专升本高数复习笔记

第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。

二、 例题分析 例1. 求下列函数的定义域：
⑴
211)(2+--=x x
x f
解:对于
2
11
x -有:
2
1x
-≠0 解得:
x
≠±1
对于2+x 有:
2
+x ≥0
x
≥－2
∴
)(x f 的定义域:
[)()()
+∞---∈,11,11,2 x
⑵
()x x f -=
2ln 1
)(
解: 由()x -2ln 1
得：
()02ln ≠-x
，解得:
1
≠x
由
()x -2ln 得：()x -2 ＞0 ， x
＜2
∴
)
(x f 的定义域:
()()2,11, ∞-∈x
例2.设f(x)的定义域为（-1，1）
则f(x+1) 的定义域为
A.(-2,0),
B.(-1,1),
C.(0,2),
D.[0,2] [ ] 解：∵-1＜x+1＜1 ∴ -2＜x ＜0
即f(x+1) 的定义域为: x ∈(-2,0)
应选A.
例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为
A.
x
x f=)(
, (
)2
)(x
x
g=
B.
2
)(x
x f=
，
x
x
g=
)
(
C.
2
ln
)(x
x
f=
，
x
x
g ln
2
)
(=
D.
x
x f ln
)(=
，
x
x
g ln
)
(
2
1
=
[ ]
解：A.
()
+∞
∞
-
=,
)
(f
D
，
[)+∞
=,0
)
(g
D
B.
()+∞
∞
-
=,
)
(f
D
，
()+∞
∞
-
=,
)
(g
D
⎩
⎨
⎧
>
≤
-
=
=
)
(2
x
x
x
x
x
x
f
⎩
⎨
⎧
>
≤
-
=
=
)
(
x
x
x
x
x
x
g
应选B
C.
()()+∞
∞
-
=,0
0,
)
(
f
D
，
()
+∞
=,0
)
(g
D
D.
()+∞
=,0
)
(f
D
，
()()+∞
∞
-
=,0
0,
)(
g
D
例4.求
)3
(
log
2+
+
=x
y
a，
)1
,
(≠
>a
a
的反函数及其定义域。

解：∵
)3
(
log
2+
+
=x
y
a，
)1
,
(≠
>a
a
∴
()
+∞
-
∈,3
x
，
()
+∞
∞
-
∈,
y
∵在(-3,+∞)内，函数是严格单调的
3
2-
=-y a
x
∴反函数：
3
)
(2
1-
=
=-
-x
a
x
f
y
()()
+∞
-
∈
+∞
∞
-
∈,3
,y
x
例5.设[]0,1
,
1
)(2-
∈
-
=x
x
x
f
则其反函数
=
-)
(1x
f。

解：∵[][]1,0 ,0,1
,
12∈
-
∈
-
=y
x
x
y
在[]0,1-内)(x
f
是严格单调增加的
∴
2
1y x-
±
=
又∵
[]0,1-
∈
x
∴取
2
1y
x-
-
=
即：
2
11
)(x
x
f
y-
-
=
=-
[][]0,1
,1,0-
∈
∈y
x
（应填
2
1x-
-）
例6.设函数
)(
1
x
f
和
)(
2
x
f
是定义在
同一区间
)
(f
D
上的两个偶函数，
则
)(
)(
2
1
x
f
x
f-
为函数。

解：设
)(
)(
)(
2
1
x
f
x
f
x
F-
=
∵
)
(
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
F-
-
-
=
-
=
)(
)(
)(
2
1
x
F
x
f
x
f=
-
∴
)(
)(
2
1
x
f
x
f-
是偶函数（应填“偶”）
例7. 判断
)
1
ln(
)(2x
x
x
f+
+
=
的奇偶性。

解: ∵
])
(
1
ln[
)
(2x
x
x
f-
+
+
-
=
-
)
1
ln(2x
x+
+
-
=
2
2
2
1
)
1
)(
1
(
ln
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
-
=
2
2
2
2
1
1
ln
1
1
ln
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
-
=
1
2)
1ln(-++=x x
)
()1ln(2
x f x x -=++-=
∴)
(x f 为奇函数
例8.设
x
x f ωcos )(= ，
则
)
(x f 的周期为 。

解法一: 设
)
(x f 的周期为T,
)
cos()](cos[)(T x T x T x f ωωω+=+=+
=
x x f ωcos )(=
∴
()x
T x ωωωcos cos =+
而
()u
u cos 2cos =+π
∴
π
ω2=T ， ∴
ω
π
2=
T
解法二：∵
x x f ωcos )(=)
2cos(πω+=x
)2(cos ω
π
ω+
=x )
2(ω
π
+
=x f
∴ ω
π
2=
T (应填
ω
π
2)
例9. 指出函数
)
1sin(ln )(+=x x f 那是由些简
单函数复合而成的？
解：令
)
1sin(ln +=x u ， 则
u
u f =)(
)
1sin(+=x v ， 则
v
u ln =
1
+=x w ， 则
w
v sin =
∴
)
(x f 是由：
u u f =)(，
v u ln =，
w
v sin =，
1
+=x w 复合而成的。

例10. 已知
x
e
x g x x f ==)(,)(3,则
)]([x g f 等于
A.
x
e 3, B.
3
x
e
, C.
3
x e
, D.
3
e x
[ ]
解: ∵
x
e
x g x x f ==)(,)(3
∴
x
x x
e
e e
f x
g f 33)()()]([===
或 x
x e
e x g x g
f 33
3
)()]([)]([=== （应选A ）
例11. 已知
x x f x x f =+=)]([),1ln()(ϕ
求
)
(x ϕ的表达式。

解:∵
x
x x f =+=)](1ln[)]([ϕϕ
解得
x
e
x =+)(1ϕ
∴ 1
)(-=x
e x ϕ
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
⇒{}n y 必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭
⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A
x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
A
x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。

X 再某个变化过程是指：
,,
,
∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2．
无穷小量：
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。

3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f 4．
无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若c =α
βlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。

定理：若：
；，2211~~βαβα
则：
2
12
1
lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n
n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞
→lim
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：
)
()()(x h x f x g ≤≤
且：
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：A x f x x =→)(lim 0
㈣极限的运算规则
若：
B
x
v
A
x
u=
=)
(
lim
,
)
(
lim
则：①
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u±
=
±
=
±)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
②
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u⋅
=
⋅
=
⋅)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
③B
A
x
v
x
u
x
v
x
u
=
=
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim)0
)
(
(lim≠
x
v
推论：①
)]
(
)
(
)
(
lim[
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±
=
②
)
(
lim
)]
(
lim[x
u
c
x
u
c⋅
=
⋅
③
n
n x
u
x
u)]
(
[lim
)]
(
lim[=
㈤两个重要极限
1．
1
sin
lim
=
→x
x
x或
1
)
(
)
(
sin
lim
)
(
=
→x
x
xϕ
ϕ
ϕ
2．
e
x
x
x
=
+
∞
→
)
1
1(
lim e
x x
x
=
+
→
1
)
1(
lim
二、例题分析
例1．求数列
4
5
,
3
4
,
2
3
,
1
2
的极限。

解：{}{}{}
n
n
n
n
y1
11+
=
=+
()1
1
lim
lim1=
+
=
∞
→
∞
→n
n
n
n
y
例2．计算 n
n n n 3321lim 2+++++∞→
解：∵2
)1(321n
n n +=++++
∴n n n n n
n n n n 3)1(lim 3321lim 221
2++=+++++∞→∞→ n
n
n n n n n n 11
)3()1(lim 2131lim 21++=++=∞→∞→ 2
1
11lim 2131=++=∞
→n
n n
误解：n
n n n 3321lim 2+++++∞→
(
)
n
n n n
n n
n n n n 33332
312222lim
++++∞
→+
++
+
=
3
1
33
32
31lim
lim
lim
lim
222+∞
→+∞→+∞→+∞→++++=n n n
n n n
n n n
n n
=0
例3．
下列极限存在的是
A.
,lim
12x
x x ++∞
→ B. ,lim
2
)1(x
x x x +∞
→
C.
,lim
121-+∞
→x x D. ,lim x
x e ∞
→ [ ]
解：A.
+∞
=
+
=
+∞
→
+
+∞
→x
x
x
x
x
x1
1lim
lim2
B.
()1
1
lim
lim
lim1
)1
(
)1
(
2
2
-
=
-
-
=
=
-∞
→
-
-
-∞
→
-
-∞
→x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
()1
1
lim
lim
lim1
)1
(
)1
(
2
2
=
-
=
=
+∞
→
-
+∞
→
-
+∞
→x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∴
2
)1
(
lim
x
x
x
x
+
∞
→不存在
C.
lim
1
2
1=
-
+∞
→x
x应选C
D.
+∞
=
+∞
→
x
x
e
lim
lim
lim1=
=
-
-∞
→
-∞
→x
e
x
x
x
e
∴
x
x
e
∞
→
lim
不存在
例4.当
∞
→
x
时，
)(x f
与
x
1
是等价无穷小量，
则
=
∞
→
)
(
2
lim x
xf
x。

解：∵
()∞
→
x
x
x
f
1
~
)
(
∴
2
2
lim
1
2
lim
)
(
2
lim=
=
⋅
=
∞
→
∞
→
∞
→x
x
x x
x
x
xf
(应填2)
例5.计算
!2lim n n
n ∞→ (n=1,2,3,……)
解:
n n n n
212322212!2⋅-⋅⋅=
∵
11232220≤-⋅<n
04212>=⋅n n (n=2,3,……)
∴
n n n 42123222120≤⋅-⋅⋅<
又:
0lim =∞
→n
04lim =∞→n n
由两面夹定理可得:
02322212lim !2lim =⋅⋅=∞→∞→n
n n n
n
∴ 0!2lim =∞→n n
n
例6.计算下列极限
⑴ 323lim 24
3
+-+-∞→x x x x x
解: ()
()
4
412
4
132
43
323lim
3
2
3lim x x x x x
x x x x x
x x +-+-=+-+-∞
→∞→
1lim
4
24
331231=+-+-=∞
→x x x x x
x
⑵
12lim 21--+→x x x x 解:
12lim 2
1--+→x x x x
()()()3
2lim 1
21lim 1
1
=+=-+-=→→x x x x x x
⑶
2
2
11lim
x
x
x +-→
解法一: 共轭法
(
)
()(
)
2
2
2
2
00
022
111111lim
11lim
x
x x
x x
x
x x +++-
++=+-→→
(
)
()
22
2
01111lim x
x x x +-++=→
(
)
22
2
011lim x
x x x -++=→
(
)
2
11lim 2
-=++-=→x x
解法二： 变量替换法
设：
t t x x
t 2112
22
-=+-=
当
0→x 时，0→t
t t
t x
x
t x 2lim
11lim 2
022
0-=+-→→
()22lim 0
-=-=→t t
⑷
()
x
x x x -++∞
→1lim 2
解法一：共轭法
(
)
(
)(
)
x
x x
x x
x x
x
x x
x x ++++-+=-++∞
→∞-∞∞+∞
→111lim
1lim 2
2
2
)(2
(
)x x x x
x x
x x x x ++=++-+=+∞→+∞
→1lim
11lim
2
2
2
2
21
111lim
)1(lim 2
11
2
1)(=++
=⋅
++⋅=+∞
→+∞
→∞∞
x x x
x
x x x x
解法二：变量替换法
设：
t x 1= 当+∞→x 时，+
→0t
(
)
()
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+=-++
→+∞
→t t x x x
t
t x 111lim 1lim 2102
()()()
()
111111lim 1
1lim 2
2
2
2
022
000++++-+=-+=++→→t t t t t
t t t
(
)
21
1
11
lim 111
1lim 2022
2
=++=++-+=++
→→t t t
t t t
⑸
(
)
x
x
x x 2
03sin lim +→
解法一：
(
)()(
)
x x x x x x x x x x x x 2
22
02
0333sin lim 3sin lim 0
0+⨯++=+→→
(
)
()3313lim 33sin lim 022
0=⨯=+⨯++=→→x x x x x x x
解法二：∵
(
)
()
03~3sin 2
2
→++x x x x x
∴
(
)x
x
x x x x x x 2
2
03lim 3sin lim +=+→→
()3
3lim 0
=+=→x x
⑹ x x x 2arcsin lim 0→
解：设：
t
x x
t sin 2arcsin 21==
当
0→x 时，0→t
()2sin lim 2arcsin lim 210000==→→t t
x x t x
结论：
()
0~arcsin →x x x
⑺ 20cos 1lim x x x -→
解法一：∵
x x x x 2
222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
∴
x x 2
sin 22cos 1=-
∴
2
2sin
2cos 1x
x =-
又
)
0(2~2sin →x x x
22
0)(202sin
2lim cos 1lim 00x x
x x x x →→=-
()
2121lim 2lim 02
2
20===→→x x x x
解法二：∵
x x 2
2
sin cos 1=-
()()()()x x x x x x x x cos 1cos 1cos 1lim cos 1cos 1lim 20)(2000++-=+-→→
()
21211cos 11lim sin lim 2
02
0=⨯=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x x x x x 解法三：应用罗必塔法则
()212sin lim cos 1lim 02000==-→→x x x x x x
⑻
lim ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→a a x a x x
x
解法一：
()x
x x x a x a a a x a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→∞lim lim 1
a a a
a
x x x
x a x a a x a +⋅-∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2221lim 21lim
a a
a
a
x x a x a a x a ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→2121lim 22
a x a
a
a x x a x a a x a ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→21lim 21lim 22
a
a a e
e 221=⨯=
解法二： 设a t x a x t +=-=
当
∞→x 时，∞→t
()a
t t x
x t a a t a x a x +∞→∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞lim lim 1
a
t
t t a t a ⎪
⎭⎫
⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∞→2121lim
a a t a
a
t
t e t a t a 22221lim 21lim =⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→
解法三：
()()x
x
x x x
x a x a x a x a x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-+∞→∞→11
lim lim
()()
()
[
]()
[
]
a a a
a x
a x a
x a x x x
a x
x a x e e e a
x a
x 21lim 1lim 11lim ==-
+=
-+=---∞
→∞
→∞→
例7.当
0→x 时，若2
ax
与
4
2
tan
x 为等价无穷小量，
则必有
=a 。

解：∵
()
0tan
~4
2
2→x ax x
∴1
tan lim 2
402=→ax
x x
4
2
402
40222cos 1sin lim tan lim x x x x x ax
ax
⋅=→→
141
cos 1lim lim 4
024
022
==⋅=→→a ax x x x x ∴
4
1
=a （应填
41
）
结论：
)0(~tan →x x x
)0(~arctan →x x x
例8.若
()
2
11lim e
x
x
k x =+∞
→，则
=k 。

解：
()
()[]2
1
1lim 1lim e
e
k
k
x
k x x
x
k x k
x ==+=+∞
→∞
→
∴2
1=
k （应填
2
1）
例9.已知43
2lim 2
3=-+-→x k x x x ，求k 的值。

解：∵()03lim 3
=-→x x
43
2lim 2
3=-+-→x k x x x ∴
(
)
02lim 2
3
=+-→k x x x
∴
03232
=+⨯-k
∴
3-=k
由33
2lim 3
2lim 2
33
2
3---=-+-→-=→x x x x k x x x k x
()()()4
1lim 3
13lim 3
3
=+=-+-=→→x x x x x x
∴当
3-=k 时，原式成立。

例10.证明：当
0→x 时，
()
1
-x
e
与
x 是等价
无穷小量。

证：只要证明 11
lim 0=-→x x e x
成立，即可。

设：
()t x e t x
+=-=1ln 1 当
0→x 时，0→t
()t t e x t x x +=-→→1ln lim 1lim 0)(00
0 ()1ln 1ln lim 1
==+→e t t
x
∴
()
()
0~1→-x x
e
x
结论：
()
()
0~1→-x x
e
x
()()
0~1ln →+x x
x
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，
1o
0)]()([lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x
2o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)
()(lim 00
x f x f x x =-→
右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：
)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。

在端点
a 和
b 连续是指：
)()(lim a f x f a x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。

a + 0
b - x 5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。

间断点有三种情况：
1o
)(x f 在
x 处无定义；
2o )
(lim 0
x f x x →不存在；
3o
)(x f 在
x 处有定义，且
)
(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。

两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→都存在。

可去间断点：
)
(lim 0
x f x x →存在，但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→，或
)(x f
在
0x 处无定义。

2o 第二类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0
x f x x →振荡不存在。

无穷间断点：)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算：
设
)()(lim 00
x f x f x x =→，
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ⋅=⋅→
3o )
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ϕϕ===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ϕϕϕϕ==→→
则：)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→
3.
反函数的连续性：
)(),
(),(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(lim )()(lim 01
100
y f y f x f x f y y x x --→→=⇔=
㈢函数在
],[b a 上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。

x
2. 有界定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定
有界。

3.介值定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒在),(b a 内至少存在一点
ξ，使得：c f =)(ξ，
其中：
M
c m ≤≤
y
f(x)
12x
推论：
)(x f 在
]
,[b a 上连续，且
)(a f 与)(b f 异号
⇒
在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。

4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。

三、 例题分析
例1. 分段函数
⎩⎨⎧>≤-=00
21)(2x e
x x x f x
，
在
0=x 处是否连续？
解：
1
)21()0(0=-==x x f
1
)21(lim )(lim 0
=-=--→→x x f x x
1
)(lim )(lim 20
==++→→x
x x e x f
∴
)
0()(lim )(lim 0
f x f x f x x ==+-→→
由函数连续的充要条件定理可知:
)(x f 在0=x 处连续。

例2．设函数
⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<=0
1sin 0
0sin )(11x x x k x x
x f x x ，试确定常数k 的值，使
)(x f 在定义域内
连续。

解：
)(x f 的定义域为：),(+∞-∞∈x
当
0<x 时，
x
x
x f sin 1
)(=是初等函数，在)0,(-∞有定义
∴不论k 为何值，)(x f 在)0,(-∞内都是连续的。

当
0>x 时，
11
sin )(+=x
x x f 是初等函数，在
),0(+∞有定义
∴不论k 为何值，
)(x f 在),0(+∞内都是连续的。

当
0=x 时，
k f =)0(
1sin lim )(lim 00==--→→x x
x f x x
1
)11
sin (lim )(lim 00=+=++→→x
x x f x x （无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量） ∴只有当
1=k 时，)(x f 在0=x 处连续，
∴只有当1=k 时，)(x f 在定义域内连续。

例3．证明方程
133
=--x x 至少有一个根在1与2之间。

证：设
13)(3
--=x x x f ，]2,1[∈x
∵
)(x f 在 ]2,1[上连续
3
)13()1(13-=--==x x x f
1
)13()2(23
=--==x x x f
∴
)(x f 满足介值定理推论的条件。

由定理可得：
在)2,1(内至少存在一点ξ，使得
0)(=ξf ；
即：在1与2之间至少有一个根ξ=x 。

例4． 讨论函数
x
x x f )1ln()(+=
的间断点。

解：
)(x f 的定义域为：),0()0,1(+∞-∈ x
)(x f
在
0=x 处无定义；
∴
0=x 是函数的间断点。

1
ln )1ln(lim )1ln(lim 1
00==+=+→→e x x
x x
x x 若补充定义：
1)0(=f ，则函数在0=x 连续；
∴0=x 函数的可去间断点。

例5.讨论函数
21
)(2
2
---=x x x x f 的间断点。

解：
)1)(2()
1)(1(21)(22+-+-=
---=x x x x x x x x f
)(x f 的定义域为：),2()2,1()1,(+∞---∞∈ x
当
2,121=-=x x 时，函数无定义，
∴2,1
21=-=x x 是函数的间断点； 3221lim )1)(2()1)(1(lim 11=--=+-+--→-→x x x x x x x x
若补充定义：
3
2
)1(=-f ，则函数在1-=x 处连续；
∴
1-=x 是可去间断点。

-∞
=--=+-+---→→2
1lim )1)(2()1)(1(lim 22x x x x x x x x ∴2
=x 是无穷间断点。

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
)(00
x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，
且存在。

5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。

y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ∆
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ∆
()00,y x M 处切线的斜率。

o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（
3o
2v v u v u v u '⋅-⋅'='
⎪⎭
⎫
⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ϕϕ===
dx
du du dy dx dy ⋅=，或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：
})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。

4.高阶导数：
)(),(),
()
3(x f
x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
( ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ∆+∆⋅=∆
其中：
)(x A 与x ∆无关，)(x o ∆是比x ∆较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=∆∆→∆x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ∆=)(
dx x A dy )(= )0(→∆x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ⇒在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分dy 都具有相同的形式。

二、
例题分析
例1.设
)(x f '存在，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆
x
x f x x f x ，
则
)(0x f '等于
A.1,
B.0,
C.2,
D.
2
1. [ ]
解：x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim 000
1)(22)
()2(lim 200002='=∆-∆+=→∆x f x
x f x x f x ∴
2
1
)(0='x f （应选D ）
例2．设
),()()(2
2
x a x x f ϕ-=其中)(x ϕ在a x =处连续；求)(a f '。

解：
a
x a f x f a f a x --='→)
()(lim
)( a
x a a a x a x a x ----=→)
()()()(lim 2
2
2
2
ϕϕ )()(lim )())((lim x a x a
x x a x a x a x a x ϕϕ+=-+-=→→
)(2a a ϕ=
误解：
)()()(2)(2
2x a x x x x f ϕϕ'-+='
∴
)(2)()()(2)(2
2a a a a a a a a f ϕϕϕ='-+='
结果虽然相同，但步骤是错的。

因为已知条件并没说)(x ϕ可导，所以)(x ϕ'不一定存在。

例3．设
)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求：
1
)1()34(lim 1---→x f x f x
解：设
)4(,
343
1t x x t -=-=
当
1→x 时，1→t
1
)4()1()(lim 1)1()34(lim 31
11---=---→→t f t f x f x f t x 623)1(31
)
1()(lim 31-=⨯-='-=---=→f t f t f t
例4．设
)(x f 是可导的奇函数，且0)(0≠=-'k x f ， 则
)(0x f '等于：
A.
k , B. k -, C.
k
1-, D.
k
1. [ ]
解：)()(x f x f -=-
])([])(['-='-x f x f
)()()(x f x x f '-='-⋅-' )()(x f x f '=-'
∴
k x f x f =-'=')()(00 (应选A)
（结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。

）
例5．设
⎩
⎨
⎧≥<+=1211)(2x x x x x f 在1=x 处是否可导？ 解法一：
22)1(1
===x x
f
2)1(lim )(lim 2
1
1
=+=-
-→→x x f x x
2)2(lim )(lim 1
1
==++→→x x f x x
∴
)(x f 在1=x 处连续
121lim
1)1()(lim )1(2
11--+=--='--→→-x x x f x f f x x
2)1(lim 11lim 1
2
1=+=--=--→→x x x x x 22lim 12
2lim 1)1()(lim )1(1
11==--=--='+
++→→→+x x x x x x f x f f
∴2)1()1()1(='='='+-f f f
∴
)(x f 在1=x 处可导。

解法二：
2
2)1(1===x x f
2)1(lim )(lim 2
1
1
=+=--→→x x f x x
2
)2(lim )(lim 1
1
==++→→x x f x x
∴
)(x f 在1=x 处连续
当
1≠x 时，
⎩⎨
⎧><='1212)(x x x x f
∴
2
2lim )(lim )1(1
1
=='='--→→-x x f f x x
2
2lim )(lim )1(1
1
=='='++→→+x x x f f
∴
2)1()1()1(='='='+-f f f
∴)(x f 在1=x 处可导。

例6．设
⎩⎨⎧>≤+=001)(2x ae
x bx x f x
求a,b 的值，使)(x f 处处可导。

解：)(x f 的定义域：),(+∞-∞∈x
当0<x 时，
bx x f +=1)( 是初等函数，在)0,(-∞内有定义，
∴不论a 和b 为何值，)(x f 在)0,(-∞内连续；
当
0>x 时，
x
ae
x f 2)(=是初等函数，在
),0(+∞内有定义，
∴不论a 和b 为何值，
)(x f 在),0(+∞内连续；
1)1()0(0=+==x bx f
1)1(lim )(lim 0
0=+=--→→bx x f x x
a ae x f x
x x ==+
+→→20
lim )(lim
只有当
1=a 时，)(x f 在0=x 处连续；
∴当1=a 时，)(x f 处处连续；
当
0≠a 时，
⎩⎨⎧><⎩
⎨⎧=><='=⇑可导可导020020)(221x e x b x ae x b x f x
x a
b b x f f x x =='='--→→-0
lim )(lim )0(
22lim )(lim )0(20
=='='++→→+x
x x e x f f
只有当
2=b 时，)(x f 在0=x 处可导；
∴当
2,1==b a ，)(x f 处处可导。

例7．求下列函数的导数
⑴
)
2
1
ln(
cos x y+
=
解：
x
v
v
u
u
y2
1
ln
cos+
=
=
=
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅
⋅
=
)
2
1
ln(
sin
2
1
2
2
1
sin x
x
v
u+
+
-
=
⋅
⋅
-
=
⑵
) arctan(tan2x y=
解：
])
n
[arctan(ta2'
='x
y
)
(tan
)
(tan
1
tan
2
)
(tan
)
(tan
1
1
2
2
2
2
2
'
+
='
+
=x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
4
2
2
2
cos
sin
2
sin
)
(tan
1
sec
tan
2
+
=
+
=
⑶
x
x
y2
tan
10
=
解：
)
2
tan
(
10
10
ln
)
10
(2
tan
2
tan'
⨯
='
='x
x
y x
x
x
x
)
2
sec
2
2
(tan
10
10
ln2
2
tan x
x
x
x
x+
⨯
=
⑷
2
2
2r
y
x=
+
（
r
为常数）
解法一：
2
2x
r
y-
±
=
2
2
2
22
22)()(x
r x r x r y -'-±
='-±='
22
x
r x -=
解法二: )()(2
2
2
'='+r y x
022='⋅+y y x
22x
r x
y x y -=-='
⑸
)cos(xy y =
解法一：)()sin(])[cos('⋅-='='xy xy xy y
)()sin(y x y xy '+⋅-=
∴)sin(1)
sin(xy x xy y y +-=
'
解法二:设
)cos(),(xy y y x F -=
)sin(1),
sin(xy x F xy y F y x +='='
)sin(1)sin(xy x xy y F F dx dy y x +-=''-=
⑹
y
x x y ln ln =
解法一：)ln ()ln ('='y x x y
y y x
y x y y x '+=+'⋅ln ln
2
2
ln ln ln ln x
x xy y
y xy x y y y
x x y
--=--='
解法二:设
y x x y y x F ln ln ),(-=
y x x F y x y F y x -
='-='ln ,ln
2
2
ln ln ln ln x
x xy y y xy x y F F dx dy y
x x y
y x
--=---=''-=
⑺
3
)2)(1(---=
x x x y
解：（对数法）
3
)2)(1(ln
ln ---=x x x y
)]
3ln()2ln()1[ln(21---+-=x x x
}
)]3ln()2ln()1[ln({)(ln 21'---+-='x x x y
)312111(211---+-='x x x y y
∴3)2)(1()
312111(21------+-='x x x x x x y
⑻
x
x y =
解法一：（对数法）
x x x y x
ln ln ln ==
1ln ln 1+=+='x x x
x y y
∴)1(ln +='x x y x
解法二：（指数法）
x
x x x
e
e
x y x
ln ln ===
)ln ()(ln ln '='='x x e e y x x x x
)1(ln +=x x x
⑼
x
x
x x
y cos )
(sin 2+=
解法一：（对数法）
设
x
x
x y x y cos 21)(sin ,2==
21
21,
y y y y y y '+'='+=
x x x y x
ln 2ln 2ln ln 1+==
)2(ln 21ln 211+=+='x x x x x x y y
∴
)
2(ln )2(ln 222
1
+=+='-x x
x x x y x x
x x y sin ln cos ln 2=
x x x x x y y sin cos cos sin ln sin 122+-='
∴
)sin ln sin cot (cos )(sin cos 2x x x x x y x
-='
21
y y y '+'=' )
sin ln sin cot (cos )
(sin )1(ln cos 2
1
x x x x x x x
x
x -++=-解法
二：（指数法）
x
x x
x e
e y sin ln cos ln 2+=
)sin ln (cos )ln (2sin ln cos ln '+'=x x e
x x e
x
x x
x
)sin ln sin cot (cos )
(sin )1(ln cos 2
1
x x x x x x x
x
x -++=-
⑽
y
x
x
y =
解法一：x y y x ln ln =
x
y y x y y x y +
'⋅='+ln ln
∴
2
2
ln ln x x xy y y xy y --='
解法二：设
x
y y
x y x F -=),(
y
x y x
y x x y x
y y y x x y y y yx F )ln (ln ln 1
-=-=-='-
y
x y x y y x
x y
x y y x x x xy x x F )ln (ln ln 1--=-=-='-
22
ln ln )ln ()ln (x
x xy y y xy x x x y F F dx dy y y
x y
x y
y x --=--=''-=
例8．已知
x x f sin )(=，求)(x f '。

解：设
2
,t
x x t ==
2
sin )(t
t f =
∴
2
sin )(x
x f =
∴
222cos 2)(cos )(x x x x x f ='='
例9．求下列函数的二阶导数
⑴)1ln(2
x y +=
解：
2
1
2
x
x
y
+
='
2
2
2
2
2
2
)
1(
2
2
)
1(
2
2
)
1(2
x
x
x
x
x
x
y
+
-
=
+
⋅
-
+
=''
⑵
ln=
+y
xy
解法一：
1
='
+'
+y
y
y x
y
0 2='
+'
+y
y
xy
y
∴
xy
y
y
+
-
='
1
2
2
2
)
1(
)
(
)
1(
2
xy
y x
y
y
xy
y y
y
+
'
+
+
+
'
-
=''
2
1
2
1
)
1(
)
(
)
1(
22
2
xy
x
y
y
xy
y
xy
y
xy
y
+
+
+
+
-
=+
-
+
-
3
2
2
3
)
1(
]
)
1(
[
)
1(
2
xy
xy
xy
y
y
xy
y
+
-
+
+
+
=
3
4
3
)
1(
2
3
xy
xy
y
+
+
=。