开环增益K=0.0388K c ＝38.8（当K c ＝1000时）或2.06（当K c ＝53.03）。

于是系统的误差系数为p K =∞ v K K = 0a K =。

因此该系统跟踪阶跃输入信号没有稳态误差；跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差为1/38.80.026100011/2.060.48553.03c s c K e K K τ=⎧==⎨=⎩当＝时当＝时 但无法跟踪抛物线函数或其它变化更快的输入信号，若勉强使用则跟踪误差将随时间而不断地增大，当t →∞时其终值误差将趋于无穷大。