哈工大近世代数习题参考答案

1 b 则f x− ， a a
−1
∈G 。
n k， 所以 n rk ， 由已知 (n, r ) = 1 ， 则有： 所以 k = n ， 即 a r 的阶为 n ， 从而 (a r ) = G 。
另证：由 (n, r ) = 1 ⇒ ∃k1 , k 2 ∈ Z ， k1 ⋅ n + k 2 ⋅ r = 1 ，则有： a 1 = a k1 ⋅n + k 2 ⋅r = a k1 ⋅n a k 2 ⋅r = ea k 2 ⋅r = (a r ) k 2 ，即 a = (a r ) k 2 ，即 G 的生成元 a 可由 a r 生 成，故有： (a r ) = G 。 12.5.5 证明： 设 a r 的阶为 k ， 则 (a r ) k = e ， 即 a rk = e 。 又 an = e ， 所以 n | rk ， 又 ( r , n) = d ，
令 p = i + 1, q = j 即可。 ///////////////////////////////////////////////////////////////////// 补充思考题解答： 1）设群 G 中元素 a 的阶为 n ，且有正整数 m 使得 a m = e ,则是否一定有 m = n ? 解：令 m = kn + r ， 0 ≤ r < n 则 a m = a kn + r = e ⇒ a r = e ⇒ r = 0 ，所以 n | m 。 2）设群 G 中元素 a 的阶为 n ,则 a −1 的阶是否也一定为 n ？ 解： 有 a n = e ⇒ (a −1 ) n = e ， 故可设 a −1 的阶为 r ， 即有 (a −1 ) r = e ， 则由上题知 r | n ， 又 (a −1 ) r = e ⇒ a r = e ，由 a n = e ，得 n | r ，故 r = n 。 3）设群 G 不一定为交换群，则是否一定有 ab 的阶和 ba 的阶相同?（ a, b ∈ G ） 解：不妨设它们阶均有限，即有 (ab) m = e ， (ba ) n = e 。由 ba = a −1 (ab)a ，知 (ba ) n = a −1 (ab) n a = e ⇒ (ab) n = e ，从而 m | n ，同理可得 n | m ，故 n = m 。 ///////////////////////////////////////////////////////////////////// 12.3.5 证明：记 S = ϕ −1 (e2 ) ，则 S = {x ϕ ( x) = e2 , x ∈ G1 }，显然 S ⊆ G1 1 ） S 非 空 ： 对 ∀y ∈ G2 ， 由 ϕ 为 满 射 ， 则 ∃x ∈ G1 ， 使 得 y = ϕ ( x) ， 从 而
f ( x ∗ y ) = ψ ϕ ( x ∗ y ) = ψ (ϕ ( x ∗ y )) = ψ (ϕ ( x) • ϕ ( y )) = ψ (ϕ ( x))∆ψ (ϕ ( y )) = ψ ϕ ( x)∆ψ ϕ ( y ) = f ( x) f ( y )
所以 f = ψ ϕ 为 S1 → S 3 的同态，即两个同态的合成还是同态。
故 H 为包含 A 的子半群。 ③ 下证 H 即为 A 的生成子半群。 设 P 为包含 A 的任意一个子半群，下证 H ⊆ P 。
对 ∀x ∈ H ， ∃a1 , a 2 , , ai ∈ A 使 得 x = a1 a 2 ai ， 又 A ⊆ P ， 所 以 a1 , a 2 , , ai ∈ P ，则由 P 为子半群知 a1 a 2 ai ∈ P ，即 x ∈ P ，所以 H ⊆ P 。 综上 G ( A) = H 。 11.5.1 证明：记 S = ϕ −1 (e2 ) ，则 S = {x ϕ ( x) = e2 } ，显然有 S ⊆ M 1 ① S 非空：由 ϕ (e1 ) = e2 知 e1 ∈ S 。 ②封闭性：对 ∀x, y ∈ S 有： ϕ ( x) = e2 ， ϕ ( y ) = e2 ， 则 ϕ ( x y ) = ϕ ( x) ∗ ϕ ( y ) = e2 ∗ e2 = e2 ，所以 x y ∈ S 故 S 是 M 1 的一个子幺半群。 若 S 是 M 1 的理想，则有 SM 1 ⊆ S ， M 1 S ⊆ S 对 ∀x ∈ S ， ∀y ∈ M 1 ， ϕ ( x y ) = ϕ ( x) ∗ ϕ ( y ) = e2 ∗ ϕ ( y ) = ϕ ( y ) 同理 ϕ ( y x) = ϕ ( y ) ∗ ϕ ( x) = ϕ ( y ) ∗ e2 = ϕ ( y ) 所以如果 ϕ ( y ) = e2 ，则 x y ( y x) ∈ S ，此时 S 是 M 1 的理想，否则不是。 11.5．2 证明：设 ϕ : ( S1 ,∗) → ( S 2 ,•) 同态，ψ : ( S 2 ,•) → ( S 3 , ∆) 同态，记 f = ψ ϕ ，由映射 的符合知 f 为 S1 → S 3 的映射。又对 ∀x, y ∈ S1 ：
1）封闭性：对 ∀f , g ∈ G ，设 f ( x) = ax + b ， g ( x) = cx + d ， a ≠ 0, c ≠ 0 ， 则 f g ( x) = f ( g ( x)) = f (cx + d ) = a (cx + d ) + b = (ac) x + ad + b ，所以 f g ∈ G 2）结合律：映射的复合满足结合律。 3）单位元： I R ( x) = x 4）逆元： 显然对 ∀f ∈ G ， 由 f 为双射， 故 f 可逆， 且 f −1 ( x) = 12.5.3 证明：由 a r ∈ G ，则 (a r ) ⊆ G 。设 a r 的阶为 k ，即 (a r ) k = e 。 因为 (a r ) n = (a n ) r = e r = e ，所以 k n 。又由 (a r ) k = e ⇒ a rk = e ，而 a n = e ，
ϕ (e1 ) ∗ y = ϕ (e1 ) ∗ ϕ ( x) = ϕ (e1 x) = ϕ ( x) = y ，同理有 y ∗ ϕ (e1 ) = ϕ ( x) = y ，所以：
ϕ (e1 ) ∗ y = y ∗ ϕ (e1 ) = y ，则 ϕ (e1 ) = e2 ，所以 e1 ∈ S 。
2）封闭性：对 ∀x, t ∈ S ，有 ϕ ( x) = e2 ， ϕ (t ) = e2 ，则 ϕ ( x t ) = ϕ ( x) ∗ ϕ (t ) = e2 ， 所以 x t ∈ S 。 3）结合律：显然。 4）单位元： e1 ∈ S 。 5）逆元：对 ∀x ∈ S ，有 ϕ ( x) = e2 ，则： e2 = ϕ (e1 ) = ϕ ( x x −1 ) = ϕ ( x) ∗ ϕ ( x −1 ) = e2 ∗ ϕ ( x −1 ) = ϕ ( x −1 ) ，即 ϕ ( x −1 ) = e2 ，所以 x −1 ∈ S 。 12.4.1 证明：显然对 ∀f ∈ G ， f 为双射。
近世代数部分习题参考答案
第 11 章 半群和幺半群
11.3.5 证明：设 ( S ,) 为有限半群，且 | S |= n 。设 b ∈ S ，则可得： b1 , b 2 , , b n , b n +1 ∈ S 由 S 的有限性知，∃i, j ∈ [1, n + 1] 使得 b j = b i ，不妨设 j > i ，即 j = i + k ，k > 0 。 从而有： b i b k = b i ,则两边同时不断左乘 b 使得 b p b k = b p ，且满足 p = q ⋅ k ， 从 而 b p = b p b k = (b p b k ) b k = b p b 2 k = = b p b qk ， 即 b p b p = b p ， 令
G ( A) 的定义即证 H 为 A 的生成子半群。
先证 H 为包含 A 的子半群。 ① 显然 A ⊆ H （令 n = 1 即可知） ， ② "" 在 H 上的运算封闭：对 ∀x, y ∈ H ，有 x = a1 a 2 a n ， y = b1b2 bm ，其中
ai , b j ∈ A 。从而 x y ∈ H 。
a = b p 即可。
11.3.8 证明： 1）结合律：由集合论知识知集合的对称差运算 " ∆" 满足结合律，故 (2 S , ∆) 为半 群； 2）单位元：对 ∀A ∈ 2 S 有 φ∆A = A∆φ = A ； 3）逆元：对 ∀A ∈ 2 S 有 A∆A = A∆A = φ ，即为自身。 故 (2 S , ∆) 为群。 11.4.1 证 明 ： 记 H = {x ∃a1 , a 2 , , a n ∈ A使x = a1 a 2 a n , n ≥ 1} ， 下 证 G .2.2 证明：由 ∀a ∈ G ， a 2 = e ⇒ a = a −1 。 从而对 ∀a, b ∈ G ， ab = (ab) −1 = b −1 a −1 = ba 12.2.3 证明：设 G = {e, a, b, c} ， (G,) 为群。其乘法表为： • e a b c e e a b c a a aa ab ac b b ba bb bc c c ca cb cc 验证交换性只须验证乘法表中的矩阵的对称性即可，即只须验证： 1）ab 与 ba：显然 ab ≠ a, b ，故 ab = e, c 若 ab = e ，即 a 与 b 互逆，则必有 ba = e ，从而 ab=ba； 若 ab = c ，则 ba = c ，否则若 ba = e ，则必有 ab = e ，从而 c = e 矛盾。 综上 ab=ba。 同理可得：ac=ca，bc=cb。 12.2.4 证明：设 (G,) 为非交换群，且 | G |> 2 。只须找到元素 a ∈ G ，且 a −1 ≠ a 即可。 即只须在 G 中找到一个元素，其阶大于 2 即可。若 G 中不存在这样的元素，即 对 ∀a ∈ G 均有 a 2 = e ，则由 2 题知 G 为交换群，矛盾。故 ∃a ∈ G ，其阶大于 2， 即 a −1 ≠ a ，从而令 b = a −1 ，显然有 b ≠ a ，但 ab = ba 。 12.2.5 证明：设 (G,) 为有限群，| G |= n ，对 ∀a ∈ G ，若 a 的阶为 r 且 r > 2 ，即 a r = e ， 则 a −1 的阶也为 r ，即 (a −1 ) r = e ，且 a −1 ≠ a ，从而阶大于 2 的元素成对出现，故 阶大于 2 的元素个数必为偶数。 12.2.9 证明：考查元素序列： e , a1 , a1 a 2 , a1 a 2 a3 , , a1 a 2 a n ∈ G ，而 | G |= n 故上述 n + 1 个元素中至少有两个元素相同， 若其中一个为 e ， 则有：a1 a 2 ai = e 此时令 p = 1, q = i 即可；若两个元素均不为 e ，则存在 i, j ∈ [1, n] ，不妨设 i < j ， 使得 a1 a 2 ai = a1 a 2 a j = a1 a 2 ai ai +1 a j ，由消去律得： ai +1 a j = e ，此时
n r n r n 则有： | k ，而 ( , ) = 1 ，所以 | k 。 d d d d d
又由 (a ) = a
r
n d
nr d
= (a ) = e = e 得： k |
n
r d
r d
n n ，从而 k = d d
12.6.1 证明：设 (G,) 为六阶群。则对 ∀x ∈ G ( x ≠ e) ，其阶只能为 2，3，6。 1）若 ∃a ∈ G ，且 a 的阶为 6 ，即 a 6 = e ，则 G = (a ) ，则由循环群的子群知存在 三阶子群为： S = {e, a 2 , a 4 } 2）若 ∃a ∈ G ，且 a 的阶为 3 ，即 a 3 = e ，此时显然有三阶子群为：S = {e, a 1 , a 2 } 3）若不存在 a ∈ G ， 使得 a 的阶为 3 或 6， 则对 ∀a ∈ G 有 a 2 = e ， 从而此时群 (G,) 为交换群。令 A = {a, b} ，其中 a, b ∈ G 且均不为单位元。则 ( A) = {e, a, b, ab} ，