工商企业管理《高等数学》山东大学网络教育考试模拟题及答案

高等数学

一 求下列极限 1 1

lim

sin n n n

→∞ = 0 2 求0

lim

x x

x

→ 解：1lim 0-=-

→x x x ，1lim 0=+→x x x ，极限不存在 3 求1

lim x

x e → 解：0lim 10=-→x x e ，∞=+→x

x e 10

lim ，极限不存在

0sin 4

lim sin 5x x x x x →++ 解：原式=3155sin 51sin 1lim

0=+

+

→x

x x x

x 二

a 取什么值，0

()0

x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 解：()10

=-

f ，()10==+

a f ，a=1时，连续。

三 计算下列各题

1 已知2sin ln y x x =⋅ 求,y 解：x x x x y sin 2ln cos 2+

='

2 已知 ()()x f x e e f y =，求y ' 解；

()

()

()x f e e e f y x f x x ''=' 2

3

x xe dx

⎰求 解：

C e dx e dx xe x x x +==

⎰⎰2

22

21212

四、若20

2tan()sec x y

x x y tdt ---=⎰

， 求

dy

dx

解：两边求导，()()y x y y x y -'-=-'--

2

2cos 1cos 12， ()y x dx

dy --=2

cos 1 五、求 x y x y 2,==和2

x y =所围平面图形的面积。 解：(草图略)交点：(0，0)，(1，1)，(1，2)，

()(

)

673121222

1321022

1

210

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=⎰

⎰x x x dx x x dx x x S

高等数学

一 求下列极限

1 1

lim cos n n n

→∞=0

2 求2

2lim

2x x x

→--

解：122lim 22lim 2

2

=--=---

-

→→x x x

x x x

，()122lim 22lim 22-=---=--++→→x

x x x x x ，极限不存在 3 求10

lim 2x

x → 解：02lim 10=-→x

x ，∞⇒+→x

x 10

2lim ，极限不存在.

02sin 4

lim 3sin x x x x x →++求 解：原式=43sin 31sin 21lim

0=+

+→x x x x

x sin 0()00

x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

二

讨论

在 x=0 处的连续性

解：()001sin lim

0=≠=→f x

x

x ，()x f 在ｘ=0处不连续。

三 计算下列各题

1 ,ln[ln(ln )]

y x y =求

解：()x

x x y 1

ln 1ln ln 1=

'

2 ,

,y x x y y =求

解：取对数，y x x y ln ln =，求导y y x y x y x y '+=+

'ln ln ，()()

x x y x y y x y y --='ln ln 。 四 求 x

dt

t x x x 100

22

sin cos lim

2

⎰-→

解：原式=x

x x x x x x x x x x x x 10824

440940sin 10sin cos 90sin 8cos 22lim sin cos 10cos 22lim -+-=-→→

=x x x x x x x x x 93747430sin cos 280cos sin 720cos 32sin 40lim -+→=101sin sin cos 280sin 720cos 32sin 40lim 7

72774

440=-+→x

x

x x x x x x x x 五， 求2

25y x =-和4y x =-所围平面图形的面积

解：(草图略)交点(3，-1)，(7，3)，⎰⎰--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=3

13122316

232254dy y y dy y y S

六， 2

2

(1)24dy x xy x dx ++= 解：变形 2221412x x x xy dx dy +=++，设齐次为 2

12x xy dx dy ++， 21x C y +=

，令 ()21x x C y +=，则 ()C x x C +=334，通解 ()

2

3134x C

x y ++= 高等数学

一 求下列极限

*1 1

lim n tgn n

→∞=0

2 求lim

x a

x a x a

→-- （同卷二，一、2）极限不存在.

3 求120

lim x

x e

→ （同卷二，一、3）极限不存在.

0sin 4

lim sin x mx

nx → 解：原式n

m nx

nx n mx mx

m x ==→sin sin lim

0 2

0()0

x x f x x

x >⎧=⎨≤⎩二

已知

，讨论f （x ）在0x =处的导数

解：10

lim 0=--+→x x x ，∴==----

→→,0lim 00lim 020x x x x x 左、右导数不等，()x f 在ｘ=0处不可导。 三 计算下列各题

1 3

,

tan (ln )y x y =已知求 解： ()()x

x x y ln cos ln tan 32

2=' 2 2,()y f x y =已知，求 解： ()22x f x y '='

四 2

3

2

1()()2a

a x f x dx xf x dx =⎰

⎰证明

，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。

证明：设t x =2

，则ｘ＝ｏ时，ｔ＝0，ｘ＝ａ时，2

a t =，dt xdx =2，

左边=()

()()⎰⎰⎰==2200

02

22121221a a a dx x xf dt t tf xdx x f x =右边

五、计算反常积分2

d ;1x

x +∞-∞+⎰

[]2d arctan ;221+x x x πππ+∞

+∞

-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭

⎰

解

原式