对高斯光束传输理论的一些学习笔记

高斯光束传输理论
研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。

高斯光束的传输规律
激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。

由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。

高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。

沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式：
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1）
其中E 0为常数因子，z
f z z f f z f z f z z R R 2
2)(])(1[)(+=+=+==
20)(1)(f
z
z +=ωω；
222y x r +=；
λ
π
2=
k ；
λ
πω20=f ；
π
λωf =
0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；
由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质：
（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数))
(exp(22
z r ω-所描述的规律从中
心（即传输轴线）向外平滑地降落。

由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为
2
2
020)(
1)(1)(πωλωωωz f
z z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大
1)(22
2
2=-f z z ωω
在z=0处，0)(ωω=z ，为极小值。

双曲线的对称轴为z 轴，基模高斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲面为界的。

（2）基模高斯光束的相移相位因子由下式决定
f
z
arctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ
它描述高斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。

其中kz 描述几何位移；2
0πωλ
z arctg f z arctg
=描述高斯光束在空间距离z 处时相对几何相移的附加相位超前；因子R
kr 22
表示与径向有关的相移，它表明高斯光束的等相位面是以R 为半径的球面，R 由下
式给出：
])(1[)(2
20z
z z R λπω+=
从上式可以看出当z=0时，R(z)趋向于无穷大，表示束腰所在处的等相位面为平面； 当±∞=z 时，∞→≈z z R )(，表明离束腰无限远处的等相位面也是平面，且曲率中心就在束腰处。

当f z ±=时，f z R 2)(=，且)(z R 达到极小值；
当f z <<0时，f z R 2)(>，表明等相位面的曲率中心在[-f,∞]区间上； 当f z >时，f z z R z +<<)(，表明等相位面的曲率中心在[-f,0];
??
高斯光束等相位面的曲率中心不是一个固定的点，它随着光束的传播而移动。

（3）高斯光束的瑞利长度
因为λπω20=f ，瑞利长度的物理意义为：当f z =，02)(ωω=f ，则λ
πω2
0=f 。

即光
斑从最小半径0ω增大到02ω，或者从最小光斑面积增大到他的二倍，这个范围是瑞利长度，从最小光斑处算起的这个长度叫瑞利长度。

实际上取f z ±=范围，为高斯光束的准直距离，表示在这段长度内，高斯光束可以近似是平行的，所以瑞利长度越长，就意味着高斯光束准直范围越大，并可以看到，高斯光束的最
小光斑半径越大，它的准直性越好，准直距离越大。

（4）高斯光束的孔径
高斯光束经常要和后面的光学系统相联系，这样高斯光束就必须通过有限大小的开孔。

这种开孔可以是选模光阑光阑，准直或聚焦用透镜，也可以使反射镜。

因此，就需要研究高斯光束的孔径，才能使高斯光束的绝大部分能量通过。

高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布为：
)exp()(2
2
0ω
r A r A -
=
而光强I 的分布为：
)2exp()(2
2
0ωr I r I -
=
式中r 为光斑中心算起的距离，ω为该截面的光斑尺寸。

考虑开孔半径a 的圆孔，高斯光束通过半径a 的圆孔的功率a p 与总功率P 之比：
)2exp(12)(2)(2
2
2
0020ω
θ
πθππ
π
a
rdrd r I rdrd r I p
p T a a --==
=⎰⎰⎰⎰∞
T 为功率透过率。

（5）高斯光束的远场发散角
在瑞利范围以外，高斯光束迅速发散，高斯光束远场发散角θ（半角）的一般定义为∞→z 时（远场处）高斯光束振幅减小到中心最大值1/e 处与z 轴的交角，即：
R z Z f z
z πλπλπωλωθ===
=∞
→0)
(lim
总之，高斯光束在其传输线附近可近似看做是一种非均匀球面波。

其曲率中心随着传输过程
而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持球面。

（6）高斯光束的特征参数
（1）用参数0ω（或f ）及束腰位置表征高斯光束
从式（1）与式（2）可以看出，一旦腰斑0ω的大小和位置给定了，整个高斯光束的结构也就随之确定下来。

由此可以确定与束腰相距z 处的光斑大小)(z ω，等相位面的曲率半径R(z)该点相对于束腰处的相位滞后及整个光束的发散角。

由于在0ω与f 之间存在着确定的关系，因此可以用共焦参数f 及束腰的位置来表征特定的高斯光束。

（2）用参数)(z ω和R(z)来表征高斯光束
如果给定了某给定位置处的光斑)(z ω及等相位面曲率半径)(z R ，则可决定高斯光束腰斑的大小和位置：
2
/1220]
))
()((1)[(-+=z R z z λπωωω 1
22
]))
()((
1)[(-+=z z R z R z πωλ （3）高斯光束的q 参数
将（1）式中与横坐标r 有关的因子放在一起，则可以写成：
)]
(exp[])()(1[2exp )(),,(2200f z
arctg kz i z i z R r ik z E z y x E --⎭⎬⎫⎩
⎨⎧--=πωλωω 引入一个新的参数q(z),其定义为：
)
()(1)(12z i z R z q πωλ
-= 式中所定义的参数q 将描述高斯光束基本特征的两个参数。

一旦知道了高斯光束在某位置的q 参数值，则可以由下式求出该位置处)(z ω和)(z R 的数值：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)(1Re )(1
z q z R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=)(1Im )(12z q z λπω
如果以)0(0q q =表示z=0处的q 参数值，并注意到∞→)0(R ，0)0(ωω=有：
)
0()0(1)0(1120πωλ
i
R q q -== 由此得出，if i q ==λ
πω200
上述三组参数都可以确定基模高斯光束的具体结构，因此，可以根据实际灵活选择适合的参数来表征高斯光束，这些参数是互相联系的。

（4）
（7）高斯光束q 参数的变化规律——ABCD
Q 参数来讨论高斯光束的传输规律，比其他参数更为方便，而且可以用一个统一的公式来描述高斯光束通过自由空间光学系统的行为。

高斯球面波——非均匀的，曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半
径R 这样的参量，其传播规律与普通球面波的R 完全类似。

)
()(1)(12
z i z R z q πωλ-= ])(1[)(2
20z
z z R λπω+=
2
2
020)(
1)(1)(πωλωωωz f
z z +=+= 经过适当运算得出
z q z i z q +=+=02
0)(λ
πω
式中if i q ==λ
πω2
00为z=0处的q 参数值描述了高斯光束的q 参数在自由空间中传输规律。

由上式可以得出L q z z q q +=-+=11212)(
式中)(11z q q =为1z 处的q 参数值；)(22z q q =为2z 处的q 参数值。

当通过薄透镜时，高斯光束q 参数的变换规律很简单。

以1ω表示入射在透镜表面上的高斯光束光斑半径，，2ω表示出射高斯光束光斑半径，则薄透镜具有性质21ωω=。

经薄透镜变换后，我们将获得具有高斯型强度分布的另一球面波面，出射光束继续传输时为高斯光束，由此可以得出：
F q F i R i F R i R q 1
11)1()11(11221
221222-=--=--=-=πωλπωλπωλ 式中1q 为入射高斯光束在透镜表面的q 参数值；2q 为出射关上关注在透镜表面的q 参数值，
1R ，1ω为入射光束在透镜表面的波面曲率半径和光斑半径。

无论对在自由空间的传输或者通过光学系统的变换，高斯光束的q 参数都起着和普通球面波
曲率半径R 一样的作用，因此有时又将q 参数称为高斯光束的复曲率半径。

Q 参数的变换规律可用下式统一表示
D
Cq B
Aq q ++=
112
这就是高斯光束在任何光学系统变换时服从的ABCD 定律，当0→λ时，波动光学过度到几何光学，这时R q →，表明高斯光束的传输规律过度到几何光学中傍轴光线的传输规律。

ABCD 定律的主要优点是使我们能通过任意复杂的光学系统追击高斯光束的q 参数值，只要知道了傍轴光线通过该系统的变换矩阵，在求得某处的q(z)后，光束的曲率半径R （z ）可
以求出，高斯光束的这种性质对下面我们研究的光纤的透镜耦合很有帮助。

（4）高斯光束的聚焦
如何使用光学系统将高斯光束聚焦，在本节中讨论单透镜的聚焦作用，为此，首先分析像方高斯光束的腰斑大小随高斯光束的参数0ω，l ，及透镜焦距F 的变化情况。

从而判明，为了有效的将高斯光束聚焦应如何合理的选择上述参数。

a.F 一定时，0ω' 随l 变化的情况
F l <时，随着l 的减小而减小，因而当0=l 时达到最小值
2
2
2
00'0)(1)(1F
f +=
+=
ωλ
πωωω
此时可以得出：
F f F F
F F F l <+=
+-
=2
22
02
2
'
1))
(1(λ
πω
而腰斑放大率为
1
)(112
'
0<+=
=F
f k ω
ω
可见，当0=l 时，'
0ω总比ω要小，不论透镜焦距F 多大，它都有一定的聚焦作用，并且
像方腰斑的位置将处在前焦点内。

f F =≈λ
πω2
0 则有F 0
'
0πωλ
ω≈
，F l ≈' 在这种情况下，像方腰斑就处在透镜的前焦面上，且透镜的焦距F 越小，焦班半径于小，聚焦效果越好。

b.当l>F 时，随l 的增大而单调较小，当∞→l ，得出F l > 一般的，当F l >时有
F l )
('0πωλ
ω≈
F l ≈' 在物高斯光束的腰斑离透镜甚远的情况下，L 越大，F 越小，聚焦效果越好。

当然，上述情况都是在透镜孔径足够大的假设下进行的，否则还必须考虑衍射效应。

c.F l =时，'
0ω达到极大值
F 0
'0πωλω=
且有F l ='，仅当f F =<λπω/20时，透镜才有聚焦作用。

F 一定时，'
0ω随l 的变化情况以及透镜对高斯光束的聚焦作用。

由此可知，为使高斯光束获得良好聚焦，通常采用的方法使：用短焦距透镜；使高斯光束束腰腰斑远离透镜焦点。

d.
（5）高斯光束的准直
A.透镜对高斯光束发散角的影响
腰斑大小为0ω的物高斯光束的发散角为：
2
πωλθ= 通过焦距为F 的透镜后，像高斯光束的发散角为
'
0'2
πωλθ= 由此可以得出
2022'
'0)(1)11(1
2λ
πωωπ
λθF F +-=
可以看出，对0ω为有限大小的高斯光束，无论F 取什么值，都不可能使∞→0ω，从而也不可能使∞→'
0θ。

研究表明，要想用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上式不可能的。

问题是，在什么条件下可以借助于透镜改善高斯光束的方向性，设腰斑为0ω的高斯光束入射到焦距为F 的透镜上，由条件0/1
2
'=∂∂
l ω
，可以得出，当F l =时，'0ω达到极大值
F 0
'0πωλω=
此时
F 0'
'022
ωπωλ
θ== F
f
F ==λπωθθ200'0 可见，当透镜的焦距F 一定时，若入射高斯束的束腰处在透镜的后焦面上，则'
0θ达到极小值，此时，F 越大，'
0θ越小。

当F
f
F =λπω20时，有较好的准直效果，在F l =的条件下，理想高斯光束的方向性不但与F
的大小有关，而且也与0ω的大小有关。

0ω越小，则像高斯光束的方向性越好，因此，如果预先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得小的腰斑，然后再用一个长焦距的透镜改善其方向性，就可以获得很好的准直效果。

高斯光束与光纤的耦合 高斯光束与光纤的耦合
（6）高斯光束与光纤的耦合
高斯光束通过透镜示意图
单透镜是最简单的耦合方法，但是其像差不可避免。

为了获得更好的耦合效果，可以考虑采用透镜组预先对光束进行准直，然后再对光束进行聚焦，这样可以获得更高，更好的耦合效果。

（7）。