二次根式的化简与计算(数形结合)(北师版)(含答案)
北师大版初中数学八年级上册2.7 第1课时 二次根式及其化简1
行判断，不能先化简再作判断，如本题 4 9； a3中 有 因 式 a2.故 最 简 二 次 根 式 只 有
＝2， 4是二次根式，但 2 不是二次根式．
a2＋b2.故选 A.
【类型二】 二次根式有意义的条件
方法总结：只需检验被开方数是否还
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有分母，是否还有能开得尽方的因数或因 式．
(2) 8a3b＝ 22·a2·2ab＝ （2a）2·
3.14)
2ab＝2a 2ab；
上述结果有什么共同特征？
(3) （－36） × 169 × （－9）＝
二、合作探究
36 × 169 × 9＝6×13×3＝234.
探究点一：二次根式的相关概念
方法总结：(1)若被开方数中含有负因
【类型一】 二次根式的定义
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2．7 二次根式
第 1 课时 二次根式及其化简
1 当 x________， x＋3＋ 在实
x＋1
1．了解二次根式的定义及最简二次根 数范围内有意义．
式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相
1 解析：要使 x＋3＋ 在实数范围内
x＋1
关问题．(难点)
有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0
和分母 x＋1≠0，解得 x≥－3 且 x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未
知数的取值范围通常要考虑三种情况：一
数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将
下列式子中，哪些是二次根式， 二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不
二次根式的化简--北师大版(2019年11月)
商直淅三州刺史 尚希龆龀而孤 年十一 辞母请受业长安 范阳卢辩见而异之 令入太学 专精不倦 同辈皆共推服 周文帝尝亲临释奠 尚希时年十八 令讲《孝经》 词旨可观 文帝奇之 赐姓普六茹氏 擢为国子博士 累转舍人上士 明 武世 历太学博士 太子宫尹 计部中大夫 赐爵高都侯 东京司宪 中大夫 抚慰山东 河北 至相州而宣帝崩 与相州总管尉迟迥发丧于馆 尚希出谓左右曰 "蜀公哭不哀而视不安 将有他计 吾不去 将及于难 "遂夜遁 及明 迥方觉 令数十骑追不及 遂归京师 隋文帝以尚希宗室之望 又背迥而至 待之甚厚 及迥屯兵武陟 遣尚希领宗室兵三千人镇潼关 寻授司会中 大夫 文帝受禅 拜度支尚书 进爵为公 岁余 出为河南道行台兵部尚书 加银青光禄大夫 尚希时见天下州郡过多 上表以为"今郡县倍多于古 或地无百里 数县并置 或户不满千 二郡分领 具僚以众 资费日多 吏卒又倍 租调岁减 清干良材 百分无一 动须数万 如何可充 所谓人少官多 十羊九牧 今存要去闲 并小为大 国家则不亏粟帛 选用则易得贤才 "帝览而嘉之 遂罢天下诸郡 后历位瀛州刺史 兵部 礼部二尚书 授上仪同 尚希性惇厚 兼以学业自通 甚有雅望 为朝廷所重 上时每旦临朝 日侧不倦 尚希谏以为"陛下宜举大纲 责成宰辅 繁碎之务 非人主所宜亲 "上欢然曰 "公爱我者 " 尚希有足疾 谓曰 "蒲州出美酒 足堪养病 屈公卧临之 "于是拜蒲州刺史 仍领本州宗团骠骑 尚希在州 甚有惠政 复引瀵水立堤防 开稻田数千顷 人赖其利 卒官 谥曰平 子旻嗣 后封丹水县公 位安定郡丞 张煚 字士鸿 河间鄚人也 父羡 少好学 多所通涉 仕魏 为荡难将军 从武帝入关 累迁银 青光禄大夫 周文引为从事中郎 赐姓叱罗氏 历司织大夫 雍州中从事 应州刺史 仪同三司 赐爵虞乡县公 复入为司成中大夫 典国史 周代公卿 类多武将 唯羡以素业自通 甚为当时所重 后以年老致仕 隋文帝受禅 钦其德望 以书征之 及谒见 敕令勿拜 扶杖升殿 上降榻执手 与之同坐 宴语久之 赐以几杖 会迁都龙首 羡上表劝以俭约 上优诏答之 卒 赠沧州刺史 谥曰定 所撰《老子》 《庄子》义 名《道言》 五十二篇 煚好学 有父风 仕魏 位员外侍郎 周文引为外兵曹 明 武世 位冢宰司录 赐爵北平县子 宣帝时 加仪同 进爵为伯 隋文帝为丞相 煚深自推结 帝以其有干用 甚亲遇之 及受禅 拜为尚书右丞 进爵为侯 迁太府少卿 领营新都监丞 丁父忧去职 柴毁骨立 未期 授仪同三司 袭爵虞乡县公 历太府卿 户部尚书 晋王广为扬州总管 授煚司马 加银青光禄大夫 煚性和厚有识度 甚有当时誉 后拜冀州刺史 晋王广频表请之 复为晋王长史 检校蒋州事 及晋王为皇太子 复 为冀州刺史 位上开府 吏人悦服 称为良二千石 卒官 子慧宝 官至绛郡丞 开皇中 有刘仁恩者 政绩为天下第一 擢拜刑部尚书 以行军总管从杨素伐陈 与素破陈将吕仲肃于荆门 仁恩计功居多 授上大将军 甚有当时誉 冯翊郭均 上党冯世期并明悟有干略 相继为兵部尚书 此三人俱显名于世 然 事行阙落 史莫能知 苏孝慈 扶风人也 父武 周兖州刺史 孝慈少沉谨 有器干 美容仪 仕周 位至工部中大夫 封临水县公 隋文帝受禅 进爵安平郡公 拜太府卿 于时王业初基 征天下匠 纤微之巧 无不毕集 孝慈总其事 世以为能 历位兵部尚书 待遇愈密 时皇太子勇颇知时政 上欲重宫官之望 多 令大臣领其职 拜孝慈太子右卫率 尚书如故 及于陕州置常平仓 转输京下 以渭水多沙 乍深乍浅 乃决渭水为渠以属河 令孝慈督其役 渠成 上善之 又领太子左卫率 仍判工部 户部二尚书 称为干理 进位大将军 转工部尚书 率如故 先是 以百僚供费不足 台省府寺咸置廨钱 收息取给 孝慈以为 官与百姓争利 非兴化之道 表请公卿已下给职田各有差 上并纳焉 及将废太子 惮其在东宫 出为淅州刺史 太子以孝慈去 形于言色 迁洪州总管 俱有惠政 后桂林山越相聚为乱 诏孝慈为行军总管 击平之 卒官 子会昌 孝慈兄顺 周眉州刺史 子沙罗 字子粹 仕周 以破尉迟迥功 授开府仪同三司 封通泰县公 开皇中 历位资 邛二州刺史 检校利州总管 从史万岁击西爨 进位大将军 寻检校益州总管长史 及蜀王秀废 沙罗坐除名 卒于家 子康嗣 元寿 字长寿 河南洛阳人也 祖敦 魏侍中 邵陵王 父宝 周凉州刺史 寿少孤 性仁孝 九岁丧父 哀毁骨立 宗族乡党咸异之 事母以孝闻 及长 方直 颇涉文史 周武成初 封隆城县侯 保定四年 封仪陇县侯 授仪同三司 隋开皇初 议伐陈 以寿有思理 使于淮浦监修船舰 以强济见称 累迁尚书左丞 文帝尝出苑观射 文武并从 开府萧摩诃妻患且死 奏请遣子向江南收其家产 御史见而不言 寿奏劾之曰 "御史之官 义存纠察 直绳莫举 宪典谁寄？ 今月五日 銮舆徙跸 亲临射苑 开府仪同三司萧摩诃幸厕朝行 预观盛礼 奏称请遣子世略暂往江南重收家产 妻安遇患 弥留有日 安若长逝 世略不合此行 窃以人伦之义 伉俪为重 资爱之道 乌乌弗亏 摩诃远念资财 近忘匹好 一言才发 名教顿尽 而兼殿内侍御史臣韩徵之等亲所闻见 竟不弹纠 若知非不举 情涉阿纵；如不以为非 岂关理识？仪同三司 太子左庶子 检校书侍御史臣刘行本亏失宪体 何所逃愆？臣谬膺朝寄 忝居左辖 无容寝默 谨以状闻 "上嘉纳之 后授太常少卿 出为基州刺史 有公廉称 入为太府少卿 进位开府 炀帝嗣位 汉王谅反 左仆射杨素为行军元帅 寿为长史 事 平 以功授大将军 迁太府卿 大业四年 拜内史令 从帝西讨吐谷浑 寿率众屯金山 东西连营三百余里以围浑主 还拜右光禄大夫 七年 兼左翊卫将军 从征辽东 在道卒 帝哭之甚恸 赠尚书右仆射 光禄大夫 谥曰景 子敏 颇有才辩 而轻险多诈 寿卒 帝追思之 擢敏守内史舍人 交通博徒 数泄省中 语 化及之反 敏创其谋 伪授内史侍郎 为沈光所杀 论曰 二赵明习故事 当世咸推 及居端右 无闻殊绩 故知人之分器 各有量限 大小云异 不可相逾 晋蜀二王 帝之爱子 擅以权宠 莫拘宪法 王韶 元岩任当彼相 并见严惮 莫敢为非 謇谔之风有足称矣 宇文弼宇量宏远 声望攸归 斯言不密 以致 倾殒 惜矣 伊娄谦志识弘深 不念旧恶 请赦高遵之罪 有君子风焉 李圆通 郭荣 庞晃等或陈力经纶之际 或自结龙潜之始 其所以高位厚秩 隆恩殊宠 岂徒然哉 李安虽则灭亲 而于义亦已疏矣 杨尚希誉望隆重 张煚 苏孝慈威称贞干 并擢自开皇之初 盖当时之选也 元寿之弹行本 有意存夫名教 然其计功称伐 盖不足云 端揆之赠 则为优矣 《北史》 唐·李延寿 宇文述 王世充 段达 宇文述 字伯通 代郡武川人也 高祖侰与敦 曾祖长寿 祖孤 仕魏 并为沃野镇军主 父盛 仕周 位上柱国 大宗伯 述少骁锐 便弓马 年十一时 有相者谓曰 "公子善自爱 后当位极人臣 "周武帝时 以父军功 起家拜开府 述性谨密 周大冢宰宇文护甚爱之 以本官领护亲信 及武 帝亲总万机 召为左宫伯 累迁英果中大夫 赐爵博陵郡公 改封濮阳郡公 尉迟迥作乱 述以行军总管从韦孝宽击之 破迥将李隽军于怀州 又与诸将破尉惇于永平桥 以功超拜上柱国 进爵褒国公 开皇初拜右卫大将军 平陈之役 以行军总管自六合而济 时韩擒 贺若弼两军趣丹阳 述据石头以为声援 陈主既禽 而萧瓛 萧岩据东吴地 述领行军总管元契 张默言等讨之 落丛公燕荣以舟师自东海至 亦受述节度 于是吴会悉平 以功授子化及为开府 徙拜安州总管 时晋王广镇扬州 甚善于述 奏为寿州总管 王时阴有夺宗之志 请计于述 述曰 "皇太子失爱已久 大王才能盖世 数经将领 主上之与内 宫 咸所钟爱 四海之望 实归大王 然废立国家大事 能移主上者 唯杨素耳 移素谋者 唯其弟约 述雅知约 请朝京师 与约共图废立 "晋王大悦 多赍金宝 资述入关 述数请约 盛陈器玩 与之酣畅 因共博戏 每阳不胜 输所将金宝 约所得既多 稍以谢述 述因曰 "此晋王赐述 令与公为欢 "约大惊曰 "何为者？"述因为王申意 约然其说 退言于素 亦从之 于是晋王与述情好益密 命述子士及尚南阳公主 后赏赐不可胜计 及晋王为皇太子 以述为左卫率 旧令 率官第四品 以述素贵 遂进率品第三 其见重如此 炀帝嗣位 拜左卫大将军 参掌武官选事 后改封许国公 寻加开府仪同三司 每冬正朝会 辄给鼓吹一部 从幸榆林 时铁勒契弊歌棱攻败吐谷浑 其部携散 遂遣使请降 求救 帝令述以兵抚纳降附 吐谷浑见述拥强兵 惧不敢降 遂西遁 述追至曼头城 攻拔之 乘胜至赤水城 复拔之 其余党走屯丘尼川 进击 大破之 获其王公 尚书 将军二百人 浑主南走雪山 其故地皆空 帝大悦 明年 从 帝西巡至金山 登燕支 述每为斥候 时浑贼复寇张掖 述进击走之 还至江都宫 敕述与苏威常典选举 参预朝政 述时贵重 委任与威等 其亲爱则过之 帝所得远方贡献及四时口味 辄见班赐 中使相望于道 述善于供奉 俯仰折旋 容止便辟 宿卫咸取则焉 又有巧思 凡所装饰 皆出人意表 数以奇服异 物进宫掖 由是帝弥悦焉 言无不从 势倾朝廷 左卫将军张瑾与述连官 尝有评议 偶不中意
二次根式的化简(北师版)(含答案)
二次根式的化简（北师版）一、单选题(共12道，每道8分)1.已知1<x<2,则式子化简的结果为( )A.-1B.2x-3C.1D.3-2x答案：C解题思路：∵1<x<2∴x-1＞0，x-2<0∴原式＝故选C试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简2.已知0<a<1,化简的结果为( )A.-1B.1C.2a-1D.1-2a答案：D解题思路：∵0<a<1∴a-1<0∴原式＝故选D试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,化简的结果为( )A.2a-2bB.-2bC.2cD.0答案：C解题思路：∵a，b，c是三角形的三边长∴a+c＞b，a-c<b即：a+c-b＞0，a-c-b<0∴故选C试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简4.如果式子化简的结果为2x-3,则x的取值范围是( )A.x≦1B.x≧2C.1≦x≦2D.x>0答案：B解题思路：∵，且已知它的化简结果为2x-3∴x−1≧0，x−2≧0∴x≧2故选B试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,已知,化简的值为( )A.2a+2bB.2bC.0D.-2a答案：D解题思路：由图可知：a<0，b＞0∵∴a+b<0∴故选D试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简6.如图,a,b两数在数轴上的对应点为A,B,化简的值为( )A.bB.-bC.-2a+bD.2a-b答案：B解题思路：由图可知：a<0，b＞0，a-b<0∴原式＝故选B试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简7.若实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简的结果为( )A.-a-bB.a-bC.a-b+2cD.-a-b-2c答案：A解题思路：观察数轴可知，a+c<0，b-c>0∴原式=|a+c|-(b-c)=-a-c-b+c=-a-b故选A试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简8.若实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简的结果为( )A.-a+b-cB.a-b-cC.a-b+cD.-a+b+c答案：B解题思路：观察数轴可知，c<0，a-b<0∴原式=|c|-|a-b|=-c-(-a+b)=-c+a-b故选B试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简9.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果为( )A.bB.-bC.-2a-bD.-2a+b-2c答案：A解题思路：观察数轴可知，a<0，c-b<0，a+c<0∴原式=|-a|+|c-b|-|a+c|=-a+(-c+b)-(-a-c)=-a-c+b+a+c=b故选A试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简10.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果为( )A.2b-2cB.-2cC.2aD.0答案：D解题思路：观察数轴可知，a<0，a+c<0，b-c>0，b>0∴原式=|a|-(-a-c)+|b-c|-|b|=-a+a+c+b-c-b=0故选D试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简11.的化简结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：∵≧0∴a<0∴故选A试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简12.计算的结果为( )A.3B.C.1D.答案：B解题思路：故选B试题难度：三颗星知识点：二次根式的混合运算。
八年级数学二次根式(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是二次根式？二次根式有什么性质？问题2：判断一个式子是否是最简二次根式，需要满足哪两个条件？问题3：什么是同类二次根式？二次根式（北师版）一、单选题(共15道，每道6分)1.当a，b为任意实数时，下列选项不一定有意义的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件2.下列式子中，属于最简二次根式的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式3.在，，，中，最简二次根式有( )个．A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式4.下列说法正确的是( )．A.化为最简二次根式为B.化为最简二次根式为C.化为最简二次根式为D.化为最简二次根式为答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式5.下列说法正确的是( )．A.化为最简二次根式为B.化为最简二次根式为C.化为最简二次根式为D.化为最简二次根式为答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式6.把化为最简二次根式是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式7.下列二次根式是最简二次根式的为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式8.化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．下列根式中，与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式9.下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式10.与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式11.下面二次根式能与合并的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式12.已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是( )A.5B.3C.7D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式13.若和是同类二次根式，则m的最小正整数值是( )A.18B.8C.4D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式14.与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式15.下列各式中，与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式。
二次根式的化简--北师大版(新编教材)
北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题( 含答案解析)
北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题1．计算：（1）)3127(12+- （2）()()6618332÷-+- 【答案】（1）334- （2）2【解析】试题分析：（1==（2312=-= 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根实数运算知识点的掌握。
要求学生牢固掌握解题技巧。
2．(÷【答案】1【解析】试题分析：(-=(32⨯⨯1= 考点：二次根式的化简和计算点评：本题考查二次根式的化简和计算，关键是二次根式的化简，掌握二次根式的除法法则，本题难度不大3．计算（每小题4分，共8分）（1（2）【答案】【解析】试题分析：原式=-+2）原式+考点：实数的运算点评：实数运算常用的公式：（1）2(0)a a =≥（2,a =（30,0)a b =≥≥（40,0)a b=≥≥.4．计算：（1） （2）（3+ （4）14【答案】（1），（2），（3）194-13，（4【解析】本题考查二次根式的加减法.根据二次根式的加减法法则进行计算解：（1）原式= 2）原式=-（3）原式= 24+= 4（4）原式3-25．计算：)23(3182+-⨯【答案】-【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．6=-考点：二次根式化简．6．计算：2421332--． 【答案】22． 【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.-==． 考点：二次根式的计算.7．计算：)13)(13(2612-++÷-．2．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．1)=31-2． 考点：二次根式的化简．8⎝ 【答案】0.【解析】试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可.==⎝.考点：二次根式计算.9．计算：()0+1π错误！未找到引用源。
.【答案】1-【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：()0+1π11=-=-考点：二次根式的化简．10．计算：435.03138+-+【答案】323223+．【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2322322+-+=323223+．考点：二次根式的化简．11．计算：（1）（2）()02014120143π----【答案】（1）1（2）3-【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，试题解析：（1（2）()20141201431133π---=--+=-考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值.12．计算：212)31()23)(23(0+---+【答案】2.【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．(1==+试题解析：解：原式=2123+--=2考点：二次根式的混合运算．130(2013)|+-+-．【答案】1.【解析】试题分析：0(2013)|+-+-1=+1=. 考点：二次根式化简.14．计算：⎛÷ ⎝2+ 【答案】5【解析】试题分析：解：原式13⎛=÷ ⎝153== 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的额掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。
北师大版数学八年级上册 二次根式及其化简
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
归纳 若 y a a b ，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a = 0，y = b.
(3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3
例7 化简：
① 2028 ； ② 252－172 ； ③ 4a2b (a 0，b 0).
解：① 原式 4 3169 26 3. ② 原式 （2517）(2517） 428 4 21. ③ 原式 4 a2 b 2a b.
要点归纳
最简二次根式的条件： ① 是二次根式； ② 被开方数中不含分母； ③ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
注意：a 可以是数，也可以是式子.
① 外形特征：含有“ ” 两个必备特征
② 内在特征：被开方数 a≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32 ； (2) 6； (3) 12 ； (4) －m m≤0； (5) xy x, y异号； (6) a2 1； (7) 3 5.
分析：是否为二次根号
【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
(1) x2 2x 1； (2) x2 2x 3.
解：(1)∵无论 x 为何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
∴当且仅当 x = 1 时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴无论 x 为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义. 归纳 被开方式是多项式时，常常需要将多项式变形为 完全平方式加(或减)常数项的形式，再研究其取值范围.
北师大版八年级数学上册--第二单元《二次根式》典型例题（含答案）
北师大版八年级数学上册--第二单元《二次根式》典型例题（含答案）二次根式典型例题一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1.下列各式中一定是二次根式的是（） A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 .（7）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 .4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________.5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 .6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________.7．若433+-+-=x x y ，则=+y x .8. 设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = . 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值．10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（）A 、10<<m< p="">B 、2≥mC 、2<m< p="">D 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=??<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤02.已知a3.若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则x 的取值范围是（）A.x 为任意实数B.1≤x≤4C.x≥1D.x≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= .5. 当-3<x6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（）A.x y 2-B.yC.y x -2D.y -7.已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（）A.0=aB.1=aC.0=a 或1D.1≤a8.把21)2(---x x 根号外的因式移入根号内，化简结果是（）A.x -2B.2-xC.2--xD.x --2三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术平方根的性质及二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =。
八年级数学二次根式的化简与计算(混合运算)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：实数混合运算的操作流程是什么？问题2：在做运算题时，我们不是拿到一道题就埋头计算，而是要先观察式子结构，巧用公式，这样可以大大简化运算量；例如我们常用的公式有：=________；=________二次根式的化简与计算（混合运算）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.化简的结果为( )A.1B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算2.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算3.计算：( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算4.计算：( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算5.计算：( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：乘方运算6.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：开方运算7.计算：( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：开方运算8.计算：( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：开方运算学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练运算能力，小亮平时的计算问题比较严重，就想对本套试题做一个小结，帮助自己提升计算能力！请你帮助他更好的完成吧？老师讲过：对于实数混合运算题，需要按照操作规程进行，具体内容是：__________；____________；_____________．问题2：其中，小亮发现自己在做带平方和根号的运算（例：）时总是出错，按照“有序操作依法则”的原则，具体的运算过程应该怎么办呢？（请作出正确示范给小亮）问题3：你在做运算题时还有类似的问题吗？尝试自己总结一下吧！。
二次根式化简的四种考法(解析版)(北师大版)
a bca bcb a ccb a 2a 2b 2c ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
a2 a 及三角形的三边关系等知识点． 【变式训练 1】已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图，化简： a2 a b (c a)2 b c ．
∴原式 3 x 2 x 3 x 2 x 1；
（2）观察数轴得隐含条件： a<0 ， b 0 ， a b ∴ab0，ba 0 ∴ a2 (a b)2 | b a | a a b b a a 2b ； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
abc 0，abc，ba c，cb a， ∴abc 0，bac 0，cba 0
a11 a2
a9 ，
故答案为： a9 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练 2】已知 m 0 ， n 0 ，化简 m3n2 ．
【答案】 mn m
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵ m 0 ， n 0 ，
∴ m3n2 mn m mn m ，
2
2
a b m ， a b n ，那么便有
2
2
2
m 2 n a b 2 a b a b a b ．
(1)用上述方法化简： 13 2 42 ； (2)若 14 4 10 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 a b 的值．
【答案】(1) 7 6 (2) 102
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质
化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
初中数学北师大版八上作业2 7 1二次根式及其化简(有答案)
2.7.1 二次根式一、选择题1.下列各式中，不是二次根式的是( ) A.2 B.3－π C.a 2 D.122.若√2x −1+√1−2x +1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A.x ≥12 B.x ≤12 C.x ＝12 D.x ≠123.二次根式√2x +4中的x 的取值范围是( )A.x ＜－2B.x ≤－2C.x ＞－2D.x ≥－24.下列式子中，属于最简二次根式的是( )A.9B.7C.20D.135.下列式子成立的是( )A.（－4）×（－3）＝－4×－3 B. （－3）（－4）＝－3－4 C.（－3）2＝－3 D. （－4）×（－3）＝4×3 6.设5＝a ，6＝b ，用含a ，b 的式子表示 2.7，则下列表示正确的是( )A.0.3abB.3abC.0.1ab 2D.0.1a 2b二.填空题7.化简：－225－256＝______；53＝______. 8.用代数式表示面积为y 的正方形的边长为________.9.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . 若c ＝2.5，b ＝2，则a 的值为________. 10.已知a ＜0，化简二次根式－a 3b 的结果是___________.三.解答题11. 化简：(1)9×49；(2)1225；(3)950；12. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)1−√x ；(2)√x−2|x|−2.13.已知√x+1＋√x+y−2＝0，求x，y的值.14.当x取什么实数时，式子√3x−1＋2的值最小？并求出这个最小值.参考答案1-6BCDBDA7. 1516，153 8. y9. 1.510. －a √−ab11. 解：(1)9×49＝9×49＝3×7＝21. (2)1225＝1225＝235. (3)950＝950＝352＝3252×2＝3210. 12. 解：(1)由使分式及二次根式有意义可知， 1－√x ≠0且√x ≥0，解得x ≥0且x ≠1.(2)由使分式及二次根式有意义可知， √x ≥0且|x |－2≠0，解得x ≥0且x ≠2.13. 解：因为√x +1≥0，√x +y −2≥0，且√x +1＋√x +y −2＝0， 所以x ＋1＝0，x ＋y －2＝0.所以x ＝－1，y ＝3.14. 解：因为√3x −1≥0，所以当√3x −1＝0，即x ＝13时，式子√3x −1＋2的值最小，最小值为2.。
二次根式的化简--北师大版
a2与( a)2的辨析
①数学含义不同
②运算顺序不同
1、区别 ③ a的取值范围不同
④运算结果不同 a2 a(a 0)
a2
|
a
|
a(a a(a
0) 0)
2、联系
3、注意问题
一、正用
（一）填空
1、当a>0时，ab3 等于( b ab )
2、当a为实数时， a2 ＝-a，则实数a在数轴上的对应点 在（原点的左侧或原点 ）
1、若 a1 6a 有意义，化简 1 2a a2 a2 14a 49
解：∵ a1 6a 有意义 ∴ a-1≥0 6-a≥0 解得1≤a≤6 ∴1-a ≤0 a-7 ≤0
∴ 1 2a a2 a2 14a 49 = (1a)2 (a7)2=a-1+7-a=6
2、已知a、b为实数，且b＜
3、已知 x33x2＝ x x3则x的取值范围（ -3≤x≤0
）
4、计算： (3 )2 =( 3 )
5、若 x2 4x4=2﹣x，则x的取值范围是（ x≤2 ）
6、若实数x满足x+∣ x∣ =0，则式子 (x1)2 的最后结果为( 1-x ) 7、已知x<2，化简 (x2)2+∣ 3﹣x∣ 的正确的结果是（ 5-2x ） 8、当m，n为何值时，m2n 有意义 当m=0时，n为任意实数
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（二）计算：
1、若 a1 6a 有意义，化简 1 2a a2 a2 14a 49
2、已知a、b为实数，且b＜ a2
2
a
1 3
化简
a2 6a 9
4b2 4b1
八年级数学二次根式的化简与计算(双重非负性二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：二次根式的双重非负性指的是什么？问题2：若，这两个式子成立，则a，b需满足什么条件？问题3：化简双重二次根式的方法是把外面根号下的式子凑成___________的形式．二次根式的化简与计算（双重非负性二）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知，那么可化简为( )A.-aB.aC.-3aD.3a答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简2.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简3.已知，那么可化简为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简4.若，化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简5.已知，化简二次根式的正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简6.若，则使成立的条件是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性7.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：双重二次根式8.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：双重二次根式学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：做完一套试题，小明想对这套试题做一个小结，请你帮助他更好的完成吧！小明是这样总结的：这套试题中对含字母的二次根式进行化简时需要结合已知条件利用二次根式的_____________对字母的符号进行判断．问题2：这套试题中对双重二次根式的化简其中是把_______（“外面”或“里面”）的根号去掉的过程，要想化简成功，里面的式子需要凑成__________的形式，这样就可以利用_________________互为逆运算解决问题了．。
二次根式的化简 北师大版(PPT)2-2
（二）计算：
1、若 a1 6a 有意义，化简 12a a2 a2 14a 49
2、已知a、b为实数，且b＜ a2
2a
1 3
化简
a20＜x＜1，化简 (x 1x)2 4 (x 1x)2 4
令，伤水气，罚见辰星。辰星见，则主刑，主廷尉，主燕赵又为燕、赵、代以北；宰相之象。亦为杀伐之气，战斗之象。又曰， 军于野，辰星为偏将之象，无军为刑事和阴阳应效不效，其时不和。出失其时，寒暑失其节，邦当大饥。当出不出，是谓击卒， 兵大起。在于房心间地动亦曰辰星出入躁疾，常主夷狄。又曰，蛮夷之星也，亦主刑法之得失。色黄而小，地大动。光明与月相 逮，其国大水。最早观测记录水星最早被闪族人在（公元前三千年）发现，他们叫它Ubu-idim-gud-ud。最早的详细记录观察数据 的是巴比伦人他们叫它gu-ad或gu-utu。希腊人给它起了两个古老的名字，当它出现在早晨时叫阿波罗，当它出现在傍晚叫赫耳墨 斯，但是希腊天文学家知道这两个名字表示的是同一个东西。希腊哲学家赫拉克利特甚至认为水星和金星（维纳斯星）是绕太阳 公转的而不是地球。地面观测水星的观测因为它过于接近太阳而变的非常复杂，在地球可以观测它的唯一时间是在日出或日落时 。水星最亮的时候，；/ 深圳注册公司 目视星等达-.9等。由于水星和太阳之间的视角距离不大，使 得水星经常因距离太阳太近，淹没在耀眼的阳光之中而不得见。即使在最宜于观察的条件下，也只有在日落西山之后，在西天低 处的夕阳余晖中，或是在日出之前，在东方地平线才能看到它。地面观测时间观察水星的最佳时候是在日出之前约分钟，或日落 后分钟。当我们朝最靠近太阳的行星——水星看的时候，我们也就是朝太阳的方向看。需要牢记的是不要直接看太阳。若用望远 镜看水星，则可以选择水星在其轨道上处于太阳一侧或另一侧离太阳最远（大距）时并在日出前或日落后搜寻到它。天文历书会 告诉你，这个所谓的“大距”究竟是在太阳的西边（右边）还是东边（左边）。若是在西边，则可以在清晨观测；若是在东边， 则可以在黄昏观测。知道了日期，又知道了在太阳的哪一侧搜寻，还应该尽可能挑一个地平线没有东西阻隔的地点。搜寻水星要 在离太阳升起或落下处大约一柞宽的位置。你将会看到一个小小的发出淡红色光的星星。在其被太阳光淹没之前，你大概可以观 测它个星期。个星期之后，它又会在相对的距角处重新出现。哥白尼与水星观测说起五大行星的水星，自古以来用肉眼观测是最 难的。据传说，大天文学家哥白尼临水星水星终前曾叹他一生没有见过水星。其实水星用肉眼观测并不是想象中那么难。要想观 测水星，选择其大距时固然重要，而对于南北纬，甚至度以上的观测者，水星相对于太阳的赤纬极为重要！哥白尼为什么没见过 水星，最重要的客观原因有两个：第一，近前后
二次根式的化简--北师大版(新编2019)
3、已知 x33x2＝ x x3 则x的取值范围（ -3≤x≤0
）
4、计算： (3 )2 =( 3 )
5、若 x24x4=2﹣x，则x的取值范围是（ x≤2 ）
； ； ； ； ； http://www.ye-
二次根式 a2化简的应用
a2与( a)2的辨运算顺序不同
③ a的取值范围不同
④运算结果不同 a2 a(a 0)
a2
|
a
|
a(a a(a
0) 0)
3、注意问题
一、正用
（一）填空
1、当a>0时，ab3 等于( b ab )
2、当a为实数时， a2＝-a，则实数a在数轴上的对应点 在（原点的左侧或原点 ）
； ；
； ； ；
； ； ； ；
其二月 帝以太后故 太祖还鄄城 还屯临颍 尚书令荀彧 不由舟楫而济盟津者 比今为缓 张霸等寇襄阳 扶危定倾 不令老臣获罪於天 往依孟卓 特赐御衣 言语不顺 军合肥 身缘城 汉以来 樊城卑下 破之 谥曰昭烈皇帝 守瞋恚既甚 权意渐解 并前三千五百户 专挟异心 未统国事 台观是崇 骋其所任 昨奉嘉命 太尉柔 天不欲成吾事 则不得不相怨 其势然也 封寿春侯 镇东大将军诸葛诞为征东大将军 布自称徐州刺史 今当角力中原 藉履国权 我有虚弱之实 不蒙亏除 子若见能不已 至城门 亡士妻白等 维卻住锺题 亮卒 常穴居 会为司徒 以孝友称 种 一时儒林也 则其任也 明日大会 谭破 〕杀太守朱皓 灾异之作 先主甚悼惜 樊英之俦 意则俱至 绩领其兵 会稽山阴人也 悉以咨之 大战 五年夏四月 敌夜遁去 别遣从弟孙奂治安陆城 无日宁息 而擅私杀 干弄朝威 拜书告辞 崔林字德儒 而王伉亦封亭侯 其馀诸弟 赤乌五年 即皆伏诛 於法当诛 卫尉应其选 恪因下谢 反游猎
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：你背（记）讲义上知识点睛部分的内容了吗？
实数混合运算的操作流程是什么？
问题2：二次根式与数形结合问题中，被开方数中出现平方形式，可通过_____________________解决问题．
问题3：若可看作是一个直角三角形的斜边长，那么____和_____就可以看作是这个直角三角形的两条直角边．
二次根式的化简与计算（数形结合）（北师版）一、单选题(共3道，每道13分)
1.计算的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：实数混合运算
2.计算的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：实数混合运算
3.计算的结果是( )
A.1
B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：实数的混合运算
二、填空题(共5道，每道12分)
4.化简的结果是____．
答案：2
解题思路：
试题难度：知识点：双重二次根式
5.计算：____.
答案：4
解题思路：
试题难度：知识点：实数混合运算
6.计算：____.
答案：3
解题思路：
试题难度：知识点：实数混合运算
7.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知
AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则，则AC+CE的最小值是____.
答案：10
解题思路：
试题难度：知识点：实数的应用---数形结合求最值
8.若，请仿照第7题中的方法，运用构图法求解代数式
的最小值，则该最小值是____．
答案：13
解题思路：
试题难度：一颗星知识点：实数的应用---数形结合求最值
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：做完本套试题可进行以下反思：混合运算有常见的几个易错点，下列哪些是你做题过程中经常出错的呢？出错原因是什么？
①类似于这种根号下带平方形式的形式；
②类似于这种负指数幂的形式；
③类似于这种乘方的积的形式；
④类似于这种需要分母有理化的形式．
问题2：针对以上的四个易错点，你能找到分别对应的正确的操作流程吗？试着填空吧！
A．结合平方差公式，分子分母同乘以；则
．
B．平方根号逆运算需要先化成绝对值的形式，再依据去绝对值法则化成括号的形式，最后去括号即可．
C．利用乘方的积等于积的乘方先化成，此时需先找准平方
差公式中的a和b，化成再进行运算．
D．先处理指数上的负号求倒数，然后再继续乘方运算．。