最经典的的数学建模竞赛题-节水洗衣机
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• 每轮脱水后衣物含水量为常数c；
变量定义
• 设共进行n轮“加水－漂洗－脱水”的过程
• x0~初始污物量 • uk~第k轮加水量 ； • xk~第k轮脱水后污物量 ( k = 1, 2, …, n)
每轮脱水前后污物在水中的浓度不变
x0 x1 , u1 c
x1 x2 , u2 c c
xn1 xn
un1 c c
xn x0
u1 (u2
cn c)(un
c)
基本 模型
在最终污物量与初始污物量之比 xn/x0
小于给定的 （清洁度）条件下，求各轮
加水量uk (k=1,…n)，使总用水量最小。
n
min uk
取最小的整数即为最少洗 移轮数
2、算法
可选用一种非线性规划算法，对n=N0 , N0+1, …(凭常 识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选 出最好的结果，其中N0是满足上面两式的最小整数。注意 不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。
5. 模型结果
表-1最溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量 和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）表-2 是不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一 轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）
用动态方程
3）、如何设计一系列
通过脱水程序反映得出优
“洗—脱”构成的节水程序？ 化结果，属于机理分析
建模过程
1、溶解过程和动态方程
•考察第k轮
•在k 轮洗衣之前，第k-1轮脱水之后的污物为：
xk=pk+qk • 其中Pk表示已溶， qk表示未溶 问题：pk与第k轮加水量uk之间有何关系？ 一般规律：pk为uk增函数。且uk=L时，pk最小 （=0）；uk=H时，pk最大（pk=Qxk,0<Q<1）；
问题分析
• 不要求对洗衣的微观机制(物理、化学方面)深入 研究，只需从宏观层次去把握。 • 洗衣的基本原理(宏观上)是用洗涤剂通过漂洗把吸附 在衣物上的污物溶于水中，再脱去污水带走污物。
• 洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水” 程序的反复运行，使残留在衣物上的污物越来 越少，直到满意的程度。
• 洗涤剂也是不希望留在洗涤剂的东西，可将 “污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。
Q
1Q
vk n
源自文库
2 0.99 1.95623
3 0.95 2.72733
4 0.85 3.32149
5 0.80 3.78159
6 0.70 4.14461
7 0.60 4.43581
8 0.50 4．617032
9
4.8714
10
5.0386
vk (k=0,1,2…,n-1)
备注
vk
vk (k=0,1,2…,n无 -1)解 备注
基本假设
•仅考虑离散的洗衣方案：“加水—漂洗—脱水”， 三个环节分离，他们构成一个洗衣周期，称为“一 轮”
• 每轮用水量不能低于L，否则无法转动；同时不 能高于H，否则水会溢出。
• 每轮洗衣时间足够，以便衣服上污物充分溶于 水中，从而每轮所用的水被充分利用；
• 每轮脱水时间足够，以便污物充分脱出，令污 水量达到一底线，设此线为常数c，c<L。（注： 除首轮外，每轮的用水量实际上是加水量和衣物 中残留水量只和。）
变量定义
• 设共进行n轮“加水－漂洗－脱水”的过程，
依次为0，1，2，… …，n-1轮
• x0~衣物上的初始污物量
• uk~第k轮加水量 ；
• xk+1~第k轮脱水后污物量 ( k = 0,1, …, n-1)
污物+洗涤剂
1）、污物溶解的情况如何？ 用溶解特性刻画
2）、每轮脱水后，污物量 减少情况如何？
另一方面，总用水量最小：
优化 模型
模型 简化
n
min uk k 1
s.t. xn
x0 L uk H
表示对洗净效果的要求
分析与 1、最少洗衣轮数 求解
由优化模型的条件中，定义函数： 显然
由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到：
若考虑Q的值不大于0.99（见6注记）而C/H代表脱水后 衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级应是很小的， 所以
评价
1）、节水洗衣机是一个非常实际的问题，本文只考虑了非常 基本的要素展开分析、建模，但在实际中要考虑的因素更 多。
2）、可考虑“洗涤”和“漂洗”的不同，前者只在首轮加洗 涤剂，可用特殊的溶解特性（pk与uk关系）加以区别，如 可能用单峰函数比线性函数好。
3）、实际上，无论是参数L，H，C，Q以及洗净效果要求ε， 还是溶解特性，均应在各种不同条件下（比如针对衣服量 的少，中，多）通过实验确定。
Q定义为溶解度，随洗涤剂的不同而不同。 拟合线性函数：pk=Qxk(uk-L)/(H-L)
在第K轮脱水之后，衣服上尚有脏物qk=xk-pk，有脏水C，其
中脏水C中所含脏物量为C﹡ (pk/uk)，于是第k轮完成之后衣 服上尚存的脏物总量为：xk+1=(xk-pk)+C ﹡(pk/uk)
基本 模型
一方面，衣服的洗净效果度量：
节水洗衣机
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非 常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣 物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂 洗——脱水——加水——漂洗——脱水…（称“加 水——漂洗——脱水”为运行一轮）。请为洗衣机 设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）， 使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。 选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机 的运行情况，对你的模型作出评价。
4）、根据前述分析和受仿真结果的启示，提出下列猜想：若 每轮溶解特性相同，则最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数 N0且每轮洗漂的最优用水量相等。若猜想成立,则问题可 以大大简化。
基本假设
•仅考虑离散的洗衣环节： “ 加水—漂洗—脱水”，称为一轮
• 每轮用水量不能低于v1，不能高于v2
• 每轮漂洗后污物均匀地溶于水中；
10.9.9576832 0.9782
n=2 为最优解
20.8.940211 0.9474
30.8.8639005 0.9673
40.6.7850614 0.9360
50.8.6691007 70.731603836 90.937568442
0.5413
0.9768 0.9638 0.9976
0.5386
变量定义
• 设共进行n轮“加水－漂洗－脱水”的过程
• x0~初始污物量 • uk~第k轮加水量 ； • xk~第k轮脱水后污物量 ( k = 1, 2, …, n)
每轮脱水前后污物在水中的浓度不变
x0 x1 , u1 c
x1 x2 , u2 c c
xn1 xn
un1 c c
xn x0
u1 (u2
cn c)(un
c)
基本 模型
在最终污物量与初始污物量之比 xn/x0
小于给定的 （清洁度）条件下，求各轮
加水量uk (k=1,…n)，使总用水量最小。
n
min uk
取最小的整数即为最少洗 移轮数
2、算法
可选用一种非线性规划算法，对n=N0 , N0+1, …(凭常 识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选 出最好的结果，其中N0是满足上面两式的最小整数。注意 不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。
5. 模型结果
表-1最溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量 和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）表-2 是不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一 轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）
用动态方程
3）、如何设计一系列
通过脱水程序反映得出优
“洗—脱”构成的节水程序？ 化结果，属于机理分析
建模过程
1、溶解过程和动态方程
•考察第k轮
•在k 轮洗衣之前，第k-1轮脱水之后的污物为：
xk=pk+qk • 其中Pk表示已溶， qk表示未溶 问题：pk与第k轮加水量uk之间有何关系？ 一般规律：pk为uk增函数。且uk=L时，pk最小 （=0）；uk=H时，pk最大（pk=Qxk,0<Q<1）；
问题分析
• 不要求对洗衣的微观机制(物理、化学方面)深入 研究，只需从宏观层次去把握。 • 洗衣的基本原理(宏观上)是用洗涤剂通过漂洗把吸附 在衣物上的污物溶于水中，再脱去污水带走污物。
• 洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水” 程序的反复运行，使残留在衣物上的污物越来 越少，直到满意的程度。
• 洗涤剂也是不希望留在洗涤剂的东西，可将 “污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。
Q
1Q
vk n
源自文库
2 0.99 1.95623
3 0.95 2.72733
4 0.85 3.32149
5 0.80 3.78159
6 0.70 4.14461
7 0.60 4.43581
8 0.50 4．617032
9
4.8714
10
5.0386
vk (k=0,1,2…,n-1)
备注
vk
vk (k=0,1,2…,n无 -1)解 备注
基本假设
•仅考虑离散的洗衣方案：“加水—漂洗—脱水”， 三个环节分离，他们构成一个洗衣周期，称为“一 轮”
• 每轮用水量不能低于L，否则无法转动；同时不 能高于H，否则水会溢出。
• 每轮洗衣时间足够，以便衣服上污物充分溶于 水中，从而每轮所用的水被充分利用；
• 每轮脱水时间足够，以便污物充分脱出，令污 水量达到一底线，设此线为常数c，c<L。（注： 除首轮外，每轮的用水量实际上是加水量和衣物 中残留水量只和。）
变量定义
• 设共进行n轮“加水－漂洗－脱水”的过程，
依次为0，1，2，… …，n-1轮
• x0~衣物上的初始污物量
• uk~第k轮加水量 ；
• xk+1~第k轮脱水后污物量 ( k = 0,1, …, n-1)
污物+洗涤剂
1）、污物溶解的情况如何？ 用溶解特性刻画
2）、每轮脱水后，污物量 减少情况如何？
另一方面，总用水量最小：
优化 模型
模型 简化
n
min uk k 1
s.t. xn
x0 L uk H
表示对洗净效果的要求
分析与 1、最少洗衣轮数 求解
由优化模型的条件中，定义函数： 显然
由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到：
若考虑Q的值不大于0.99（见6注记）而C/H代表脱水后 衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级应是很小的， 所以
评价
1）、节水洗衣机是一个非常实际的问题，本文只考虑了非常 基本的要素展开分析、建模，但在实际中要考虑的因素更 多。
2）、可考虑“洗涤”和“漂洗”的不同，前者只在首轮加洗 涤剂，可用特殊的溶解特性（pk与uk关系）加以区别，如 可能用单峰函数比线性函数好。
3）、实际上，无论是参数L，H，C，Q以及洗净效果要求ε， 还是溶解特性，均应在各种不同条件下（比如针对衣服量 的少，中，多）通过实验确定。
Q定义为溶解度，随洗涤剂的不同而不同。 拟合线性函数：pk=Qxk(uk-L)/(H-L)
在第K轮脱水之后，衣服上尚有脏物qk=xk-pk，有脏水C，其
中脏水C中所含脏物量为C﹡ (pk/uk)，于是第k轮完成之后衣 服上尚存的脏物总量为：xk+1=(xk-pk)+C ﹡(pk/uk)
基本 模型
一方面，衣服的洗净效果度量：
节水洗衣机
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非 常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣 物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂 洗——脱水——加水——漂洗——脱水…（称“加 水——漂洗——脱水”为运行一轮）。请为洗衣机 设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）， 使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。 选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机 的运行情况，对你的模型作出评价。
4）、根据前述分析和受仿真结果的启示，提出下列猜想：若 每轮溶解特性相同，则最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数 N0且每轮洗漂的最优用水量相等。若猜想成立,则问题可 以大大简化。
基本假设
•仅考虑离散的洗衣环节： “ 加水—漂洗—脱水”，称为一轮
• 每轮用水量不能低于v1，不能高于v2
• 每轮漂洗后污物均匀地溶于水中；
10.9.9576832 0.9782
n=2 为最优解
20.8.940211 0.9474
30.8.8639005 0.9673
40.6.7850614 0.9360
50.8.6691007 70.731603836 90.937568442
0.5413
0.9768 0.9638 0.9976
0.5386