分割高维空间的简单讨论(孟斐)

分割高维空间的简单讨论

淄博一中高2010级 22班孟斐

2012/2/24

分割高维空间的简单讨论

一、摘要

本文对如何分割高维空间做出了简单讨论，并通过降维的思想用数列递推模型对“最多能将高维空间分割成多少块”这一问题进行解答。发现只有（k-1）维空间能将k维空间分割，n个（k-1）维空间将一个k维空间分割成的最

大块数满足

-1

1

1

1

n

k k k

n i

i

a a a

-

=

-=∑,12

k a=。

二、符号约定

1. L1,L2,L3,……L K-1, L K 表示k维空间中某点O处彼此两两垂直的直线。

2．

[]A表示空间A，[k] 表示k维空间。

3.[（k-1）]A表示叫做A的（k-1）维空间。

4.[（k-1）]A∩[（k-1）]B表示两个（k-1

）维空间

相交的部分。

5. A-[k-1] 表示在某k维空间中，被（k-1）维空间分割成的含有A点（A点不在（k-1）维空间内部）的半无限大k维空间。

6.M,N,P,O表示空间中的点。

7.表示点M不在A空间内。

8.表示点M在A空间内。

9.k

n

a

表示在k维空间中，n个（k-1）维空间能

将一个k维空间分割成的最大块数。

三、提出问题

1．如何分割一个有k个维度的空间（下文简称k维空间）？

2．最多能将k维空间分割成多少块？

四、分析问题

1.两个猜测

我们知道，一个点可以把一条线分割成两部分，一条直线可以把一个平面分割成两部分，一个平面可以把一个三维物体分割成两部分。然而点不能分割面，更不能分割三维物体，而且线也不可以把三维物体分割开。这样，我们便猜测：

猜测1 k维空间能且只能被（k-1）维空间分割。

我们知道，两条线相交于一点，两个面相较于一条直线，那么我们不禁要猜想：

猜测2 k维空间中的两个（k-1）维空间相交与一个（k-2）维空间。

2.分析证明猜测1

对猜测1，我们分析证明如下：

在多维空间中的某个点O，我们总可以找到（k-1）条彼此两两垂直的直线。假使我们已经找到了他们，并记作L1,L2,L3,……L K-1。那么我们能否在O点找到直线L K ，使L K 与L1,L2,L3,……L K-1分别垂直呢？显然，这条直线在（k-1）

维空间中无法找到。但这样的直线L K存在于k维空间当中，因为k维空间中的O点处可以找出k条彼此两两垂直的直线。

由此可见，直线L K不属于（k-1）维空间，但属于k维空间。由于L K上只有点O在（k-1）维空间内，不难看出，（k-1）维空间把直线L K分成了两段，我们记作0A，0B。而且（k-1）维空间实质上将k维空间分割成了A-[k]与B-[ k]两个半无限大k维空间。也即一个（k-1）维空间将k 维空间分割成两部分。

那么（k-2）维，（k-3）维，……能做到这一点吗？

事实上不能，拿（k-2）维举例，若用（k-2）维去分割k维空间，则（k-2）维空间中某一点O应存在k条彼此垂直的直线L，但在（k-2）维空间中只能找到k条中的（k-2）条，则有两条在k维空间中，且在（k-2）维空间外。过O点的这两条直线构成一个平面Π，而（k-2）维空间只经过了平面Π中的一点O。这样（k-2）维空间能否分割k维空间就转化为一个点能否分割一个平面。显然一点O 不能把一个平面分成两部分，所以被（k-2）维空间切割过的k维空间通过平面Π仍连成一个整体，即一个（k-2）维空间无法将一个k维空间分割成两部分。

同样的道理，（k-3）维空间能否分割k维空间便转化为：一个点能否分割三维空间。（k-m）维空间，1≤m≤k 且m∈N+能否分割k维空间可以转化为：一个点能否分割m 维空间，显然当且仅当m＝1时，点可以分割一维空间（即一条直线）为两段，所以k维空间能且只能被（k-1）维空间分割，猜测1是正确的。

既然（k-1）维空间能分割k维空间，那么，n个（k-1）维空间最多能把1个k维空间分割成几块？

讨论这个问题我们采用降维的思路。但我们首先要证

明第二个猜想：在k维空间中，两个（k-1）维空间交于一个（k-2）维空间。

3.证明猜想2

分析：如果在（k-1）维空间中考察，我们无法找到任何一个不同于考察空间的（k-1）维空间，即在（k-1）维

空间中无法找到另一个与它相交的同维数的空间。但在k

维空间中，由于多出了一个维度，也就让我们得以找到两

个相交的（k-1）维空间：[（k-1）]A和[（k-1）]B。因为[A],[B ]相交，则[k]中存在的所有点有四类：

第一类如点M[A]且M[B]。

第二类如点N[A]且N[B]。

第三类如点P[A]且P[B]。

第四类如点O[A]且[B]。

由此可知，点M、N、P [（k-1）]A∩[（k-1）]B(下文简单记做 [A]∩[B]）,点O∈[A]∩[B]。

我们可以通过这样一种思想来确定[（k-1）]A∩[（k-1）]B的维数：

① 由于K维空间不可能包含维度比K还高的空间，且

K维空间中存在不属于[A]∩[B]的点，所以[A]∩[B]

的维度比K小。

② 找到四类点中的三类点不属于[A]∩[B]的原因，即

可得[A]∩[B]的维数。

③ 假设相交得的空间维数不是（k-2），如果有矛

盾，则间接证明交得空间的维数是（k-2）。

注意到M、N都是在某个（k-1）维空间中，但不在[（k-1）]A∩[（k-1）]B中。从相对性考虑，M、N并无不