垂直平分线的证明
线段的垂直平分线性质(第一课时)
已知点$P$是线段AB的垂直平分线上 的一点，若$PA = 2cm$，则点$P$到
线段AB中点的距离是____$cm$.
答案与解析
1、答案
2、答案
3、答案
4、答案
到这条线段两个端点的距离相 等；解析：根据线段的垂直平 分线的定义，垂直平分线上的 任意一点到线段两个端点的距 离相等。
$2cm$；解析：由于点$P$是 线段$AB$的垂直平分线上任意 一点，根据垂直平分线的性质， 有$PA = PB$，所以$PA + PB = AB = 2cm$.
在数学问题中的应用
01
02
03
解决几何问题
利用垂直平分线的性质， 可以解决各种几何问题， 例如证明线段相等、角相 等、平行线等。
解决代数问题
在代数问题中，可以利用 垂直平分线的性质来解决 一些问题，例如解方程、 不等式等。
解决三角函数问题
利用垂直平分线的性质， 可以解决一些三角函数问 题，例如求三角形的边长、 角度等。
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线段的垂直平分 线性质(第一课时)
目录
• 引言 • 线段的垂直平分线定义 • 线段的垂直平分线的性质证明 • 线段的垂直平分线的应用 • 练习题与答案
01
引言
课程目标
理解线段垂直平分线 的定义和性质。
会利用线段垂直平分 线的性质解决实际问 题。
掌握线段垂直平分线 的作法。
学习重点与难点
学习重点
05
练习题与答案
练习题
1、题目
线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等吗？
为什么？
2、题目
已知$AB = 2cm$，点$P$是线段 $AB$的垂直平分线上任意一点，则 $PA + PB$的值是多少？
几何证明练习题垂直平分线
几何证明练习题垂直平分线垂直平分线是几何学中常见的概念和证明题之一。
本文将通过几个练习题来展示如何进行垂直平分线的证明，帮助读者加深对该概念的理解和运用。
以下是具体的练习题及其证明。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AD为BC边的中点，DE 为AB边的垂直平分线。
证明DE⊥BC。
解答一：首先，根据已知条件，由直角三角形的性质可得∠BAD=∠DAC=45°，∠ADB=90°。
由于DE为AB边的垂直平分线，所以∠AED=∠BED=45°。
考虑△ADE和△BDE两个三角形，它们有两组对应的角度相等，即∠AED=∠BED=45°和∠DAE=∠DBE=90°。
另外由三角形的内角和为180°可知∠DEA+∠DEB+∠AED+∠BED+∠DAE+∠DBE=180°。
代入已知条件和前面的结论，化简得45°+45°+45°+45°+90°+90°=360°。
由于等式两边相等，所以DE⊥BC，即DE是BC的垂直平分线。
证毕。
练习题二：已知四边形ABCD，其中AD=BC，AC交BD于点O，AO=CO。
若OOB和OOD为两直角，证明AC⊥BD。
解答二：根据已知条件，我们可以得知AO=CO，且由OOB和OOD为两直角可以推出OB=OD。
考虑两个三角形AOB和COD，它们有两组对应的边相等，即AO=CO和OB=OD。
另外，由前面的推论可知∠OAB=∠OBA=90°和∠ODC=∠OCD=90°。
再考虑四边形ABCD的内角和为360°，可以得出∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCD+∠ODC=360°。
代入已知条件和前面的结论，化简得90°+90°+∠OBC+∠OCB+90°+90°=360°。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理及逆定理
课堂小结
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等。
二、逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条
线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点到这
点P在线段 条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上 到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上
端点距离相等的所有点的集合
拓展题
布置作业
第1课时 线段垂直平分 线的性质定理及逆定理
学习目标
经历证明线段垂直平分线的性质 定理和判定定理的过程,并能够熟练 运用此定理解题。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等。
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线上的点到这
点P在线段 条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上 到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。 P
点P在线段
AB的垂直
?
平分线上
PA=PB
几何语言叙述:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
垂直平分线的证明讲解
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
N
M
C
B
M
A
C
B
N
Q
M P
.
C
A
N
B
.Q
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 1 A B ∴ 1= 2(角平分线的定义) 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A 1题图 B
E
D
C
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A 1题图 B
A 2题图 C B
E
E
D
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
《线段垂直平分线的性质》
在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端 点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂 直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相 等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可 以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如 果一条直线经过线段两端点，并且与经过中 点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交 ，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。
证明在三角形中,垂直平分线交于一点。
证明在三角形中，垂直平分线交于一点。
证明在三角形中，垂直平分线交于一点考虑一个任意的三角形ABC。
我们的目标是证明，三角形的三条垂直平分线会相交于同一点。
首先，我们定义三角形的垂直平分线。
对于边AB，如果通过AB的垂直平分线将AB平分为两个相等的部分，那么这条垂直平分线记为l1。
同样地，我们可以定义边AC和BC的垂直平分线l2和l3。
现在，我们来证明这三条垂直平分线会相交于同一点O。
证明：1. 首先，我们来证明垂直平分线的存在性。
对于任意一条边AB，我们可以通过AB的中点M作垂直于AB的直线，将AB平分为两个相等的部分。
我们可以使用剪纸实验，将垂直线放置在AB的中点M上，并将AB对折到重合。
这样，我们就得到了垂直平分线l1。
同样的方法可以用于边AC和BC，得到垂直平分线l2和l3。
2. 接下来，我们证明这三条垂直平分线会相交于同一点O。
考虑边AB和边BC，它们的垂直平分线交于点P。
同时，考虑边AB和边AC，它们的垂直平分线交于点Q。
我们来证明，点P和点Q是同一个点。
由于垂直平分线l1和l2都经过边AB，所以它们一定会与边AB垂直相交于点P。
同理，垂直平分线l1和l3会与边BC垂直相交于点P，垂直平分线l2和l3会与边AC垂直相交于点Q。
现在，我们来证明点P和点Q是同一个点。
假设它们不是同一个点，即P和Q是两个不同的点。
那么，我们可以通过P和Q连一条直线，记为线段PQ。
由于P和Q点都在边AB和边AC上，所以线段PQ将与三角形ABC的内部有交点R。
而这与线段PQ是垂直平分线的定义矛盾，因为垂直平分线应该平分边AB和边AC，并且不与三角形的内部有交点。
所以假设错误，点P和点Q是同一个点O。
因此，我们得出结论：在任意三角形中，三条垂直平分线会相交于同一点O。
证明完毕。
以上是关于证明在三角形中，垂直平分线交于一点的文档。
证明在三角形中，垂直平分线交于一点考虑一个任意的三角形ABC。
我们的目标是证明，三角形的三条垂直平分线会相交于同一点。
中考重点三角形的垂直平分线定理
中考重点三角形的垂直平分线定理中考重点：三角形的垂直平分线定理在中考数学考试中，三角形是一个常见的考点。
其中，三角形的垂直平分线定理是一个重要的概念。
下面，本文将详细介绍三角形的垂直平分线定理及其相关性质。
一、三角形的垂直平分线定理的定义垂直平分线定理是指：如果一条直线同时垂直于一条边且平分这条边，那么它一定与这个三角形的对角线相交于对角线的中点。
二、垂直平分线的性质1. 垂直平分线将边分成相等的两段。
根据垂直平分线定理，垂直平分线将三角形的一条边分成两段，并且这两段长度相等。
这是因为垂直平分线平分了边，同时也垂直于边，所以可以得出这个性质。
2. 垂直平分线的交点是对边的中点。
垂直平分线与三角形的对边相交于对边的中点。
这是由垂直平分线定理的定义得出的。
三、垂直平分线的应用1. 证明角平分线与垂直平分线的关系。
在三角形中，如果某条线段既是角的平分线又是相应边的垂直平分线，那么它必定是这个角的平分线，即它与对边的交点是角的平分线的中点。
2. 判断三角形相似的条件之一。
如果两个三角形有一个顶点相同，并且它们相对于这个顶点的两条边被一条直线所垂直平分，那么这两个三角形是相似的。
这是因为两个三角形的对应边被这条直线垂直平分，并且相等，符合三角形相似的条件之一。
3. 求解直角三角形的边长问题。
在求解直角三角形的边长问题中，垂直平分线的性质可以被充分利用。
根据垂直平分线将直角边分成相等的两段，可以通过已知条件求解未知边长。
四、三角形垂直平分线定理的应用举例例1：如图所示，ABC是一个等边三角形，AD是三角形ABC的一条边AB的垂直平分线，证明AD是边BC的垂直平分线。
解：由于ABC是一个等边三角形，所以AD是边AB的垂直平分线，则AD与弧BC的交点为弧BC的中点。
又因为BC = AC，所以AD也是边BC的垂直平分线。
例2：如图所示，ABCD是一个平行四边形，E是边AD的中点，证明BE是边CD的垂直平分线。
解：由于ABCD是一个平行四边形，所以AE = ED。
1.3 线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理
如图， ∵PA=PB(已知)，
M P
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上).
A
C
B
老师提示:这个结论是经常用来证 N
明点在直线上(或直线经过某一点)的 根据之一.
从这个结论出发，你还能联想到什么?
想一想
用尺规作线段的垂直平分线.
C
已知:线段AB，如图.
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以
先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点，)，然后
证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得证
?
例题解析
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
例 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
A
O是△ABC内一点，且OB=OC.
M P
Байду номын сангаас
∵ AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB（SAS）.
A
C
B
∴PA=PB(全等三角形的
N
对应边相等).
引入新知
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等. 如图，
M P
∵AC=BC，MN⊥AB，P是
MN上任意一点(已知)，
∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距离
北师大课标八下·§1.3 (1)
1.3线段的垂直平分线（1）
引入新知
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗?
已知:如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且 AC=BC，P是MN上任意一点.求证:PA=PB.
10.4-线段的垂直平分线(1)
学习目标
1．理解并证明线段垂直平分线的性质定理、逆 定理.
2．能利用这两个定理解决一些问题. 3．证明用尺规作线段的垂直平分线的正确性.
重点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 难点：两个定理的内涵和证明。
什么是线段的垂直平分线？
垂直于这条线段，且平分这条线段 的直线，叫做这条线段的垂直平分 线，简称中垂线。
如何利用尺规作一条线段的垂直平分线？
探究新知
我们曾用折纸方法，得到
垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点距离相等.
已知:如图，直线MN⊥AB于点C， AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB. （你能说出规范的证明过程吗？）
垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
几何语言：
∵PA=PB, ∴点P在AB的垂直平分线上
老师提示：这个定理经常用来证明点在直线
上（或直线经过某一点）.
例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是 △ABC内一点，且OB=：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上
同理，
点O在线段BC的垂直平分线上
D
∴直线AO是线段BC的垂直平分线
（两点确定一条直线）
练习巩固
1、 如左图，点D是BC上一点，且 BD+AD=BC.
则AD__=___DC，点D在_A__C__的垂直平分线上.
2、如右图，在△ABC中，已知AC=27，BC=23， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求 △BCE的周长.
课堂小结
达标反馈
1．如图，△ABC的垂直平分线DE交AB于点E，交 BC于点D，连接AD。已知AC=5cm，△ADC的周
推导：证明在平面上,两条相交直线的垂直平分线过它们的交点。
推导：证明在平面上，两条相交直线的垂直平分线过它们的交点。
问题陈述：
在平面上，假设有两条相交的直线AB和CD，我们需要证明它们的垂直平分线EF过它们的交点O。
证明过程：
Step 1: 构造垂直平分线EF
1.1. 连接AC和BD，得到直线AC和BD的交点P。
1.2. 以P为中心，以任意长度为半径作弧，分别与直线AC和BD交于点E和F，得到线段EF。
1.3. 这样，我们构造了直线EF作为直线AB和CD的垂直平分线。
Step 2: 证明EF平分线段AB和CD
2.1. 因为直线EF是以P为中心，且以与直线AC和BD的交点为半径所作的弧交于点E和F，所以EF必然与AB和CD相交。
2.2. 通过AB和CD上任意一点M，分别作线段PM和PN垂直于直线EF。
2.3. 由步骤1.2可知，EF是直线AC和BD的垂直平分线，所以AP和BP在EF上等长，CP和DP在EF上等长。
2.4. 因此，PM和PN分别是线段AB和CD的中垂线。
2.5. 根据中垂线的性质，线段AB和CD在直线EF上被平分。
结论：
通过以上证明过程，我们可以得出结论：在平面上，两条相交直线的垂直平分线必然过它们的交点。
即，垂直平分线EF是直线AB和CD的公共垂线，过它们的交点O。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条线段的中垂线，即将该线段垂直平分为两段相等的线段。
在几何学中，垂直平分线是一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将深入探讨线段的垂直平分线以及它的相关概念和性质。
1. 定义和性质线段的垂直平分线是指以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径的圆所确定的直线。
具体来说，给定线段AB，其中M为AB的中点，以M为圆心，AM或BM的长度为半径作圆，与线段AB的两个端点A和B交于C和D两点，则MC和MD即为线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线具有以下重要性质：（1）垂直性质：线段的垂直平分线与该线段垂直相交，即角AMC和角BMD均为直角。
这是因为圆心M到圆上任一点的线段和圆的切线垂直。
（2）等长性质：线段的垂直平分线将线段AB平分为两个等长的线段，即AM=BM=MC=MD。
这是因为圆心M到圆上任一点的距离都相等。
（3）对称性质：线段的垂直平分线将线段AB分割成两个对称的部分。
即，点A和点B关于垂直平分线MC和MD是对称的。
2. 构造垂直平分线的方法构造线段的垂直平分线有多种方法，其中一种常用的方法是使用尺规作图。
步骤如下：（1）以线段AB为底边，以尺刻度确定线段的中点M。
（2）以尺为半径，以点M为圆心作两个相交的圆弧于点A和点B。
（3）以直尺连接点A和点B，该直线即为线段AB的垂直平分线。
另外，还可以使用传统的画垂线方法，即使用直尺和圆规：（1）以A和B为圆心，以AB的长度为半径分别作两个圆弧，交于点C和点D。
（2）以点C和点D为圆心，以AC或BC的长度为半径作两个相交的圆弧，分别与原线段AB交于点E和点F。
（3）以点E和点F连接，该直线即为线段AB的垂直平分线。
3. 垂直平分线的应用线段的垂直平分线在几何学中具有广泛的应用。
（1）几何证明：垂直平分线常常被用于证明一些几何命题，如证明两线段平行、证明三角形的性质等。
通过构造垂直平分线，可以将复杂的几何问题简化为更容易解决的问题。
证明垂直平分线的条件
证明垂直平分线的条件
垂直平分线是指一条直线，它既垂直于另一条直线，又将其平分为两段相等的部分。
证明垂直平分线的条件可以通过以下步骤进行：
1. 假设一条直线AB与另一条直线CD相交于点E，且AE=EB，CE=ED。
2. 画出AE的中垂线，交CD于点F。
3. 证明EF垂直于CD。
4. 证明EF平分CD。
证明步骤：
1. 根据题目假设，我们可以得到AE=EB，CE=ED。
2. 画出AE的中垂线，交CD于点F。
3. 证明EF垂直于CD。
根据中垂线的定义，EF是AE的垂直平分线，所以EF与AE垂直，即EF垂直于CD。
4. 证明EF平分CD。
由于AE=EB，CE=ED，且EF垂直于CD，所以EF平分CD，即CF=FD。
综上所述，当一条直线与另一条直线相交于一个点，并且这条直线通过这个点把另一条直线分成两段相等的部分时，这条直线就是另一条直线的垂直平分线。
- 1 -。
平面几何中的垂直平分线有哪些性质
平面几何中的垂直平分线有哪些性质在平面几何中，垂直平分线是指同时垂直于某条线段且将该线段平分成两等分的线。
垂直平分线是一个非常重要的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。
本文将介绍垂直平分线的性质，以及它在几何学中的应用。
一、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与所平分的线段垂直相交。
这是垂直平分线最基本的性质之一，也是其命名的来源。
在平面几何中，两条互相垂直的线段具有特殊的位置关系，可以相互平分对方。
2. 等分性：垂直平分线将线段平分成两等分。
具体来说，从线段的两个端点到垂直平分线的距离相等，使得线段被平分成两个相等的部分。
3. 独特性：垂直平分线是唯一的。
对于任意给定的线段，存在且仅存在一条垂直平分线。
这是因为垂直平分线同时满足垂直性和等分性，只有满足这两个条件的直线才能称为垂直平分线。
二、垂直平分线的应用1. 构造垂直平分线：利用垂直平分线的性质，我们可以通过一些简单的几何构造来绘制垂直平分线。
其中一种方法是使用圆和直线相交的原理，利用圆上的点到圆心的距离相等的特点，可以构造出垂直平分线。
2. 证明两条线段垂直：通过证明两条线段的垂直平分线相交于一点，可以推断出这两条线段是互相垂直的。
这种方法在几何证明中经常被用到，是判断线段垂直性的重要手段之一。
3. 确定不同图形的性质：垂直平分线的性质在确定不同图形的性质时起着重要作用。
例如，在研究三角形的外接圆时，三角形的三条边的垂直平分线可以交于一点，这个点即是三角形外接圆的圆心。
4. 解决几何问题：在解决几何问题时，垂直平分线的性质常常被用来简化问题，并得出准确的结论。
例如，利用垂直平分线的性质可以求解线段的中点、确定多边形的对称中心等。
总之，垂直平分线是平面几何中一个重要的概念，具有垂直性、等分性和独特性等基本性质。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，可以用于构造、证明、确定图形的性质以及解决各种几何问题。
通过深入理解和应用垂直平分线的性质，我们可以更好地理解和掌握平面几何的知识，并应用于实际问题中。
垂直平分线的判定
2.如图，AB=AC,MB=MC上, 求证： 直线AM是线段BC的 垂直平分线上．
A
M
B
C
1． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
∴AD=BC-BD=CD
∴点D在AC的垂直平分 线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上)
C
B
判断
（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（ ）
C A
D
C
B
A
D
B
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
C
A
D
B
1. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
A
∴ △BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
B
E
D
12
C
变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25， AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。
=AC+BC =12+7 =19 所以△BCD的周长为19。 7
4.在△ABC中,DE为BC 的垂直平分 线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于 点E,EF⊥AB于F点, A
B
C
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线的性质和判定
已知：直线MN AB,垂足为C，
P
且AC BC, P是MN上任意一点.
求证：PA PB
A
C
B
N
已知：直线MN AB,垂足为C，且AC BC , P是MN上任意一点.
求证：PA PB
M
为自己点赞吧！
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
A
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
C
B
这条线段两个端点的距离相等. )
N
定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，
请加以证明.
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个
点在这条线段的垂直平分线上．
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上．
△ABC内一点，且 OB = OC.
A
求证：直线AO垂直平分线段BC．
证明：
∵AB=AC
O
∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点
距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
B
C
同理,点O在BC的垂直平分线上
∴直线 AO 垂直平分线段BC(两点确定一条直线)
1.如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D
1.判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明. 2.文字证明题的三个步骤：画出几何图形；
写出已知和求证； 写出证明过程.
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上 的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm；
C
A
E
B D
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这样的点P /不存在
A
C
B
N
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14
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
P 证明: 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
AC
∴AC=BC(等腰三角形底边上
B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线.
•A
•B
l P
点P为所求作的点
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23
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B
D
C
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24
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
A
3 21 E
4
B
D
C
F
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34
A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
A
E
13cm
B
D
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C
27
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直
平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D
AD =BD AC = BC
3
CF = BF CE = BE F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
1
A
CE B
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28
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
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6
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
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7
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
8
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
9
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
精选ppt
10
31
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.
和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
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32Βιβλιοθήκη 作业: P95 2. 3. 4
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33
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D
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30
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A
E
300
300
B
CF=2AF
60O F
30O C
AF=BF CF=2BF
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M/ P N
知)
B
N/
C
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
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21
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
P• A•
•B
点P为校址
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22
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
条线段的垂直平分线上.)
C
B
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29
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.
求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)
A
1 2
O
3
又∵ AB平分CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
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15
逆定理
和一条线段两个端
点距离相等的点,在 这条线段的垂直平
分线上.
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16
小结:
1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等.
2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
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17
M
• •
• • •
A
哈五中
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1
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
A•
•B
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2
M
P•
A
C
N 精选ppt
B
3
M
A
C
N •Q 精选ppt
B
4
M
P.
A C .Q N 精选ppt
B
5
定理(线段垂直平分线的性质定理)
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
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12
M
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷?
P
PCA与PCB将不存在.
AC
N
PA与PB还相等吗?
B
相等!
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
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13
M
P•
P• /
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
•
•C
B
•
•
•
N精选ppt
18
M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
N精选ppt
19
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
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20
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的
垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段 AB的垂直平分线上(已
平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理)
∵BD平分A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
已知： 直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M P
求证： PA=PB
AC
B
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N
11
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义)
P
在PCA和PCB中,
AC
N
AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B PC=PC(公共边)
∴ PCA ≌ PCB(SAS)
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B
D
C
精选ppt
B
D
C
25
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o . A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
精选ppt
26
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm