双曲线PPT讲稿
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①若2a＝0，则轨迹是F1F2的中垂线 ②若2a＝ |F1F2|，则轨迹是以F1、F2为端点的两射线 ③若2a＞ |F1F2|，则轨迹不存在
注：去掉“绝对值”，只有双曲线的一支。
数学 实验
• [1]取一条拉链， • [2]如图把它固定在板上
的两点F1、F2 • [3] 拉动拉链（M）思考
拉链运动的轨迹
双曲线的定义：
y M
平面内与两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数2a（小于F1F2 且不等
于零）的点的轨迹叫做双曲线.
F1 O F2 x
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做 双曲线的焦距，用2c来表示
若|| MF1|－ |MF2||＝2a(0＜2a＜ |F1F2| )，则P的轨迹 是双曲线
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
x2 y2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
y2 x2 x a2 b2 1
F(0, ± c)
说明： （1）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接；
（2）双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b，因此不能 像椭圆那样通过比较分母大小来判断焦点在哪一条轴上。
设所求双曲线方程为x2 - y 2 1(其中0 6) 6
mn P、Q两点在双曲线上，
双曲线经过点（- 5,2）， 25 - 4 1， 6
9 225 1且 256 25 1
m 16n
9m n
解得m -16，n 9
5或 3（0 舍去） 所求双曲线方程是x2 - y 2 1.
求双曲线标准方程的常用方法
• 1.待定系数法：先确定方程类型，设出标准
形式，确定a,b的值，注意若是两种皆可， 就要分类讨论。
• 2.定义法：如能事先判断曲线是双曲线，可
以直接根据定义确定方程，减少计算量。
双曲线定义的直接应用
例1 若一个P（x, y）到两个定点A（-1,0）、A（1 1,0）的距 离之差的绝对值为定值a(a 0)，讨论点P的轨迹。
解 求动圆圆心M的轨迹方程。
圆F1：(x 5)2 y2 1，圆心F（1 5,0）, 半径r1 1. 圆F2：(x 5)2 y2 42 ,圆心F（2 5,0），半径r2 4. 设动圆M的半径为R，则有MF1 R 1，
MF2 R 4
MF1 - MF2 3 F1F2
M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线（左支），且a
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的 关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
待定系数法求双曲线方程
例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程。
源自文库
（1）过点P（3，15），Q（- 16，5）且焦点在坐标轴上。
4
3
（2）c 6，经过点（- 5,2），焦点在x轴上。
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且经过点（3 2，2）. 16 4
（2） 焦点在x轴上，c 6，
解 （1）设双曲线方程为x 2 y 2 1.
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是什么呢？
动画演示
双曲线的标准方程的推导
（1）建系设点
（2）列关系式 P M | MF1 MF2 } 2a
双曲线课件课件
复习回顾
• 椭圆的定义 • 平 常面数内（与大两于个|F定1F2点|）F1的，点F2轨的迹距叫离做之椭和圆等。于
椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
焦点在x轴上
焦点在Y轴上
引入
马鞍面
发电场的烟囱
发电场的烟囱
取其轴截面
y
o
X
双曲线
曲线的形成过程
1
例2
双曲线定义的直接应用
设F1、F2是曲线1x62
-
y2 20
1的左右焦点，点P在曲线上，
若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2 的距离。
解
PF1 - PF2 8，又 PF1 9， 故可得PF2 1或17. 由a 4，c 6可知右支的顶点到F1的距离为10， 已知PF1 9,说明点P在左支上； 此时，PF2 10， 点P到焦点F2的距离为17.
（3）带入化简：
x c2 y2 x c2 y2 2a
将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得：
x c2 y2 x c2 y2 2a
cx a2 a x c2 y2
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c 2a 即： c a c2 a2 0
5
所求双曲线方程为y2 - x2 1
9 16
（3）设所求双曲线方程是
x2
-
y2
1(0 16)
16 - 4
双曲线过点（3 2，2）, 18 - 4 1，
16 - 4 4或 -1（4 舍去）
所求双曲线方程为x2 - y2 1 12 8
利用定义求轨迹
例4
如图，已知定圆F1：x2+y2+10x+24=0，定圆F2： x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切，
（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；
（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；
（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB>0)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a
3 2
,c
5
双曲线方程为4 x2 4 y2 1(x 3)
9 91
2
综合应用
例5
若F1、F2是双曲线
x2 9
-
y2 16
1的两个焦点，P在双曲线上，
解 且 PF1 PF2 32，求F1PF2的大小.
注：去掉“绝对值”，只有双曲线的一支。
数学 实验
• [1]取一条拉链， • [2]如图把它固定在板上
的两点F1、F2 • [3] 拉动拉链（M）思考
拉链运动的轨迹
双曲线的定义：
y M
平面内与两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数2a（小于F1F2 且不等
于零）的点的轨迹叫做双曲线.
F1 O F2 x
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做 双曲线的焦距，用2c来表示
若|| MF1|－ |MF2||＝2a(0＜2a＜ |F1F2| )，则P的轨迹 是双曲线
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
x2 y2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
y2 x2 x a2 b2 1
F(0, ± c)
说明： （1）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接；
（2）双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b，因此不能 像椭圆那样通过比较分母大小来判断焦点在哪一条轴上。
设所求双曲线方程为x2 - y 2 1(其中0 6) 6
mn P、Q两点在双曲线上，
双曲线经过点（- 5,2）， 25 - 4 1， 6
9 225 1且 256 25 1
m 16n
9m n
解得m -16，n 9
5或 3（0 舍去） 所求双曲线方程是x2 - y 2 1.
求双曲线标准方程的常用方法
• 1.待定系数法：先确定方程类型，设出标准
形式，确定a,b的值，注意若是两种皆可， 就要分类讨论。
• 2.定义法：如能事先判断曲线是双曲线，可
以直接根据定义确定方程，减少计算量。
双曲线定义的直接应用
例1 若一个P（x, y）到两个定点A（-1,0）、A（1 1,0）的距 离之差的绝对值为定值a(a 0)，讨论点P的轨迹。
解 求动圆圆心M的轨迹方程。
圆F1：(x 5)2 y2 1，圆心F（1 5,0）, 半径r1 1. 圆F2：(x 5)2 y2 42 ,圆心F（2 5,0），半径r2 4. 设动圆M的半径为R，则有MF1 R 1，
MF2 R 4
MF1 - MF2 3 F1F2
M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线（左支），且a
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的 关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
待定系数法求双曲线方程
例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程。
源自文库
（1）过点P（3，15），Q（- 16，5）且焦点在坐标轴上。
4
3
（2）c 6，经过点（- 5,2），焦点在x轴上。
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且经过点（3 2，2）. 16 4
（2） 焦点在x轴上，c 6，
解 （1）设双曲线方程为x 2 y 2 1.
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是什么呢？
动画演示
双曲线的标准方程的推导
（1）建系设点
（2）列关系式 P M | MF1 MF2 } 2a
双曲线课件课件
复习回顾
• 椭圆的定义 • 平 常面数内（与大两于个|F定1F2点|）F1的，点F2轨的迹距叫离做之椭和圆等。于
椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
焦点在x轴上
焦点在Y轴上
引入
马鞍面
发电场的烟囱
发电场的烟囱
取其轴截面
y
o
X
双曲线
曲线的形成过程
1
例2
双曲线定义的直接应用
设F1、F2是曲线1x62
-
y2 20
1的左右焦点，点P在曲线上，
若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2 的距离。
解
PF1 - PF2 8，又 PF1 9， 故可得PF2 1或17. 由a 4，c 6可知右支的顶点到F1的距离为10， 已知PF1 9,说明点P在左支上； 此时，PF2 10， 点P到焦点F2的距离为17.
（3）带入化简：
x c2 y2 x c2 y2 2a
将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得：
x c2 y2 x c2 y2 2a
cx a2 a x c2 y2
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c 2a 即： c a c2 a2 0
5
所求双曲线方程为y2 - x2 1
9 16
（3）设所求双曲线方程是
x2
-
y2
1(0 16)
16 - 4
双曲线过点（3 2，2）, 18 - 4 1，
16 - 4 4或 -1（4 舍去）
所求双曲线方程为x2 - y2 1 12 8
利用定义求轨迹
例4
如图，已知定圆F1：x2+y2+10x+24=0，定圆F2： x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切，
（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；
（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；
（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB>0)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a
3 2
,c
5
双曲线方程为4 x2 4 y2 1(x 3)
9 91
2
综合应用
例5
若F1、F2是双曲线
x2 9
-
y2 16
1的两个焦点，P在双曲线上，
解 且 PF1 PF2 32，求F1PF2的大小.