《火箭发动机》 7 内弹道

r : 装药平均燃烧速度
: 燃气平均密度
对上式右边部分进行微分，可有
dVg dmr d Vg dt dt dt
说明燃烧室内燃气质量变化率由两部分组成：
1.
dVg dt
表示单位时间内充填由于装药燃烧而增加的容积所需
dVg dt
的燃气质量，简称为燃气填充量，显然：

Ab r
2.
根据质量守恒原理，燃烧室内燃气生成率 mb 与燃气通过喷管 排出的质量流率 mt 之差应等于燃烧室内燃气质量变化率，即：
dmr m b mt dt
p : 推进剂装药密度
Ab : 装药燃烧面积
m b p rAb 其中： mr Vg
mr : 燃烧室内存留的燃气质量 Vg : 燃气占有的容积, 即燃烧室自由容积
Vg
d dt
表示单位时间内改变燃气密度所需的燃气质量。
根据基本假设及完全气体的状态方程 p RT 可有：
Vg d Vg dp dt RT0 dt
整理后有：
Vg dp Ab r ( p ) mt RT0 dt
此即计算零维内弹道压强—时间（p-t）曲线的微分方程。
在上面的分析中，认为燃烧室是一个充满高压燃烧气体的容器， 不考虑燃气的流动和燃烧室内的压强分布，室内各点的压强都相等。 这样，整个燃烧室压强同时随时间变化，与该点的位置坐标x无关，这 就是所谓“零维”的压强变化。对于燃气流速很小的燃烧室来说，压 强计算可以看作是一个“零维”问题来处理。但是，对装填密度较大 的侧面燃烧装药，燃气在通道中的流动沿轴向产生很大的速度，因此， 压强沿轴向有显著的变化。这种情况下，必须考虑压强在燃烧室中的 分布，应作为“一维”问题来进行压强计算。
三、零维内弹道计算的微分方程
严格说来，内弹道计算与气流各参数(压强、温度、密度等)沿燃 烧室长度的分布随时间的变化规律有关，应使用一维非定常流的普遍 方程组来确定燃烧室内燃气的压强、温度及密度与坐标x及时间t的函 数关系，但这种方法在数学上会遇到一系列的困难。因此，在工程计 算中，通常简化为零维问题来处理。 零维内弹道计算的基本假设如下： • 燃气流动参数取其沿轴向的平均值； • 推进剂装药燃烧完全，燃烧产物组分不变，且燃烧温度等于推进 剂的等压燃烧温度； • • 燃气为完全气体，服从完全气体状态方程； 装药燃烧服从几何燃烧定律。
机正常和稳定的工作，使推进剂的化学能充分转化为热能，要求燃 烧室压强必须高于推进剂完全燃烧的临界压强；从结构设计方面来 看，燃烧室是一个主要承受内压的部件，在进行各组件和药柱的强 度计算前，必须先确定燃烧室中可能出现的最大压强，其值的大 小，直接影响对燃烧室的强度要求和结构重量。 由此可见，在发动机设计过程中，首先确定推进剂成分，装药 几何尺寸和喷管喉径。计算出燃烧室压强随时间空变化的曲线；然 后求得发动机的推力随时间的变化规律和有关发动机的其它性能参 数以及进行发动机壳体结构设计和强度计算；最后，确定发动机设 计性能。有时，为达到总体设计要求，要反复多次地进行装药和喷 管几何尺寸的设计以及内弹道计算，以求得发动机的最佳设计。 总之，内弹道计算的任务是在确定推进剂成分、装药几何尺 寸、工作环境温度、喷管喉部直径等条件下，计算燃烧室压强随时 间的变化规律。
二、燃烧室压强的变化
在发动机工作过程中，一方面推进剂装药燃烧，不断生成燃气， 充填燃烧室自由容积。燃气生成的速度按每秒生成多少质量来计量， 并称之为燃气的质量生成量；另一方面，燃气经过喷管流出，以每秒 流出多少质量来计量，这称之为喷管的质量流量。如果燃气生成量超 过喷管的质量流量，燃烧室自由容积内的燃气质量不断积累而使压强 上升。反之，如果燃气生成量下降，低于喷管的质量流量，则燃烧室 压强就会下降。只有在一定的条件下，燃气生成量与喷管质量流量达 到相对平衡时，压强也达到相对稳定值。 由发动机实验所测得的 燃烧室压强一时间曲线可见， 燃烧室压强的变化有三个阶 段，如右图所示：
M 为装填参量
1 1-n 1 1n
km : 单位换算系数, p单位为Pa时,km 1; p单位为MPa时,km 106
则平衡压强为: Peq 1- C p aKN (æ ) /
*
[M (1 )]
由于ε<<1,则
Peq (1

1 n
)M
1 1 n
M
1 1 n
1 1 n 1 1 M km 1 n p RT0
当Peq较小时,如Peq=9.8MPa时,可取ε=0，则此时有： Peq M
1 1 n
2. 影响平衡压强的因素： 1 * 从平衡压强的表达式 Peq 1- C p aKN ( æ ) / 1-n 可以看到：当 处于理想状态（即流量修正系数ψ=1、热损失修正系数χ=1与ε=0）时， 影响平衡压强的因素主要有两方面：一方面是推进剂的特性，如密度、 特征速度、燃速特性与压强指数；另一方面是发动机几何设计参数，如 面喉比等。 (1)推进剂特性对平衡压强的影响 推进剂特性对平衡压强有着决定性的影响。由于推进剂的种类很多， 设计中可根据要求选择推进剂，确定相应的平衡压强。例如，就常用的 推进剂而言，其密度ρp约为1600-1800kg/m3，其特征速度C*约为12001600m/s，其燃速则差别更大，速燃推进剂可高达每秒几十毫米，缓燃 推进剂只有每秒几毫米，甚至每秒1毫米。所有这些数据都直接影响发 动机的平衡压强。
于相对稳定值。对于减面燃烧装药，燃气生成量不断减小，燃烧室压 强也逐渐减小。同样，由于喷管流量的不断下降使燃烧室压强与流量 处于相对稳定值。对于恒面燃烧装药，从燃气生成量与流量达到平衡 以后，由于燃烧表面积不变，燃气生成量与喷管流量的平衡可以一直 维持下去，压强也因而不变，直到整个装药燃烧结束。
3 拖尾阶段(结束段) 此时装药燃烧基本结束，燃气生成量近似 为零，只有燃气的排出。在此阶段，燃烧室内的燃气质量迅速减少， 因而压强迅速下降，直到与外界环境压强相等，排气停止，拖尾阶段 结束。这个压强下降过程又称为“后效”过程，是发动机工作的尾声。 以上三个阶段中，发动机工作阶段是火箭作为运载工具产生推进 动力的主要阶段。在大多数情况下，要求发动机性能相对稳定，燃面 变化尽可能小，尽量采用恒面燃烧，燃烧室压强随时间的变化比较小， 这样，可以作为定常或准定常问题来处理。与此相反，若在压强上升 段和拖尾段中，压强随时间的变化很大，则离准定常的条件更远，会 使问题的处理复杂化。
固体火箭发动机内弹道计算，即燃烧室压强时间曲线计算，是固 体火箭发动机设计中的一个重要环节。首先，由推力公式 F=CFPcAt 可见，燃烧室压强的变化规律可直接决定火箭弹的推力方案；其次， 对一定的装药来说，燃烧层的厚度是一定的，推进剂燃速受压强控制， 燃烧室压强越高，推进剂燃速越大，装药燃尽时间越短。因此，燃烧 室压强又是决定发动机工作时间的重要因素；此外，为保证发动
令 m Ab r ( p ) ,并称之为燃气每秒净增率，则燃烧室内
燃气压强变化情况取决于燃气每秒净增率与质量流率的大小。前者 是使压强增大的因素，后者是使压强减小的因素。
当 m mt时,dp/dt 0, 压强增大; 当 m mt时,dp/dt 0, 压强减小; 当 m mt时,dp/dt 0, 压强不变.
在发动机实际工作过程中，燃气密度ρ远小于装药密度ρp， 因此，可忽略填充量，故微分方程又可简化为：
Vg dp mb mt RT0 dt
式中 其中
mb p Ab r p Ab apn ()
为沿装药全长的平均侵蚀比。
pAt pAt C* RT0
1.发动机起动阶段(上升段) 这包括点火和压强建立过程。首先 依靠点火装置中点火药点燃并燃烧生成的高温气体充满燃烧室，一方 面使燃烧室压强上升到点火压强；另一方面加热推进剂表面，点燃主 装药，这就是点火过程。当主装药全面点燃后，燃气质量生成量迅速 增大，并在瞬时超过喷管的质量流量，使燃烧室的压强迅速增加，同 时又促使喷管流量的增加，不断地与燃气生成量趋于相对平衡。最后， 燃烧室压强达到其相对稳定值，这个相对稳定值的压强称为工作压强。 这个压强建立的过程即称为发动机启动阶段。对一般发动机来说，这 个过程在几十毫秒内完成。
2．发动机工作阶段(工作段) 当燃烧室内已充满了高压的燃气， 燃气的生成量和喷管流量达到相对平衡，因而压强的变化比较平缓。 在这个阶段中，燃气生成量的变化主要决定于装药燃烧表面积的变化。 对于增面燃烧的装药，燃气生成量随燃面的增大而逐渐增加，燃烧室 压强也逐渐增加。与此同时，喷管流量的增大使燃烧室压强不断地处
根据对推进剂燃烧特性分析可知，常用燃速温度敏感系数σp来表 达燃速受初温的影响程度。从有关资料查得燃速温度敏感系数σp的值 和已知某初温Ti1下的燃速r1后，可利用如下公式求得任一初温Ti2的燃 速r2,即 r re p (Ti 2 Ti1 ) 2 1 并且，根据压强温度敏感系数的定义，可由初温Ti1下的平衡压强 估算初温Ti2下的平衡压强，近似公式为：
引入流量修正系数ψ和热损失修正系数χ,则:
mt
其中C * : 特征速度,C *
RT0
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于是又可得到计算p-t曲线的微分方程的又一形式:
pAt dp p Ab ap n () RT0 dt RT0
Vg
四、平衡压强及其影响因素
1.平衡压强的定义：由上面分析可知，当燃气每秒净增率等于质 量流率时，即： m mt时,dp/dt 0时，燃气处于平衡状态，对应的压 当 强称为平衡压强，记为Peq.
第七章 固体火箭发动机的内弹道计算
一、内弹道计算的任务 二、燃烧室压强的变化 三、零维内弹道计算的微分方程 四、平衡压强及其影响因素 五、燃烧室压强—时间曲线的简化计算
一、内弹道计算的任务
内弹道学是从枪炮技术中引来的一个术语。原意是研究发射过程 中弹丸在膛内的运动和膛内压强的变化。固体火箭发动机内弹道学的 核心是研究发动机燃烧室内压强随时间变化的规律。因此，内弹道计 算就是计算燃烧室内燃气压强—时间曲线，其最终目的是计算发动机 推力—时间曲线和质量流率—时间曲线，为火箭、导弹外弹道计算提 供依据。
对于一定面喉比的发动机来讲，推进剂性能特性是影响平衡压强 的主要因素。例如，特征速度C*主要反映推进剂的能量特性；推进剂 密度ρp反映燃烧同样体积的装药产生燃烧产物的多少；燃速系数a和 压强指数n都反映燃速的快慢，因而亦反映燃烧产物的秒生成量。因此， 在推进剂生产过程中要严格控制成分和质量比例，尽可能避免装药内 部在化学组成和密度上的差异，以免使平衡压强的散布较大。 由于推进剂燃速特性随初温的变化而变化，因此，在实际工作中， 初温也是影响发动机平衡压强的另一主要因素。 推进剂燃速受初温的影响是很显著的，初温高时，燃速高，平衡 压强增大，工作时间缩短；初温低时，燃速低，压强降低，工作时间 长。压强的这种变化必然引起推力产生相应的变化。这种随着季节环 境温度的不同而产生的推力变化，对导弹的总体性能有很大的影响。 因此，在发动机设计阶段，必须预计在各种可能的环境温度下燃烧室 平衡压强的变化。
Peq = 1 p p Ab a () RT0 At km
M
令
P k eq m p p RT0
p K N a ( æ ) RT0
1 1-n
km
其中: K N 为面喉比, K N Ab / At
p ( Ti 2 Ti 1 )
PeqTi 2 PeqTi1 e
1 n
(2) 面喉比对平衡压强的影响 发动机的几何设计参数，如面喉比KN 也是影响平衡压强的因素之 1 一。由平衡压强公式 Peq C* p aKN 1-n 可知，平衡压强与面喉比之间为指 数关系，即平衡压强随面喉比KN的增加而增加。 影响平衡压强的除了上述主要因素外，还有其它因素，如：火箭弹 的旋转、平行装药表面的燃气流动等也会影响推进剂的燃烧特性并改变 平衡压强。所以，实际发动机的平衡压强总是在一定范围内波动。采用 n值较小的平台推进剂是有利的，它可以缩小平衡压强的波动幅度。