一阶电路(状态转换分析)

第七章
一阶电路
First order circuit
7.1
动态电路的方程及其初始条件
一、几个概念
1. 动态元件： L、C、M
2. 换路：当电路结构或参数发生变化。
支路接入或断开 电路参数变化
换路时：t=t0 换路前瞬间 ：t=t0换路后瞬间 ：t=t0+
例 (t换路后 ０ = 0)
K
i
R + –
i
+
结论：
–
uC
(1)描述动态电路的电路 方程为微分方程； (2)动态电路方程的阶数 等于电路中动态元件的 个数；
du C Ri uC RC uC U S dt
一阶电路: 只含有一个动态元件的电路，描述电路的方程 是一阶线性微分方程。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
步骤三：求出
t 0
的其余各初始值。
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已知：US=12V，R1=4KΩ，R2=2KΩ；
例1
求：uc(0+)、ic(0+)、i1(0+)、i2(0+)。
i1(t) R1
S(t=0)
i2(t) R2
+ US _
+ uc(t) _
ic(t)
C

分析：在开关动作前的旧稳态，电容 C 在直 流电路中相当于开路。
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Uc(0+)不能跃变原因：
i
+ uc -
1 uC ( t ) C
C

t


i ( )d
0 1 + t = 0 时刻： uC (0 ) uC (0 ) 0 i ( )d C
1 t uC (0 ) i ( )d C 0 0
当i()为有限值时： uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
电荷 守恒
q (0+) = q (0－)
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结论：
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL(0+)不能跃变原因：
iL
uL
+ -
L

1 t iL (t ) u ( )d L
换路后 换路前
i
R +
Us
uC
C
Us
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uC
–
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0V C 50V
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一、几个概念
3.
过渡过程：当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能从旧的稳态达到新的稳态，这 个过程称为过渡过程。此时u、i 都处于暂时的不稳定 状态，所以又称为电路的暂态过程。
过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件L、C， 电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都 需要一定的时间来完成。
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前一个稳定状态
过渡状态
二、动态电路的经典法
求解步骤：
△
(1)分析电路情况，求得待求电量的初始值； (2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程； (3)求解一阶常系数微分方程，得出待求量。
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(2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。 例 + _US K R C
初始值的确定：
假设换路时刻是 t = 0
步骤一： t
0
iL (0) ； ，求 uC (0) 、
，画出等效图；
步骤二： t
0
uC (0 ) uC (0 ) C替代成U =u (0-)的电压源； 0 c iL (0 ) iL (0 ) L替代成I0=iL(0-)的电流源。
步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
等效图原则： 1 C电压源: U0=uc(0+) L电压源: I0=il(0+)；
2 开关处在换路后位置。
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步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
① 一阶微分方程解的结构分析
dx Ax Bw dt
其解为： x(t ) x p (t ) xh (t )
x p (t ) 非齐次方程的特解 ; xh (t ) 对应齐次方程的通解 。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
② 非齐次方程特解

4.
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例：C充电过程
(t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态:
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态:
uC
–
(t →) R + Us
i
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0
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i
t1 新的稳定状态 t
pA
xh (t ) Ke
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At
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(3)求解一阶常系数微分方程。
xh (t ) Ke
则非齐次通解： x(t )
A
t
A At
x() Ke
t t0 : x(t0 ) X 0 x() Ke
求得K，从而 求得通解。
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A At0

1 0 t = 0+时刻： iL (0 ) iL (0 ) 0 u ( )d L

1 t iL (0 ) u ( )d L 0 0
磁链 守恒
当u()为有限值时：
=L iL
iL (0+) = iL (0－)
L (0＋)= L (0－)
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结论：
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 目录 上页 下页 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
x p (t )
百度文库
的求取
特解形式与输入函数是一致的。 t =＋∞：求出特解 xp(t)=x(+∞)。 新的稳态
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(3)求解一阶常系数微分方程。
③ 齐次方程通解
xh (t )
的求取
设
xh (t ) Ke
pt
dx Ax 0 dt
p t
pt
pKe AKe 0
则
p A0
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步骤一：换路前 t=0- ，求 uc(0-) 或 iL(0-) ;
i1(t) R R11=4KΩ S(t=0) i2(t) R22=2KΩ R
+ US US=12V _
+ uc(t) _
ic(t)
C
u C (0 ) u C (0 ) 12V
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三、初始值及换路定则
—— 换路前旧稳态终了瞬间 设：t=0 时换路

——换路后暂态起始瞬间

初始值——初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶 导数的值。 换路定则——在换路瞬间，电容上的电压、电 感中的电流不能突变。
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )