函数逼近

常见范数

向量范数 ( vector norms )
验证
常见范数

函数范数
若S C[a, b], f S f max | f ( x) |
a x b

f f
1
| f ( x) | dx
a
b
2
( f ( x) 2 dx)1/ 2
a
b
例题
计算下列函数f ( x)关于C[0,1]的 f (1) f ( x) ( x 1)3 1 (2) f ( x) x 2
Pn ( x) H n , Pn ( x) a0 a1 x an x n , ai R
f ( x) C[a, b], 求Pn* ( x ) H n , s.t . f ( x) P ( x ) min Pn H n f ( x ) Pn ( x ) ,
(u, v) 0，则称u, v正交
定理 (Cauchy Schwarz )不等式 设X 为一个内积空间，对u, v X , 有 | ( u, v ) | ( u, u)( v , v )
2
线性无关
定理3：设X为一个内积空间，u1 , , un X (u1 , u1 ) (u2 , u1 ) (un , u1 ) (u1 , u 2 ) (u2 , u2 ) (un , u2 ) G (u , u ) (u , u ) (u , u ) 2 n n n 1 n 称为格拉姆矩阵，则G非奇异的充分必要条件是 u1 , , un线性无关。
常见内积
( x, y ) i xi yi，x, y R n
i 1 n n
( x, y ) i xi yi，x, y C n
i 1
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx f ( x), g ( x) C[a, b] ，
a
b
( x)要求见书定义4
若空间S是由n个线性无关元素生成，即对x S , x 1 x1 n xn , 则称x1 , xn为S上的一组基，记为S span{x1 , xn }
推广到函数类空间，只要找到一组线性无关的函数1 , n， 即可生成B
函数逼近：对f(x)ϵC[a,b] ，要求在另一类简单的便于计算的 函数类B＝span{φ1,…,φn}，求函数p(x)=α1φ1+…+ αnφn ，使 p(x)与f(x)之差（误差）在某种度量意义下最小
内积与范数

利用内积可以导出范数
u (u, u )

内积空间一定是赋范空间
( x, y ) i xi yi，x, y R , x ?
n i 1 n
正交多项式
定义5：若f ( x), g ( x) C[a, b], ( x)为[a, b]上的权函数且满足 ( f ( x), g ( x)) ( x) f ( x)g ( x)dx 0
常见正交多项式



取权函数不同和区间不同的时候得到不同 的正交多项式 勒让德多项式 切比雪夫多项式
勒让德(Legendre)多项式
1.[a , b] [1,1] 2. ( x ) 1 3.由{1, x , x 2 , , x n ,}正交化得到的多项式， 称为勒让德多项式，用 P0 ( x ), P1 ( x ), P2 ( x ), , Pn ( x ), 表示

例:观测物体运动，得出以下的数据，求y=f(x)。通常在实 验中得到的函数表值并不是准确值
x y 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110
问题提出： f(x)ϵC[a,b]
插值法是函数逼近的一种重要方法，在插值节点上准确 逼近。高次插值光滑性好，但不一定收敛，分段低次插值 一致收敛，但光滑性差。
a b
则称f ( x), g ( x)在[a, b]上带权 ( x)正交 若函数族 0 ( x),...., n ( x),...满足关系
b 0, j k ( j ( x), k ( x)) ( x) j ( x) k ( x)dx a Ak 0, j k 则称{ k ( x)}是带权 ( x)的正交函数族，若Ak 1, 则称为标准正交函数族
* n
即 max a xb f ( x ) P ( x ) min Pn H n maxa x b f (x ) Pn (x )
* n
最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题
最佳逼近多项式的存在性

?
如何求最佳逼近多项式? 在某些简单情况(n=0,1)下,是可以求出最佳逼近多项式，但对 一般情形，n大于2时，求最佳逼近多项式极其困难，至今尚 未完全解决。困难在于： 实际上要求两组非线性方程(2n+4个)联立求出2n+4个未知 数,非线性方程很难求解，因此常求近似最佳逼近多项式。
Th6
在区间[1,1]上所有最高次项系数为 的n次多项式中， 1 1 1 n ( x) n 1 Tn ( x)与零的偏差最小，其偏差为 n 1 , 2 2 注 : Tn ( x)为切比雪夫多项式
注意两个地方：区间，最高次项系数为1
求f ( x) 2 x 3 x 2 2 x 1在[1,1]上的最佳二次逼近多项式
证明 : f g f g

, f 1, f
2
内积空间
ห้องสมุดไป่ตู้



在描述空间的时候，一般喜欢建立正交坐 标系，求距离时方便 正交系一定线性无关 正交与角度 角度与内积
定义3：设X是数域K ( R或C )上的线性空间，u , v X , 有K中 唯一数与之对应，记为(u , v), 满足： 1）u , v) (v, u )（共轭） ( ; 2)(u , v) (u , v), K 3）u v, w) (u , w) (v, w) ( 4)(u , u ) 0, 当且仅当u 0时， , u ) 0 (u 则称(u , v)为X上(u , v)的内积，X称为内积空间
寻找一种新的逼近函数，简单、光滑性好， 例如多项式，且能“均匀的”逼近f(x).
对函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类简单的便于计算 的函数类B中，求函数p(x)，使p(x)与f(x)之差（误差）在某 种度量意义下最小－－函数逼近 函数类 A通常是区间 [a, b] 上的连续函数，记作 C[a, b] ，
也可以用下述通项表示为： 1 dn P0 ( x )＝1， Pn ( x ) n {( x 2 1)n } 2 n ! dx n
勒让德多项式的性质
0, 1. 正交性 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 －1 2n 1 , 2. 奇偶性 Pn ( x ) ( 1)n Pn ( x )
1
mn mn
3. 递推关系 ( n 1) Pn 1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn 1 ( x ) 4. Pn ( x )在区间[1,1]内有n个不同的实零点
由递推性得到 3 x2 1 P0 ( x )＝1，P1 ( x ) x , P2 ( x ) 2 5x3 3x 35 x 4 30 x 2 3 P3 ( x ) , P4 ( x ) 2 8 63 x 5 70 x 3 15 x P5 ( x ) 8 231 x 6 315 x 4 105 x 2 5 P6 ( x ) 16
常见函数类B＝span{1,x,…,xn}=Hn，f(x)是无限维的 ，B是 有限维的
存在性问题： f(x)ϵC[a,b]是否存在
Pn(x)=f(x)(uniformly)?
维尔斯特拉斯定理 Weierstrass
设 f ( x ) C [a , b]，则对 0, 总存在多项式 p( x )，使得 max | f ( x) p ( x) |
由递推关系 T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x T2 ( x ) 2 x 2 1 T3 ( x ) 4 x 3 3 x T4 ( x ) 8 x 4 8 x 1 T5 ( x ) 16 x 5 20 x 3 5 x T6 ( x ) 32 x 6 48 x 4 18 x 2 1
a x b
||f ( x ) p( x )||
Weierstrass,德， 1885年提出， 时年70岁； 1912年Bernstein (俄)证明
在[a , b]上一致成立
二、度量意义
f ( x) p( x)其实为两个函数的距离，距离在函数类 空间中称为范数。
定义2：设S为线性空间，x S , 若存在唯一实数 , 满足 1）x 0, 当且仅当x 0时， ＝0; x （正定性） 2) x | | x , R(齐次性） 3）x y x y , x, y S , (三角不等式) 则称 为S上的范数，S与 构成赋范空间，记为X
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,
定义（正交多项式） 设 n ( x )是[a , b]上n次多项式， ( x )为[a , b]上的 权函数，如果多项式序列{ n ( x )} 两两正交，则 0 称多项式序列{ n ( x )} 为在[a , b]上带权 ( x )正交, 0 称 n ( x )为[a , b]上带权 ( x )的n次正交多项式.
函数逼近的描述

函数逼近：对f(x)ϵC[a,b] ，要求在另一类简单的便于计算 的函数类B＝span{φ1,…,φn}，求函数p(x)=α1φ1+…+ αnφn ， ||p(x)－f(x)||p－>Min
§2 最佳一致逼近多项式 一、问题描述： Hn={次数不超过(≤)n的代数多项式}C[a, b], {1, x, …, xn}构成它的一组基，Hn =span{1, x, …, xn}.
一、B:代数多项式，分式有理函数，三角多项式
二、度量标准 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
定义1：若S是数域P上的线性空间，x1 , xn S , 如果存在不全为零 的数1 , n P, 使得1 x1 n xn 0，则x1 , xn线性相关，否则 线性无关。
切比雪夫（Chebyshev）多项式
1. [a , b] [1,1] 2. ( x ) 1 1 x2
3. 由{1, x , x 2 , , x n ,}正交化得到的多项式， 称为切比雪夫多项式，用通项表示为 Tn ( x ) cos( n arccos x )
性质
1. 递推关系 T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x , Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn 1 ( x ) n 1, 2, 0, n m 1 T ( x )T ( x )dx m 2. n , nm0 1 1 x2 2 , n m 0 3. T2 k ( x )只含x的偶次幂， T2 k＋1 ( x )只含 x的奇次幂 4. Tn ( x )在区间[-1,1]上有n个零点， k cos x 2k 1 , k 1, 2, , n 2n
第三章 函数逼近/*Approximation */
§1 引言
如果已经知道函数f(x)在若干节点上的值，那么我们可 以根据插值原理来建立插值多项式来近似f(x)。但函数 值都是由实验或者测量得到的数据，不可避免的带有 测量误差，如果要求所得的近似函数精确无误的经过 所有节点，就会使曲线保留一切测试误差。