第26章__二次函数

第二十六章 二次函数测试1 二次函数y ＝ax 2及其图象学习要求1．熟练掌握二次函数的有关概念．2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象．课堂学习检测一、填空题1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．2．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______． 6．写出下列二次函数的a ，b ，c ．(1)23x x y -= a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝πx 2a ＝______，b ＝______，c ＝______．(3)105212-+=x x ya ＝______，b ＝______，c ＝______． (4)2316x y --= a ＝______，b ＝______，c ＝______．7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( )；(2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．9．已知函数,232x y -=不画图象，回答下列各题．(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______．10．画出y ＝－2x 2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．综合、运用、诊断一、填空题11．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答：(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大． 函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称． 函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______． 函数______有最小值为______．12．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．13．已知函数y ＝(m 2－3m )122--m mx 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 14．已知函数y ＝m 222+-m m x＋(m －2)x ．(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 15．已知函数y ＝m mm x+2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下．二、选择题16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y17．在二次函数①y ＝3x 2；②2234;32x y x y ==③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )A ．①＞②＞③B ．①＞③＞②C ．②＞③＞①D ．②＞①＞③ 18．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 19．下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点三、解答题20．函数y ＝(m －3)232--m mx 为二次函数．(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．拓展、探究、思考21．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； (3)求△OBC 的面积．22．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标； (3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．测试2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 的性质及图象．课堂学习检测一、填空题1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a (x －m )2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m xm y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______． 4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．2212+=x y 与2122+=x yC ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2与y ＝x 2－2 9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y三、解答题10．在同一坐标系中画出函数=+=221,321y x y 3212-x 和2321x y =的图象，并说明y 1，y 2的图象与函数221x y =的图象的关系．11．在同一坐标系中，画出函数y 1＝2x 2，y 2＝2(x －2)2与y 3＝2(x ＋2)2的图象，并说明y 2，y 3的图象与y 1＝2x 2的图象的关系．综合、运用、诊断一、填空题12．二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x ＝______时，y 有最值______；当a ＞0时，若x ______时，y 随x 增大而减小． 13解析式 开口方向顶点坐标对称轴y ＝(x －2)2－3 y ＝－(x ＋3)2＋25)5(212-+-=x y1)25(312+-=x yy ＝3(x －2)2 y ＝－3x 2＋214．抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点，其坐标是______．当x ＝______时，y 的最______值是______；当x ______时，y 随x 增大而增大．15．将抛物线231x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．二、选择题16．一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－2(x －1)2＋3 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3 D ．y ＝－(2x －1)2＋317．要得到y ＝－2(x ＋2)2－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2作如下平移( )A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位三、解答题18．将下列函数配成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．(1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝－2x 2－5x ＋7(3)y ＝3x 2＋2x (4)y ＝－3x 2＋6x －2(5)y ＝100－5x 2 (6)y ＝(x －2)(2x ＋1)拓展、探究、思考19．把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．测试3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象．课堂学习检测一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③ D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4) 10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( ) A ．)21,1(- B ．)21,1(- C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )三、解答题12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0；(8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．综合、运用、诊断一、填空题13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．二、选择题20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞023．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0，∆＝0B ．b ＜0，c ＞0，∆＝0C ．b ＜0，c ＜0，∆＝0D ．b ＞0，c ＞0，∆＞024．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )三、解答题27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称； (2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程；(2)x 取何值时，y 随x 增大而减小? x 取何值时，y 随x 增大而增大?(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0? (5)当y 取何值时，－2≤x ≤2?拓展、探究、思考29．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和y 2＝mx ＋n 的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点(0，3)．(1)求函数y 1和y 2的解析式，并画出函数示意图； (2)x 为何值时，①y 1＞y 2；②y 1＝y 2；③y 1＜y 2．30．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)测试4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式的确定学习要求能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式． 一、填空题1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________ __________；③双根式__________________________(b 2－4ac ≥0)．2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋a 2－1的图象经过点(1，0)，则a 的值为______．3．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,23( 则它与x 轴的另一个交点为______．二、解答题4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，求：(1)对称轴方程____________； (2)函数解析式____________；(3)当x ______时，y 随x 增大而减小； (4)由图象回答：当y ＞0时，x 的取值范围______； 当y ＝0时，x ＝______；当y ＜0时，x 的取值范围______．5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度2求抛物线的解析式．为,2综合、运用、诊断11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，6)，求y1，y2的函数解析式．拓展、探究、思考15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )A ．ac ＋1＝bB ．ab ＋1＝cC ．bc ＋1＝aD ．c ba=+1 16．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )17．如图，在直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (0，2)，O (0，0)，B (4，0)，把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD ．(1)求C ，D 两点的坐标；(2)求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式； (3)设(2)中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为M (2，1)，试判断△PMB 是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．测试5 用函数观点看一元二次方程学习要求1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．2．掌握并运用二次函数y ＝a (x －x 1)(x －x 2)解题．课堂学习检测一、填空题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________ ____________．2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．二、选择题7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )A．没有实根B．只有一个实根C．有两个实根，且一根为正，一根为负D．有两个实根，且一根小于1，一根大于28．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )A．只有一个B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个D．无交点9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，∆＞0 B．a＞0，∆＜0C．a＜0，∆＞0 D．a＜0，∆＜0三、解答题11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．12．对称轴平行于y 轴的抛物线过A (2，8)，B (0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．综合、运用、诊断一、填空题13．已知直线y ＝5x ＋k 与抛物线y ＝x 2＋3x ＋5交点的横坐标为1，则k ＝______，交点坐标为______．14．当m ＝______时，函数y ＝2x 2＋3mx ＋2m 的最小值为⋅98二、选择题15．直线y ＝4x ＋1与抛物线y ＝x 2＋2x ＋k 有唯一交点，则k 是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1 16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若ac ＜0，则其图象与x 轴( )A ．有两个交点B ．有一个交点C ．没有交点D ．可能有一个交点17．y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 值为( )A ．0B ．－1C ．2D ．41 18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a )，与x 轴交点坐标为(b ，0)和(－b ，0)，若a ＞0，则函数解析式为( )A ．a x bay +=2 B ．a x b a y +-=22C ．a x b a y --=22D ．a x b a y -=2220．若m ，n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两个根，且a ＜b ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b三、解答题21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如(1)(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______．①223,02121<<<<-x x ②252,21121<<-<<-x x③252,02121<<<<-x x④223,21121<<-<<-x x 22．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?23．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m(1)有公共点；(2)没有公共点．拓展、探究、思考24．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求m 的取值范围．(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．测试6 实际问题与二次函数学习要求灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．课堂学习检测1．矩形窗户的周长是6m ，写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象．2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=)综合、运用、诊断4．如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；3)求第8个月公司所获利润为多少万元?拓展、探究、思考8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．测试7 综合测试一、填空题1．若函数y＝x2－mx＋m－2的图象经过(3，6)点，则m＝______．2．函数y＝2x－x2的图象开口向______，对称轴方程是______．3．抛物线y＝x2－4x－5的顶点坐标是______．4．函数y＝2x2－8x＋1，当x＝______时，y的最______值等于______．5．抛物线y＝－x2＋3x－2在y轴上的截距是______，与x轴的交点坐标是____________．6．把y＝2x2－6x＋4配方成y＝a(x－h)2＋k的形式是_______________．7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．(1)对称轴方程为____________；(2)函数解析式为____________；(3)当x______时，y随x的增大而减小；(4)当y＞0时，x的取值范围是______．8．已知二次函数y＝x2－(m－4)x＋2m－3．(1)当m＝______时，图象顶点在x轴上；(2)当m＝______时，图象顶点在y轴上；(3)当m＝______时，图象过原点．二、选择题9．将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 10．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是( )A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定11．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )A．4和－3 B．5和－3 C．5和－4 D．－1和4 12．已知函数y＝a(x＋2)和y＝a(x2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )13．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc，b2－4ac，a －b＋c，a＋b＋c，2a－b，9a－4b中，值小于0的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个14．若b＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于( )A．251+-B．－1 C．251--D．1三、解答题15．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＞0，c＞0，问：(1)抛物线的开口方向?(2)抛物线与y轴的交点在x轴上方还是下方?(3)抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧?(4)抛物线与x轴是否有交点?如果有，写出交点坐标；(5)画出示意图．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．(试用两种不同方法)17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．18．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．19．如图，从O 点射出炮弹落地点为D ，弹道轨迹是抛物线，若击中目标C 点，在A测C 的仰角∠BAC ＝45°，在B 测C 的仰角∠ABC ＝30°，AB 相距,km )31( ，OA ＝2km ，AD ＝2km ．(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线对称轴和炮弹运行时最高点距地面的高度．20．二次函数y 1＝ax 2－2bx ＋c 和y ＝(a ＋1)·x 2－2(b ＋2)x ＋c ＋3在同一坐标系中的图象如图所示，若OB ＝OA ，BC ＝DC ，且点B ，C 的横坐标分别为1，3，求这两个函数的解析式．答案与提示第二十六章 二次函数测试11．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ，常数，a ． 2．抛物线，y 轴，(0，0)． 3．(0，0)，y 轴，上，下． 4．减小，增大，x ＝0，小． 5．增大，减小，x ＝0，大． 6．(1).0,3,1- (2)π，0，0， (3),10,5,21- (4).6,0,31--7．越小，越大．8．(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．9．(1)向下，(2)y 轴．(3)(0，0)．(4)减小．(5)＝0(6)＝0，大，0． 10．略．11．(1)②、③；①、④．(2)③；②．(3)①、④；③．(4)①，0；④，0． 12．(1)a ≠0，(2)a ＝0且b ≠0，(3)a ＝c ＝0且b ≠0． 13．y ＝4x 2；(0，0)；x ＝0；向上． 14．(1)2；y ＝2x 2；抛物线；一、二，(2)0；y ＝－2x ；直线；二、四． 15．－2或1；1；－2．16．C 、B 、A ． 17．C ． 18．D ． 19．C ． 20．(1)m ＝4，y ＝x 2；(2)m ＝－1，y ＝－4x 2．21．(1)a ＝－1，b ＝－1；(2));2,2().2,2(---C B(3)S △OBC ＝22． 22．(1)241x y =； (2)B (－2，1)；(3)S △OAB ＝2； (4)设C 点的坐标为),41,(2m m 则.221|141|4212⨯=-⨯⨯m 则得6±=m 或.2±=m∴C 点的坐标为).21,2(),21,2(),23,6(),23,6(-- 测试21．(1)(0，0)，y 轴；(2)(0，c )，y 轴； (3)(m ，0)，直线x ＝m ．2．m ＝－13．(0，0)，y 轴，x ≤0，x ＞0，0，小，0． 4．向下，相同，(0，0)，y 轴．5．(0，3)，y 轴，x ≤0，0，小，3，上，3．6．向上，(2，0)，直线x ＝2，x ≥2，2，小，0，右，2． 7．C ． 8．D ． 9．C ． 10．图略，y 1，y 2的图象是221x y =的图象分别向上和向下平移3个单位．11．图略，y 2，y 3的图象是把y 1的图象分别向右和向左平移2个单位． 12．(h ，k )，直线x ＝h ；h ，k ，x ≤h ． 131415．.52312)3(3122+-=+-=x x x y 16．B ． 17．D ．18．(1)y ＝(x ＋3)2＋1，顶点(－3，1)，直线x ＝－3，最小值为1．(2),881)45(22++-=x y 顶点),881,45(-直线,45-=x 最大值为⋅881(3),31)31(32-+=x y 顶点),31,31(--直线,31-=x 最小值为⋅-31(4)y ＝－3(x －1)2＋1，顶点(1，1)，直线x ＝1，最大值为1．(5)y ＝－5x 2＋100，顶点(0，100)，直线x ＝0，最大值为100． (6),825)43(22--=x y 顶点),825,43(-直线,43=x 最小值为⋅-82519．(1)；5,1,21-===k h a (2)开口向上，直线x ＝1，顶点坐标(1，－5)．测试31．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=abx a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,222．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)． 5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x 6．±2． 7．右，3，上，4．8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ．12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)；(3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)； (4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象； (6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0； 当－3＜x ＜1时，y ＜0； (8)x ＝－1时，y 最小值＝－8； (9)－8≤y ＜10； (10)S △＝12．13．(1)b ＝c ＝0；(2)c ＝0；(3)b ＝0；(4)b 2－4ac ＝0． 14．原． 15．2，y ＝2x 2－3x ． 16．4． 17．－1． 18．1． 19．一、二、三．20．C. 21．B ． 22．D ． 23．B ． 24．C ． 25．B ． 26．C ． 27．(1)k ＝0；(2)k ＝－2． 28．,2)1(212+--=x y ①顶点(1，2)，直线x ＝1； ②x ≥1，x ＜1； ③x ＝1，y 最大＝2；④－1＜x ＜3时，y ＞0；x ＜－1或x ＞3时y ＜0；x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；.225≤≤-y ⑤ 29．(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝3x ＋1．(2)①当－2＜x ＜1时，y 1＞y 2．②当x ＝－2或x ＝1时，y 1＝y 2． ③当x ＜－2或x ＞1时y 1＜y 2． 30．①，④．测试41．①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．.2± 3．).0,211(4．(1)x ＝－1； (2)y ＝x 2＋2x －3；(3)x ≤－1； (4)x ＜－3或x ＞1，x ＝－3或x ＝1，－3＜x ＜1．5．.421212+--=x x y 6．.438342+--=x x y7．y ＝－2(x －2)2＋4即y ＝－2x 2＋8x －4．8．y ＝x 2－2x －3，点B (0，3)不在图象上． 9．.1212x x y +-= 10．y ＝x 2＋4x ＋2． 11．y ＝－x 2＋4x ． 12．y ＝x 2－2x －3． 13．y ＝－2x 2＋4x ＋4．14．.42,25321221+=++=x y x x y15．A ． 16．B ．17．解：(1)由旋转的性质可知：OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4．∴C 、D 两点的坐标分别是C (－2，0)，D (0，4)． (2)设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++.4,024,0416c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.4,1,21c b a∴所求抛物线的解析式为.4212++-=x x y (3)如图，△PMB 是钝角三角形，图中，PH 是抛物线=++-=4212x x y 29)1(212+--x 的对称轴．M 、P 点的坐标分别为).29,1(),1,2(P M ∴点M 在PH 的右侧，∵∠PHB ＝90°，∠1＞90°，∠PMB ＞∠1， ∴∠PMB >90°，则△PMB 为钝角三角形．测试5 1．≥0，y ＝a (x －x 1)(x －x 2)． 2．⋅493．31->m 且m ≠0． 4．0． 5．(－1，0)． 6．一．7．D ． 8．B ． 9．C ． 10．D ． 11．y ＝2x 2＋2x －4．12．45665182-+-=x x y 或y ＝2x 2＋2x －4． 13．4，(1，9)． 14．⋅9815．C ． 16．A ． 17．C ． 18．D ． 19．B ． 20．A ．21．(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③． 22．⋅<21m 23．由x 2－x －m ＝0(1)当∆＝1＋4m ≥0，即41-≥m 时两线有公共点． (2)当∆＝1＋4m ＜0，即41-<m 时两线无公共点． 24．(1) ∆＝(m ＋2)2＞0，∴m ≠－2；(2)m ＝－1，∴y ＝－x 2＋5x －6．测试61．y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)图略． 2．5小时．3．(1).11212++-=x x y (2)17米． 4．(1)设花圃的宽AB ＝x 米，知BC 应为(24－3x )米，故面积y 与x 的关系式为y ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x ．当y ＝45时，－3x 2＋24x ＝45，解出x 1＝3，x 2＝5． 当x 2＝3时，BC ＝24－3×3＞10，不合题意，舍去； 当x 2＝5时，BC ＝24－3×5＝9，符合题意． 故AB 长为5米．(2)能围成面积比45m 2更大的矩形花圃． 由(1)知，y ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48．103240≤-<x ，.8314<≤∴x 由抛物线y ＝－3(x －4)2＋48知，在对称轴x ＜4的左侧，y 随x 的增大而增大，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小．∴当314=x 时，y ＝－3（x －4)2＋48有最大值，且最大值为),m (3246)4314(34822=--此时，,m 314=AB BC ＝10m ，即围成长为10米，宽为314米的矩形ABCD 花圃时，其最大面积为.m 324625．(1)y ＝－3x 2＋252x －4860；(2)当x ＝42时，最大利润为432元． 6．解：(1)由题意得y ＝(80＋x )(384－4x )＝－4x 2＋64x ＋30720． (2)∵y ＝－4x 2＋64x ＋30720＝－4(x －8)2＋30976， ∴当x ＝8时，y 有最大值，为30976．即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．7．解：(1)设s 与t 的函数关系式为x ＝at 2＋bt ＋c ，图象上三点坐标分别为(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++∴.5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a .2212t t s -=∴(2)把s ＝30代入,2212t t s -=解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)．即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入,2212t t s -=得7月末的累积利润为s 7＝10．5(万元)． 把t ＝8代入,2212t t s -=得8月末的累积利润为s 8＝16(万元)． ∴s 8－s 7＝16－10.5＝5.5(万元)． 即第8个月公司获利润5.5万元．8．(1)y ＝x 2－2x －3； (2)AD ⊥BC ；(3)存在，M 1(1，－2)，N 1(4，－3)．或M 2(0，－3)，N 2(3，－4)．测试7 1．⋅=21m 2．向下，x ＝1． 3．(2，－9)． 4．2，小，－7． 5．－2，(1，0)、(2，0)． 6．⋅--=21)23(22x y 7．(1);23=x (2)y ＝x 2－3x －4；(3);23≤x (4)x ＜－1或x ＞4． 8．(1)m ＝14或2； (2)m ＝4； (3)⋅=23m 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．C ． 13．C ． 14．D ． 15．(1)开口向下； (2)上方； (3)右侧；(4)有，).0,24(),0,24(22aacb b a ac b b ----+- (5)略． 16．⋅+--=3534312x x y 17．y ＝x 2＋2x －3．18．23212--=x x y 或⋅+-=23272x x y 19．作CE ⊥x 轴于E ，设CE ＝x 千米．∵∠CAB ＝45°，∴CE ＝AE ＝x ，在Rt △BCE 中，,33,30x CE EB CBA ==∴=∠ AB ＝AE ＋EB ，即,331x x +=+解得x ＝1，∴OE ＝OA ＋AE ＝2＋1＝3． 由C (3，1)，D (4，0)，O (0，0)，设y ＝a (x －4)(x －0)，把(3，1)代入上式：1＝a (3－4)(3－0)，解得),40)(0)(4(31,31≤≤---=∴-=x x x y a 即2)2(31--=x y34+，抛物线对称轴：x ＝2，炮弹运行最高点时距地面高度是34千米．20．⋅+-=+-=310432,31312221x x y x y第二十六章 二次函数全章测试一、填空题1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______．5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______．6．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________． 二、选择题7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( ) A ．(－5，1) B ．(1，－5) C ．(－1，1) D ．(－1，3)8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( ) A ．ab x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝39．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜410．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴 11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＞nC ．k ＝nD ．h ＞0，k ＞012．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 13．下列命题中，正确的是( )①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根． A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④三、解答题14．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a (x －k )2＋h 的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么? 16．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，。