3-2-2 导数的运算法则

基础巩固强化
一、选择题
1．函数y ＝cos x
x 的导数是( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 2
[答案] C
[解析] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2 ＝－x sin x －cos x x 2
. 2．(2012～2013学年度湖北益阳市一中高二期末测试)曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝－x ＋3
C ．y ＝x ＋3
D ．y ＝2x [答案] A
[解析] y ′＝－2x ＋3，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝－2＋3＝1，∴切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.
3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ，
∵f ′(－1)＝3a －6， ∴3a －6＝4，∴a ＝10
3.
4．曲线运动方程为s ＝1－t
t 2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12
[答案] B
[解析] s ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t t 2′＋(2t 2
)′＝t －2t 3＋4t ，
∴t ＝2时的速度为：s ′|t ＝2＝2－2
8＋8＝8.
5．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15
[答案] C
[解析] ∵y ′|x ＝1＝3x 2|x ＝1＝3， ∴切线方程y －12＝3(x －1)， 令x ＝0得y ＝9.
6．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2 B ．4＋2x 3 C ．2(2＋x 3)2 D ．2(2＋x 3)·3x [答案] A
[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2. 二、填空题
7．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数f (x )＝x
＋1
x ，则f ′(x )＝________.
[答案] 1－1
x 2
[解析] f (x )＝x ＋1x ，∴f ′(x )＝1－1
x 2.
8．(2012～2013学年度广东深圳高级中学高二期中测试)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.
[答案] －2
[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2.
9．若函数f (x )＝1－sin x
x ，则f ′(π)________________． [答案] π－1
π2 [解析] f ′(x )＝
(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′
x 2
＝sin x －x cos x －1
x 2
， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2. 三、解答题
10．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
.
[解析] (1)∵f (x )＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5， ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.
(2)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )2
1－x
＝2＋2x 1－x ＝4
1－x
－2， ∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4
(1－x )2.。