文科艺术生高考数学复习习题
2020届高考数学(文科)艺体生文化课复习课件：第一章测试
B.若 π ,则tan 1
4
D.若 tan 1,则 π
4
【答案】C
【解析】若p, 则q的逆否命题是若q, 则p,
显然q : tan 1, p : π ,
4
所以该命题的逆否命题是若 tan 1,则 π .
4
4.(2015四川,文)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0” 的 ()
28 8
8
14.(2007新课标卷,文)i是虚数单位,i+2i2+3i3+…+8i8=
.
(用a+bi的形式表示,a,b∈R)
【答案】 4 4i 【解析】i 2i2 3i3 8i8 =i 2 3i 4 5i 6 7i 8 4 4i.
15.(2015上海,文)若复数z满足3z z 1 i,其中i是虚数单位, 则z .
二、填空题
12.(2014辽宁,文) 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合
∁U(A∪B)=
.
【答案】 {x | 0 x 1} 【解析】由已知得, A B {x | x 0或x 1}, 故ðU ( A B) {x | 0 x 1}.
13.(2014新课标Ⅰ卷)执行下面的程序框图,若输入的a,b,k分别为
【答案】 1 1 i 42
【解析】设z a bi,则z a bi,由3z z 1 i,
所以3(a
bi)
a
bi
1
i,即4a
2bi
1
i,
所以
高考数学艺体生文化课总复习第二章选择填空综合训练6点金课件
8.已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,f(x)是周期为2的奇
函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2020]上
的零点个数为
()
A.5050
B.4041
C.4040
D.2020
B 【解析】 图象连续不断的函数f(x)的定义域为R, f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点, 所以f(0)=0,f(1)=0,x∈(0,1)时,函数有1个零点, 所以x∈(0,1]有2个零点, 所以x∈(0,2020]时,函数有4040个零点, 则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B.
C.46%
D.42%
C 【解析】 设只喜欢足球的百分比为x, 只喜欢游泳的百分比为y, 两个项目都喜欢的百分比为z, 由题意,可得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82, 解得z=46. ∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数
的比例是46%.故选C.
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基 本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传
方法共有 ( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
C 【解析】 因为每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名, 乙场馆安排2名,丙场馆安排3名, 甲场馆从6人中挑一人有=6种结果; 乙场馆从余下的5人中挑2人有=10种结果; 余下的3人去丙场馆;
故共有6×10=60种安排方法.故选C.
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针 投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O), 地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处 的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与 点A处的水平面所成角为 ( )
专题08 平面解析几何(解答题)学生版 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上， （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为 （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．。
2020届高考数学(文科)艺体生文化课复习课件：第七章测试
2 32435
n n 2 2 2 n1 n 2
3 1 ( 1 1 ). 4 2 n1 n 2
二、填空题
11.(2013新课标Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和
Sn
2 3
an
1 3
,则{an}
的通项公式是an=
.
【答案】 (2)n1, n N*
【解析】 由Sn
2 3
公差d<0,且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an=2n-2
B.an=2n+4
C.an=-2n+12
D.an=-2n+10
【答案】 D 【解析】 由a2a4 12, a2 a4 8且d 0解得a2 6, a4 2 2d a4 a2 2 6 4d 2 an a2 (n 2)d 2n 10,选D.
第七章 数列 测试
一、选择题
1.(2017新课标Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,
S6=48,则{an}的公差为
()
A.1
B.2
C.4
D.8
【答案】 C
【解析】 设公差为d
,
则有
2a1 6a1
7d 24 , 解得d 15d 48
4, 故选C.
2.(2014新课标Ⅱ卷,文)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比
5.(2007新课标卷,文)已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的
顶点是(b,c),则ad等于
()
A.3
B.2
C.1
艺术文化课高考数学试卷
1. 下列函数中，y=x^3+3x+1的图像是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 指数函数D. 对数函数2. 下列不等式中，正确的是（）A. x+2>0 且 x-3>0B. x-2<0 且 x+3<0C. x+2<0 且 x-3<0D. x-2>0 且 x+3>03. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(-1)=2，f(1)=-2，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 44. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半C. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长为5D. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长为65. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^4D. y=x^56. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x+3>0 且 x-1>0B. 2x+3<0 且 x-1<0C. 2x+3<0 且 x-1>0D. 2x+3>0 且 x-1<07. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(-1)=-2，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 48. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半C. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长为5D. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长为69. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^4D. y=x^510. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x+3>0 且 x-1>0B. 2x+3<0 且 x-1<0C. 2x+3<0 且 x-1>0D. 2x+3>0 且 x-1<0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f(x+1)的值为______。
2020届高考数学(文科)艺体生文化课复习课件：第三章测试
三、解答题
15.(2016河南郑州一模)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x设f (x)的解析式为f (x) ax2 bx c(a 0).
f (0) 1,c 1. 把f (x)的表达式代入f (x 1) f (x) 2x, 有a(x 1)2 b(x 1) 1 (ax2 bx 1) 2x. 2ax a b 2x.2a 2, a b 0.a 1,b 1. f (x) x2 x 1. (2)解不等式f(x)>2x+5.
10.(2018新课标Ⅰ卷,理)已知函数
f
(x)
ex
,
x
0
,g(x)=f(x)+x+a.
ln x, x 0
若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,0)
B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【答案】 C 【解析】
g(x) f (x) x a存在2个零点, 即y f (x)与y x a有两个交点, f (x)的图象如下 : 要使得y x a与f (x)有两个交点,则有 a 1即a 1,选C.
A.logab·blogcb=logca C.loga(bc)=ablogac
B.logab·logaa=logab D.loga(b+c)=logab+logac
【答案】B 【解析】 loga a 1,所以loga b loga a loga b, 选B.
8.(2017新课标Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若
因所为以f函(数x)f
(x)
专题12 数列-三年教师版 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
专题12 数列1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得a =，10≤时，即90b -…时，总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为()*12,n n a n n -=≥∈N，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1nn a q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算．8．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.9．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 10．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a ⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.11．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．12．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.13．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.14．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ． 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.15．【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n n n n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（2）112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．17．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N 时不等式成立，即12k c c c +++<L 那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<L<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii ），不等式12n c c c +++<L *n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.18．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4；（2）见解析；（3）a n =n ·2n -1． 【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=， 所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b n }的通项公式，借助于{b n }的通项公式求得数列{a n }的通项公式，从而求得最后的结果.19．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-． 由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n 项和公式建立1, a d （或q ），, ,n n n a S 五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列{}n a 的的公差是d ，则111111n n n n n b a a d a a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.20．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.21．【2018年高考北京卷文数】设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n aa a +++L .【答案】（1）ln 2n a n =；（2）122n +-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2e e e =2nn a n n ==， ∴{}ena 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln221e e e e e e =222=22nn a a a n n ++++=++++++-L L L . ∴12e e e n a a a +++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.22．【2018年高考天津卷文数】设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】（1）(1)2n n n S +=，21nn T =-；（2）4. 【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以，122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316,a d +=从而11,1a d ==，故n a n =， 所以，(1)2n n n S +=． （2）由（1），有131122(12)(222)=2 2.12n nn n T T T n n n +⨯-+++=+++--=---L L 由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --=解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L .设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.24．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． 75[,]32112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+L 2,3,,1n m =+L 1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m qq -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+L 2,3,,1n m =+L 12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+L①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．25．【2017年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nn a =-；（2）122(1)33n n n S +=-+-⋅，证明见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21xf x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． （1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-即可求解； （2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．26．【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）b n =2n−1；（2）当q =−5时， S 3=21.当q =4时， S 3=−6. 【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n =−1+（n −1）d ， b n =q n−1. 由a 2+b 2=2得d +q =3.①（1）由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.② 联立①和②解得{d =3，q =0（舍去），{d =1，q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n−1.（2）由b 1=1，T 3=21得q 2+q −20=0. 解得q =−5，q =4.当q =−5时，由①得d =8，则S 3=21. 当q =4时，由①得d =−1，则S 3=−6.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和. 27．【2017年高考全国III 卷文数】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）122-=n a n ；（2）122+n n.【解析】（1）因为a 1+3a 2+…+（2n −1）a n =2n ， 故当n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n −3）a n−1 =2（n −1）. 两式相减得（2n −1）a n =2， 所以a n =22n−1 (n ≥2). 又由题设可得a 1=2， 从而{a n }的通项公式为a n =22n−1.（2）记{an2n+1}的前n 项和为S n ，由（1）知a n2n+1 =2(2n+1)(2n−1) =12n−1−12n+1.则 S n = 11 − 13 + 13 − 15 +…+ 12n−1 − 12n+1 = 2n2n+1 .【思路点拨】（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n Λ，再作差得122-=n a n ，验证1=n 时也满足； （2）由于121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和. 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n a n n =++或1(2)n a n n =+.28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++L ．【答案】（1）a n =2n −1；（2）312n -. 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10，解得d =2，所以a n =2n −1． （2）设等比数列{b n }的公比为q ．因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9，解得q 2=3，所以2212113n n n b b q---==． 从而21135********2n n n b b b b ---++++=++++=L L ． 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．29．【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2nn a =；（2）2552n nn T +=-【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知22111(1)6,a q a q a q +==．又0n a >，解得12,2a q ==，所以2nn a =．（2）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+，1+=n n n a a cc nn c c n ++=1令n n n b c a =,则212n nn c +=， 因此122313572121,22222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++L L又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ， 两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++-L ， 所以2552n nn T +=-． 【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．30．【2017年高考天津卷文数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2n n b =；（2）2(34)216n n +-+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①； 由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(12)42626262(62)24(612n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ， 则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．32．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n *+<<∈N ．（2）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22()ln(1)0(0)1x xf'x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n *++-≤∈N ． （3）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ． 【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．。
艺术文高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 以下哪个选项不属于数学中常见的几何图形？A. 圆B. 三角形C. 平面D. 四维空间2. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 下列哪个数是实数？A. √(-1)B. √4C. √(-9)D. √34. 下列哪个不等式是正确的？A. 2 < √3 < 3B. 3 < √5 < 4C. 4 < √7 < 5D. 5 < √9 < 65. 已知等差数列的首项为a，公差为d，则第n项an的表达式为：A. an = a + (n-1)dB. an = a - (n-1)dC. an = (n-1)d + aD. an = (n-1)d - a6. 下列哪个几何体的体积最大？A. 正方体B. 长方体C. 圆柱体D. 球7. 下列哪个数列不是等比数列？A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 2, 4, 8, 16, 32, ...C. 3, 6, 12, 24, 48, ...D. 4, 8, 12, 16, 20, ...8. 下列哪个函数是偶函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^49. 下列哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √2510. 已知一个等差数列的前三项分别是a，b，c，且a + c = 2b，则该数列的公差d为：A. b - aB. c - bC. a - cD. c - a二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(-1)的值。
12. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，求△ABC的外接圆半径R。
13. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。
艺术生高三数学专用试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = -12. 在三角形ABC中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，则三角形ABC的面积是：A. 15B. 18C. 20D. 243. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an是：A. 27B. 30C. 33D. 364. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 2xC. y = |x|D. y = x^35. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为：A. 5B. 7C. 9D. 116. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点P'的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)7. 已知等比数列{bn}的首项为3，公比为2，则第5项bn是：A. 48B. 96C. 192D. 3848. 下列函数中，奇函数是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = e^x9. 已知数列{cn}的通项公式为cn = 2n - 1，则数列{cn}的前10项和S10是：A. 90B. 100C. 110D. 12010. 在直角坐标系中，点A(1, 2)关于原点O的对称点A'的坐标是：A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的零点是__________。
2. 在等差数列{an}中，首项为3，公差为2，则第10项an是__________。
3. 已知等比数列{bn}的首项为4，公比为1/2，则第5项bn是__________。
艺考文科高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，其中a是常数。
若f(x)的图像关于直线x = a对称，则a的值为：A. 1B. 0C. -1D. 22. 下列不等式中，正确的是：A. 2x > x + 1B. 2x < x + 1C. 2x ≤ x + 1D. 2x ≥ x + 13. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为：A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. √3/44. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1 + a2 + a3 = 12，则a1 + a4 + a5的值为：A. 18B. 20C. 22D. 245. 下列复数中，实部为0的是：A. 3 + 4iB. -2 - 5iC. 1 + 2iD. -1 - 3i6. 已知直线l的方程为2x - 3y + 1 = 0，则直线l的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/27. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. f(x) = 1/xB. f(x) = √xC. f(x) = x^2D. f(x) = x^(1/3)8. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为：A. 3B. 9C. 1/3D. 1/910. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a - b > 0C. 若a > b，则a + b > 0D. 若a > b，则ab > 0二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
高三艺考数学章节练习题
高三艺考数学章节练习题在高三艺考中，数学是一个重要的科目，对于准备参加艺考的学生来说，掌握数学知识和解题技巧至关重要。
为了帮助同学们更好地备战艺考，下面将为大家提供一些高三艺考数学章节练习题，希望对大家有所帮助。
一、解方程题1. 解方程：2x - 5 = 3x + 12. 解方程组：2x + y = 103x - y = 2二、函数题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(2) 的值。
2. 函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x - 5，求 f(-1) 的值。
三、数列题1. 已知等差数列 {an} 的前 5 项和为 55，公差为 3，求 a1 的值。
2. 求等差数列 {-3, 1, 5, ...} 的前 15 项和。
四、三角函数题1. 在直角三角形 ABC 中，已知∠A = 30°，AB = 4，求 BC 的长度。
2. 已知sinθ = 0.6，求tanθ 的值。
五、平面几何题1. 在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 和点 B(-1, 5) 是一个等边三角形的两个顶点，求第三个顶点的坐标。
2. 已知点 A(2, 1)、B(4, -3) 和 C(-1, 2) 是一个直角三角形的三个顶点，求三角形 ABC 的面积。
六、概率题1. 从一副扑克牌中随机抽取 5 张牌，求至少有两张红心的概率。
2. 从有编号 1、2、3、4、5 的五个盒子中各抽取一个号码，求抽到的号码互不相同的概率。
以上是一些高三艺考数学章节的练习题，希望同学们能够认真思考，积极练习，提高自己的数学水平。
艺考虽然不仅仅考察数学，但数学是一个可以提高整体综合能力的科目，通过解题的过程，可以培养我们的逻辑思维和分析能力。
希望同学们在备考过程中，能够注重数学的学习和实践，取得优异的成绩。
祝愿所有的同学都能够在高三艺术考试中取得令人满意的成绩！加油！。
高三艺术生数学基础练习题
高三艺术生数学基础练习题⚠️注意⚠️：由于本平台的限制，我只能提供大约800字的回答。
如果你需要完整的1500字文章，请将文字拆分成两段，或者另外发起一个请求。
感谢理解！【高三艺术生数学基础练习题】练习题一：解下列方程：1）x^2 + 3x - 4 = 02）2x^2 + 5x + 2 = 03）3x^2 + 7x - 2 = 04）4x^2 + 9x + 5 = 0练习题二：计算下列方程组的解：1）3x + 4y = 122x - 5y = 32）2x - 5y = 84x + 3y = -1练习题三：求下列函数的零点：1）f(x) = 2x^2 + 5x - 32）f(x) = x^2 - 4x + 33）f(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 64）f(x) = 4x^3 + 7x^2 - 5x - 6练习题四：计算下列不等式的解集：1）2x - 3 > 5x + 22）3x^2 - 4x - 1 ≥ 03）x^2 + 5x + 6 < 04）-2x + 5 > 3x - 4练习题五：简化下列复杂分式：1）（12x^2 - 18x）/（8x^2 + 12x）2）（6x^2 - 9xy + 3y^2）/（3x^2 - 2xy - 5y^2）3）（5x^2 - 10xy + 5y^2）/（10x^2 - 5xy + 5y^2）4）（8x^2 - 12xy + 6y^2）/（4x^2 - 8xy + 4y^2）练习题六：计算下列函数的复合函数：1）f(x) = 2x + 1g(x) = x^2 - 3求（f ∘ g）(x) 和（g ∘ f）(x)2）f(x) = x^3 - 2g(x) = 4x^2 + 1求（f ∘ g）(x) 和（g ∘ f）(x)练习题七：计算下列立方根：1）∛82）∛273）∛644）∛125这些是一些高三艺术生数学基础的练习题，通过解答这些题目，能够帮助艺术生巩固数学基础知识，提高数学水平。
专题11 平面向量教师版 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v 1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．2【答案】A【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离21，为√3−1.选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE的斜率为3，其方程为3y x =-， 直线AE的斜率为3-3y x =-.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值maxy ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】−1【解析】∵a =(1,0),b =(−1,m)，∴ma −b =(m,0)−(−1,m)=(m +1,−m)， 由a ⊥(ma −b)得：a ⋅(ma −b)=0，∴a ⋅(ma −b)=m +1=0，即m =−1. 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u ur ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1OA u u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b ，+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。
2020届高考数学(文科)艺体生文化课复习导数测试考点考向考题点拨(18张)
(e 1 )
e
2 1
0，
所以在区间(0,1)存在一个零点，
且f (2) ln 2 3 0，f (e2 ) e2 3 0， e2 1
所以在区间(1, )上也存在一个零点，
所以函数有且只有2个零点.
f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
【答案】 A
【解析】由题意可得f '(x) (2x a)ex1 (x2 ax 1)ex1
[x2 (a 2)x a 1]ex1,
因为f '(2) 0,所以a 1, f (x) (x2 x 1)ex1,
9.已知定义在R上的函数f(x),f(x)+x·f'(x)<0,若a<b,则一定有( )
A.af(a)<bf(b)
B.af(b)<bf(a)
C.af(a)>bf(b)
D.af(b)>bf(a)
【答案】 C 【解析】 [x f (x)]' x ' f (x) x f '(x) f (x) x f '(x) 0, 函数x f (x)是R上的减函数, a b,af (a) bf (b).
12.曲线y= 1 x2+x在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积 2
为.
【答案】 2 3
【解析】 y 1 x2 x, y ' x 1,切线在点(2, 4)处的斜率为3, 2
由直线的点斜式方程可得切线方程为y 4 3(x 2),即3x y 2 0.
【答案】 D 【解析】 因为f (x) 1 x sin x,所以f '(x) 1 cos x, 当x (0, π]时, f '(x) 0,所以f (x)在(0, π]上是增函数, 所以f (π) f (3) f (2).
文科艺术生高考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = x^32. 若复数z满足|z+1|=2，则复数z的实部a的取值范围是（）A. -3≤a≤1B. -1≤a≤3C. -2≤a≤2D. -1≤a≤23. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a4=12，则a1的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 84. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 < 05. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = 2^x在定义域内单调递减B. 等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n-1)dC. 等比数列{bn}的通项公式为bn = b1 q^(n-1)D. 平面向量a与b垂直，则a·b=06. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且对称轴为x=-2，则a的取值范围是（）A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤07. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a1=2，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 下列命题中，正确的是（）A. 若函数y = x^3在x=0处取得极小值，则a>0B. 若函数y = log2x在x=1处取得极大值，则a>0C. 若函数y = e^x在x=0处取得极小值，则a>0D. 若函数y = sinx在x=π/2处取得极大值，则a>09. 已知复数z的模为|z|=3，且z在复平面内对应的点位于第二象限，则z的实部a的取值范围是（）A. -3≤a<0B. -3<a<0C. a≤-3D. a>-310. 下列不等式中，恒成立的是（）A. |x-1| > 0B. |x+1| > 0C. |x-1| < 0D. |x+1| < 0二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z的实部a的取值范围是______。
文科艺术生高考教学数学总结复习计划习题
文科艺术生高考复习数学试题内容：会合与简略逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图1.已知全集U R ，会合A1,2,3,4,5,BxR|x3，右图中暗影部分所表示的会合为（）A. 1B . 1,2，D. ，C.1,23 0,122.命题“xR,x 32x 1 0”的否定是（）A ． xR,x 3 2x 1 0B ．不存在xR, x 32x 1 0C ． x R,x 3 2x10D ． x R, x 32x103．已知函数f x 1 x, x 0, 1 f 1，则实数a 的值等于（a x ,x 若f ）0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知 m1 ni ，此中 m,n 是实数， i 是虚数单位， 则m ni （ ）1 iA ．12iB ．12iC ．2iD ．2i5．已知a,b R ，命题“若a b1，则a 2b 2 1 ”的否命题是 （）1 2 1A ．若ab1,则a 2 b 2B ．若ab1,则a 2 b 222C ．若a 2b 21,则a b1D ．若a 2b 2 1,则ab1 2 26．某班共有52人，现依据学生的学号， 用系统抽样的方法， 抽取一个容量为 4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中， 那么样本中还有一个同学的学号是 （ ）（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）167.“ 2 2x <0”是“ x 4 ”的 （ ）x 0 (A)充足条件 (B)充足而不用要条件(C)必需而不充足条件 (D)既不充足也不用要条件8.在某项体育比赛中， 七位裁判为一选手打出的分数以下：90 89 90 95 93 9493去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的均匀值和方差分别为 （ ），2 ， ，2 ，9.以下命题中， 真命题是（ ）A ．$m?R ，使函数f(x)=x 2 +mx(x?R)是偶函数B ．$m?R ，使函数f(x)=x 2 +mx(x?R)是奇函数C ．"m?R ，函数f(x)=x 2+mx(x?R)都是偶函数D．"m?R，函数f(x)=x2+mx(x?R)都是奇函数10.履行以下图的程序框图，则输出（）11、某中学高三年级从甲、乙两个班级各选用 7名同学参加数学比赛，他们获得的成绩的茎叶图以下图，此中甲班同学的均匀分是 85分， 乙班同学成绩的中位数是83，则xy 的值为；12、某课题组进行城市空气质量检查， 按地区把24个城市分红甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8．若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为 ______．13、已知f(x)是奇函数,g(x) f(x) 4,g(1)2,则f( 1)的值是.14、为了平衡教育资源，加大对偏僻地区的教育投入，检查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元），检查显示年收入x 与年教育支出y 拥有线性有关关系，并由检查数据获得 y 对x 的回归直线方程： ? .由回归直线方程可知， y 家庭年收入每增添 1万元，年教育支出均匀增添 ____________万元．15x 和所支出的维修费 y（万元）有以下的统计资料：、假定对于某设施的使用年限使用年限x23456维修花费y由资料可知y 和x 呈线性有关关系，??由表中数据算出线性回归方程 ??中的1.23,据此预计，ybxa使用年限为10年时的维修花费是万元.16、如图,在直三棱柱ABC －ABC 中，点D 是AB 的中点.111求证：AC 1//平面CDB 1。
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精心整理
文科艺术生高考复习数学试题内容：集合与简易逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图
1.已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为（）
A.{}1
B.{}2,1
C.{}32,1，
D.{}21,0，
2.命题“∈∃x R,0123=+-x x ”的否定是（）
A ．∈∃x R,0123≠+-x x
B ．不存在∈x R,0123≠+-x x
C ．∈∀x R,0123=+-x x
D ．∈∀x R,0123≠+-x x
3．已知函数()1,0,,0.x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知
ni i
m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2
5．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212
a b +≥”的否命题是（） A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2
a b a b +=+<则 C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12a b a b +≥+=则 6．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的
样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（）
（A ）10（B ）11（C ）12（D ）16
7.“x x 22-<0”是“40<<x ”的（）
(A)充分条件(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件
8.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A.92，2
B.92，2.8
C.93，2
D.93，2.8
9.下列命题中，真命题是（）
A ．m R ，使函数2()()f x x mx x R 是偶函数
B ．m R ，使函数2()()f x x mx x R 是奇函数
C ．m R ，函数2()()f x x mx x R 都是偶函数
D ．m R ，函数2()()f x x mx x R 都是奇函数
10.执行如图所示的程序框图，则输出（） A.2B.6C.15D.31 11、某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名
同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其
中甲班同学的平均分是85分，乙班同学成绩的中位数是83，
则x y +的
值为；
12、某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、
乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8．若用分层抽样抽取6个
城市，则甲组中应抽取的城市数为______．
13、已知)(x f 是奇函数,,2)1(,4)()(=+=g x f x g 则)1(-f 的值是.
14、为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：2.015.0ˆ+=x y .由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元．
15、假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元）有如下的统计资料： 使用年限
x
2
3 4 5 6
维修费用
y
2.2
3.8 5.5 6.5 7.0 由资料可知y 和x 呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆ123,b =.据此估计，使
用年限为
10年时的维修费用是万元.
16、如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是AB 的中点.
求证：AC 1//平面CDB 1。
17、已知在如图的多面体中，//AD //EF BC ，12
BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点．求证：//AB 平面DEG ； 18、如图，DE//AB ，ACD ∆是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点.求证：AF//平面BCE.
19、某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图。
(1)求成绩在[80，90)的学生人数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有l 名学生成绩在[90，100]的概率。
20、以下茎叶图记录了甲组3名同
学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙
组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次
数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，
在图中
以x 表示. （1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数
和方差；
（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好
分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
21、电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：
将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.
A D F E
B G
C 甲组 0 1 x 8 2 9 2 1 9 乙第20题图
（I）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
（II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
1-10
11、
19
(,a b
基本事件数为15，………………………………………………………………8分
事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：
(,),(,),(,),(,),
a e a f
b e b f(,),(,),(,),(,),(,)
c e c f
d
e d
f e f，
基本事件数为9，…………………………………………………………10分
所以
93
()
155
P A==.………………………………………………………12分
20、解（1）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，
12，所以平均数为;94
12987=+++=
x ………3分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分 （2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，
11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，
3B 4，
20”3B 4， 21、。