2013年北京工业大学865线性代数考研真题【圣才出品】

2013年北京工业大学865高等代数考研真题

一、填空题（写出正确答案，本题共25分，每小题5分）

1．如果实方阵

110011001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则n A = 。

2．已知n （自然数1n ≥）阶方阵J 的所有元素都是1-；()ij n n A a ⨯=中除了nn a 外，

其余元素

0ij a =。如果J 和A 相似，则nn a = 。

3．一个n 阶行列式D 的元素由

()max ,ij a i j =给定，则D = 。

4．设α为3维列向量，T α是α的转置，如果121242121T αα-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则T αα= 。

5．设R 为实数域，集合|,,,u v u T v

x y x u v x y R u x u ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭关于矩阵的加法和数乘构

成R -线性空间，则T 的一组基为 ，维数是 。

二、选择题（将正确答案的选项填入括号中，本题共25分，每小题5分）

1．设,A B 均为n 阶矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）。

A ．3(1)2n O

B A O **⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．2(1)3n O B A O **⎛⎫- ⎪⎝⎭

C ．23O B A O **⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．32O B A O **⎛⎫ ⎪⎝

⎭ 2．设,A P 均为3阶矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，

()

1123,,Q αααα=+，则1Q AQ -=（ ）。

A ．210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ B ．110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ D ．100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

3．设向量组12I:,,,r ααα可由向量组12II:,,,s βββ线性表示，则（ ）。

A ．当r s <时，向量组II 必线性相关

B ．当r s >时，向量组II 必线性相关

C ．当r s <时，向量组I 必线性相关

D ．当r s >时，向量组I 必线性相关

4．n 阶方阵A 满足23A A =，且A 的秩为r ，则行列式A E -=（ ）。

A ．

(1)3n r r -- B ．3r

C ．(1)2n r r --

D ．2r

5．设A 是n 阶实矩阵，令T B A A =，则（ ）。

A ．

B 一定既相似又合同于一个对角矩阵

B ．B 一定相似但不合同于一个对角矩阵

C ．B 一定合同但不相似于一个对角矩阵

D ．B 一定不相似也不合同于一个对角矩阵

三、（本题18分）设n 元线性方程组AX b =，其中

3

12212012,,012n n n x a a x a A X b a x a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ （1）证明：()1n

A n a =+； （2）根据a 取值讨论方程组解的情况：若有解，求出所有解X ；若无解，请说出理由。

四、（本题20分）设二次型

22212312313(,,)222(0)T f x x x X AX ax x x bx x b ==+-+>

其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-。

（1）求,a b 的值；

（2）用正交替换将二次型

123(,,)f x x x 化为标准型，并写出所用的正交替换。

五、（本题12分）设A 是n 阶实对称矩阵，证明：

（1）A 的特征值都是实数；

（2）A 的属于不同特征值的2个特征向量的对应分量乘积的和为0。

六、（本题12分）设A 是n 阶实矩阵，A *是A 的伴随矩阵。

（1）证明：1

n A A -*=；

（2）如果

1000010010400304A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且113ABA BA E --=+，求矩阵B 。

七、（本题20分）设A 是2阶实矩阵，若存在正整数k ，使得0k A =，则称A 是幂零矩阵；设V 是全体2阶实矩阵组成的R -线性空间，

ij E 表示(,)(,1,2)i j i j =位置元素为1，其

余位置上元素为0的2阶矩阵，定义映射σ： (),X AX XA X V σ=-∈

（1）证明：{}11122122,,,E E E E 是V 的一组基，σ是线性空间V 上的线性变换；

（2）若

1201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求σ在基{}11122122,,,E E E E 下的矩阵； （3）对于任意2阶矩阵A ，求σ在基

{}11122122,,,E E E E 下的矩阵；

（4）若A 是幂零矩阵，证明σ在基{}11122122,,,E E E E 下的矩阵也是幂零的．

八、（本题18分）设A 是实数域上的n 阶非零矩阵，且2A A =-，()r r A n =<，证明下

列结论：

（1）()()r A r E A n ++=； （2）存在n 阶可逆矩阵P ，使得1r

E O P AP O O --⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中r E 表示r 阶单位矩阵；

（3）A 可以表示成2个秩均为r 的对称矩阵的乘积，并说明表法是否唯一．