垂直平分线的证明
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哈五中
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1
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
A•
•B
精选ppt
2
M
P•
A
C
N 精选ppt
B
3
M
A
C
N •Q 精选ppt
B
4
M
P.
A C .Q N 精选ppt
B
5
定理(线段垂直平分线的性质定理)
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
条线段的垂直平分线上.)
C
B
精选ppt
29
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.
求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)
A
1 2
O
3
又∵ AB平分CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)
M/ P N
知)
B
N/
C
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
精选ppt
21
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
P• A•
•B
点P为校址
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22
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
•
•C
B
•
•
•
N精选ppt
18
M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
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19
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
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20
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的
垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段 AB的垂直平分线上(已
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D
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30
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A
E
300
300
B
CF=2AF
60O F
30O C
AF=BF CF=2BF
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平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理)
∵BD平分A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
•A
•B
l P
点P为所求作的点
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23
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B
D
C
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24
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B
D
C
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B
D
C
25
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o . A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
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26
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
A
E
13cm
B
D
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C
27
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直
平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D
AD =BD AC = BC
3
CF = BF CE = BE F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
1
A
CE B
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28
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
已知： 直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M P
求证： PA=PB
AC
B
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N
11
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义)
P
在PCA和PCB中,
AC
N
AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B PC=PC(公共边)
∴ PCA ≌ PCB(SAS)
A
3 21 E
4
B
D
C
F
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34
A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
这样的点P /不存在
A
C
B
N
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14
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
P 证明: 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
AC
∴AC=BC(等腰三角形底边上
B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线.
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6
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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7
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
8
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
9
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
10
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
精选ppt
15
逆定理
和一条线段两个端
点距离相等的点,在 这条线段的垂直平
分线上.
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16
小结:
1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等.
2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
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17
M
• •
• • •
A
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
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12
M
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷?
P
PCA与PCB将不存在.
AC
NBaidu Nhomakorabea
PA与PB还相等吗?
B
相等!
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
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13
M
P•
P• /
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
31
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.
和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
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32
作业: P95 2. 3. 4
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33
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.
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1
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
A•
•B
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2
M
P•
A
C
N 精选ppt
B
3
M
A
C
N •Q 精选ppt
B
4
M
P.
A C .Q N 精选ppt
B
5
定理(线段垂直平分线的性质定理)
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
条线段的垂直平分线上.)
C
B
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29
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.
求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)
A
1 2
O
3
又∵ AB平分CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)
M/ P N
知)
B
N/
C
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
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21
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
P• A•
•B
点P为校址
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22
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
•
•C
B
•
•
•
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M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
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线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
精选ppt
20
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的
垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段 AB的垂直平分线上(已
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D
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30
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A
E
300
300
B
CF=2AF
60O F
30O C
AF=BF CF=2BF
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平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理)
∵BD平分A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
•A
•B
l P
点P为所求作的点
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填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B
D
C
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24
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B
D
C
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B
D
C
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3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o . A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
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填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
A
E
13cm
B
D
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C
27
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直
平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D
AD =BD AC = BC
3
CF = BF CE = BE F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
1
A
CE B
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28
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
已知： 直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M P
求证： PA=PB
AC
B
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N
11
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义)
P
在PCA和PCB中,
AC
N
AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B PC=PC(公共边)
∴ PCA ≌ PCB(SAS)
A
3 21 E
4
B
D
C
F
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A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
这样的点P /不存在
A
C
B
N
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已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
P 证明: 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
AC
∴AC=BC(等腰三角形底边上
B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线.
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定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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8
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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10
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
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15
逆定理
和一条线段两个端
点距离相等的点,在 这条线段的垂直平
分线上.
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16
小结:
1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等.
2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
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17
M
• •
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A
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
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12
M
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷?
P
PCA与PCB将不存在.
AC
NBaidu Nhomakorabea
PA与PB还相等吗?
B
相等!
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
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13
M
P•
P• /
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
31
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.
和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
精选ppt
32
作业: P95 2. 3. 4
精选ppt
33
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.