3-位错应力场-应变能-线张力-35资料

中南大学材料科学与工程学院
材料科学基础
位错应变能及受力
（3）刃型位错的应力场（位错的弹性行为）
• 由于插入一层半原子面，滑移面上 方的原子间距低于平衡间距，产生 晶格的压缩应变，滑移面下方则发 生拉伸应变
• 压缩和拉伸正应变是刃型位错周围 主要应变
• 从压缩应变和拉伸应变的逐渐过渡 中必然附加一个切应变，最大的切 应变发生在位错的滑移面上，该面 上正应变为零，故为纯剪切
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位错应变能及受力
螺型位错应力场
z b
b
G为切变模量
y
q
r
qz
x
b 2r
Hooke’s Law
t G
t qz
Gb 2r
圆柱体内引入相当于螺型位错周围的应力场
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位错应变能及受力
刃位错在柱坐标中的应力场
• 当位错线//z轴, • 半原子面位于+y • 滑移面xoz面
s rr s qq A sin q s rq s q r A cosq s zz 2 A sin q
Stress’ fractions
z
szz t tzx zy tyz txz txy tyx
z
szz t qz sqq
syy
tzq
t qr
tzr trz
sxx
t rq
srr
y
x
源自文库
y
x
sxx, syy, szz, txy, txz, tyx, tyz, tzx, tzy
sqq, srr, szz, tqz, tqr, trz, tr, trq, tzq
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位错应变能及受力
螺型位错应力场
σθθ τθr τθz
τ=
τ rθ σ rr τrz
τ zθ τ zr σzz 0 = 0
Gb/(2πr)
0
Gb/(2πr)
0
0
0
0
圆柱坐标
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位错应变能及受力
螺型位错应力场
切应力τ θz， τ zθ用直角坐标表示
τ=
σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz
2 2
x( x y ) s xy D1 2 2 2 (x y )
2 2
y s xz D 2 2 2 x y
s yy
y( x2 y 2 ) D1 2 ( x y 2 )2
x s yz D2 2 2 x y
y s zx D 2 2 2 x y
D1=Gbe/2π(1-v)
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位错应变能及受力
2.5.1 位错的应变能
位错的存在在其点阵周围产生弹性应变与应力， 储存的能量（应变能）包括：
E e : 位错长程应力场的能量 E 1 1 Eq : 中心区域应变能 , 为总应变能的 ~ , 忽略 10 15
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位错应变能及受力
不同位置应力的方向
y
x
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位错应变能及受力
混合位错的应力场
直角坐标系，设立刃型位错模型，由弹性理论求得
y(3x2 y 2 ) s xx D1 2 2 2 (x y )
x( x y ) s yx D1 2 2 2 (x y )
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位错应变能及受力
刃位错周围应力场的特点
• 有正、切应力，同一位置|σxx|>|σyy|
y>0, σxx<0，为压应力 y<0, σxx>0，为拉应力 y=0, σxx=σyy=0 ，只有切 应力 y=±x，只有σxx、σzz
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y
x
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位错应变能及受力
• 由于单元体很小，作用于两侧的应力变化 可以忽略不计
– 例如，前后两面应力分量对应相等；
• 根据力偶平衡条件
• 所以，独立的应力分量只有6个 • 应变分量也有9个，6个独立。
s xz s zx ;s xy s yx ;s yz s zy
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位错应变能及受力
符号规定
• sij表示作用在垂直于i轴的面上，指向j轴方向的应 力分量； • ij表示作用在垂直于i轴的面上，指向j轴方向的应 变分量； • 正面（右、前、上面）上的应力，与座标轴正向 一直为正，负面（左、后、下面）上的应力，与 座标轴负向一致为正。 • 正应变以伸长为正，切应变以直角变小为正。
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位错应变能及受力
刃型位错应力场
采用圆柱坐标表示，则为:
s s t t
rr
s
qq
D
sin r
q
zz
rq zq
v sin q 2 D r cos q t qr D r t q z t rz t zr
沿图示的滑移面上发生相对滑移，然后把切开的面胶合起来 螺型位错周围的晶格都发生了一定的应变
圆柱体内螺位错的形成(a)和微园环的应变(b)
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位错应变能及受力
螺型位错的应变能
估算位错的应变能时，只计算r＞r0的区域 在圆柱体中取一个微圆环，它离位错中心的距离为r，厚度为dr 位错形成的前、后，该圆环的展开 位错使该圆环发生了应变，此应变为简单剪切型，在整个周长上均布 在沿着2πr的周向长度上，总的剪切变形量为b，所以各点的切应变为γ：
• 圆柱体只在 z方向产生位移，在 x、 y 方向没有位移，其余的应力分 量均为0
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位错应变能及受力
螺型位错的应力场
s xx s yy s zz 0
t xy t yx 0
特征：1）只有切应力，无正应力 2）τ的大小与r呈反比，与G、b呈正比 3）τ与θ无关，切应力是径向对称的 4）公式不能用于位错中心区
s xx s xy 0 s s zz s xy 0 0 s zz 0
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位错应变能及受力
刃型位错应力场（位错的弹性行为）
直角坐标系，设立刃型位错模型，由弹性理论求得
Gb A 2 (1 )r
D Gb / 2 (1 V )
以上两式，可了解刃位错周围应力场的特点， 并可得出坐标系各区中应力分布。
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位错应变能及受力
刃型位错应力场特点
• 应力分量与b成正比，与r成反比（同螺型位 错），中心区不适用 • 沿位错线长度方向无变化（同螺型位错） • 相对于半原子面，应力场镜面对称 • 滑移面上没有正应力；而在45°方向没有 切应力
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位错应变能及受力
2.4 位错的应力场
• 位错周围的点阵发生不同程度的畸变。 • 位错中心部分畸变程度最为严重，这部分 超出了弹性应变范围。 • 位错中心区以外为弹性畸变区，借助弹性 连续介质模型可讨论位错的弹性性质。
位错的周围存在应力场，使位错与处于其应力场中的 其它点缺陷产生交互作用
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位错应变能及受力
（2）螺型位错应力场
螺型位错周围是简单的纯剪切，应变具有径向对称性 • 螺型位错周围是简单的纯剪切，应变具有径向对称性
• 大小与离位错中心的距离r成反比。r趋近无穷大，切应力 趋于零。实际上应力场有一定的作用范围，r达到某值时 切应力已很低 • 螺型位错的应力场可用位错周围一定尺寸的圆柱体表示
或
U 1 t V 2
切应变
正应变
或
U 1 t V 2
切应变
单位体积弹性体储存的弹性能
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位错应变能及受力
螺型位错的应变能
制造一个单位长度的螺位错，将晶体看作各向同性、连续介质的圆柱体
t xz t zx t yz t zy 0
G为切变模量，v为泊松比
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位错应变能及受力
刃型位错的应力场
z
s xx
s yy
Gb y (3x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
• 刃型位错周围既有正应力，又有切 应力，但正应力是主要的
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刃位错的正应力场分布
压缩应力与拉伸应力可分别用滑 移面上、下方的两个圆柱体表示 压缩应力和拉伸应力的大小随离 开位错中心距离的增大而减小
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x s zy D2 2 2 x y
D2=Gbs/2π
s zz v(s xx s yy )
G为切变模量，v为泊松比
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2.5 位错的应变能和线张力
位错线周围原子偏离平衡位置，晶格产生不同程度 的畸变，导致能量提高。这部分额外的能量称为位 错的应变能 • 点阵畸变产生的应力场使缺陷相互作用，以降 低应变能 在描述体系稳定程度或变化趋势时采用能量的概念 在讨论体系的变化途径时则用力的概念
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位错应变能及受力
位错的弹性性质
• • • • 应力和应变分量 螺型位错的应力场 刃型位错的应力场 位错的应变能和线张力
Stress field of the dislocation 中南大学材料科学与工程学院
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位错应变能及受力
（1）应力分量和应变分量

b 2 r
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位错应变能及受力
螺型位错的应变能
螺型位错周围的应变只与半径有关，与 r 成反比。 根据虎克定律，螺型位错周围的切应力为：
• 包括位错中心区以外（弹性区）的能量和中心区的能量 • 中心区的能量不易计算
2018/10/15
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位错应变能及受力
位错的应变能
1.中心区：以位错线为轴，r0（接近b，约10-8cm）为半径的圆柱体区域 此区域内晶格畸变严重，超出弹性应变范围，虎克定律不适用 2.位错长程应力场的能量 可以采用弹性连续介质模型加以计算 但必须对晶体作如下简化： 一、忽略晶体的点阵模型，把晶体视为均匀的连续介质，内部无间隙， 晶体中应力、应变等参量的变化是连续的，不呈任何周期性 二、把晶体看成各向同性，弹性模量不随方向而变化 仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型讨论位错的弹 性性质
Gb y( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
s zz (s yy s xx )
y x
b
t xy t yx
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
t xz t zx t yz t zy 0
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位错应变能及受力
单位体积的弹性能
• 虎克定律：弹性体内应力与应变成正 比，即: σ＝E×ε
• 单位体积储存的弹性能等于应力一应 变曲线弹性部分阴影区内的面积，即
U 1 s V 2
正应变
y (3x 2 y 2 ) s xx D 2 (x y 2 )2
s yy
y( x 2 y 2 ) D 2 (x y 2 )2
s zz v(s xx s yy )
t xy t yx D
x( x 2 y 2 ) (x y )
2 2 2
D Gb/ 2 (1 V )