一阶电路(状态转换分析)
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式电路是电子工程中非常重要的基础概念之一，而一阶电路是最简单的电路之一。
在学习电路的过程中，我们经常会遇到一阶电路的零状态响应问题。
本文将通过介绍一阶电路的零状态响应公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一阶电路是指由一个电容或一个电感与电阻串联或并联而成的电路。
它的特点是电流或电压的变化是连续的，不存在跳变。
在进行一阶电路的分析时，我们常常需要考虑其零状态响应，即在初始时刻电路中没有输入信号的情况下，电路中的电压或电流如何变化。
在分析一阶电路的零状态响应时，我们可以使用以下公式：V(t) = V0 * (1 - e^(-t/τ))其中，V(t)表示时间t时刻电路中的电压，V0表示初始时刻电路中的电压，τ表示电路的时间常数。
这个公式是根据一阶电路的微分方程推导出来的。
微分方程描述了电路中电压或电流的变化规律。
通过求解微分方程，我们可以得到电路中电压或电流随时间的变化关系。
在上述公式中，指数函数e^(-t/τ)描述了电压的衰减过程。
随着时间的推移，电压逐渐趋向于稳定值V0，衰减的速率由时间常数τ决定。
时间常数τ越小，衰减越快；时间常数τ越大，衰减越慢。
通过这个公式，我们可以计算出一阶电路中电压随时间的变化情况。
根据实际问题的要求，我们可以选择合适的初始电压V0和时间常数τ，来分析电路的响应特性。
需要注意的是，这个公式适用于没有输入信号的情况下的零状态响应。
如果电路中存在输入信号，我们需要将输入信号和零状态响应进行叠加，得到完整的响应过程。
除了零状态响应公式，我们还可以使用其他方法来分析一阶电路的响应特性。
例如，可以使用拉普拉斯变换、复数分析等方法。
不同的方法可以适用于不同的情况，读者可以根据实际需要选择合适的方法。
一阶电路的零状态响应是电子工程中重要的基础概念之一。
通过零状态响应公式，我们可以计算出电路中电压或电流随时间的变化情况。
这对于分析和设计电路具有重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用一阶电路的零状态响应公式。
电路课ke7.3一阶电路的零状态响应
uL LdiL iL + iR = iL + = + iL = IS R Rdt (iL (0− ) = 0)
diL ⇒ LG + iL = IS dt
i
' L '' L
特解（稳态分量） 特解（稳态分量）
i = iL (∞) = IS
' L
i
通解（暂态分量） 通解（暂态分量）
i = Ae
'' L
− t
US = 2×10 = 20 V
u
–
iL
t>0
+ Req 2H US － iL
uL
–
τ = L/ Req = 2 / 20 = 0.1s
iL (∞) = US / Req = 1A
+
uL
–
iL (t) = iL (∞)(1− e
uL(t ) = USe
−10t
−10t
Us −10t −10t )= (1− e ) A = (1− e ) A Req
Z
ϕ
R
ωL
=0时 开关K打开， t>0后 例4 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压 5Ω Ω 解 这是一个RL电路零状态响应 这是一个RL电路零状态响应 2A RL + 问题，先化简电路， 问题，先化简电路，有： 10Ω Ω 10Ω Ω K + 2H
Req = 10 + 10 = 20Ω
7.3 一阶电路的零状态响应
The first-order circuit’s zero-state response 零状态响应
(Outer power source) 电路在零初始状态 零初始状态下 仅由外施激励源引起的的响应。 外施激励源引起的的响应 电路在零初始状态下，仅由外施激励源引起的的响应。 K(t=0) R US +u –
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
中国矿业大学 考研电路 第7章 一阶电路2
§6-4 一阶电路的零状态响应
零状态响应：电路在储能元件零初始条件下由外施激励引起 的电路响应。 一. RC电路的零状态响应 S(t=0)
＋
R
R
i
C
US
—
+u –
uC
' c
+
列方程： duC RC + uC U S dt
uC (0-)=0
解答形式为：
– 一阶常系数非齐次线性微分方程
t RC
C i（ t）
US
0
duC US e dt R
（t≥0）
US R
uc
uC' uC"
t
i
i
t
-US
uc
0
能量关系 电源提供能量：
WS
0
US US e R
t RC
2 dt CU S
电容储存电能：
电阻消耗电能:
1 2 WC CU S 2
2 WR 0 i Rdt
uC (0+)=uC(0-)=U0
uc Ae
1 t RC t 0 +
1 t RC
得:A=uc(0+)=U0
续解 所求uc和i为:
1 t RC
U0
uC t
uc ( t ) U 0 e
t 0+
1 t RC
duc U 0 i (t ) C e R dt
0
若令:τ =RC, (τ 称为一阶RC电路的时间常数) 则RC一阶电路 的响应可写为:
" c
uc u + u
第2章一阶动态电路的过渡过程分析
例
iS
iR
iC
iL
1k
2k
uR 2k
10mA t 0 S
uC
uL
C
L
则t
iS
=01+ 5时m刻i LA,
iuRC
0i,CiCi R10im S A i,Lu
uL
R 5mA
t
uR005Vm,A
10V 0 10umLA0101V 0V uC 10V,
0 10V
t 0 5mA10V 10mA 0 15mA 0
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。
一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。
实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
C 和L 称为对偶元件。
对偶元素： u i 、 q 、C L等 若把 u i 、 q 、C L等对偶元素 互换,可由电容元
件的关系式得到电感元件的相应关系式
第三节 换路定律
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。
不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的 能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能 分别为 WLL2L i /2和 WC CuC2 /2 都不能突变。 换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
2.5.1、电感元件(简称电感)的定义：
一阶电路分析的三要素法
一阶电路分析的三要素法采用“三要素法”分析一阶电路，可以省去建立和求解微分方程的复杂过程，使电路分析更为方便和高效。
适用于直流激励一阶电路的三要素法我们仍以简单一阶RC 电路为出发点。
图1 所示RC 电路的全响应结果如下：图1 一阶RC电路图( 1 )( 2 )由图1 容易知道，电容电压的初值为，电容电压的终值为；而电流的初值为，电流的终值为。
观察式( 1 ) 、式(2) 可见，一阶电路中任意电路变量的全响应具有如下的统一形式：( 3 )可见，为求解一阶电路中任一电路变量的全响应，我们仅须知道三个要素：电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
我们称式( 6-5-3 ) 为一阶电路分析的三要素法。
三要素法同样适用于一阶RL 电路，但是二阶以上动态电路不可采用此法。
推广的三要素法在前面分析一阶电路时，我们采用的独立源具有共同的特点，即所有独立源均为直流（直流电压源或直流电流源）。
对于直流激励电路，换路前电路变量为稳定的直流量，换路后经历一个动态过程，电路变量过渡到另外一个稳定的直流量。
我们容易根据电路的原始状态和电路结构确定电路变量的初值f(0+)、电路变量的终值f(∞)以及一阶电路的时间常数。
如果电路中激励源不是直流，而是符合一定变化规律的交流量（如正弦交流信号），则换路后电路经历一个动态过程再次进入稳态，此时的稳态响应不再是直流形式，而依赖于激励源的信号形式（如正弦交流信号）。
此时，我们无法确定电路变量的终值f(∞),故无法采用式( 3 ) “三要素法”确定一阶电路全响应。
对于这类一阶电路，我们可以采用推广的三要素法：〔4 )式中，为全响应的初值、为电路的稳态响应、τ为电路的时间常数，称为一阶线性电路全响应的三要素，为全响应稳态解的初始值。
“三要素”的计算与应用利用三要素法分析一阶电路的全响应时，必须首先计算出电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
假设激励源为直流电压源或电流源。
第2章__一阶动态电路的暂态分析[1]
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第2章 一阶动态电路的暂态分析
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 电容元件与电感元件 换路定则及其初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 三要素法求一阶电路响应
第2章 电路的暂态分析
本章要求
1. 了解电感元件与电容元件的特征; 2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义; 3. 掌握换路定则及初始值的求法; 4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
i
+
u _ 电容元件 C
u
电容元件储能
dq ( t ) d [Cu( t )] i( t ) dt dt
du iC dt
将上式两边同乘上 u，并积分，则得： t u 1 2 0 ui dt 0 Cudu 2 Cu
1 t u (t ) u (to ) i ( )d C t0
U
uC
+ uC C –
U
暂态
–
iC (b)
o 稳态
t
图(b) 合S前: iC 0 , uC 0
合S后： uC 由零逐渐增加到U
所以电容电路存在暂态过程(C储能元件)
产生暂态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 换路: 电路状态的改变。如： 若 uc 发生突变， duC 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变 则 iC dt 产生暂态过程的原因： 一般电路不可能！ 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
4 4
i1
R1 + uC 4 _
+ uL _
一阶电路和二阶电路
iL Is
t
iL Ae L R
iL
=
I (1 S
e-
R L
t
)
A由初值： A Is
uL
=
L diL dt
=
IS Re- RLt
佛山科§学7技-术3学院 一阶电路的零状态响应
现代制造装备工程技术开发中心
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
t=0时 , 打开开关K，求uv。
电压表量程：50V 现象 ：电压表坏了
分析
iL (0+) = iL(0-) 1 A
iL e t /
L 4 4104 s
R RV 10000
uV RV i L 10000e 2500t t 0
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
佛山科§学7技-术2学院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
四、小结 <一阶电路零输入响应的求解>
+
P
C Uc
P
iL
-
u(0 ) uc (0 ) U0
iL (0 ) iL (0 ) I0
分析：戴维南定理化简
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
3)作 0 等效电路
L 用一电流为 iL (0 )的电流源代替 C 用一电压为 uc (0 )的电压源代替
4) 求解0电路。求出其它 f (0 )
佛山科§学技7术-学1院动态电路的方程及其初始条件
现代制造装备工程技术开发中心
(1) 由0-电路求 uC(0-) 或 iL(0-) uC(0-)=8V
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
RC一阶电路分析
优化策略
动态调整
根据电路的工作状态和环境变化，动态调整元件 参数或工作模式，以实现最优性能。
集成化设计
将多个RC一阶电路集成在一个芯片上，实现小型 化、高效化和低成本化。
智能化控制
引入人工智能和机器学习技术，实现对RC一阶电 路的智能控制和优化。
应用前景
通信领域
RC一阶电路在通信系统中有着广泛的应用，如信号处理、 调制解调等，其改进和优化将有助于提升通信系统的性能 和稳定性。
动态响应
RC一阶电路的动态响应表现为电容两端电压随 时间的变化规律，通常用微分方程描述。
3
应用
RC一阶电路在电子工程、控制系统等领域有广 泛应用，用于模拟一阶动态系统的行为。
02
RC一阶电路的响应
瞬态响应
定义
瞬态响应是指RC一阶电路在输入信号激励下，从初始状态到最终 稳态状态的变化过程。
特点
瞬态响应具有振荡和衰减特性，其变化规律与时间常数相关。
滤波器
总结词
RC一阶电路可以构成低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等不同类型的滤波器。
详细描述
低通滤波器允许低频信号通过，抑制高频信号；高通滤波器允许高频信号通过，抑制低频信号；带通滤波器允许 特定频段的信号通过，抑制其他频段的信号。这些滤波器在信号处理、通信和控制系统中有着广泛的应用。
04
RC一阶电路的仿真分析
1. 连接电路
将电源、电容器、电 阻器和信号发生器按 照正确的极性连接起 来，形成RC一阶电 路。
2. 调整参数
根据实验要求，调整 电容器和电阻器的参 数，如电容值和电阻 值。
3. 启动实验
开启电源，使电路正 常工作。
4. 观察波形
使用示波器观察电容 器两端电压的波形变 化。
一阶动态电路分析
第3章电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。
本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了RC的实际应用电路一-积分和微分电路。
【教学要求】了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念理解电路的换路定律和时间常数的物理意义了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1•稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态( steady state)。
2•换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路(switching circuit )。
3•暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态( transient state)。
4•激励激励(excitation )又称输入，是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5•响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：(1)零输入响应(zero input response):零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
(2)零状态响应(zero state respo ns©:零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
第3章 电路的暂态分析
再由t＝ 时刻的电路 的电路： 再由 ＝0＋时刻的电路： 得：
U
i (0+) R1 2 + 6V -
+ R2 4 is(0+) L iL (0+) +
uR2
uR1
-
U 6 i (0 + ) = = =3A R1 2
is（0+）=i（0+）－ L（0+）=3－1=2 A （ ）－i － uR1（0+）=R1i（0+）=2×3=6 A （ × uR2（0+）=R2 iL（0+）=4×1=4 A × 由KVL：uL（0+）= -uR2（0+）= -4 V ：
2 t=0 S 1 + Us i + R uR C + uC
duC 且 i = iC = C dt duC ∴ u R = RC dt duC 故， RC + uC = U s dt
求解一阶线性常微分方程， 求解一阶线性常微分方程， 其解由两部分组成： 其解由两部分组成： 从数学观点解释： 从数学观点解释：
+ U -
i
R1 2 is
R2 4 L iL
6V
S t=0
∵开关闭合前电路已处于稳态，且电路为直流电路 开关闭合前电路已处于稳态， ∴电感相当于短路 则
U 6 iL (0 − ) = i (0 − ) = = =1A R1 + R 2 2 + 4
由换路定则，可得： 由换路定则，可得： iL（0+）=iL（0－）=1 A
）（t≥0） （V）（ ） ）（
三要素法公式
微分方程的通解： 微分方程的通解： 从物理观点解释： 从物理观点解释：
一阶电路过渡过程的仿真实验报告
⼀阶电路过渡过程的仿真实验报告⼀阶电路过渡过程的仿真实验报告实验名称：⼀阶电路过渡过程的仿真实验实验者：王⼦申同组同学：李万业杨锦鹏专业及班级：14电⽓⼯程及其⾃动化⼆班⼀、实验⽬的：1、进⼀步熟悉Multisim仿真环境。
2、掌握瞬态分析的使⽤⽅法。
3、理解过渡过程的含义。
⼆、实验设备：1、PC机⼀台2、Multisim仿真软件⼀套三、实验原理：电路在⼀定条件下有⼀定的稳定状态，当条件改变，就要过渡到新的稳定状态。
从⼀种稳定状态转到另⼀种新的稳定状态往往不能跃变，⽽是需要⼀定的过渡过程（时间）的，这个物理过程就称为电路的过渡过程。
电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的⼯作状态成为暂态，因⽽过渡过程⼜称为暂态过程。
1、RC电路的零状态响应（电容C充电）在图5-1 (a)所⽰RC串联电路，开关S在未合上之前电容元件未充电，在t = 0时将开关S合上，电路既与⼀恒定电压为U的电源接通，对电容元件开始充电。
此时电路的响应叫零状态响应，也就是电容充电的过程。
(a) (b) 图5-1 RC 电路的零状态响应电路及u C 、u R 、i 随时间变化曲线根据基尔霍夫电压定律，列出t 0时电路的微分⽅程为(注：dtdu C i CU q dt dq i c c ===，故,) 电容元件两端电压为其随时间的变化曲线如图5－1 (b) 所⽰。
电压u c 按指数规律随时间增长⽽趋于稳定值。
电路中的电流为电阻上的电压为其随时间的变化曲线如图5－1 (b) 所⽰。
2、RC电路的零输⼊响应（电容C放电）在图5－2（a）所⽰, RC串联电路。
开关S在位置2时电容已充电，电容上的电压u C = U 0，电路处于稳定状态。
在t = 0时将开关从位置2转换到位置1，使电路脱离电源，输⼊信号为零。
此时电容元件经过电阻R开始放电。
此时电路的响应叫零输⼊响应，也就是电容放电的过程。
(a) (b)图5－2 RC电路的零输⼊响应电路及u C、u R、i随时间变化曲线根据基尔霍夫电压定律，列出t 0时的电路微分⽅程为电容两端电压为其随时间变化曲线如图5-2 (b)所⽰。
电路原理第7章 一阶电路
10
uC（t）随t变化的曲线标绘于图7.1（b）中。分析此曲线不难发现： t<0时，电容电压uC=0的稳态；当t=∞ 时，电容电压又处于uC=US的另 一稳态；在0<t<∞ 时，电路从处于uC=0到uC=US的变化之中，即处于 过渡过程中。 关于动态电路的其他问题都将在以后各节中介绍。
11
7.2 电路动态过程的初始条件 7.2.1 电路的换路定则对于线性电容来说，在任意时刻t，其电荷、 电压、电流的关系为：
因此研究暂态过程的目的就是：认识和掌握这种客观存在的物理 现象的规律，在生产上既要充分利用暂态过程的特性，同时也必须预防 它所产生的危害。
4
电路有两种工作状态：稳态和暂态。比如当电路在直流电源的作 用下，电路的响应也都是直流时，或当电路在正弦交流电源的作用下， 电路的响应也都是正弦交流时，这种电路称为稳态电路，即电路处于 稳定工作状态。描述直流稳态电路的方程是代数方程。用相量法分析 正弦交流电路时，描述正弦交流稳态电路的方程也是代数方程。前面 第2章至第5章所述就是稳态电路。当电路中存在储能元件（电感和电 容），并且电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参 数发生变化（称此过程为换路），电路将从一种稳态过渡到另外一种 稳态。这一过渡过程一般不会瞬间完成，需要经历一段时间，在这一 段时间里电路处于一种暂态过程，所以称它为动态电路。
15
7.2.2 如何计算电路的初始条件 对于一个动态电路，其独立的初始条件是uC（0+）或q（0+）和iL （0+）或ψ（0+），其余的是非独立初始条件。如果要计算电路的初始 条件，首先应计算独立的初始条件 uC（0+）和iL（0+）。这应根据换 路前的电路计算出 uC（0-）和 iL（0-），然后用换路定则求得 uC（0+ ）和iL（0+）。其次将换路后电路中的电容用一个电压源替代，这个 电压源的电压值等于 uC（0+）；将换路后的电感用一个电流源替代， 这个电流源的电流值等于 iL（0+）；如果 uC（0+）=uC（0-）=0及iL（ 0+）=iL（0-）=0，则电容相当于短路，电感相当于开路。电路中的独 立电源按t=0+取值（如果是直流电源则不变）；这样就可以画出一个 换路后的等效电路，在这个等效电路中就可以求出所需要的非独立初 始条件。
一阶动态电路分析
在低通滤波器中，随着频率的增加，输出信号的 幅度逐渐减小；而在高通滤波器中，随着频率的 增加，输出信号的幅度逐渐增加。
在一阶电路中，由于存在电容或电感元件，输出 信号与输入信号之间会存在一定的相位差。这种 相位差随着频率的变化而变化，形成了一阶电路 的相频特性。
一阶低通滤波器的截止频率决 定了信号通过的频率范围。
一阶高通滤波器
一阶高通滤波器允许高频信号通过， 而阻止低频信号。
一阶高通滤波器的截止频率同样决定 了信号通过的频率范围，但与低通滤 波器相反。
其电路结构也由一个电阻和一个电容 组成，但连接方式与低通滤波器相反。
幅频特性和相频特性
幅频特性描述了一阶动态电路对不同频率信号的 幅度响应。
电阻的作用
电阻在电路中起到分压、 分流、限流等作用，是电 路中的重要元件。
电阻的种类
电阻按照材料、结构、功 率等可分为多种类型，如 碳膜电阻、金属膜电阻、 线绕电阻等。
电容
电容的定义
电容是电路中存储电荷的 元件，用符号"C"表示，单 位为法拉（F）。
电容的作用
电容在电路中起到滤波、 隔直、耦合等作用，常用 于电源电路、信号电路等。
复数域分析法
将电路中的元件参数和变量表示为复数形式，通过复数运算来分 析电路稳定性。
06 一阶动态电路的应用举例
RC电路的应用
延时电路
利用RC电路的充放电特性，可以实现延时功能， 如电子门铃、延时开关等。
滤波电路
RC电路可以构成低通、高通或带通滤波器，用于 滤除信号中的特定频率成分。
振荡电路
在某些条件下，RC电路可以产生振荡，用于产生 特定频率的信号。
一阶电路的详细分析
1. RC电路的零状态响应
K(t=0)
i
+
+
uR R +
US –
–
u+C C
US –
–
1、电路特征 （换路后）
i
2、建立方程
+
（换路后）
uR
–
R 3、微分方程的解
u+C C
–
uC (0－)=0
换路后的电路
t
t
uc U S U S e U S (1 e ) (t 0)
从上式可以得出：
U0 uC
连续 函数
i I0
跃变
0
t
0
t
（2）响应衰减快慢与有关；
=RC ,称为一阶电路的时间常数
RC
欧法
欧
库 伏
欧
安秒 伏
秒
（3）时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长
uC U0
小 → 过渡过程时间短
3、微分方程的解
1t
i(t) I0e t 0
uL (t)
L diL dt
t
RI 0e
从以上式子可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
I0 iL
连续 函数
0
t
uL
t
-RI0
跃变
（2）其衰减快慢与 =L/R有关；
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
= L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
t
t
★
iL I S I S e I S (1 e )(t 0)
其中 L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uC
RC duC dt
0(t
dt
0)
解微分方程可得
+
uS
+
L uL
Ri
L di dt
Um
sin(t
u )
-
iL(0-)=0
– 强制分量(稳态分量)
i i' i"
自由分量(暂态分量)
i"
t
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sin(t u )
i
i'
i"
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步骤三：求出
t 0
的其余各初始值。
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已知：US=12V，R1=4KΩ，R2=2KΩ；
例1
求：uc(0+)、ic(0+)、i1(0+)、i2(0+)。
i1(t) R1
S(t=0)
i2(t) R2
+ US _
+ uc(t) _
ic(t)
C
分析：在开关动作前的旧稳态，电容 C 在直 流电路中相当于开路。
第七章
一阶电路
First order circuit
7.1
动态电路的方程及其初始条件
一、几个概念
1. 动态元件： L、C、M
2. 换路：当电路结构或参数发生变化。
支路接入或断开 电路参数变化
换路时：t=t0 换路前瞬间 ：t=t0换路后瞬间 ：t=t0+
例 (t换路后 ０ = 0)
K
i
R + –
初始值的确定：
假设换路时刻是 t = 0
步骤一： t
0
iL (0) ； ，求 uC (0) 、
，画出等效图；
步骤二： t
0
uC (0 ) uC (0 ) C替代成U =u (0-)的电压源； 0 c iL (0 ) iL (0 ) L替代成I0=iL(0-)的电流源。
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前一个稳定状态
过渡状态
二、动态电路的经典法
求解步骤：
△
(1)分析电路情况，求得待求电量的初始值； (2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程； (3)求解一阶常系数微分方程，得出待求量。
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(2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。 例 + _US K R C
① 一阶微分方程解的结构分析
dx Ax Bw dt
其解为： x(t ) x p (t ) xh (t )
x p (t ) 非齐次方程的特解 ; xh (t ) 对应齐次方程的通解 。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
② 非齐次方程特解
pA
xh (t ) Ke
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At
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(3)求解一阶常系数微分方程。
xh (t ) Ke
则非齐次通解： x(t )
A
t
A At
x() Ke
t t0 : x(t0 ) X 0 x() Ke
求得K，从而 求得通解。
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A At0
x p (t )
的求取
特解形式与输入函数是一致的。 t =＋∞：求出特解 xp(t)=x(+∞)。 新的稳态
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(3)求解一阶常系数微分方程。
③ 齐次方程通解
xh (t )
的求取
设
xh (t ) Ke
pt
dx Ax 0 dt
p t
pt
pKe AKe 0
则
p A0
1 0 t = 0+时刻： iL (0 ) iL (0 ) 0 u ( )d L
1 t iL (0 ) u ( )d L 0 0
磁链 守恒
当u()为有限值时：
=L iL
iL (0+) = iL (0－)
L (0＋)= L (0－)
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结论：
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 目录 上页 下页 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
等效图原则： 1 C电压源: U0=uc(0+) L电压源: I0=il(0+)；
2 开关处在换路后位置。
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步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
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Uc(0+)不能跃变原因：
i
+ uc -
1 uC ( t ) C
C
t
i ( )d
0 1 + t = 0 时刻： uC (0 ) uC (0 ) 0 i ( )d C
1 t uC (0 ) i ( )d C 0 0
当i()为有限值时： uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
电荷 守恒
q (0+) = q (0－)
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结论：
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL(0+)不能跃变原因：
iL
uL
+ -
L
1 t iL (t ) u ( )d L
i
+
结论：
–
uC
(1)描述动态电路的电路 方程为微分方程； (2)动态电路方程的阶数 等于电路中动态元件的 个数；
du C Ri uC RC uC U S dt
一阶电路: 只含有一个动态元件的电路，描述电路的方程 是一阶线性微分方程。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
4.
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例：C充电过程
(t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态:
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态:
uC
–
(t →) R + Us
i
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0
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i
t1 新的稳定状态 t
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三、初始值及换路定则
—— 换路前旧稳态终了瞬间 设：t=0 时换路
——换路后暂态起始瞬间
初始值——初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶 导数的值。 换路定则——在换路瞬间，电容上的电压、电 感中的电流不能突变。
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
换路后 换路前
i
R +
Us
uC
C
Us
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uC
–
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0V C 50V
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一、几个概念
3.
过渡过程：当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能从旧的稳态达到新的稳态，这 个过程称为过渡过程。此时u、i 都处于暂时的不稳定 状态，所以又称为电路的暂态过程。
过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件L、C， 电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都 需要一定的时间来完成。
uc(0-) 或 iL(0-) ;
i1(t) R R11=4KΩ S(t=0) i2(t) R22=2KΩ R
+ US US=12V _
+ uc(t) _
ic(t)
C
u C (0 ) u C (0 ) 12V
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