最新高中数学空间向量及其运算教案

空间向量及其运算

【高考导航】

本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展

.例如2001上海5分，2002上海5分.

【学法点拨】

本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积

.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知

识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不

平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理

推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，

有了这两个表达式，

我们可以很方便地解决空

间的共线和共面问题

.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整

个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一

一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，

所以空

间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和

表示符号等，都与平面向量相同

.

【基础知识必备】一、必记知识精选1.空间向量的定义

(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

(2)向量的表示有三种形式：

a,AB ，有向线段.

2.空间向量的加法、减法及数乘运算.

(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为

:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，

可通过平移将它们转化为首尾相接的向量

.首尾相接的若干个

向量若构成一个封闭图形，则它们的和为

0，即21A A +32A A +…1A A n =0.

(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向

量由减数向量的终点指向被减数向量的终点

,可简记为“起点相同

,指向一定”,另外要注意

OA -OB =BA 的逆应用.

(3)空间向量的数量积

.注意其结果仍为一向量

.

3.共线向量与共面向量的定义.

(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合

,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量

a,b(b ≠０),a ∥ｂ

a=b,若A 、B 、P 三点共线,则对空间

任意一点O,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=

2

1时,P 是线段AB 的中点,则中点公式

为OP =

2

1(OA +OB ).

(2)如果向量a 所在直线OA 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的

向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a、b不共线.则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb.对于空间任一点O和不共线的三

点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是OP=x OA+y OB+z OC（其中x+y+z=1）.

共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面.

4.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、

求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量.

5.两个向量的数量积.

a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下：

（1）a·e=|a|·cos；（2）a⊥ｂa·b=0.

（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b.

二、重点难点突破

（一）重点

空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的

向量公式.空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用.

（二）难点

空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及

把立体几何问题转化为向量计算问题.

对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：

（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移项法则”仍成立；（3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式.这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件

转化为向量表示，则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的

向量有何关系？

(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论?

三、易错点和易忽略点导析

两个向量的夹角应注意的问题：①（a，b）=（b，a）；②（a,b）与表示点的符号（a,b）

不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB=.图(b)中的∠AOB=π-（AO，OB）,<-OA,OB>＝=π-（AO，OB）.