小学数学奥数题 周长、面积

例5 图中ABCD是长方形，长为6，宽为4， 三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方 厘米，求ED的长。

分析： 因为三角形EFD的面积比三角形 ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形 BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方 厘米。三角形BCE的面积是6×4＋6=30平 方厘米，EC的长则是30×2÷6=10厘米。 因此，ED的长是10－4=6厘米。
例1 ： 一个等腰直角三角形，最长 的边是12厘米，这个三角形的面积 是多少平方厘米？

分析与解答 ： 由于此三角形中只知道最长的 边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式 来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的 三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正 方形的面积是12×12，那么，一个三角形的 面积就是12×12÷4=36平方厘米。
例题1 ： 下图是一个楼梯的侧面图，求此图 形的周长。
2米
3米
2米
3米

例题2 ：下图是由6个边长2厘米的正方形拼 成的，这个图形的周长是多少厘米？
分析：这题我们可以用平移的方法将它转化 为一个长方形，如下图：
例题3 ： 两个大小相同的正方形拼成一个 长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减 少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘？
第三节 体积
专题简析： 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几 点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等 于物体的体积。把物体从水中取出，水面 下降部分的体积等于物体的体积。这是物 体全部浸没在水中的情况。如果物体不全 部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸 在水中的那部分物体的体积。
解答立体图形的体积问题时要注意： （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物 体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变 形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大 胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。

例题2：一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶 中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖 放在水中，水面上升几厘米？
分析：

在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还 是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中， 排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。 而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的 铁块，水面就要上升15—8=7（厘米），需要 排开水的体积是（3.14×10×10—8×8） ×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在 水中。
分析：
当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10—8×8=250（平方厘米）。水的形状 变了，但体积还是3.14×10×10×8=2512（立方厘 米）。水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上 升10.048—8=2.048（厘米） 3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8 =2512÷250—8 =10.048—8 =2.048（厘米）
第9讲 周长、面积、体 积、表面积
梁 碧 湘
第一节


巧求周长

专题简析： 对于一些不规则的比较复杂的几何图形， 要求它们的周长，我们可以运用平移的方法， 把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利 用周长公式进行计算。 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方 形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或 宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一 个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个 长或宽。
复杂面积问题
专题简析： 解答有关“图形面积”问题时，应注意以下 几点： 1，细心观察，把握图形特点，合理地进行切 拼，从而使问题得以顺利地解决； 2，从整体上观察图形特征，掌握图形本质， 结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数 量关系明朗化。

例4：街心花园中一个正方形的花坛四 周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总 面积是12平方米，中间花坛的面积是 多少平方米？
分析：
1，因为三角形ABD与三角形ACD等底等高， 所以面积相等。因此，三角形ABO的面积 和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。 2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面 积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即 三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。 所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘 米。

例2：一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长 方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面 积比原来的正方形减少181平方分米。原正方 形的边长是多少？
分析与解答：
把阴影部分剪下来，并把剪下的两个 小长方形拼起来（如图），再被上长、 宽分别是8分米、5分米的小长方形， 这个拼合成的长方形的面积是 181+8×5=221平方分米，长是原来正 方形的边长，宽是8+5=13分米。所以， 原来正方形的边长是221÷13=17分米。
例3： 四边形ABCD和四边形DEFG都 是正方形，已知三角形AFH的面积是 7平方厘米。三角形CDH的面积是多少 平方厘米？
分析 ： 设大正方形的边长是a，小正方 形的边长是b。 （1）梯形EFAD的面积是（a+b） ×b÷2，三角形EFC的面积也是 （a+b）×b÷2。所以，两者的面积 相等。 （2）因为三角形AFH的面积=梯形 EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而 三角形CDH的面积=三角形EFC的面积 －梯形EFHD的面积，所以，三角形 CDH的面积与三角形AFH的面积相等， 也是7平方厘米。

例题3：某面粉厂有一容积是24立方米的长 方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴 着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大 的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图 28-1所示）。
分析：
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是 r，长是2r。长方体的容积是2r×r×r=24，即r的 立方=12。这个半圆锥体的体积是1/3×∏r的平方 ×r÷2=1/6∏r的立方，将r的立方=12代入，就可 以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是 2r×r×r=24，r的立方=12。 1/3×3.14×r的平方×r÷2 =1/6×3.14×r的立方 =1/6×3.14×12 =6.28（立方米）
例题4： 将一张边长为36厘米的正方形 纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片， 这4个小正方形周长的和比原来的正方 形周长增加了多少厘米？
第二节
组合图形的面积
第一专题简析： 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而 成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重 叠组合。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下 几点： 1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空 间观念； 2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基 本图形组合而成的； 3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变 得简单。
组合图形的面积（二）
专题简析： 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多， 解题时我们还可以记住下面三点： 1，两个三角形等底、等高，其面积相等； 2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也 成倍数关系； 3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也 成倍数关系。

例题2 下图中，边长为10和15的两个正方体 并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的 面积。
第4讲 表面积
专题简析：
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、 正方体、圆柱体和圆锥体。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几 点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个 面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面 积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形 粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方 体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方 体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大 的面拼合起来。

例题5：一只集装箱，它的内尺寸是 18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸 是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？
分析：因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数， 所以，只能先在18×16×18的空间放货箱，可放 18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还 有18×2×18的空间，但只能在18×2×16的空间 放货箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16 （只）。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱， 所以最多能装144+16=160（只）。 18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷ （1×4×9） =144+16 =160（只）
例1：街心花园中一个正方形的花坛四周有1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平 方米，中间花坛的面积是多少平方米？
分析与解答：
把水泥路分成四个同样大小的长方形 （如下图）。因此，一个长方形的面积 是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米， 所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中 可以看出正方形花坛的边长是小长方形 长与宽的差，所以小正方形的边长是3－ 1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方 米。

例题4：如果把12件同样的长方体物品打包， 形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样 打包物体的表面积最小呢？
a c b 图28—4
图28—5
图28—6
源自文库
分析：

设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c， 并且a＞b＞c（入土28-4）。比较“3×4”和 “2×6”两种包法。图28-5中大长方体表面积 为6ab+8ac+24bc①，图28-6中大长方体的表 面积为4ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲 调相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式与②式 的大小要看2ab与4ac的大小。（1）当b=2c 时，2ab=￥ac，两种包法相同。（2）当b＜ 2c时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当b ＞2c时，“2×6”的包法表面积最小。

例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20 厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？

分析 ：要求梯形的面积，关键是要求出上 底FD的长度。连接FC后就能得到一个三角 形EFC，用三角形EBC的面积减去三角形 FBC的面积就能得到三角形EFC的面积： 8×20÷2－8×8÷2=48平方厘米。 FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积 就是（4.8＋8）×8÷2=51.2平方厘米。


例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上 挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的 小长方体，剩下部分的表面积是多少？

例题1：有大、中、小三个正方体水池，它 们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆 碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水 面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两 堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升 高多少厘米？
分析：中、小水池升高部分是一个长方体，它的 体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别 升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。把 它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高 了多少厘米。 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米） 0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）

分析 三角形ADC的面积是10×15÷2=75， 而三角形ABC的高是三角形BCD高的 15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所 以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5 倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5） ×1.5=45。
例题3 ： 两条对角线把梯形ABCD分割成四个 三角形。已知两个三角形的面积（如图所示）， 求另两个三角形的面积各是多少？（单位： 平方厘米）

例题4 ： 在三角形ABC中，DC=2BD， CE=3AE，阴影部分的面积是20平方 厘米，求三角形ABC的面积。
分析
（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面 积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3） =80平方厘为； （2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD 的面积是三角形ADC面积的一半，是 80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的 面积是80＋40=120平方厘主。