最经典的的数学建模竞赛题-节水洗衣机

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另一方面,总用水量最小:
优化 模型
模型 简化
n
min uk k 1
s.t. xn
x0 L uk H
表示对洗净效果的要求
分析与 1、最少洗衣轮数 求解
由优化模型的条件中,定义函数: 显然
由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到:
若考虑Q的值不大于0.99(见6注记)而C/H代表脱水后 衣服上的尚存水量与最高水量之比,其数量级应是很小的, 所以
Q
1Q
vk n
2 0.99 1.95623
3 0.95 2.72733
4 0.85 3.32149
5 0.80 3.78159
6 0.70 4.14461
7 0.60 4.43581
8 0.50 4.617032
9
4.8714
10
5.0386
vk (k=0,1,2…,n-1)
备注
vk
vk (k=0,1,2…,n无 -1)解 备注
取最小的整数即为最少洗 移轮数
2、算法
可选用一种非线性规划算法,对n=N0 , N0+1, …(凭常 识洗衣的轮数不应太多,比如可取N=10)分别求解,然后选 出最好的结果,其中N0是满足上面两式的最小整数。注意 不必使用混合整数非线性规划算法,那将使问题复杂化。
5. 模型结果
表-1最溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量 和每一轮的最优用水量(各轮的最优用水量恰好相等)表-2 是不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数,最少总用水量和每一 轮的最优用水量(各轮的最优用水量恰好相等)
10.9.9576832 0.9782
n=2 为最优解
20.8.940211 0.9474
30.8.8639005 0.9673
40.6.7850614 0.9360
50.8.6691007 70.731603836 90.937568442
0.5413
0.9768 0.9638 0.9976
0.5386
用动态方程
பைடு நூலகம்
3)、如何设计一系列
通过脱水程序反映得出优
“洗—脱”构成的节水程序? 化结果,属于机理分析
建模过程
1、溶解过程和动态方程
•考察第k轮
•在k 轮洗衣之前,第k-1轮脱水之后的污物为:
xk=pk+qk • 其中Pk表示已溶, qk表示未溶 问题:pk与第k轮加水量uk之间有何关系? 一般规律:pk为uk增函数。且uk=L时,pk最小 (=0);uk=H时,pk最大(pk=Qxk,0<Q<1);
基本假设
•仅考虑离散的洗衣方案:“加水—漂洗—脱水”, 三个环节分离,他们构成一个洗衣周期,称为“一 轮”
• 每轮用水量不能低于L,否则无法转动;同时不 能高于H,否则水会溢出。
• 每轮洗衣时间足够,以便衣服上污物充分溶于 水中,从而每轮所用的水被充分利用;
• 每轮脱水时间足够,以便污物充分脱出,令污 水量达到一底线,设此线为常数c,c<L。(注: 除首轮外,每轮的用水量实际上是加水量和衣物 中残留水量只和。)
节水洗衣机
我国淡水资源有限,节约用水人人有责。洗衣 在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非 常普及,节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣 物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水——漂 洗——脱水——加水——漂洗——脱水…(称“加 水——漂洗——脱水”为运行一轮)。请为洗衣机 设计一种程序(包括运行多少轮,每轮加水量等), 使在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少。 选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机 的运行情况,对你的模型作出评价。
4)、根据前述分析和受仿真结果的启示,提出下列猜想:若 每轮溶解特性相同,则最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数 N0且每轮洗漂的最优用水量相等。若猜想成立,则问题可 以大大简化。
基本假设
•仅考虑离散的洗衣环节: “ 加水—漂洗—脱水”,称为一轮
• 每轮用水量不能低于v1,不能高于v2
• 每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;
un1 c c
xn x0
u1 (u2
cn c)(un
c)
基本 模型
在最终污物量与初始污物量之比 xn/x0
小于给定的 (清洁度)条件下,求各轮
加水量uk (k=1,…n),使总用水量最小。
n
min uk
• 每轮脱水后衣物含水量为常数c;
变量定义
• 设共进行n轮“加水-漂洗-脱水”的过程
• x0~初始污物量 • uk~第k轮加水量 ; • xk~第k轮脱水后污物量 ( k = 1, 2, …, n)
每轮脱水前后污物在水中的浓度不变
x0 x1 , u1 c
x1 x2 , u2 c c
xn1 xn
变量定义
• 设共进行n轮“加水-漂洗-脱水”的过程,
依次为0,1,2,… …,n-1轮
• x0~衣物上的初始污物量
• uk~第k轮加水量 ;
• xk+1~第k轮脱水后污物量 ( k = 0,1, …, n-1)
污物+洗涤剂
1)、污物溶解的情况如何? 用溶解特性刻画
2)、每轮脱水后,污物量 减少情况如何?
Q定义为溶解度,随洗涤剂的不同而不同。 拟合线性函数:pk=Qxk(uk-L)/(H-L)
在第K轮脱水之后,衣服上尚有脏物qk=xk-pk,有脏水C,其
中脏水C中所含脏物量为C﹡ (pk/uk),于是第k轮完成之后衣 服上尚存的脏物总量为:xk+1=(xk-pk)+C ﹡(pk/uk)
基本 模型
一方面,衣服的洗净效果度量:
评价
1)、节水洗衣机是一个非常实际的问题,本文只考虑了非常 基本的要素展开分析、建模,但在实际中要考虑的因素更 多。
2)、可考虑“洗涤”和“漂洗”的不同,前者只在首轮加洗 涤剂,可用特殊的溶解特性(pk与uk关系)加以区别,如 可能用单峰函数比线性函数好。
3)、实际上,无论是参数L,H,C,Q以及洗净效果要求ε, 还是溶解特性,均应在各种不同条件下(比如针对衣服量 的少,中,多)通过实验确定。
问题分析
• 不要求对洗衣的微观机制(物理、化学方面)深入 研究,只需从宏观层次去把握。 • 洗衣的基本原理(宏观上)是用洗涤剂通过漂洗把吸附 在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物。
• 洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水” 程序的反复运行,使残留在衣物上的污物越来 越少,直到满意的程度。
• 洗涤剂也是不希望留在洗涤剂的东西,可将 “污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。
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