一元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路

若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练!

任给一个一元二次方程

2

ax bx c 0, a 0, ①

由韦达定理，①的根可以表示为

若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会

一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程

的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方

程的根表示出来？

数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？

n次方程的一般表达式是

n n 1 c c

a o x a i x a n i x a n 0, a。0,

而f(x) a°x n a i x n1a. i x a.称为n次多项式，其中a。0。当系数a°,a i, ,a n i,a n都是实数时，称f (x)是n次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称 f (x) 为n次复系数多项式。如果存在复数，使得f( ) 0 ,就称是n次方程f (x) 0的一

个根，或称为n次多项式f (x)的一个根。

1799 年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n次多项式恰有n个复数根，其中k重根以k个

根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n次多项式都可

以分解成n个一次式的乘积。”

代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n次方程的根，一般是希望得到n次方程

n n 1

f (x) a°x a i x a n i x a n 0 ②