232等差数列习题课PPT课件
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第二章 2.3 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向 信息给予题 [例 2] 定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相 邻两项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1 ＝2，公和为 5，求 a18 和这个数列的前 n 项和 Sn. [分析] 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和 相关知识联系又要考虑其特点．
第二章 2.3 第2课时
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[解析] 由题设 a1＋a2＝a2＋a3＝…＝a17＋a18＝…＝a2k－1 ＋a2k＝a2k＋a2k＋1＝5.
∵a1＝2，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3，…， 当 n 是奇数时 an＝2，当 n 是偶数时，an＝3. ∴a18＝3. 当 n 是偶数时，有n2个 2，n2个 3，
·数学
A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
2．3 等差数列的前 n 项和
第二章 数 列
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第二章
第 2 课时 等差数列习题课
第二章 数 列
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[解析] (1)证明：∵Sn＝18(an＋2)2，① ∴Sn－1＝18(an－1＋2)2 (n≥2)． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．
第二章 2.3 第2课时
第二章 2.3 第2课时
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首项为正数的等差数列{an}，它的前 3 项和与前 11 项和 相等，则此数列前________项和最大？
[答案] 7
第二章 2.3 第2课时
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[解析] 由 S3＝S11，有 3a1＋3×32－1d＝11·a1＋11×121－1·d 得 d＝－123a1<0. ∴Sn＝na1＋nn－2 1d＝－113a1n2＋1143a1n ＝－113a1(n－7)2＋4193a1. 故当 n＝7 时，Sn 最大，即前 7 项和最大．
第二章 2.3 第2课时
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解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
第二章 2.3 第2课时
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[点评] 解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数 (公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用 等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在 一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结 规律．
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(2)解：∵S1＝18(a1＋2)2.∴a1＝18(a1＋2)2. 解得 a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2， ∴bn＝12an－30＝12(4n－2)－30＝2n－31. 令 bn<0 得 n<321， ∴S15 为前 n 项和的最小值． 故 S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31 ＝－225.
课程目标解读 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂巩固训练 课后强化作业
第二章 2.3 第2课时
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课程目标解读
第二章 2.3 第2课时
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1．熟练应用等差数列前 n 项和的公式解决一些应用问题． 2．会求与等差数列相关的一些简单最值问题．
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[点评] 解决此类问题要认真阅读理解所给出的定义，并 将其与所学知识相联系，寻求解题方法．
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋12×12×11·d ∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0， ∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－221dn
＝d2n－2212－4481d.
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合作探究 已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
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∴Sn＝n2·2＋n2·3＝52n. 当 n 是奇数时，有n－2 1个 3，n＋2 1个 2， ∴Sn＝n－2 1·3＋n＋2 1·2＝5n－2 1.
52n
n＝2k，k∈N*
∴Sn＝5n－1 2
n＝2k＋1，k∈N*
.
第二章 2.3 第2课时
∵d>0，∴Sn 有最小值． 又∵n∈N*，∴n＝10 或 n＝11 时，Sn 取最小值．
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解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d， 设aann＝＋1＝a1＋a1＋n－nd1≥d0≤0 ，∴－－1100dd＋＋nnd－≥10d≤0 ， ∵a1<0，∴d>0， 解得 10≤n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
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思路方法技巧
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命题方向 等差数列的最值问题 [例 1] 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少 项的和最小？
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命题方向 信息给予题 [例 2] 定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相 邻两项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1 ＝2，公和为 5，求 a18 和这个数列的前 n 项和 Sn. [分析] 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和 相关知识联系又要考虑其特点．
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[解析] 由题设 a1＋a2＝a2＋a3＝…＝a17＋a18＝…＝a2k－1 ＋a2k＝a2k＋a2k＋1＝5.
∵a1＝2，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3，…， 当 n 是奇数时 an＝2，当 n 是偶数时，an＝3. ∴a18＝3. 当 n 是偶数时，有n2个 2，n2个 3，
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第二章
2．3 等差数列的前 n 项和
第二章 数 列
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第二章
第 2 课时 等差数列习题课
第二章 数 列
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[解析] (1)证明：∵Sn＝18(an＋2)2，① ∴Sn－1＝18(an－1＋2)2 (n≥2)． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．
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首项为正数的等差数列{an}，它的前 3 项和与前 11 项和 相等，则此数列前________项和最大？
[答案] 7
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[解析] 由 S3＝S11，有 3a1＋3×32－1d＝11·a1＋11×121－1·d 得 d＝－123a1<0. ∴Sn＝na1＋nn－2 1d＝－113a1n2＋1143a1n ＝－113a1(n－7)2＋4193a1. 故当 n＝7 时，Sn 最大，即前 7 项和最大．
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解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
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[点评] 解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数 (公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用 等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在 一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结 规律．
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(2)解：∵S1＝18(a1＋2)2.∴a1＝18(a1＋2)2. 解得 a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2， ∴bn＝12an－30＝12(4n－2)－30＝2n－31. 令 bn<0 得 n<321， ∴S15 为前 n 项和的最小值． 故 S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31 ＝－225.
课程目标解读 思路方法技巧 探索延拓创新
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1．熟练应用等差数列前 n 项和的公式解决一些应用问题． 2．会求与等差数列相关的一些简单最值问题．
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[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋12×12×11·d ∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0， ∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－221dn
＝d2n－2212－4481d.
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合作探究 已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
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∴Sn＝n2·2＋n2·3＝52n. 当 n 是奇数时，有n－2 1个 3，n＋2 1个 2， ∴Sn＝n－2 1·3＋n＋2 1·2＝5n－2 1.
52n
n＝2k，k∈N*
∴Sn＝5n－1 2
n＝2k＋1，k∈N*
.
第二章 2.3 第2课时
∵d>0，∴Sn 有最小值． 又∵n∈N*，∴n＝10 或 n＝11 时，Sn 取最小值．
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解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d， 设aann＝＋1＝a1＋a1＋n－nd1≥d0≤0 ，∴－－1100dd＋＋nnd－≥10d≤0 ， ∵a1<0，∴d>0， 解得 10≤n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
第二章 2.3 第2课时
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命题方向 等差数列的最值问题 [例 1] 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少 项的和最小？
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