中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)知识讲解

中北大学概率统计习题册第三章完整答案
(详解)
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1. 设随机变量X 的分布列为
解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=
()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯ 10.120.21+⨯+⨯=
()2
2E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯
30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：
{}Λ3,2,1,1
===-k pq
k X P k ,其中p 为
常数，01p <<，1q p =-。

求(),()E X D X 。

解：11
()k k E X kpq +∞
-==∑()11
1k k k q q +∞
-==-∑
1
11k k k k kq
kq +∞
+∞
-===-∑∑
()01
1k
k k k k q kq +∞
+∞
===+-∑∑
01
111k k q q p
+∞
==
=
=-∑ 2
211
()k k E X k pq +∞
-==∑
()1
1
2
1
1k k k k k k pq
kpq
+∞
+∞
--===-+∑∑
()()1
2
2
1
11k k
k k k k q
k k q p +∞
+∞
-===---+
∑∑
()()12
1
11k
k
k k k k q k k q p +∞
+∞
===+--+∑∑
1
12k k kq p
+∞
==+
∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p
=+ 所以，()()22()D X E X E X =-
222211q q
p p p p
=
+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为
1
()exp{}2x f x μλλ
-=-，其中0λ>为
常数，求()E X 。

解：1e d 2x EX x x μ
λ
λ
--
+∞-∞
=⎰
()11e d e d 2211e d e d 22x x t
t
x x x
t t x μ
μ
λ
λ
λλμμλ
λ
μμλλ---
-
+∞
+∞
-∞-∞
-
-+∞
+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰
⎰⎰注：关于绝对收敛性
01e d 211e
d e d 2211e d e d 22x x x t
t
x x
x x x
t x t x μ
λ
μ
μ
λ
λ
λλ
λ
μμ
λ
λ
μμλλ--+∞
-∞
---
-+∞
+∞
-∞-∞
--+∞
+∞-∞≤-+=+=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰ λμ=+
或 1e d 2x x x μ
λ
λ
--+∞
-∞
⎰
||
1e d ()2
t x t t t μ
λμλ
+∞--∞-=
+=
⎰
当0μ≥时
()||
e d e d t t t t t t μλ
λμλμ+∞
-
--∞
-∞
+=-+⎰
⎰
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()()0
e d e d t
t t t t t
μλ
λμλμ+∞
--
++++⎰
⎰
()e
e μμλ
λλμλλλμ-
-⎛
⎫=+-+++ ⎪⎝⎭
2e
2μλ
λμ-
=+
当0μ<时
()0
||e d e d t t t t t t λμλμ+∞
--∞
-∞+=-+⎰
⎰ ()()0
e
d e d t
t
t t t t μλ
μλ
λμλμ-
+∞
---++++⎰
⎰
()e e μ
μ
λ
λ
λμλμλλ⎛⎫
=-+--+ ⎪⎝⎭
2e 2μ
λ
λμ=-
综上所述，我们有
()||
1||e d ||2x E X x x e
μμ
μ
λ
μλλ
--
-+∞-∞
==+⎰
4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-=其它
1)(b x a a
b x f ，
求圆的周长L 和面积S 的数学期望。

解： ()()2πE L E X =
()2πd b a
x
x a b b a
π==+-⎰
()()2
πE S E X
=
()222π
πd 3
b a
x x a b ab b a ==++-⎰
5．设连续型随机变量X 的概率密度为：
()1101010x x f x x x +-<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其它
试求X 数学期望和方差。

解：()d EX xf x x +∞-∞
=⎰
()()0
11
1d 1d x x x x x x -=++-⎰⎰
11
0;66
=-+=
()()()()2
12
21
0d 1d 1d 11112126
DX x f x x
x x x x x x +∞
-∞
-=-=++-=
+=⎰
⎰⎰
6.设连续型随机变量X 的概率密度函数为：
()⎩
⎨⎧≤≤=其它0b
x a k x f ，
且1
()0,()3
E X D X ==，试求b a k ,,。

解：由于()f x 是X 的概率密度，所以
有
()()d d 1b
a
f x x k x k b a +∞
-∞
==-=⎰
⎰
即 1k b a
=
- 又 ()d 02
b a
x a b E X x b a +===-⎰
得 0a b =-<
所以 221
()d 233
b
b x b D X x b -===⎰ 所以 1b =，从而1
1,2
a k =-=
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7.设随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0
2131)(x x f ，
且随机变量⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>-=01000
1X X X Y ，
求)(Y D 。

解：{}{}10P Y P X ==<
()0
111
d d 33
f x x x -∞
-===⎰
⎰
{}{}10P Y P X =-=> ()2
12d d 33
f x x x +∞===⎰
⎰
{}{}100P Y P X =-=== 所以Y 的分布律为
Y -1
1
23 0 13 ()1001333
E Y =-⨯+⨯+⨯=-
()()2
222211001133
E Y =-⨯+⨯+⨯=
()()()
2
2
2
18139
D Y
E Y
EY ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭
8.一工厂生产的某种设备的寿命X (以
年计)的概率密度为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
04
14
x x e x f x
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售
出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。

试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解：设Y 表示出售一台设备的净赢利为
Y 元，则 ()()2001P Y P X =-=<
1
1
4
41e d 1e 4x x ---∞==-⎰ ()()1001P Y P X ==≥ ()1
4
11e P X -
=-<=
()11442001e 100e E Y --⎛
⎫=-⨯-+⨯ ⎪⎝⎭
1
4
300e
20033.64-
=⨯-≈
9. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律
为
试求
)(),(),(),(33Y X E XY E Y X E X E +-。

解: ()11116412E X ⎛⎫
=-⨯++ ⎪⎝⎭
11110212466⎛⎫
+⨯++⨯=-
⎪⎝⎭
()()3
3
115
12
i j ij i j E X Y x y p ==-=-=-
∑∑ ()3
311
512
i j ij i j E XY x y p ====
∑∑
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()33
3
3
3311
13()12
i j ij i j E X Y
x y p ==+=+=
∑∑ 10.设随机变量X 与Y 的联合分布律为
试证明：X 与Y 不相关，且不相互独立。

并试着写出Y X ,之间的关系来说明 Y X ,的不相关性。

解：由X 与Y 的联合分布律得 X Y -2 -1 1 2 j p g
1 0 0.25 0.25 0 0.5 4
0.25 0 0 0.25 0.5 i p g
0.25
0.25
0.25
0.25
其中{},i i j j p P X x p P Y y ====g g
4
10,
i i i EX x p ===∑g 10.540.5 2.5EY =⨯+⨯=，
4
2
110ij i j i j EXY p x y ====∑∑，从而
()()()(,)0Cov X Y E XY E X E Y =-=；所以，X 与Y 不相关；
111100p p p =≠⋅≠g g ，所以X 与Y 不相
互独立
由于显然2
X 的分布律与Y 完全相同，所以有2Y X =，这表明X 与Y 之间没有线性关系，即它们不相关。

11.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度
函数为
()()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它02
010241
y ,x y x y ,x f
求：)(),(),(),(XY E Y X E X D X E +。

解：()(),d d E X xf x y y x +∞+∞
-∞-∞
=⎰
⎰
1
2
00
2d d 4x y x y x +⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
⎰
1
20d 2x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
⎰712= ()()22,d d E X x f x y y x +∞+∞
-∞
-∞=⎰
⎰
1
2
200
2d d 4x y x y x +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰
⎰
21
30d 2x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎰512= ()()()2
211
144
D X
E X EX =-=
()()(),d d E X Y x y f x y y x +∞
+∞
-∞
-∞+=+⎰
⎰
()1
200
2d d 4x y x y y x +⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰
1
20237d 324x x x ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
⎰ ()(),d d E XY xyf x y y x +∞
+∞
-∞
-∞=⎰
⎰
1
2
00
2d d 4x y xy y x +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰
⎰
12022d 33x x x ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
⎰ 12.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度
为
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⎩
⎨⎧≤≤≤=其它01
08),(y x xy y x f
试求(,),()Cov X Y D X Y -。

解：()(),d d E X xf x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
112
8d d x
x
y y x =⎰
⎰
()1240
84d 15
x x x =-=
⎰ ()()22,d d E X x f x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
11
30
8d d x
x y y x =⎰
⎰
()1
3501
4d 3
x x x =-=⎰ ()()()
2
2
11
225
D X
E X
EX =-= ()(),d d E Y yf x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
112
8d d x
xy y x =⎰⎰
()1
4
084d 3
5x x x =-=⎰ ()()22,d d E Y y f x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
113
8d d x
xy y x =⎰
⎰
()1
5022d 3
x x x =-=⎰ ()()()2
2275D Y E Y EY =-= ()(),d d E XY xyf x y y x +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
112
2
8d d x
x
y y x =⎰
⎰
()1
25
084d 3
9x x x =-=⎰
()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-
4844
9155225
=
-⨯=
()()()()2cov ,D X Y D X D Y X Y -=+-
11281
2257522525
=
+-=
13.设某商品每周的需求量X 服从分布
[]30,10U ，而经销商店进货量为区间
[]1030,中的某一整数，商店每销售一件
商品可获利500元。

若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每件商品仅获利300元。

为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

解：设进货()1030y y ≤≤件，则商店获利为
()()()5001001050030030
X y X X y
g X y X y y X --≤≤⎧⎪=⎨
+-<≤⎪⎩ 6001001030020030X y X y X y y X -≤≤⎧=⎨+<≤⎩
由于~[10,30]X U ，其概率密度函数为 ()1
1030200x f x ⎧≤≤⎪
=⎨⎪⎩其它
所以商店所获利润期望值为
()()()()d E g X g x f x x +∞-∞
=⎰
()101600100d 20
y
x y x =
-⎰
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()30
1300400d 20y x y x +
+⎰ 215
35052502y y =-++
9280≥
解此不等式得 2225y ≤≤
最少进货量为22件。

解法2 由于实际中商品件数是整数。

本题也可处理成离散型均匀分布，即需求
X 的分布律为
()1
,10,11,,3021
P X k k ===L ，则 ()()101
60010021
y
k Eg X x y ==
-∑ ()30
11
30020021
k y x y =++
+∑ 250235037500
777
y y =-
++
9280≥
解此不等式同样得到 2225y ≤≤ 最少进货量为22件。