高等数学I教学课件：2_8_2函数的极值及其求法

（3）导数不驻存点在的点???称为可能极值点 。
3．定理 3（极值存在的充分条件一）
设函数 f (x) 在 N (x , ) 内连续，在N (x , ) 内可导，
（1）若当 x (x , x ) 时， f (x) 0 ，
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ，
则 f (x) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x (x , x ) 时， f (x) 0 ，
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ， 则 f (x) 在点 x 取得极小值； （3）若 f (x) 在点 x 的左、右邻域内保持同号， 则 f (x) 在点 x 处无极值。
证明：只证（1）。 ∵在 (x , x ) 内 f (x) 0 ，
0，
故当 x (x , x ) 时，f (x) 0 ，
当 x ( x , x ) 时，f (x) 0 ，
从而x 是函数f (x) 的极小值；
类似可证f (x ) 0 时，x 是极大点。
例 2．求函数y sin x cos x 在[0，2p]上的极值。
解： 函数的定义域为[0，2p]，
∴在 (x , x ) 内f (x) 严格单增，
f (x) f (x ) （ x (x , x ) ），
∵在 ( x , x ) 内 f (x) 0 ，
∴在 ( x , x ) 内f (x) 严格单减， f (x) f (x ) （ x ( x , x ) ），
故 f (x ) 为极大值。
（1）求 f (x) ； （2）求函数 f (x) 的全部驻点及导数不存在的点，
设其为 x1, x2 , , xn 。
（3）计算 f (a) ， f (x1) ， f (x2 ) ，…， f (xn ) ，f (b) 的值；
ymax max{ f (a), f (x1), f (x2 ),, f (xn ), f (b)}, ymin min{ f (a), f (x1), f (x2 ),, f (xn ), f (b)}.
极大点和极小点，统称为极值点。
极大值和极小值统称为极值。
y
y f (x)
M4
M1M3ຫໍສະໝຸດ M5oax1
x2
M2
x3 x4 x5 b x
f (x1) 和 f (x4 ) 是 f (x) 的极大值， x1 和 x4 是 f (x) 的极大点；
f (x2 ) 和 f (x5 ) 是 f (x) 的极小值，x2 和 x5 是 f (x) 的极小点。
2.8.2 函数的极值与最值
一、极值
1．定义 1 设函数 f (x) 在N( x ) 内有定义，若x N(x ) ， x x ，都有 f (x) f (x ) ( f (x) f (x ) )，则称 x 是 函 数 f (x) 的极大(小)点，称 f (x ) 是函数f (x) 的极大(小)值。
2
例 1、求函数f (x) (x 1) ?x 3 的极值点和极值。
解：函数f (x) 的定义域为(-∞，+∞)，
f (x)
2 3
x
1
3 (x 1)
2
x3
5x
2
1
,
3x 3
令f ?(x) 0 ，得x 2 ，x 0 为f (x) 的不可导的点。 5
列表讨论如下：
x (, 0) 0
(0, 2) 2 55
（1）当f ??(x ) 0 时，x 是极小点； （2）当f ??(x ) 0 时，x 是极大点。
证明：设f ??(x ) 0 ，又f ?(x ) 0 ，
f
(x
)
lim
xx
f
(x) x
f (x x
)
lim xx
f (x) x x
0,
由极限的保号性知，在N(x , )
内有 f ?(x) x x
注：（1）若 f (x) 在[a,b] 上连续，则f (x) 在[a,b] 上必
有最大值和最小值。 （2） f (x) 在(a,b) 内某点取得“最值”，则x 是 f (x)
的极值点，从而x 一定是 f (x) 的驻点或导数不 存在的点。
（3） f (x) 的“最值”也可能在区间的端点处取得。
2．求 y f (x) 在[a,b] 上的最大值和最小值的步骤
f (x) 不存在
0
(2 , ) 5
f (x) ↗ 极大值
↘ 极小值
↗
f (0)
f(2) 5
∴x 0 为极大点，x 2 为极小点； 5
极大值为f (0) 0 ，极小值为f (2) 3 3 20 。 5 25
4．定理 4（极值存在的充分条件二）
设函数f (x) 在点x 二阶可导，且f ?(x ) 0 ，f ??(x ) ? 0 ，则
f ?(x) cos x sin x ，f ??(x) sin x cos x ，
令 f(x)＝0，cos x sin x ＝0，tan x 1.
得驻点为x1
∵f ??( p)
p ，x 4
2 0，
2
5p 4
。
4
∴x p 是极大点，f ( p) 2 是极大值。
4
4
∵f ??(5p) 2 0 ， 4
∴ x 5p 是极小点，f (5p) 2 是极小值。
4
4
二、最值
1．定理 5 已知函数 f (x) C[a,b] ，若f (x) 在 (a,b) 内只有有限多个可能极值点，x (a,b) 为 f (x) 在[a,b] 上的最大(小)值点，则 x 必为 f (x) 的极大(小)点。(证明从略)
2．定理 2（极值存在的必要条件）
若点 x 是函数 f (x) 的极值点，则 f (x ) 0 或 f (x) 在点 x 不可导，两者必居其一。 注：（1）方程 f (x) 0 的实根叫做函数 f (x)的驻点。 （2）函数的极值点一定是驻点或者是导数不存在的点，
但这两种点不一定是函数的极值点。 例如： x 0 是 f (x) x3 的驻点，但x 0 不是极值点。
几点说明： （1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。 （2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在
整个定义域上的最大值或最小值。
（3）函数的极大值不一定比极小值大。
（4）函数的极值只能在区间的内部取得，不能在区间 端点处取得；而函数的最大值、最小值可能在区间 的内部取得，也可能在区间的端点处取得。