一元高次方程求解方法

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高次方程的解法

高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。

其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。

我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。

其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。

比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。

因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。

其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。

如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。

那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。

通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。

所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。

比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。

所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。

高次方程及解法

高次方程及解法江苏省通州高级中学徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

数学解方程的快速方法

数学解方程的快速方法数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而解方程是数学中的一项重要技能。

解方程不仅能够帮助我们理解数学问题，还能应用到生活中的实际情境中。

然而，对许多学生来说，解方程是一项具有挑战性的任务。

在本文中，我们将探讨数学解方程的一些快速方法，以帮助学生更好地掌握这一技能。

首先，提出的问题一般是由一个或多个未知数组成的方程。

为了解方程，我们需要找到使方程成立的未知数的值。

最常见的一类方程是一元一次方程，即只包含一个未知数和一个次数为一的项。

我们可以利用一些规律和技巧来快速解决这些方程。

第一种方法是移项法。

当方程中的未知数包含在多项式中时，我们可以通过移动项的位置来化简方程。

例如，对于方程3x + 5 = 8，我们可以通过将5移到等号的另一侧来简化方程，得到3x = 8 - 5 = 3。

接下来，我们可以继续化简方程，最终得到x = 1。

第二种方法是因式分解法。

当方程中的多项式可以因式分解时，我们可以通过找出公因式来简化方程。

例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，我们可以通过观察到(x - 4)(x - 2) = 0来因式分解方程。

由此可得到两个解x = 4和x = 2。

第三种方法是配方法。

当方程中存在平方项时，我们可以通过配方法将其转化为平方完全展开的形式。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过将x^2 + 6x中的6用2的平方来补全，得到(x + 3)^2 - 1 =0。

接下来，我们可以通过开方等方法得到两个解x = -3 + 1和x = -3 - 1。

除了一元一次方程外，还存在其他类型的方程，如二元方程、多元方程和高次方程。

对于这些方程，解法可能更加复杂，但我们仍然可以应用一些技巧来快速解决。

在解决二元方程时，我们可以利用消元法来降低方程的次数。

通过将两个方程相减或相加，我们可以消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

继续运用前面提到的一元一次方程的快速方法，我们可以解出这个未知数的值，再带入原来的方程中找到另一个未知数的值。

小学x方程式公式

小学x方程式公式在学习数学的过程中，x方程式是非常重要的一类数学公式。

今天，我们将对小学课本中的x方程式的含义和特点进行简单的介绍。

一、什么是x方程式？x方程式是数学中一类方程的统称，以ax+b=c的形式表示，其中a、b、c是实数，a不为0。

X方程式的奥秘在于求解方程的x的值。

例如：3x+1=12解：3x+1=12，化简：3x=11,x=11/3二、x方程式的三种形式A. 一元一次方程式：一元一次方程式是指只有一个未知数和一个常数的一元方程式，由一个变量和一个实数组成，其形式为ax+b=0，这里的a和b分别代表实数，其中a不等于0。

例如：2x+3=0解：2x+3=0，化简：2x=-3，x=-3/2B. 一元二次方程式：一元二次方程式是指只有一个未知数和两个常数的一元方程式，由一个变量和两个实数组成，其形式为ax2+bx+c=0，这里的a、b、c 分别代表实数，其中a不等于0。

例如：2x2+3x+2=0解：2x2+3x+2=0,利用一元二次方程式特征式求解，则特征式：Δ=b2-4ac=32-4×2×2=9，根据Δ>0，两根：x=(-3±√9)/4=-3/4±3/4=-1,-2C.次方程式：高次方程式是指多个未知数和多个常数的一元方程式，由多个变量和多个实数组成，其形式为axn+bxn-1+cxn-2+…+z=0，这里的a、b、c、d等分别代表实数，其中a不等于0。

例如：3x3+5x2-3x+2=0解：3x3+5x2-3x+2=0,求解高次方程式，先将方程式变换，令x=-z，变换后的方程式为：3z2+5z+12=0,然后使用二次方程式的求解方法，求解特征式：Δ=52-4×3×12=20，根据Δ>0，两根：z=-5±√20/6=-5±2=-3，-2，所以x=-3，-2三、x方程式的求解方法1、一次方程式的求解：由一元一次方程式ax+b=0可知，a不等于0，可以使用消元法将方程式化简求解，x=(-b)/a。

解方程的公式。

解方程是数学中的基本技能之一，它是数学中的一种基本运算，也是数学中的一种基本思维方式。

解方程的公式是解决方程的一种方法，它是通过一系列的数学运算，将方程中的未知数求出来的过程。

在解方程的过程中，我们需要运用一些基本的数学知识和技巧，如代数运算、因式分解、配方法、移项等。

一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的公式为：x=-b/a其中，x为方程的解，a和b为方程中的系数。

这个公式的意义是将方程中的常数项b除以系数a，得到的结果就是未知数x的值。

例如，解方程2x+3=7，我们可以将方程变形为2x=4，然后将两边都除以2，得到x=2。

因此，方程的解为x=2。

一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a其中，x为方程的解，a、b和c为方程中的系数，±表示两个解，√表示开方。

这个公式的意义是将方程中的系数代入公式中，求出未知数x的值。

例如，解方程x^2-3x+2=0，我们可以将方程中的系数代入公式中，得到x=(3±√(3^2-4×1×2))/2×1。

化简后，得到x=1或x=2。

因此，方程的解为x=1或x=2。

高次方程的解法高次方程是指未知数的最高次数大于二的方程。

高次方程的解法比较复杂，需要运用一些高级的数学知识和技巧。

其中，常见的解法有因式分解、配方法、换元法、求根公式等。

因式分解是指将方程中的多项式分解成若干个一次或二次的因式的乘积，然后再求出未知数的值。

例如，解方程x^3-3x^2+2x=0，我们可以将方程中的多项式分解成x(x-1)(x-2)=0，然后求出未知数的值，得到x=0、x=1或x=2。

一元一次方程的解法

（2）调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天，丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法知识点和方法概述 1、等式等式：用“=”表示相等关系的式子。等式的性质： 1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即：若 A=B，则 A±C=B±C。 2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0），所得结果仍是等式。即：若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程方程：含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。（注：用等式的两条性质所得的方程与原方程是同解方程。）方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0），所得结果仍是等式。不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时也简称绝对值方程。解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对

一元三次方程通用解法

一元三次方程通用解法一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，也是解析几何和微积分等学科中的基础知识。

解一元三次方程需要掌握一些基本的解法和技巧，本文将从生动、全面和有指导意义的角度来介绍一元三次方程的通用解法。

首先，我们来介绍一下一元三次方程的一般形式：ax³ + bx² +cx + d = 0，其中a、b、c和d都是已知的实数，而x是未知数。

解一元三次方程的关键在于找到方程的根，即方程成立时x的值。

下面我们将介绍一种通用的解法。

1. 将一元三次方程化为齐次方程：首先，我们需要通过一些变换将一元三次方程化为齐次方程。

齐次方程的特点是方程中除了常数项之外，其他各项的次数都相同。

我们可以通过代换将一般形式的一元三次方程转化为齐次方程。

2. 求出齐次方程的一个根：接下来，我们需要找到齐次方程的一个根。

通常情况下，我们可以先尝试一些简单的整数作为根进行求解，例如1、-1、2、-2等。

如果我们找到了一个根，可以将方程除以x减去这个根得到一个二次方程。

3. 求解二次方程：将齐次方程除以x减去一个根后得到的二次方程是一个已知形式的方程，我们可以使用求解二次方程的方法来求解。

通过求解二次方程可以得到齐次方程的另一个根。

4. 求解非齐次方程：通过已知的两个根，我们可以将齐次方程因式分解为(x - 根1)(x - 根2)(ax - 根3)的形式。

然后，我们可以运用因式分解的方法求解非齐次方程。

5. 检验解的有效性：求解完一元三次方程后，我们需要将求得的解代入原方程进行检验，确保方程两边都成立。

如果方程两边都相等，那么我们得到的解就是正确的。

在解一元三次方程的过程中，我们需要运用到代数运算、因式分解和求解二次方程等知识和技巧。

这些方法和技巧不仅在解一元三次方程中有用，还可以应用到其他数学问题的求解中。

除了以上的通用解法，解一元三次方程还有其他方法，例如牛顿切线法和卡尔达诺公式等，这些方法在特定情况下可以更加高效地求解一元三次方程。

高中一元三次方程快速解法

高中一元三次方程快速解法高中一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，解法也是需要掌握的基本技能。

本文将介绍一种快速解法，帮助读者更好地理解和解决高中一元三次方程。

一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为待求的未知数。

解一元三次方程的常用方法有因式分解、配方法、待定系数法等，但这些方法在解决复杂的一元三次方程时可能会比较繁琐，需要耗费大量的时间和精力。

因此，我们需要一种更快速的解法。

在介绍快速解法之前，我们先来回顾一下一元三次方程的基本性质。

一元三次方程一般有三个根，这些根可以是实数或复数。

如果方程的系数都是实数，但方程没有实数根，那么它一定有两个共轭复数根。

快速解法的关键在于观察方程的特点，通过变量的替换和简化，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组，从而更容易求解。

具体步骤如下：步骤1：观察方程是否有特殊形式。

有些一元三次方程可以通过观察特殊形式来简化。

例如，如果方程中含有因式(x-a)(x-b)(x-c)，那么方程的根就是a、b、c。

步骤2：变量替换。

通过变量的替换，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组。

常用的变量替换方法有令x=y+m，其中m为常数，通过这种替换可以将方程转化为二次方程。

另外，还可以通过令x=y+z，将方程转化为二次方程组。

步骤3：解二次方程或二次方程组。

将转化后的二次方程或二次方程组进行求解，得到解的表达式。

步骤4：反变换。

将步骤2中的变量替换反过来，得到原方程的解。

通过以上步骤，我们可以快速解决一元三次方程的问题。

下面通过一个例子来说明具体的解题方法。

例题：解方程x^3-5x^2+8x-4=0解法：观察方程，发现方程的系数都是实数，但方程没有实数根。

因此，方程一定有两个共轭复数根。

步骤1：由于方程没有特殊形式，我们需要进行变量替换。

令x=y+1，将方程转化为(y+1)^3-5(y+1)^2+8(y+1)-4=0展开并化简得y^3-4y^2+3y=0步骤2：解二次方程。

一元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。

若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。

于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。

有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。

当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。

如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。

这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。

”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。

一元高次方程解法

一元高次方程解法
一元高次方程的解法有多种方法，最常用的方法是配方法、因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法等。

配方法：将一元高次方程转化为一个多项式乘积等于零的形式，再分别解出每一个因式，即可得到方程的解。

因式分解法：将一元高次方程进行因式分解，再分别解出每个因式，即可得到方程的解。

求根公式法：对于二次以上的高次方程，可以使用求根公式求出方程的根。

例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求出方程的根。

牛顿迭代法：通过对方程进行迭代计算，不断逼近方程的解，最终得到方程的解。

这种方法通常需要预先估计方程的解，在这个基础上进行迭代计算。

解一元三次方程的方法

解一元三次方程的方法一元三次方程是高中数学中的重要内容，解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍一些常用的方法。

1. 代数方法。

解一元三次方程的最基本方法是代数方法。

对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，可以通过代数方法将其化简为一元二次方程，然后利用求根公式或配方法求解。

这种方法适用范围广，但对于复杂的三次方程可能需要较长的计算过程。

2. 图像法。

对于一元三次方程，可以利用图像法来解。

通过绘制函数y=ax^3+bx^2+cx+d 的图像，可以通过观察图像的特点来求解方程的根。

这种方法直观、易于理解，但需要对函数的图像特点有一定的了解。

3. 牛顿法。

牛顿法是一种数值计算方法，也可以用来解一元三次方程。

通过不断迭代逼近方程的根，可以利用牛顿法求解一元三次方程。

这种方法计算速度较快，但需要一定的数值计算基础。

4. 特殊代数方法。

对于特殊形式的一元三次方程，可以利用特殊的代数方法来求解。

例如，对于形如x^3+px+q=0的方程，可以利用某些特殊的代数技巧来求解。

这种方法需要对代数技巧有一定的了解，但可以简化计算过程。

5. 综合运用。

在实际问题中，解一元三次方程的方法可能需要综合运用多种方法。

例如，可以先利用代数方法化简方程，然后再利用图像法观察方程的特点，最后再利用数值计算方法来精确求解。

这种方法需要对多种方法有一定的了解和灵活运用。

总之，解一元三次方程的方法有多种，可以根据具体的方程形式和求解要求选择合适的方法。

在学习和应用中，可以灵活运用各种方法，以便高效地求解一元三次方程。

一元一次参数方程解法

提取公 1 1 1 解： x（） 2015 因式x 1 2 2 3 2015 2016 1 1 1 1 1 1 x( ) 2015 裂项 1 2 2 3 2015 2016
化简
1 x(1 ) 2015 2016
2015 x 2015 2016
基础巩固
1、若 kx
32 k
2k 3是关于 x的一元一次方程，则 k
解：3-2k=1 -2k=1-3 (移项) -2k=-2 （未知数的系数化为1） k=1 （方程的解）
x 3 x 1 2、方程 2 x 去分母正确的是（） 5 2
A. 2(x-3)-2=x-(x-1) C.2(x-3)-20=10x-5(x+1)
4a 18 9 a 2
2、若（k m) x 4 0和2k m x 1 0是关于x的同解方程， k 求 - 2的值 m
(k+m)x=-4
(2k-m)x=1
4 1 k m 2k m
k 5 将m 3k代入 2 m 3
化简得 m=3k
x 1 且它们的解互为相反数，求m, n分别是多少？关于 x的方程 p 1 5 的解是多少？
∴2x-3=0
3 x 2Leabharlann 二、同解方程知识导航
若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程。同解方程一般有两种解法：（1）只有一个方程含有参数，另一个方程可以直接求解，此时，直接求得两个方程的共同解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案。（2）两个方程都含有参数，无法直接求解，此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法。注意：（1）两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2 倍等。（2）一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础。

高次方程解法[整理版]

高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。

换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。

6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。

【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。

令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。

2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。

其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。

y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。

7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。

高次方程解法

高次方程解法一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方式（x+1），∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

解方程的6个公式

解方程的6个公式一、一次方程求解公式：一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。

一次方程的解可以通过使用一次方程求解公式来求得。

一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a不等于0。

一次方程求解公式为x = -b / a。

二、二次方程求解公式：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。

二次方程的解可以通过使用二次方程求解公式来求得。

二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0。

二次方程求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

三、一元二次方程求解公式：一元二次方程是指未知数的最高次数为2且只有一个未知数的方程。

一元二次方程的求解可以通过使用一元二次方程求解公式来得到。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0。

一元二次方程求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

四、勾股定理：勾股定理是解决直角三角形相关问题的一个基本公式，也可以用来解方程。

勾股定理表示在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

勾股定理的表达式为a^2+b^2=c^2，其中a、b表示直角边的长度，c表示斜边（斜边为斜边的长度）。

五、平方差公式：平方差公式是解决平方差问题的一个基本公式，可以用来将一个平方差表达式分解为两个因式的乘积。

平方差公式表示a^2-b^2=(a+b)(a-b)，其中a、b表示任意数。

六、根号的性质：根号的性质可以应用在方程求解中，其中包括根号的分配律、合并等。

当一个等式中含有根号时，我们可以通过使用根号的性质来简化方程，进而求解出方程的解。

以上是解方程过程中常用的六个公式。

在实际应用中，我们根据具体的问题选择适当的公式和方法，通过化简、代入、变形等运算，逐步解决方程，得到未知数的值。

解方程在数学研究和实际应用中具有重要的地位，是培养逻辑思维和解决问题的能力的重要手段之一。

简易高次方程的解法

简易高次方程的解法在数学中，高次方程是指次数大于二次的代数方程。

一般来说，高次方程的解法并不是那么容易，需要使用特定的方法才能求出解。

但是对于一些简易的高次方程，我们可以使用较为简单的方法来求解。

首先来看一元四次方程的解法。

对于一元四次方程而言，我们通常使用代换法将其转化为一元二次方程进行求解。

其中一种代换的方法如下：假设我们要解的一元四次方程为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, 首先我们使用代换方法将其转化为y=x^2。

这样我们就得到了ay^2+by+c(dx+e)+d^2=0的一元二次方程。

这个方程可以使用求根公式进行求解。

求出y的值之后，我们再用y代回x^2，就能得到x的值了。

接下来是一元五次方程的解法。

对于一元五次方程而言，我们可以使用差分与代换的方法来进行求解。

具体步骤如下：1. 把一元五次方程的根排序，这样就得到了a，b，c，d，e五个数字。

2. 接着我们计算这五个数字的差值，即b-a，c-b，d-c和e-d。

如果它们之间存在相同的数，那么这个一元五次方程就可以被化简为一元四次方程或者更低次数的方程。

3. 如果差值中不存在相同的数，我们将y=x+t代入原方程中，并将所有的x^5都替换成(y-t)^5。

这样，我们就得到了一个只有一项（y^5）是关于y的五次方的方程。

用五次求根公式求出y的值后，再令x=y-t，就可以得到x的值。

以上就是一元四次方程和一元五次方程的常用求解方法。

对于一元六次及以上的方程，其解法比较复杂，我们需要使用更加专业的方法进行求解。

总之，在解高次方程时，我们需要考虑各种因素，并根据具体方程和情况选择合适的解法。

虽然有些高次方程的解法相对较为复杂，但是在数学学习中，它们也是非常重要的。

掌握了这些方法，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，从而更好地应对各种数学问题。

牛顿迭代法解一元多次方程的方法

（实用版4篇）编写:_______________审核:_______________审批:_______________单位:_______________时间:_______________序言本店铺为大家精心编写了4篇《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》，供大家借鉴与参考。

下载后，可根据实际需要进行调整和使用，希望对大家有所帮助。

（4篇）《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇1牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的数值方法。

它基于泰勒公式的近似，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 初始化：给定一元多次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d=0，选取一个初始值 x0，并设置一个误差限额 e。

2. 计算函数值：计算函数 f(x) = ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d 在x0 处的值，即 f(x0) = a*x0^n+b*x0^(n-1)+c*x0^(n-2)+...+z*x0+d。

3. 计算导数：计算函数 f(x) 在 x0 处的导数，即 f"(x0) =n*a*x0^(n-1)+(n-1)*b*x0^(n-2)+(n-2)*c*x0^(n-3)+...+z。

4. 更新解：利用牛顿迭代公式 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f"(x_n)，计算出下一次迭代的解 x_{n+1}。

5. 判断收敛：比较 x_{n+1} 与 x_n 之间的误差，如果小于等于 e，则认为已经收敛，输出结果；否则，回到第 4 步，继续迭代，直到误差小于等于 e。

需要注意的是，牛顿迭代法仅适用于一元多次方程，且要求方程的系数是常数。

《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇2牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的方法，它是从泰勒公式中取前两项构成线性近似方程，然后通过迭代逐步逼近精确解。

下面是使用牛顿迭代法解一元多次方程的一般步骤：1. 根据方程的系数和常数项，写出方程的泰勒公式。

一元三次方程的15种解法

一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。

解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。

本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。

2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。

具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。

3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。

具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。

4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。

具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。

高中一元三次方程解法

高中一元三次方程解法一元三次方程有三种解法，包括卡尔丹公式法、盛金公式法和因式分解法。

简单地说就是公式法和因式分解法。

和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之处，公式法适用于一切方程，而因式分解法一般只适用于存在有理数根的方程。

当然三次方程应用因式分解法的主要目的是为了降次，因此它也有可能在存在无理根或复数根时使用因式分解法。

我们平时用得比较多的还是因式分解法。

比如x^3-1=0或x^3+1=0，都有因式分解的公式可以直接应用。

前者得到(x-1)(x^2+x+1)=0，后者得到(x+1)(x^2-x+1)=0. 由此得到方程的一个有理根和一对共轭虚根。

当然，这里的1可以换成任意实数，因为任意实数都可能写成一个数的三次方。

对于标准型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所举的例子属于a=1, b=0, c=0的特殊形式。

当b,c至少有一个不等于0时，一元三次方程就不一定能分解出一个有理根。

所以因式分解法并不一定适用于所有一元三次方程。

这时候如果想要使用因式分解法，就必须满足存在有理根的条件，否则很难因式分解。

比如三次方程：x^3+x^2-x+2=0，通过观察，我们可以用多项式x^3+x^2-x+2除以x+2，就得到x^2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x^2-x+1)=0，同样可以得到一个实根x=-2，和两个共轭虚根。

但是三次方程x^3+x^2-x+1=0就无法应用因式分解法了。

这时候就要用公式法。

卡尔丹公式法相对比较复杂，而盛金公式法就简单得多。

纯讲知识的内容既干枯燥又难懂，因此接下来就对这个方法，分别运用两个公式，做一个演示，希望能你从演示的过程中得到启发，学会这两种公式法。

三次方程x^3+x^2-x+1=0中，a=1, b=1, c=-1，d=1. 令x=y-b/(3a)=y-1/3代入方程，得到：(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-(y-1/3)+1=0，化简得y^3-4y/3+38/27=0. 这是特殊型的一元三次方程y^3+py+q=0(p,q∈R). 其中p=-4/3, q=38/27.接下来求卡尔丹判别式：△=(q/2)^2+(p/3)^3=361/729-64/729=11/27. 当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。

(完整版)特殊的高次方程的解法

特殊的高次方程的解法教学目标1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学流程设计复习引入例题分析巩固练习布置作业课堂小结教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程（1）5x 3=4x 2；（2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程（1）x 3-5x 2+x-5=0；（2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程x 3-2x 2-4x ＋8=0．解原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x 2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决：令0≠==k dc b a，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为bkx 3+bx 2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04．拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置1．练习册：习题21.2（3）2．选做题：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学设计说明1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。