用构造法求数列的通项公式(课堂PPT)
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
2.5求数列通项公式-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版必修5课件(共28张PPT)
2an （n+2)an （n+1)an1
nan （n+1)an1
an
n+1
an1
n
再用逐商叠乘法求出数列an 的通项公式。
例4.2,已知数列an中，an 0, Sn是数列的前n项的和，
解
且an
:由an
1 a1n
an
2Sn , 求an
2Sn , 得an2
1
2Sn
•
an
,
又an Sn Sn1(n 2)
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
五、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
练习1：已知an中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
六、 构造法
题型2.an1 pan f (n)(q, p为常数,且p 1, q 0)
例8.
已知数列 an
中，a1
41，，an
1 3 2
an1
2n
1
n 2求an
六、 构造法
题型3.an1 pan qn (q, p为常数,且p 1, q 0) 例10.已知数列{an }满足：a1 1, an1 3an 2n1,求an
1
是以
an 1 2 2
为首项，以1为公差的等差数列.
（2）由（1）知
an 1 2n
2 (n 1)1
,所以an＝（n＋1）2n＋1.
题型4 形取如 倒数a方n1法转pa化mna成n q为的递1 推式m，1可采m用
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
数列的通项公式课件ppt
故有an1＋1－a1n＝2.故数列a1n是首项为a11＝13，
公差为 2 的等差数列，所以a1n＝31＋2(n－1)＝6n3－5，
故 an＝6n3－5.
答案：6n3－5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
观察法
根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3,33,333,3 333，…；
试一试：
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 Sn＝n＋n 1，则a15＝ (
)
5
6
A.6 B.5
1 C.30
D．30
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
构造法求数列通项公式专题讲座ppt课件
令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中 通过对条件和结论的充分剖析，有时会 联想出一些适当的辅助模型，以促成命 题的转换，产生新的解题方法。下面就 构造法求数列的通项公式的分类和解题 方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn
构造法求数列的通项公式课件-2025届高三数学一轮复习
＋an＋1＝4×4n－1＝4n.所以a9＋a10＝49.故选C.
题型三 形如an＋1＝qpanan+r
例5 (多选)已知数列{an}满足a1＝35，an＋1＝1+3a2nan(n∈N*)，则(
)
A．数列{a1n－1}为等比数列
B．an<1
C．∃k∈N*，ak>ak＋1
D．a11 + a12＋…＋a1n<n＋1
∴an+1− n+1
an−n
＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.
题后师说
形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 求an的一般步骤
角度三 an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
例3 [2024·江西宜春模拟]已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋
答案：ABD
题后师说
形如an＋1＝qpana+n r求an的一般步骤
巩固训练3 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3−anan
(n∈N*)，则an＝_3_n−_21_+_1(_n_∈__N_*)_．
解析：由an＋1＝3−anan得an1+1＝3−anan＝a3n－1，
即1
an+1
−
12＝3(a1n
题后师说
形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0) 求an的一般步骤
角度二 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an} 的通项公式．
解析：∵an＋1＝2an－n＋1，
高一数学数列求通项公式的几类方法课件
②叠加法，如 an1 an f (n)
③叠乘法：如
an1 f (n) an
④构造新数列：如 an1 kan b
an1 r k (an r)
（5）取倒数：如
a1
3, an
3an1 3 an1
(n
2)
类型二：在数列中已知 Sn 求an ：
设数列an 前 n 项的和 Sn 2n2 3n 1,
为等差数列
2)，a1
1，
(2) 求 {an}的通项公式
变题2：已知an
2Sn2 2Sn 1
(n 2)，a1 1，
1
求证： S1n
为等差数列
(2) 求 {an}的通项公式
2
解：∵an
Sn2 2Sn2
1
2Sn2 2Sn 1
且an
Sn
Sn1
(n
2Sn Sn1 Sn Sn1 Sn
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
题型1.等比数列的判断
例1 已知数列bn是等差数列, a 0, 求证:数列 abn 是等比数列.
例2 已知数列an 的前n项和 Sn 满足条件
已知递推关系式求通项
从二只兔子起,每只兔子的体重是它的前 一只 兔子的二分之一加一斤,第一只的 体重为十六斤,其它兔子的体重呢?
你能根据提议写出它的递推关系式吗? 你能求出通项吗?
一、公式法
已知数列ana1 1，an1 an 3，求an
已知数列an a1
1，an1 an
3，求an
二、叠加法
2Sn1 1
整理得：1
数列中的构造问题+课件-2025届高三数学一轮复习
训练1 (1)(2024·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2， 则an＝________．
答案：2×3n－1－1
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝________． 答案：n·3n－1
7
限时规范训练
9．已知数列{an}的首项 a1＝1，且an1＋1＝a3n＋2，则数列{an}的通项公 式为________．
1
限时规范训练
培优增分 第4讲 数列中的构造问题
2
限时规范训练
命题解读 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、 累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利 用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的 数列)求解．
3
限时规范训练
题型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型 角度 1 an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
限时规范训练
30
所以数列{ an＋1}是首项为 a1＋1＝2， 公差为 1 的等差数列， 所以 an＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以 an＝n2＋2n， 所以 a10＝102＋20＝120.故选 C．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
由题意知 an≠0，由 an－an＋1＝3anan＋1 得an1＋1－a1n＝3，又a11＝1， ∴数列{a1n}是以 1 为首项，3 为公差的等差数列， ∴a1n＝1＋3(n－1)＝3n－2，则 an＝3n1－2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
构造法求数列通项
构造法求数列通项
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。
解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3. 已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，
，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。
所以。
即，故为所求。
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
数列通项的求法—构造法
数列通项的求法—构造法由递推关系给出的数列，求其通项常用的方法有累加（乘）法或迭代法。
但很多情况下可通过构造化归为等差或等比数列求其通项。
下面就相邻两项或三项递推关系给出的数列求通项作一些探究。
一 形如“)(1n f ka a n n +=+”型的数列例1 已知数列}{n a 满足232,111+==+n n a a a ，求n a . 解析：设)(321λλ+=++n n a a ，比较，得6-=λ， 则56),6(32611-=--=-+a a a n n ，即数列}6{-n a 是首项为5-，公比为32的等比数列，1)32(56-⋅-=-∴n n a ，即1)32(56-⋅-=n n a 例2 已知数列}{n a 满足n n a a a n n 232,1211++==+，求n a . 解析：设① )(32)1()1(221C Bn An a C n B n A a n n +++=++++++ 则n n C B A n B A An 231)312(3122+=---+--, 比较系数，得27,12,3-==-=C B A ，代入①知，数列}27123{2-+-n n a n 是首项为17-，公比为32的等比数列. 12)32(1727123-⋅-=-+-∴n n n n a ,即12)32(1727123-⋅-+-=n n n n a 例3 已知数列}{n a 满足n n n a a a 232,111+==+，求n a . 解析Ⅰ：设)2(32211n n n n a a ⋅+=⋅+++λλ，比较，得43,134-==-λλ， 则21243),243(32243111-=⋅-⋅-=⋅-++a a a n n n n 即数列}243{n n a ⋅-是首项为21-，公比为32的等比数列. 11)32(21243,)32(21243--⋅-⋅=⋅-=⋅-∴n n n n n n a a 即 解析Ⅱ：由n n n a a 2321+=+，有n n n n n n n a b a a 2,21231211=+⋅=++设， 则21311+=+n n b b ，仿例1求n b 从而求得n a .解析Ⅲ：由n n n a a 2321+=+，有1321321321)()(+++⋅=-n n n n n a a ，设n n n a b )(32=， 则11321++⋅=-n n n b b ，用累加法求n b 从而求得n a . 一般地，由)(,11n f ka a a a n n +==+给出的数列，当t rn qn pa n f n +++=2)(时，都可通过分解)(n f 构造)()1()1(21211D Cn Bn Aa a k D n C n B Aa a n n n n ++++=+++++++++ 再利用待定系数法确定A ，B ，C ，D ，从而转化为等比数列求其通项.二 形如“n n n ra qa pa +=++12”型的数列例4．设数列}{n a 满足：*++∈-===N n a a a a a n n n ,6316,16,21221，求n a .解析：设))(16(112n n n n a a a a λλλ++=++++，则63)16(-=+λλ，解得97--=或λ 取,27),7(97712112=--=--=+++a a a a a a n n n n 且，有λ }7{1n n a a -+则数列是首项为2，公比为9的等比数列，11927-+⋅=-n n n a a 再令)9(7911-++=+n n n n k a k a ，比较，得1-=k 从而数列}9{1--n n a 是首项为1，公比为7的等比数列 11719--⋅=-∴n n n a 即1179--+=n n n a一般地，由相邻三项的递推关系给出的数列，求其通项时，可通过分解中间项构造等比数列转化为相邻两项的递推关系，从而求其通项.三 其它类型的数列例5 已知数列}{n a 满足：n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1，求n a .解析：0,11≠∴-=n a a ，由n n n n a a a a -=⋅++11，有1111-=-+nn a a ， 则数列}1{na 是首项为1-，公差为1-的等差数列， n n a n -=--+-=∴)1)(1(11 即na n 1-= 例6（06安徽）数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知),3,2,1)(1(,2121 =--==n n n a n S a n n 写出1-n n S S 与的递推关系式）（2≥n ,并求n S 关于n 的表达式.解析：当2≥n 时，1--=n n n S S a ，则有① 即 )1()1(),1()(12212-+=----=--n n S n S n n n S S n S n n n n n11122++-=∴-n n S n n S n n 由①得 n n n n b S nn n S n n S n n =+≥=--+-1),2(1111设 则有 )2(11≥=--n b b n n ，数列}{n b 是首项为1，公差为1的等差数列,n n b n =⋅-+=∴1)1(1， 从而n S nn n =+1， 即12+=n n S n 解本例的一般思路是由1-n n S S 与的递推关系)2(≥n ，先归纳，猜想n S ，再用数学归纳法证明。
利用构造法求数列的通项公式课件 高三数学二轮专题复习
A 2
an 1 2 2(an 2)
an 1 2
2
an 2
{an +2}是首项为a1 +2=4，公比为2 的等比数列
n -1
an 2 4 2n-1 an 2 2
December 2, 2023
Guang Nan NO.1 High School
转化成一个等差数列
典例: 已知 = , + = − , 求通项公式 =?
解
an 1 2an 2n
an 1 2an 2n
n 1
2
2n 1
an1 an 1
n1 n
2
2
2
an
1
{ n }是首项为3,公差为 的等差数列
2
2
an
1 n 5
所以 − × − = − × − ，即 = × − − × − ；
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⋅ − − . 故答案为： = ⋅ − −
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练5．已知 数列满足 = ，+ − = + ，则数列 的通项公
式为
.
解：由+ − =
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4
类型二：an 1 pan (kn b) (p 0, k 0)，即尾巴是一个一次型函数
典例: 已知 = , + = + , 求通项公式 =?
构造法求数列通项公式之欧阳治创编
构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与na ，从而求出n a 的通项公式。
例1在数列{}n a 中，1a =12，1n a +=33n n a a +（n N +∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n =3a n+1-3a n =0，两边同除以a n+1a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =na 1，则b n+1-b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n评析：本例通过变形，将递推公式变形成为A a a nn =-+111形式，应用等差数列的通项公式，先求出na 1的通项公式，从而求出n a 的通项公式。
例2在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，nS 1-11-n S =2，∴｛nS 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴nS 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式，∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。
高考总复习一轮数学精品课件 第6章 数列 素能培优(九) 数列中的构造问题
n
2
1
1
所以{2 }是以 2 = 2为首项,1 为公差的等差数列.
1
1
所以 = +n-1=n- ,所以 an=(2n-1)2n-1.
2
2
2
[对点训练2]已知数列{an}满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an,则数列{an}的通项
an=3n-1
公式为_______________.
例1(2024·江西景德镇一中检测)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=4an-6,
则a2 023=( C )
A.-42 023+2
B.-42 023-2
C.-42 022+2
D.-42 022-2
解析 由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),而a1-2=-1,
因此数列{an-2}是首项为-1,公比为4的等比数列,则an-2=-1×4n-1,
-3n=2n+2-3n-4,故
1-2
D 正确.
本 课 结 束
探究三 形如
an+1= +型
例 5 已知数列{an}Βιβλιοθήκη 首项4an=
__________.
1+4
4
4
a1=5,an+1=3 +1,n∈N*,则数列{an}的通项公式为
4
4
解析 因为 an+1=3 +1,a1=5 ≠0,所以 an≠0,
1
3
1
1
1
1
1 1
两边同时取倒数得 = 4 + 4 ,所以 -1=4 − 4 = 4 ( -1).
用构造法求数列的通项公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
【延伸推广是求解此类题目的重要方法之一
】
由方法二中关系式an1 an qan-1
如an1 3an 2an-1
an1 an 2 an an-1
作业 已知Sn为数列an的前n项和，
S n
=an
1
+2n+1，首项a1
=1.求数
列an的通项公式
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学 科：高中数学 主讲人：***
用构造法求形如 “an1 qan b”形式数列旳通项
【预备知识 】
若数列an k为等比数列，
公比为q, 这其中k，q为常数.则
an1 k =q an k an1=qan q 1 k
已具有形式an1 qan b.
于是令q 1 k b，即k b q 1即有
an1 an =4 2n1=2n1 f n
于是根据等差型数列求通项的方法(迭加法)
an an-1 = 2n an1 an-2 = 2n1
a2 a1=22
an a1 2n 2n1 23 22
4 1 2n1
1 2
2n1 4
an 2n1 3
【总结
】
构造数列an k或数列an1 an为等比数列
q 1
b b
an1
q
1
=q
an
q
1
即数列
an
q
b
1
是以a1
b 为首项，公比 q 1
为q的等比数列
an
b q 1
=
a1
b q 1
q n 1
于是，an
=
a1
q
b 1
q n -1
q
b 即为 1
数列an的通项公式
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3
于 是 令 q 1 k b ， 即 kbq 1 即 有
q 1
an1qb1=qanqb1
即 数 列anqb1是 以 a1qb1为 首 项 ， 公 比 为 q的 等 比 数 列
4
anqb1=a1qb1qn1
于是，an=a1qb1qn-1qb1即为
数列an的通项公式
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【结论 】
若 数 列 a n 具 有 形 式 “ a n 1 q a n b ” ， 则
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用构造法求形如 “an1 qanb”形式数列的通项
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【预备知识 】
若 数 列 a n k 为 等 比 数 列 ，
公 比 为 q ,这 其 中 k ， q 为 常 数 .则
an1 k=qan k an1=qan q1k
已 具 有 形 式 a n 1 q a n b .
① ② 得 a n 1 a n q a n a n -1
即 数 列 a n 1 a n 是 以 a 2 a 1 为 首 项 ， 公 比 为 q 的 等 比 数 列
a n 1 a n = a 2 a 1 q n 1 fn LLLLL 等 差 型
即 可 由 迭 加 法 得 数 列 a n 通 项
a n a n -1 = 2 n a n 1 a n -2 = 2 n 1
L
a 2 a1 = 2 2
a n a 1 2 n 2 n 1 L 2 3 2 2
4 1 2n1
1 2
2n1 4
an 2n13
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【总结
】
构 造 数 列 a n k或 数 列 a n 1 a n为 等 比 数 列
an1k=qank
这其中k b ，q1 q1
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例题 已 知 在 数 列 an中 ， an12an3， 首 项 a1 =1， nN*.求 数 列 an通 项 .
分析 题 目 中 已 知 关 系 式 以 具 有 形 式 a n 1 q a n b ， 故 应 用 结 论 有
q2，b=3，k b =3 q1
【延伸推广是 求 解 此 类 题 目 的 重 要 方 法 之 一
】
由方法二中关系式an1 an qan an如an1 3an 2an-1
an1 an 2 an an-1
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作业 已知Sn为数列an的前n项和，
S n
=an1+2n+1，首项a1=1.求数
列an的通项公式
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9
如已知an1 2an 3③ an 2an-1 3④
③-④得an1 an 2an an-1
即 数 列 an1an是 以 a2a1=4为 首 项 ， 公 比 为 q=2的 等 比 数 列 a2=2a1+3=5
a n 1 a n = 4 2 n 1 = 2 n 1 fn
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于 是 根 据 等 差 型 数 列 求 通 项 的 方 法 ( 迭 加 法 )
即 数 列 a n 3 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q 2
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方法一（待定系数法）
解 设 an1k=2ank
an1 2an k k 3.
即 数 列 a n 3 是 以 a 1 34 为 首 项 ， 公 比
q2 的 等 比 数 列 .
an342n1
an 2n1 3
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方法二 由形式an1 qan b① an qan-1b②