【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：模块综合检测(含答案解析)
2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2-1(2021-2022学年)
模块综合检测（时间:120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“(2x－１)x=０”是“x=0"的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.由（2x－１）x＝0可得x＝错误!未定义书签。
或ｘ＝0。
因为“x＝错误!未定义书签。
或x=0”是“x=0”的必要不充分条件，所以“（2ｘ-1）x=０”是“x＝0”的必要不充分条件.２.命题“对任意的x∈Ｒ，2x3-3ｘ2+１≤0”的否定是(）A．不存在x０∈R,２x错误!未定义书签。
－3x错误!＋1≤０Ｂ.存在x０∈R,2x错误!未定义书签。
－3x错误!+1≤０Ｃ.存在x０∈R，2x错误!-3x错误!+1>0D.对任意的ｘ∈R,２ｘ3-3x2+1〉０解析：选Ｃ。
先变换量词,再否定结论，即“存在x0∈Ｒ，2x错误!-3x错误!+１>0"．3．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈错误!,x>sin xＢ．∃x0∈R,sｉn x0+ｃｏs x０=2C．∀x∈R,3x〉0D.∃ｘ0∈R,lg x0＝0解析：选Ｂ。
因为sin x0+cos x0=错误!未定义书签。
sin错误!未定义书签。
≤错误!,所以Ｂ错误,选B．４.已知空间四边形ABCD,连接ＡC、BＤ,设G是ＣD的中点,则错误!＋错误!未定义书签。
（错误!+错误!未定义书签。
）等于（)A。
错误!ﻩ B.错误!C.错误!D．错误!错误!解析:选Ａ.如图所示.因为G是CＤ的中点，所以错误!未定义书签。
（错误!＋错误!)＝错误!未定义书签。
,所以错误!未定义书签。
＋＼f（1，２)（错误!未定义书签。
＋错误!）＝错误!.5.与双曲线＼f(y2,5）-ｘ2＝1共焦点，且过点（1,2)的椭圆的标准方程为（）Ａ。
错误!未定义书签。
＋y 22=1 ﻩ B.x 210＋ｙ2２=1 Ｃ。
2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1 模块综合评价 Word版含答案
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关命题的说法正确的是( ) A ．“若x >1，则2x>1”的否命题为真命题B ．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C ．“若平面对量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题为假命题D ．命题“若x >1，则x >a ”的逆命题为真命题，则a >0解析：A 选项中，由于2x ≤1时，x ≤0，从而否命题“若x ≤1，则2x≤1”为假命题，故A 选项不正确；B 选项中，sin β＝0时，cos β＝±1，则逆命题为假命题，故B 选项不正确；D 选项中，由已知条件得a ≥1，故D 选项不正确．答案：C2．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故为充要条件． 答案：C3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0) B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1) C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1) D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析：若l ∥α，则b ·n ＝0.将各选项代入，知D 正确． 答案：D4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案：B5．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607 D.657答案：D6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°解析：由于|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. 故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 答案：A7．抛物线y 2＝－ax 的准线方程为x ＝－2，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．8 D ．－8答案：D8．三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 1|－|PF 2|＝±6，所以|PF 2|＝9或－3(舍去)． 答案：B10．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.255 C.155 D.105答案：D11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1)D ．(0，1)解析：由于抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)， 所以p2＝1，所以该抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：B12．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x≥2，则綈p ：_____________．解析：首先将量词符号转变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2.答案：∃x ∈R(x ≠0)，x ＋1x＜214．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：由双曲线方程知，右焦点为(2，0)，直线x ＝2与渐近线y ＝±3x 的交点为A (2，23)，B (2，－23)，所以|AB |＝4 3.答案：4 315．在四周体O ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．已知双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率等于________．答案：54或53三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a32＝0的解集只有一个子集，若“p ∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”也为真，求实数a 的取值范围．解：当p 为真时，应有a ＞1；当q 为真时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32＜0，解得1＜a ＜32.由于“p ∨q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真．又“(綈p )∨(綈q )”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32，综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 18．(本小题满分12分)已知两点M (－2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )． 所以|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)， 代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即（x ＋2）2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x ， 故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .19．(本小题满分12分)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． 解：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 依据直角的不同位置，分两种状况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即|PF 1|2＝(6－|PF 1|)2＋20，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，故|PF 1||PF 2|＝72； 若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.20.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的全部棱长都为2，D 为CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)求二面角A A 1D B 的余弦值．(1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO .由于△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .由于在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)， 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)． 由于AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0，AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1. 又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . (2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)．由于n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量． 由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量．cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64， 故二面角A A 1D B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，所以b ＝4.又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，所以a ＝5.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，得x 1＋x 2＝3. 设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)， 则x ′＝x 1＋x 22＝32，y ′＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.22．(本小题满分12分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②.图① 图② (1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成的角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． (1)证明：由于AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C .又由于A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)解：如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，23)，D (0，2，0)，M (0，1，3)，B (3，0，0)，E (2，2，0)． 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3，0，－23)，BE →＝(－1，2，0)， 所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，所以n ＝(2，1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. 由于CM →＝(0，1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)解：线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0，2，－23)，DP →＝(p ，－2，0)， 所以⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p3，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0. 解得p ＝－2，与p ∈[0，3]冲突．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．。
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：2.4.1抛物线及其标准方程(含答案解析)
课时跟踪检测（十二）抛物线及其标准方程层级一学业水平达标1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A．3B．6C．148D．124解析：选C将方程化为标准形式是x2＝112y，因为2p＝112，所以p＝124．故到焦点的距离最小值为1 48．2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为() A．B．1C．2 D．4解析：选C∵抛物线y2＝2px的准线x＝－p2与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－p2＝－1，即p＝2．3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A．72B．52C．3 D．2解析：选C过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′｜＝3．故选C．4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：选A由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()。
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：2.3.2 双曲线的简单几何性质(含答案解析)
课时跟踪检测（十一） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k<0，∴a 2＝4，b 2＝－k ． ∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k<0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 21＋x 2a 21＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215． 所以S △AFB ＝12|AF||y B |＝12(c －a)·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F(3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF 1|＝2，所以|PF|＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF 1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m)2＝5．故m ＝±1．层级二 应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b ．设b ＝k(k>0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e≥2． 答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b·0＋a·0－ab|a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4． 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43．又b>a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2，解得－2<k<2且k≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2． 因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D(0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62．由(1)，可知－2<k<2且k≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：2.2.2 第一课时 椭圆的简单几何性质(含答案解析)
课时跟踪检测（八） 椭圆的简单几何性质层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |．又∵PO ∥BF ，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m<n<0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m)D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m<n<0，∴0<－n<－m ． ∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－＝n －m ．6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a>0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1．解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A(m ，n)． 由1F A ＝5F B 2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB|＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x ，y)，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a)[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x≠a ，x≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x<a ，∴0<ab 2a 2－b2<a ，即2b 2<a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e>22． 又∵0<e<1，∴22<e<1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k<9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1．4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设E(0，m)，由PF ∥OE ，得|MF||OE|＝|AF||AO|，则|MF|＝－a．①又由OE ∥MF ，得12|OE||MF|＝|BO||BF|，则|MF|＝＋2a．②由①②得a －c ＝12(a ＋c)，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13．故选A ．5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB|＝a 2＋b 2，|BF|＝a ，|AF|＝a ＋c ， 由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c)2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0， 即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52．因为e>0，所以e ＝5－12． 答案：5－126．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M(x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d≤10．答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m(m>0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m －mm ＋3＝＋m ＋3>0，可知m>mm ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝＋m ＋3，由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B|．(1)若|AB|＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B|，|AB|＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B|＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B|＝k ，则k>0且|AF 1|＝3k ，|AB|＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22．。
高中数学人教版选修2-1模块综合检测(一) Word版含答案
模块综合检测（一）(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．命题“∃∈－＞”的否定是( )．∃∈－≤．∀∈－＞．∀∈－≤．∃∈－＞解析：选由特称命题的否定的定义即知．．已知条件甲：＞；条件乙：＞，且＞，则( )．甲是乙的充分但不必要条件．甲是乙的必要但不充分条件．甲是乙的充要条件．甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选甲乙，而乙⇒甲．．对∀∈，则方程＋＝所表示的曲线不可能的是( )．两条直线．圆．椭圆或双曲线．抛物线解析：选分＝及＞且≠，或＜可知：方程＋＝不可能为抛物线．．下列说法中正确的是( )．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真．“＞”与“＋＞＋”不等价．“＋＝，则，全为”的逆否命题是“若，全不为，则＋≠”．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选.．已知空间向量＝(，)，＝(－)，若－与垂直，则等于( )())())解析：选由已知可得－＝()－(－，)＝(，－)．又∵(－)⊥，∴－＋－＋＝.∴＝，＝.∴＝＝()).．(山东高考)已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选由题意知⊂α，⊂β，若，相交，则，有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则，的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选.．已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则该双曲线的方程是( )－＝－＝－＝－＝解析：选由已知得＝，＝，∴＝，＝，且焦点在轴，所以方程为－＝.．若直线＝与双曲线－＝(＞，＞)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) ．(，) ．(，＋∞)．(，] ．[，＋∞)解析：选双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为＝.由条件知，应有＞，故＝＝＝＞.．已知(－)，()是椭圆＋＝的两个焦点，点在椭圆上，∠＝α.当α＝时，△面积最大，则＋的值是( )．．．．解析：选由△＝·＝，知点为短轴端点时，△面积最大．此时∠＝，得＝＝，＝＝，故＋＝.．正三角形与正三角形所在平面垂直，则二面角的正弦值为( )解析：选取中点，连接，.建立如图所示坐标系，设＝，则，，.∴＝，＝，＝.由于＝为平面的一个法向量，可进一步求出平面的一个法向量＝(，－，)，。
高中数学(人教B版 选修2-1)模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(教师用书独具)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“∉或∉”的否定形式是( )．若∉，则∉．∈或∈．∉且∉．∈且∈【解析】“或”的否定为“綈且綈”，正确．【答案】．已知∈，则“＜”是“＜”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】∵＜⇔(－)＜⇔＜＜.∴“＜”是“＜”的必要不充分条件．【答案】．若椭圆＋＝(＞＞)的离心率为，则双曲线－＝的离心率为( )【导学号：】．．【解析】由题意，－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率＝＋＝＋＝，∴＝.【答案】．已知空间向量＝(，)，＝(－，)，则－的最小值为( )．．．【解析】－＝≥，故选.【答案】．椭圆＋＝与椭圆＋＝有( )．相同短轴．相同长轴．相同离心率．以上都不对【解析】对于＋＝，因>或<，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此，，均不正确，故选.【答案】．长方体-中，＝，＝＝，则二面角--为( )．．【解析】以为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为＝()，平面的一个法向量为＝(，－)，∴〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角--为锐角，即π－π＝，故选.【答案】．命题“∀∈[]，－≤”为真命题的一个充分不必要条件是( )．≥．≤．≥．≤【解析】∵∀∈[]，≤≤，∴要使－≤为真，则≥，即≥，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有符合，故选.【答案】．已知：<，：(＋)有意义，则綈是的( )．充分不必要条件．充要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件【解析】不等式<的解集为{<－}，则綈：≥－：>－.故綈，⇒綈，故选.【答案】．如图，过抛物线＝(>)的焦点的直线，分别交抛物线的准线、轴、抛物线于，，三点，若＝，那么直线的斜率是( )图。
(人教版)高中数学选修2-1检测模块综合检测A Word版含答案
模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“存在实数，使＞”的否定是( )．对任意实数，都有＞．不存在实数，使≤．对任意实数，都有≤．存在实数，使≤解析：利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数，使＞”的否定是“对任意实数，都有≤”．故选.答案：．在命题“若∈，()＝，则函数()是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( ) ．．．．解析：原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题．答案：．已知直线⊥平面α，直线⊂平面β，则“∥”是“α⊥β”的( )．充要条件．必要条件．充分条件．既不充分也不必要条件解析：⇒⇒α⊥β，∴“∥”是“α⊥β”的充分条件，⇒∥.答案：．已知命题：若＋＝(，∈)，则，全为；命题：若>，则<.给出下列四个复合命题：①且；②或；③¬；④¬.其中真命题的个数是( )．．．．解析：命题为真，命题为假，故或真，¬真．答案：．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且＝，＝－＋－，则点的坐标为( )．(－，－) ．(－，，－)．(，－，－) ．(－)解析：设点的坐标为(，，)，则有＝(，，－)＝(－，－)，∴(\\(＝－，＝，－＝，))解得(\\(＝－，＝，＝.))故选.答案：．如下图所示，正四棱柱－中，＝，则异面直线与所成角的余弦值为( )解析：连接，则∥，∠为与所成角，不妨设＝，则＝∠＝＝＝.答案：．以－＝－的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：双曲线－＝－，即－的焦点为(，±)，顶点为(，±)．所以对椭圆＋＝而言，＝，＝.∴＝，因此方程为＋＝.答案：．如图，在锐二面角α－－β的棱上有两点，，点，分别在平面α、β内，且⊥，∠＝°，＝＝＝，与所成角为°，则的长度为( )－．解析：＝＝＝＝＝－.答案：．设，是双曲线－＝(>)的两个焦点，点在双曲线上，且满足：·＝，·＝，则的值为( )．．解析：双曲线方程化为－＝(>)，∵·＝，∴⊥.。
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：模块综合检测(含答案解析)
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q”是真命题B ．“p 或q”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q”是假命题，选B ．3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，∴1a＝－8， ∴a ＝－18．4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a>b”与“a ＋c>b ＋c”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D ． 5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a|等于( ) A ．5 32B ．212C ．372D ．3 52解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b)⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0． ∴2n ＝5，n ＝52．∴|a|＝1＋4＋254＝3 52．6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件； ②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件； ③“p 或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件； ④“綈p”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真，故③正确．7．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)， 故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m>0，n>0且m ＋n ＝c 2＝1．① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316． 8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1， 5 ]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x ．由条件知，应有ba >2，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>5．9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π3， 得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15．10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A-BD-C 的正弦值为( ) A ．55B ．33C ．255D ．63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO ．建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0．∴OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0．由于OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，∴sin 〈n ，OA 〉＝255．11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54解析：选B 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a2＝1＋14＝54， 所以e 2＝52． 12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A|＝2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝2|F 2A|，解得|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝4a ，又由已知可得ca ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A|2＋|F 1F 2|2－|F 1A|22|F 2A|·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a×4a ＝14．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A(1,2)与动点P(x ，y)满足OP ―→·OA―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由OP ·OA ＝4得x×1＋y×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0．答案：x ＋2y －4＝014．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a≤22． 答案：[－22，2 2 ]15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12． ∴e ＝ca ＝2．答案：216．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(2,0,1)，F(1,2,0)，∴EF＝(－1,2，－1)．又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD ＝(0,2,0)，cos 〈EF ，OD 〉＝4 6×2＝63，故所求角的正弦值为63． 答案：63三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(綈p)∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m>2．q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m≤3． ∵(綈p)∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1≤m≤3，即1≤m≤2．∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A-A 1C-B 的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1． 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C ．(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ． ∵AB ⊥A 1C ，AD∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A-A 1C-B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62．在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴二面角A-A 1C-B 的正切值为63． 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ． 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ．如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A 1(0,0，3)，∴AB ＝(1,0,0)，A C 1＝(0，3，－3)． ∵AB ·A C 1＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0，∴AB ⊥A 1C ．(2)取m ＝AB＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．由(1)知：BC＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BC ＝0，n·A C1 ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z ．令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n|＝3×1＋1×0＋1×0 3 2＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63． ∴二面角A-A 1C-B 的正切值为63．19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M(a ，－a,0)，E(0，－2a ，a)，D(2a,0,2a)，所以CM ＝(a ，－a,0)，EM＝(a ，a ，－a)，所以CM ·EM＝a×a ＋(－a)×a ＋0×(－a)＝0， 所以CM ⊥EM ．(2) CE ＝(0，－2a ，a)，CD＝(2a,0,2a)，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM ，n 〉＝CM ·n| CM ||n|＝a× －2 ＋ －a ×1＋0×22a×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°．20．(本小题满分12分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x轴于D ，动点Q 满足DQ ＝23DP．(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E(1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使OE ＝12(OM＋ON)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x 0，y 0)，Q(x ，y)，依题意，得点D 的坐标为D(x 0,0)，DQ＝(x －x 0，y)，DP＝(0，y 0)，又DQ ＝23DP ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ， ∵点P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1．(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)满足OE ＝12(OM ＋ON )，则E(1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2 x 1＋x 2 9＋ y 1－y 2 y 1＋y 24＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，∴椭圆上存在点M ，N 满足OE ＝12(OM ＋ON)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0．21．(本小题满分12分)如图，已知点E(m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ．由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －1 ，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋1，2k 1． 同理点N(2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM|·|EN|＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12· 2k 21 2＋ －2k 12＝2 k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4．(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －m ，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋m ，2k 1． 同理点N ⎝⎛⎭⎫2k22＋m ，2k 2． ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m)＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA|．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得PQ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵AC ·BC ＝0，∴AC ⊥BC，∠ACB ＝90°． 又|OC －OB |＝2|BC －BA|，即|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵A(2,0)，∴C(1,1)． 又点C 在椭圆上，a ＝2， ∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝43， ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 243＝1．(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称． 设k PC ＝k(k≠0且k≠±1)，则k C Q ＝－k ， 则直线PC 的方程为y －1＝k(x －1)⇒y ＝k(x －1)＋1，① 直线CQ 的方程为y －1＝－k(x －1)⇒y ＝－k(x －1)＋1，② 将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k(k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0．③ ∵C(1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根， ∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1． k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k x P ＋x Q －2k x P －x Q ＝k·6k 2－21＋3k 2－2k －12k 1＋3k 2＝－4k 1＋3k 2－12k 1＋3k 2＝13． 而k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ＝λAB ．又|PQ |＝ x P －x Q 2＋ y P －y Q 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22 ＝160k 2 1＋3k 2 2＝1609k 2＋1k 2＋6≤2303， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33时取等号． 又|AB |＝10，∴λmax ＝230310＝233．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.4以双曲线x 24−y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x 2+y2=1B.x 2+y2=1C.x 2+y2=1D.x 2+y2=1由x 24−y 212=-1,得y 212−x 24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,2√3),(0,-2√3).∴椭圆方程为x 24+y 216=1.5如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为A 1B 1,CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记θ为异面直线PM 与D 1N 所成的角,则θ的集合是( ) A.{π2}B.{θ|π6≤θ≤π2} C.{θ|π4≤θ≤π2}D.{θ|π3≤θ≤π2}C 1D 1的中点E ,PM 必在平面ADEM 内,易证D 1N ⊥平面ADEM.D 1N 总是垂直PM.6若向量a =(1,0,z )与向量b =(2,1,2)的夹角的余弦值为23,则z=( ) A.0B.1C.-1D.2<a ,b >=a ·b |a ||b |=2=23,解得z=0.7已知向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),若a ≠b ,设|a-b |=k ,则a-b 与x 轴上的单位向量的夹角的余弦值为( ) A.x 1-x2k B.x 2-x1kC.|x 1-x 2|kD.±(x 1-x 2)ka-b =(x 1-x 2,y 1-y 2,z 1-z 2),x 轴上的单位向量可设为n =(1,0,0)或(-1,0,0),∴(a-b )·n =±(x 1-x 2).又|a-b |=k ,|n |=1,∴夹角的余弦值为±(x 1-x 2)k.8如果命题“( p )∨( q )”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( )①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧q ”是假命题 ③命题“p ∨q ”是真命题 ④命题“p ∨q ”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④“( p )∨( q )”是假命题,知 p 和 q 均为假命题⇒p 为真,q 为真,则p ∧q 为真,p ∨q 为真,则①③正确,故选A.9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( ) A.√1010B.√1717C.2√1313D.√37372c ,短轴长为2b ,由已知,得2c=2b3,故b=3c.又∵a 2=b 2+c 2=9c 2+c 2=10c 2,∴e=c =√10.10以双曲线x 24−y 25=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()A.y 2=12xB.y 2=-12xC.y 2=6xD.y 2=-6x由x 2−y 2=1,得a 2=4,b 2=5,∴c 2=a 2+b 2=9.∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0).故p=3.∴抛物线方程为y 2=12x.11设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足:PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a 的值为( ) A.2B.√52C.1D.√5双曲线方程可化为x 2−y 2=1(a>0),∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4c 2=20a.① 由双曲线定义,知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=±4√a , ② 又已知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,③由①②③,得20a-2×2=16a ,∴a=1.12过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P.设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2B.-2C.12D.-12m :y=k 1(x+2)代入x 22+y 2=1,得x 2+2k 12(x+2)2-2=0,整理,得(1+2k 12)x 2+8k 12x+8k 12-2=0. Δ=(8k 12)2-4(1+2k 12)(8k 12-2)>0, 解得k 12<12.设P 1P 2的中点P 0(x 0,y 0),则x 0=x 1+x22=-4k 121+2k 12,y 0=k 1(x 0+2)=2k 11+2k 12. ∴k 2=yx 0=2k 11+2k 12-4k 121+2k 12=-12k 1, ∴k 1·k 2=-12.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 24−y 212=1上一点M 的横坐标为3,则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 .M 的横坐标可求得M (3,±√15),双曲线的右焦点的坐标为F 2(4,0).由两点间的距离公式,得 |F 2M|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =√(3-4)2+(±√15-0)2=4.14“三角形任意两边之和大于第三边”的否定是 .,存在两边,其和小于或等于第三边15在四面体OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b ,c 表示)=12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +14b +14c .+14b +14c16曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,正确结论的序号是 .曲线C 经过原点,则当曲线C 上点P 为原点时,|PF 1||PF 2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C 关于原点对称,设曲线C 上点P 关于原点的对称点为P',则|PF 1|=|P'F 2|,|PF 2|=|P'F 1|,满足|P'F 1||P'F 2|=a 2,所以②正确;③由三角形面积公式S=12ab sin C ,得S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤1|PF 1|·|PF 2|=a 2,所以③正确.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知椭圆D :x 250+y 225=1与圆M :x 2+(y-m )2=9(m ∈R ),双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M 相切.当m=5时,求双曲线G 的方程.D :x 2+y 2=1的两个焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,且c=5.设双曲线G 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),则G 的渐近线方程为y=±b ax ,即bx ±ay=0,且a 2+b 2=25.当m=5时,圆心为(0,5),半径为r=3,于是|5a |√a 2+b =3⇒a=3,b=4.故双曲线G 的方程为x 29−y 216=1.18(12分)已知命题p :不等式|x-1|>m-1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x 是减函数,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围.|x-1|>m-1的解集为R ,所以m-1<0,m<1.又因为f (x )=-(5-2m )x 是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p :m<1,命题q :m<2. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假, 所以p 和q 一真一假.当p 真q 假时应有{m <1,m ≥2,m 无解.当p 假q 真时应有{m ≥1,m <2,1≤m<2.故实数m 的取值范围是[1,2).19(12分)已知点P (1,3),圆C :(x-m )2+y 2=92过点A (1,-3√22),点F 为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.把点A 代入圆C的方程,得(1-m )2+(-3√22)2=92,∴m=1.圆C :(x-1)2+y 2=92.当直线PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线PF 的斜率存在时,设为k , 则PF :y=k (x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF 与圆C 相切,∴√k +1=3√22.解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4,∴p2=4.∴抛物线方程为y 2=16x.(2)BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2), 设Q (x ,y ),BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-5),则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x-2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-y 216-2y+12 =-116(y+16)2+28≤28.∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-∞,28]. 20(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC=2,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角. 求证:(1)CM ∥平面PAD. (2)平面PAB ⊥平面PAD.C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角. 所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.所以D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32).所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的法向量, 则{DP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-y +2z =0,2√3x +3y =0, 所以{z =12y ,x =-√3y ,令y=2,得n =(-√3,2,1).因为n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD. (2)取AP 的中点E , 则E (√3,2,1),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB , 所以BE ⊥PA.又因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BE ⊥DA.又因为PA ∩DA=A ,所以BE ⊥平面PAD. 又因为BE ⊂平面PAB , 所以平面PAB ⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD , AD=√2,DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°. (1)求证:M 是侧棱SC 的中点; (2)求二面角S-AM-B 的余弦值的大小.D 为坐标原点,射线DA ,DC ,DS 为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A (√2,0,0),B (√2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2).设SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0), 则M (0,2λ1+λ,21+λ), 所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+λ,-21+λ).又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),<MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°, 故MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°, 即41+λ=√(√2)2+(21+λ)2+(-21+λ)2, 解得λ=1,即SM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以M 为侧棱SC 的中点.M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12).所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,-12),MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,1,1),则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此,<GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于二面角S-AM-B 的平面角, 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-√63, 故二面角S-AM-B 的余弦值为-√6.22(13分)已知椭圆x 22+y 24=1与射线y=√2x (x ≥0)交于点A ,过A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B 和点C.(1)求证:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 面积的最大值.{x 22+y 24=1,y =√2x (x ≥0)得A (1,√2).设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为-k. 直线AB 的方程为y=k (x-1)+√2, ① 直线AC 的方程为y=-k (x-1)+√2, ②将①代入椭圆方程并化简得 (k 2+2)x 2-2(k-√2)kx+k 2-2√2k-2=0.∵1和x B 是它的两个根, ∴x B =k 2-2√2k -2k 2+2,y B =kx B +√2-k=-√2k 2-4k+2√2k 2+2.同理可得x C =k 2+2√2k -2k 2+2,y C =-√2k 2+4k+2√2k 2+2∴k BC =y B -yC x B -x C=√2.BC 的方程为y=√2x+m ,代入椭圆方程并化简得4x 2+2√2mx+m 2-4=0,|BC|=√3|x 1-x 2|=√3√16-2m 22.∵A 到BC 的距离为d=|m |√3, ∴S △ABC =√m 2(16-2m 2)4≤4√2·2m 2+(16-2m 2)2=√2,当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时,上式等号成立. 故△ABC 面积的最大值为√2.。
(人教版)高中数学选修2-1检测模块综合检测B Word版含答案
模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中，真命题有( )①面积相等的三角形是全等三角形；②“若＝，则＋＝.”的逆命题；③“若>，则＋>＋”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．．个．个．个．个解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．答案：．对抛物线＝，下列描述正确的是( )．开口向上，焦点为()．开口向上，焦点为．开口向右，焦点为()．开口向右，焦点为解析：抛物线方程可化为＝，则＝，＝，焦点为，开口向上．答案：．已知命题：存在∈，使＝，命题：－＋<的解集是{<<}，下列结论：①命题“且”是真命题；②命题“且¬”是假命题；③命题“¬或”是真命题；④命题“¬或¬”是假命题．其中正确的是( )．②③．①②④．①③④．①②③④解析：∵，都是真命题，∴①②③④均正确．答案：．一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )．>，且< ．<．>，且< ．<，且<解析：一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的充要条件是(\\(－()>,()<))⇔(\\(>，<.))而<时，有(\\(>，<))或(\\(<，>.))所以必要不充分条件是<.答案：．下列双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是( )－＝和－＋＝－＝和－＋＝．－＝和－＝－＝和－＝答案：．已知＝(λ＋λ)，＝(μ－)，若∥，则λ与μ的值分别为( )，．．－，－．－，－解析：∥，则存在∈，使得＝，又＝(λ＋λ)，＝(μ－)，则有(\\(λ＋＝，＝(μ－(，λ＝，))可得(\\(λ＝()，,μ＝().))答案：．如图，空间四边形中，＝，＝，＝，点在上，且＝，为中点，则等于( )．－＋＋＋＋．－＋－＋－解析：＝＋＋＝＋－＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－＋＋.答案：．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由已知得：在椭圆中＝，＝，曲线为双曲线，由此知道在双曲线中＝，＝，故双曲线中＝，双曲线方程为－＝.答案：．已知线段在平面α内，线段⊥α，线段⊥，且＝，＝＝，线段与α所成的角为°，则线段的长为( )．．解析：如图所示，由⊥α，可知⊥，。
人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷(附答案解析)
- 1 -人教版高中数学选修2-1模块综合检测题（满分150分 时间120分钟）一、单选题.（每小题5分，共12小题） 1.“如果x y >，则22x y >”的逆否命题是.A 如果x y ≤，则22x y ≤ .B 如果x y >，则22x y <.C 如果22x y ≤，则x y ≤ .D 如果x y <，则22x y < 【答案】.C【解析】原命题为“若p 则q 形式”，则其逆否命题为“若q ⌝则p ⌝形式”.故选.C 2. 不等式()20x x -<成立的一个必要不充分条件是.A ()0,2x ∈ .B [)1,x ∈-+∞ ().0,1C x ∈ ().1,3D x ∈【答案】.B【解析】由()20x x -<得02x <<，()[)0,21,⊂-+∞且()0,2x ∈是[)1,x ∈-+∞的一个真子集， ∴ [)1,x ∈-+∞是“不等式()20x x -<成立”的一个必要不充分条件.3.已知A 、B 、C 三点不共线，则下列条件中能使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 .A 32OM OA OB OC =-- .B 0OM OA OB OC +++= .C 0MA MB MC ++= 11.42D OM OB OA OC =-+【答案】.C【解析】∵ 0MA MB MC ++=，∴ MA MB MC =--，根据向量共面定理，可知点M 与点A 、B 、C 四点共面.4.若方程22216y x a a+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为.A 3a > .B 2a <- .C 3a >或2a <- .D 3a >或62a -<<- 【答案】.D【解析】∵ 椭圆22216y x a a+=+的焦点在x 轴上，∴ 2660a a a ⎧>+⎪⎨+>⎪⎩ 即 ()()2306a a a ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩ 解得 3a >或62a -<<-，故选.D5. 如图，椭圆221259y x +=上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为 .A 8 .2B.4C 3.2D【答案】.C【解析】∵O 为12F F 的中点,N 为1MF 的中点，∴ 2//ON MF 且212ON MF =. ∵12210MF MF a +==∴ 21101028MF MF =-=-=，∴ 4ON =.6.已知椭圆的标准方程为()222210yx a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率为AB 1.3C 1.2D【答案】.D- 2 -【解析】如图，∵ 2AP PB =，∴ 2OA OF =，即 2a c =，∴ 12e =.7.双曲线221412y x -=的焦点到渐近线的距离为A .2BC .1D 【答案】.A【解析】双曲线221412y x -=的焦点分别为()()4,0,4,0-.渐近线方程为y =或y =，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一条渐近线的距离都相等，∴d ==.A8.直线1y kx k =-+与椭圆22194yx +=的位置关系是.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 不确定 【答案】.A【解析】直线方程1y kx k =-+可化为()11y k x =-+，过定点()1,1.而把点()1,1代入椭圆方程可得131119436+=<，∴点()1,1在椭圆内部，∴直线与椭圆相交. 9.已知椭圆2211216y x +=,则以点()1,2M -为中点的弦所在直线方程为 .38190A x y -+= .38130B x y +-= .2380C x y -+= .2340D x y +-= 【答案】.C【解析】设弦的两端点为()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得221122221121611216x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 ()()()()1212121201216x x x x y y y y -+-++= 整理得 121223y y x x -=-， ∴ 弦所在直线斜率为23，∴ 直线方程为()2213y x -=+，即2380x y -+=，故选.C10.在同一坐标系中,方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>所表示的曲线大致是【答案】.D【解析】方法一 将方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>转化为2222111y x a b +=和2a y x b =-，∵ 0a b >>，∴ 110b a >>. ∴ 椭圆焦点在y 轴上，抛物线焦点在x 轴上， 且开口向左，故选.D方法二 方程()200ax by a b +=>>中将y -代替y ，方程结果不变，∴ 20ax by +=图象关于x 轴对称，排除B 、C ;又椭圆焦点在y 轴上,排除A ,故选.D 11.过点()3,0A 且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为.A 直线 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线 【答案】.D【解析】如图，设点P 为满足条件的一点，易知点P 到点A 的距离等于 点P 到y 轴的距离.故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故 点P 的轨迹为抛物线，故选.DPAB- 3 -12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221y x a b +=，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，曲线1C 与2C 的离心率，则双曲线2C 的渐近线方程为.0A x ±=.0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±= 【答案】.A【解析】22221122c a b e a a -==，22222222c a b e a a +==，∴ ()44422124314a b b e e a a -⋅==-=，∴b a =∴渐近线方程为y =,即0x ±=,故选.A二、填空题.（每小题5分，共4小题）13. 命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤”的否定形式为 . 【答案】()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >.【解析】全称命题的否定是特称命题，否定结论时“且”要换为“或”，“≤”换为“>”，故最后的否定形式为“()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >”.14. 已知平面α的一个法向量为()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 . 【答案】10.3【解析】()1,2,4PA =-,()2,2,1n =--,∴ 点()2,1,4P -到平面α的距离为103PA n d n⋅==. 15. 设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为3,则抛物线的方程为 . 【答案】28y x =或216y x =-.【解析】当0m >时,2p m =,∴2m p =，∴抛物线的准线方程为4m x =-，依题意，()134m --=,∴8m =，∴抛物线方程为28y x =.当0m <时,2p m =-,∴2m p =-,∴抛物线的准线方程为4m x =-,依题意得134m +=，∴8m =（舍）或16m =-,∴抛物线的方程为216y x =-.综上，抛物线方程为28y x =或216y x =-.16. 与椭圆22194x y +=有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为 .【答案】2252x y -=.【解析】因为所求双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±.故可设双曲线方程为()220xy λλ-=>，又∵椭圆焦点为()，根据题意，所求双曲线焦点为(). ∴25λ=,52λ=.故所求双曲线方程为2252x y -=.三、解答题.17.（10分）设命题:p 函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增；命题:q 函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立. 若p 或q 为真，而p 且q 为假，求实数m 的取值范围.【答案】{}312m m m ≥<<或.【解析】若函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增，- 4 -则12m-≤-，∴2m ≥，即:2p m ≥； 若函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立，则()2162160m ∆=--<，解得13m <<，即:13q m <<. ∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴,p q 一真一假.当p 真q 假时，由231m m m ≥⎧⎨≥≤⎩或 得3m ≥，当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨<<⎩ 得 12m <<，综上，m 的取值范围为{}3m m ≥或1<m<2.18.（12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程. 【解析】将圆A 的方程整理得()22116x y ++=，∴点A 的坐标为()1,0-∵AD AC =,∴ACD ADC ∠=∠.∵//EB AC ，∴EBD ACD ∠=∠，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠. ∴EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，∴4EA EB +=由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠. 19.（12分）已知双曲线过点()3,2-且与椭圆224936x y +=有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）若点M 在双曲线上，1F 、2F 为双曲线的左右焦点，且122MF MF =，求12MF F ∆的面积. 【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=，焦点在x 轴上，且c =，设双曲线方程为22221x y a b -=，则22229415a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解得 2232a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， ∴ 双曲线的方程为22132x y -=.（2）因为点M 在双曲线上，又122MF MF =①，∴ 点M 在双曲线右支上，∴ 12MF MF -=②，由①②解得12MF MF ==12F F = 在12MF F ∆中，222121212125cos 26MF MF F F F MF MF MF +-∠==，∴ 12sin F MF ∠=∴12121211sin 226MF F S MF MF F MF ∆=∠=⨯=20.（12分）如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD DC =, E F 、分别为AB 、PB 的中点. （1）求证:EF CD ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论； （3）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值. 【解析】如图，以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，P ABC D EF OA- 5 -设AD a =，则()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,,0D A a B a a C a ,,,02a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,,,,222a a a P a F ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）证明：∵(),0,,0,,022a a EF DC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴0EF DC ⋅=，∴EF DC ⊥，即EF CD ⊥.（2）设(),0,G x z ，则,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，若使GF ⊥平面PCB ，则由(),,,0,002222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a x =.由()2,,0,,022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0z =. ∴G 点坐标为,0,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.（3）设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴ ()(),,,,0222,,,,002a a a x y z a x y z a ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取1x =,则2,1y z =-=，∴()1,2,1n =-,∴cos ,2BD n BD n a BD n⋅==， ∴DB 与平面DEF . 21.（12分）如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB 的斜率为定值. 【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为()220y px p =>， 由点()1,2P 在抛物线上，得2221p =⨯，解得2p =，故所求抛物线方程 为24y x =，准线方程为1x =-.（2）∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴PA PB k k =-，即12122211y y x x --=---，又()()1122,,,A x y B x y 均在抛物线上， ∴ 221212,44y y x x ==，从而有122212221144y y y y --=---， 即124422y y =-++，整理得124y y +=-， 故直线AB 的斜率12121241AB y y k x x y y -===--+. 22.（12分）已知12,F F 分别为椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y=的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且153MF =.x。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1模块综合检测
模块综合检测一、选择题1．命题“∃x 0∈R ，2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R ，2x －3>1 C ．∀x ∈R ，2x －3≤1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－3>12．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 5．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真6．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝07．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3] B ．[－1，3] C ．[－3，3] D ．[－1，1] 8．下列结论中，正确的为( )①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；③“p 或q 为真”是“为假”的必要不充分条件；④“为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.8310．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)11．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.9412．过M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12二、填空题13．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“”中是真命题的有________．15．已知A (0，－4)，B (3，2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．三、解答题17．已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，綈q 为真，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．19．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∠ABC ＝60°，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC ′D ′(如图)．(1)求证：AC ⊥平面ABC ′； (2)求证：C ′N ∥平面ADD ′； (3)求二面角A -C ′N -C 的余弦值．20．已知点P 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1，1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB ＝1，MD ＝2.(1)求证：AM ∥平面BCN ；(2)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值．22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．答 案1. 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2. 解析：选D ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3. 解析：选A 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．4. 解析：选A 由题意，得⎩⎨⎧4＋16＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.5. 解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.6. 解析：选A 椭圆右焦点F (5，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝43x的距离为4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.7. 解析：选B 根据题意可得∀x ∈R ， 都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.8. 解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由为假⇒p 为真⇒p∨q 为真，故③正确．9. 解析：选A 抛物线y 2＝4x的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.10. 解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有ba>2， 故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.11.＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 12. 解析：选D 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0， 整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0， Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21. ∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12. 13. 解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4，2c ＝8. 答案：814. 解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“”为真．答案：p ∨q ，15. 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t2－2t＋45＝（t－1）2＋35≥35＝355.答案：35516.解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，k＝nm，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M为AF1的中点，所以OM∥BF1，同理ON∥AF1，所以OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，即m2＋n2＝1.又m2a2＋n2b2＝1，于是有m2a2＋n2b2＝m2＋n2，从而1a2－11－1b2＝n2m2＝k2≤3，即1a2＋3b2≥4，将b2＝a2－1代入，并整理得4a4－8a2＋1≤0，解得2－32≤a2≤2＋32.又a>c＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e<1.答案：[3－1，1)17.解：因为方程x22－m＋y2m－1＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m<0，m－1>0，即m>2.故命题p：m>2；因为方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 所以Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0， 即m 2－4m ＋3<0，所以1<m <3.故命题q ：1<m <3. 因为p ∨q 为真，为真，所以p 真q 假．即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，此时m ≥3. 综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≥3}． 18. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－12(m 2－2)＞0，－3＜m ＜3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝1，解得m ＝±53. 19. 解：(1)证明：因为AD ＝12BC ，N 是BC 的中点，所以AD ＝NC ，又AD ∥BC ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN ＝DC ，又因为四边形ABCD 是等腰梯形， ∠ABC ＝60°，所以AB ＝BN ＝AN ，所以NC ＝AN ，所以四边形ANCD 是菱形，所以∠ACB ＝12∠DCB＝30°，所以∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由已知可知平面C ′BA ⊥平面ABC ，因为平面C ′BA ∩平面ABC ＝AB ，所以AC ⊥平面ABC ′.(2)证明：因为AD ∥BC ，AD ′∥BC ′，AD ∩AD ′＝A ， BC ∩BC ′＝B ，所以平面ADD ′∥平面BCC ′，又因为C ′N ⊂平面BCC ′，所以C ′N ∥平面ADD ′.(3)连接BD 交AN 于点O .由(1)知AC ⊥平面ABC ′，同理，AC ′⊥平面ABC .建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1，0，0)，C (0，3，0)，C ′(0，0，3)，N ⎝⎛⎭⎫12，32，0，设平面C ′NC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，得平面C ′NC 的一个法向量为n ＝(3，1，1)，因为AC ′⊥平面ABC ，所以平面C ′AN ⊥平面ABC ，又易知BD ⊥AN ，而平面C ′AN ∩平面ABC ＝AN ，所以BD ⊥平面C ′AN . 因为BD 与AN 交于点O ，则O 为AN 的中点，O ⎝⎛⎭⎫14，34，0，所以平面C ′AN 的一个法向量为＝⎝⎛⎭⎫34，－34，0，又由图形知二面角A -C ′N -C 为钝角，所以二面角A -C ′N -C 的余弦值为－55. 20. 解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0，0)，＝(x －x 0，y )，＝(0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9， ∴x 29＋y 24＝1，∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足，则E (1，1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0， ∴椭圆上存在点M ，N 满足，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.21. 解：因为NB ∥MD ，MD ⊥平面ABCD ， 所以NB ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为正方形，所以分别以DA ，DC ，DM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，0，2)，N (2，2，1)．(2)设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，故AN 与平面MNC 所成角的正弦值为255.所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，λ－22λ，1，由(2)知，平面MNC 的法向量n ＝(1，－2，－2)， 所以m·n ＝0，所以－2·λ－22λ－2＝0，所以λ＝23， 所以|ME |＝2，|MN |＝3，所以|ME ||MN |＝23.22. 解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，高中数学-打印版精心校对完整版 得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)， 与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。
数学高中人教A版选修2-1课后习题：模块综合测评(B)
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p :若θ=150°,则sin θ=12,则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),则a 的值为 ( )A.18B.14C.8D.4解析抛物线的标准方程为x 2=1ay ,因为抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),所以14a=2,所以a=18,故选A. 答案A3.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.(13,1,1) B.(-1,-3,2) C.(-12,32,-1)D.(√2,-3,-2√2)解析因为1-12=-332=2-1=-2,即a =-2(-12,32,-1),所以(-12,32,-1)与a 平行.答案C4.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为( ) A.x 2-y 2=1B.x 2-y 2=1C.2√3-y 2=1 D.x 2-y 29=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e=c=2,两式联立得a=1,c=2,∴b 2=c 2-a 2=4-1=3,∴方程为x 2-y 2=1.答案A5.若命题s :∃x 0>2,x 02-3x 0+2>0,则( )A. s :∃x>2,x 2-3x+2≤0B. s :∀x>2,x 2-3x+2≤0C. s :∃x ≤2,x 2-3x+2≤0D. s :∀x ≤2,x 2-3x+2≤0解析原命题s 是特称命题,其否定应为全称命题. 答案B6.已知三棱锥O-ABC ,点M ,N 分别为边AB ,OC 的中点,P 是MN 上的点,满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.16a +16b -13cB.16a +13b +16c C.13a +16b +16cD.16a +16b +13c解析∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a +16b +13c , 故选D.答案D 7.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A 1,A 2,直线x=2a 与一条渐近线交于点P ,若|A 1A 2|=|PA 2|,则双曲线的离心率为( ) A.√5B.√2C.√7D.2√3解析A 1(-a ,0),A 2(a ,0),不妨设点P 在渐近线y=bax 上,则P (2a ,2b ),由|A 1A 2|=|PA 2|可得4a 2=a 2+4b 2,又b 2=c 2-a 2,所以7a 2=4c 2,e=c a =√72. 答案C8.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( ) A.√5B.2√2C.√14D.√17解析因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos 120°)=5,故A 1C 的长为√5. 答案A9.若点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,-14] B.[-12,-14] C.[-1,0]D.[-12,0]解析以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C 1(0,1,1),设P (x ,y ,1)(0≤x ≤1,0≤y ≤1). 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,-y ,-1),PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,1-y ,0),于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-x+y 2-y=(x -12)2+(y -12)2−12.因为0≤x ≤1,0≤y ≤1, 所以0≤(x -12)2≤14,0≤(y -12)2≤14,故-12≤(x -12)2+(y -12)2−12≤0. 答案D10.已知点P 在抛物线y 2=4x 上,点A (5,3),F 为该抛物线的焦点,则△PAF 周长的最小值为( ) A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F (1,0),|AF|=√(5-1)2+32=5,过A 点作准线l 的垂线AD 交直线l 于D ,设P 到准线的距离为d ,则|PF|=d ,则△PAF 周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P 、A 、D 三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF 周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1,且与椭圆在第二象限的交点为M ,与y轴的交点为N ,F 2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF 2|,则椭圆的方程为( )A.x 240+y 24=1B.x 25+y 2=1C.x 210+y 2=1D.x 210+y 26=1解析直线3x-y+6=0与x 轴、y 轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F 1(-2,0),N (0,6),于是c=2.又因为2a=|MF 1|+|MF 2|=|MN|+|MF 1|=|NF 1|=√22+62=2√10,于是a=√10,从而b 2=10-4=6,故椭圆方程为x 210+y 26=1. 答案D12.如图,四面体ABCD 中,AB ,BC ,BD 两两垂直,BC=BD=2,点E 是CD 的中点,异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√10,则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A.√2B.2C.2√2D.1解析以B 为原点,BC ,BD ,BA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a ,则A (0,0,a ),E (1,1,0),B (0,0,0),C (2,0,0),D (0,2,0),于是AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-a ),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), 则|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√10, 于是√2·√a 2+4=√1010,解得a=4或a=-4(舍).这时AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4), 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{2x -4z =0,2y -4z =0,取n =(2,2,1),于是sin θ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√2×3=2√23. 答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M ,N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点,P 为线段MN 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ +γOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ+μ+γ= . 解析如图,连接ON ,在△OMN 中,点P 是MN 中点,则由平行四边形法则得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ+μ+γ=34.答案3414.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,M 是抛物线C 上的点,且MF ⊥x 轴.若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2,则p= . 解析由题意可得大致图形如下:由y 2=2px 可得:A (-p2,0),F (p 2,0),M (p 2,±p),由抛物线的对称性可知,取M (p2,p)与M (p2,-p)结果一致,不妨令M (p2,p),∴以AF 为直径的圆的方程为x 2+y 2=p2;直线AM 方程为x-y+p=0. 设圆心到直线距离为d ,则d=|p 2√1+1|=√2p4, ∴直线AM 被圆截得弦长为2√p 24-p 28=2⇒p=2√2.答案2√215.已知p :x -2mx+m <0(m>0),q :x (x-4)<0,若p 是q 的既不充分也不必要条件,则实数m 的取值范围是 .解析由x -2mx+m <0(m>0),解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0,解得0<x<4.若p 是q 的充分不必要条件,则有{-m ≥0,2m <4,m >0,或{-m >0,2m ≤4,m >0,解得m 无解;若p 是q 的必要不充分条件,则有{-m <0,2m ≥4,m >0,或{-m ≤0,2m >4,m >0,解得m ≥2或m>2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是(0,2). 答案(0,2)16.椭圆x 25+y 2m =1的离心率e=√155,则m= . 解析若0<m<5,则e 2=5-m5=1525=35,∴m=2,若m>5,则e 2=m -5m =35,∴m=252.∴m 的值为2或252.答案2或252三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p :方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,命题q :关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根,若“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,求实数m 的取值范围.解∵方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴m>2.∵关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根, ∴4m 2-4(2m+3)<0,解得-1<m<3.“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题⇔p ,q 恰有一真一假. ①若“p 真q 假”,则{m >2,m ≤-1或m ≥3,即m ≥3;②若“p 假q 真”,则{m ≤2,-1<m <3,即-1<m ≤2.综上,实数m 的取值范围是(-1,2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD 为菱形,AB=2,∠DAB=60°,ED ⊥面ABCD ,EF ∥DB ,EF=1,异面直线AF ,CD 所成角的余弦值为√6.(1)求证:面ACF ⊥面EDB ; (2)求二面角B-AF-E 的余弦值.(1)证明∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵ED ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,∴ED ⊥AC , ∵BD ∩ED=D ,∴AC ⊥面EBD , ∵AC ⊂面ACF ,∴面ACF ⊥面EDB.(2)解∵四边形ABCD 是菱形,AB=2,∠DAB=60°,∴DB=2,DO=1,∵EF ∥DB ,EF=1,∴EF ∥DO ,EF=DO , ∴四边形EFOD 是平行四边形,∴ED ∥FO , ∵ED ⊥面ABCD ,∴FO ⊥面ABCD ,以O 为原点,OA ,OB ,OF 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (√3,0,0),D (0,-1,0),C (-√3,0,0),设F (0,0,t ),则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,t ),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+t ·2=√6(t>0),解得t=√3,则F (0,0,√3),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), ∵B (0,1,0),E (0,-1,√3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3), 设平面AFB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +√3z =0,取x=1,得m =(1,√3,1),设平面AFE 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-√3x +√3z =0,取x=1,得n =(1,0,1), 设二面角B-AF-E 的平面角为θ,由图形得θ为钝角,则cos θ=-|m ·n ||m ||n |=-√5×√2=-√105. ∴二面角B-AF-E 的余弦值为-√10.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.解(1)直线AB 的方程是y=2√2(x -p 2),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y 2=8x. (2)因为p=4,所以4x 2-5px+p 2=0可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3,即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面ABCD ⊥平面PAD ,AD ∥BC ,AB=BC=AP=12AD ,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E 是PD 的中点.(1)证明:PD ⊥PB ;(2)设AD=2,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为√10,求二面角M-AB-P 的余弦值.解(1)证明:∵平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ∩平面PAD=AD ,∠BAD=90°,所以AB ⊥AD.由面面垂直的性质定理得AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD ,在△PAD 中, ∵AP=12AD ,∠ADP=30°, ∴∠APD=90°,即PD ⊥AP , ∴PD ⊥平面PAB ,∴PD ⊥PB.(2)以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,1,1),C √32,12,1,E √32,0,0,设M√32a ,12a ,a (0≤a ≤1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a ,12a-1,a-1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-12,-1, ∴cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32-54a23a+2×√52=√105,得a=23,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,-23,-13),而AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),设平面ABM 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{√3x -2y -z =0,z =0,令x=2,则n =(2,√3,0),取平面PAB 的法向量m =(1,0,0),则cos <m ,n >=m ·n |m ||n |=√7=2√77,故二面角M-AB-P 的余弦值为2√77.21.(本小题满分12分)已知CD 是等边三角形ABC 的AB 边上的高,E ,F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值;(2)在线段BC 上是否存在一点P ,使AP ⊥DE ?证明你的结论.解(1)以点D 为坐标原点,直线DB ,DC ,DA 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC 的边长为a ,则A (0,0,a2),B (a2,0,0),C (0,√32a ,0),E (0,√34a ,a 4),F (a 4,√34a ,0),设平面EDF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{ax +√3ay =0,√34ay +az 4=0,取n =(3,-√3,3).又因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 2,√32a ,0), 于是cos <BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=a ·√21=-√217, 因此直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值等于√1-(-√217)2=2√77. (2)假设在线段BC 上存在一点,使AP ⊥DE ,令BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-a 2,√32a ,0)=(-λa 2,√3λ2a ,0), 则P (a 2-λa 2,√3λ2a ,0), 于是AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2). 因为AP ⊥DE , 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2)·(0,√34a ,a4)=0, 则38λa 2-18a 2=0,解得λ=13.故线段BC 上存在一点P ,使AP ⊥DE. 22.(本小题满分12分)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,过A ,Q ,F 2三点的圆恰好与直线l :x-√3y-3=0相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,说明理由.解(1)设椭圆C 的焦距为2c (c>0),则点F 1的坐标为(-c ,0),点F 2的坐标为(c ,0),设点Q 的坐标为(x 0,0),且x 0<0,如下图所示,F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,0),F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2c ,0),∵F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则x 0+c+2c=0,所以,x 0=-3c ,则点Q 的坐标为(-3c ,0),∵直线AF 2与直线AQ 垂直,且点A (0,b ),所以,AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,-b ),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3c ,-b ),由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2-3c 2=0,得b 2=3c 2,则b=√3c ,a=√b 2+c 2=2c.△AQF 2为直角三角形,且F 2Q 为斜边,线段F 2Q 的中点为F 1(-c ,0),△AQF 2的外接圆半径为2c.由题意可知,点F 1到直线x-√3y-3=0的距离为|c+3|2=c+32=2c , 所以,c=1,a=2c=2,b=√3c=√3,因此,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率k ≠0,并设t=1k ,则直线l 的方程为x=ty+1,设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x =ty +1,x 24+y 23=1, 消去x 得(3t 2+4)y 2+6ty-9=0,由韦达定理得y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4. ∴y 1+y 22=-3t 3t 2+4,x 1+x 22=t ·y 1+y 22+1=43t 2+4. 所以,线段MN 的中点为点E -3t 3t 2+4,43t 2+4.由于以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形,则PE ⊥MN ,则k PE ·k MN =-1,所以,k PE =-t. 由两点连线的斜率公式可得k PE =3t 3t 2+4m -43t 2+4=-t ,得m=13t 2+4. 由于k ≠0,则t=1k ≠0,所以,t 2>0,所以,m=13t 2+4∈0,14.因此,在x 轴上存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形, 且实数m 的取值范围是0,14.由Ruize收集整理。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。
人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷(附答案解析)
a2 a 6 ∴ a 6 0
a 2 a 3 0 即 a 6
解得 a 3 或 6 a 2 ，故选 D.
2 y2 5. 如图， 椭圆 x 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点)的值为 25 9 y A. 8 B.2 M C .4 D. 3 2 N 【答案】 C. x F1 O F2 【解析】∵ O 为 F1 F2 的中点, N 为 MF1 的中点，
PA n 【解析】 PA 1, 2, 4 , n 2, 2,1 ,∴ 点 P 2,1, 4 到平面 的距离为 d 10 . 3 n
15. 设抛物线 y 2 mx m 0 的准线与直线 x 1 的距离为 3,则抛物线的方程为 【答案】 y 8 x 或 y 16 x .
∴ ON / / MF2 且 ON 1 MF2 . ∵ MF1 MF2 2a 10 2 ∴ MF2 10 MF1 10 2 8 ，∴ ON 4 .
2 y2 6.已知椭圆的标准方程为 x 2 2 1 a b 0 的左焦点为 F ，右顶点为 A ， 点 B 在椭圆上，且 BF x a b 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP 2PB ，则椭圆的离心率为
二、填空题.（每小题 5 分，共 4 小题） 13. 命题“ n N * , f n N * 且 f n n ”的否定形式为 【答案】 n0 N , f n0 N 或 f n0 n0 .
* *
4
3 ，∴ b 2 ， a 2 4
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离(含答案解析)
课时跟踪检测（二十） 空间向量与空间角、距离层级一 学业水平达标1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3C.83D.103解析：选D 点P 到平面α的距离d ＝|PA ·n||n|＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.2．已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B.33C.23D.13解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ＝(1,1,0)，DC 1＝(0,1,2)，DC＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·DB ＝0，n·DC 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC 〉|＝|n·DC ||n|·|DC |＝23，故选A.3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( )A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：选B 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B 1(2,2,2)，E(0,2，1)．∴BD ＝(－2，－2,0)，BB 1＝(0,0,2)，BE ＝(－2,0,1)． 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝0.令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈n ，BE 〉＝n·BE |n||BE |＝105.设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，BE 〉|＝105. 4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0 B.37070 C ．－37070 D.7070解析：选A 建立如图坐标系，则D 1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，∴BD 1＝(－2，－2,3)，AC ＝(－2,2,0)．∴cos 〈BD 1，AC 〉＝BD 1·AC|BD 1||AC |＝0.∴〈BD 1，AC 〉＝90°，其余弦值为0.5．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD.若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选B 建系如图，设AB ＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)， P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)． 平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧n 2·PD ＝0，n 2·CD ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)， cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22.∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22. ∴此角的大小为45°.6．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为___________________________________________________________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β，sin θ＝|cos β|＝－2，3，，0，17×17＝617. 答案：6177．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，D N 1〉＝________.解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2. 则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D 1(0,0,2)，N(2,2,1)． ∴CM ＝(2，－2,1)，D N 1＝(2,2，－1)．cos 〈CM ，D N 1〉＝4－4－13×3＝－19.∴sin 〈CM ，D N 1〉＝459.答案：4598.如图正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，DA 1＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB ＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1， ∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|OB ·DA 1||OB |·|DA 1|＝1262×2＝36.答案：369.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ， 所以AO ⊥BD.因为BO ＝DO ，BC ＝CD ， 所以CO ⊥BD.在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2， 所以AO 2＋CO 2＝AC 2， 所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC. 因为BD∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD.(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，BA ＝(－1,0,1)，CD ＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA ，CD 〉＝BA ·CD | BA ||CD |＝24，所以异面直线AB 与CD所成角的余弦值为24. 10.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D-PC-A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC.(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB.又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C32，12，0， D32，－12，0，B(0,2,0)， PC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·PC ＝0，n 1·DC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ＝32，－32，0， ∴1，BC＝32h h 2＋34×3＝55， 解得h ＝3，同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ·n 2||n 2|＝234＝32.层级二 应试能力达标1.如图所示，已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C-BF-D 的正切值为( )A.36 B.34C.33D.233解析：选D 如图所示，设AC 与BD 交于O ，连接OF.以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3， 所以O(0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，OC ＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，易知OC 为平面BDF 的一个法向量，由BC ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB ＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12，可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．所以，OC＝217，，OC＝277，所以，OC＝233.2．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.104 C.32 D.34解析：选A 建立如图的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1.∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0)，C(3，1，3)，C 1(3，1,0)，D(0,1，3)．∴B C 1＝(0,1，3)，C D 1＝(－3，0，3)． ∴cos 〈B C 1，C D 1〉＝B C 1·C D1|B C 1||C D 1|＝326＝64.3．在三棱锥P-ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B.833 C.21060 D.21030解析：选D 不妨设AB ＝BC ＝12PA ＝2，∵OP ⊥底面ABC ，∴PO ＝14.根据题意，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．则A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，P(1,1，14)． ∵点O ，D 分别是AC ，PC 的中点， ∴OD ＝12AP ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，142.又BC ＝(0,2,0)，BP ＝(1,1，14)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧n·BC ＝0，n·BP ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋y ＋14z ＝0，取n ＝(－14，0,1)， ∴cos n ，OD＝n·OD |n||OD |＝21030，∴sin θ＝21030(θ为OD 与平面PBC 所成的角)，故选D.4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：选D 不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的法向量为DB 1＝(1,1,1)， 又BB 1＝(0,0,1)， ∴cosDB 1，BB 1＝DB 1·BB 1|DB 1||BB 1|＝13×1＝33.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.5.如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A(3a,0,0)，B(0，a,0)，B 1(0，a,2a)，M(0，－a ，a)，AB 1＝(－3a ，a,2a)，BM ＝(0，－2a ，a)，所以AB 1·BM ＝0， 因此异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°6.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz.设BC ＝1，则A ⎝⎛⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D 32，0,0，所以BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧n·BA ＝0，n·BD ＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cosn ，CD32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155. 答案：1557.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．解：(1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC.∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC.如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，BD ＝12AE ＝2，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)， ∴AB ＝(－4,4,0)，CE ＝(4,0,4)．∴AB ，CE ＝－1642×42＝－12，∴AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，∴CD ＝(0,4,2)，OD ＝(－2,4,0)，MD ＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由⎩⎨⎧n ⊥OD ，n ⊥MD ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(2,1,1)． 设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cosn ，CD|＝|n ·CD ||n||CD |＝3010， ∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.8.如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求出PQ 的长；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，取AB 的中点O ，连接OD ，OE. 因为△ABE 是等边三角形，所以AB ⊥OE.因为四边形ABCD 是直角梯形，CD ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，OD ∥BC. 又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD. 又OE∩OD ＝O ， 所以AB ⊥平面ODE. 又DE ⊂平面ODE ， 所以AB ⊥DE.(2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，所以OE ⊥平面ABCD. 又OD ⊂平面ABCD ， 所以OE ⊥OD.如图所示，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(－1,0,0)，D(0,0,1)，C(－1,0,1)，E(0，3，0)，所以AD ＝(－1,0,1)，DE ＝(0, 3，－1)，设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·AD ＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 同理求得平面BCE 的法向量为n 2＝(－3，1,0)． 设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝77.所以平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为77. (3)假设在△ABE 内存在满足题意的点Q ，设Q(x 2，y 2,0)． 因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12.又CD ＝(1,0,0)，DE ＝(0，3，－1)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧PQ ·CD ＝0 PQ ·DE ＝0，即⎩⎨⎧x 2＋12＝0，3×⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0，解得x 2＝－12，y 2＝33，则点Q 在△ABE 内．所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
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模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q”是真命题B ．“p 或q”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q”是假命题，选B ．3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，∴1a＝－8， ∴a ＝－18．4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a>b”与“a ＋c>b ＋c”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D ． 5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a|等于( ) A ．5 32B ．212C ．372D ．3 52解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b)⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0． ∴2n ＝5，n ＝52．∴|a|＝1＋4＋254＝3 52．6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件； ②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件； ③“p 或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件； ④“綈p”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真，故③正确．7．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)， 故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m>0，n>0且m ＋n ＝c 2＝1．① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316． 8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1， 5 ]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x ．由条件知，应有ba >2，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>5．9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π3， 得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15．10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A-BD-C 的正弦值为( ) A ．55B ．33C ．255D ．63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO ．建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0．∴OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0．由于OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，∴sin 〈n ，OA 〉＝255．11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54解析：选B 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a2＝1＋14＝54， 所以e 2＝52． 12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A|＝2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝2|F 2A|，解得|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝4a ，又由已知可得ca ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A|2＋|F 1F 2|2－|F 1A|22|F 2A|·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a×4a ＝14．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A(1,2)与动点P(x ，y)满足OP ―→·OA―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由OP ·OA ＝4得x×1＋y×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0．答案：x ＋2y －4＝014．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a≤22． 答案：[－22，2 2 ]15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12． ∴e ＝ca ＝2．答案：216．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(2,0,1)，F(1,2,0)，∴EF＝(－1,2，－1)．又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD ＝(0,2,0)，cos 〈EF ，OD 〉＝4 6×2＝63，故所求角的正弦值为63． 答案：63三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(綈p)∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m>2．q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m≤3． ∵(綈p)∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1≤m≤3，即1≤m≤2．∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A-A 1C-B 的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1． 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C ．(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ． ∵AB ⊥A 1C ，AD∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A-A 1C-B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62．在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴二面角A-A 1C-B 的正切值为63． 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ． 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ．如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A 1(0,0，3)，∴AB ＝(1,0,0)，A C 1＝(0，3，－3)． ∵AB ·A C 1＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0，∴AB ⊥A 1C ．(2)取m ＝AB＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．由(1)知：BC＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BC ＝0，n·A C1 ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z ．令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n|＝3×1＋1×0＋1×0 3 2＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63． ∴二面角A-A 1C-B 的正切值为63．19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M(a ，－a,0)，E(0，－2a ，a)，D(2a,0,2a)，所以CM ＝(a ，－a,0)，EM＝(a ，a ，－a)，所以CM ·EM＝a×a ＋(－a)×a ＋0×(－a)＝0， 所以CM ⊥EM ．(2) CE ＝(0，－2a ，a)，CD＝(2a,0,2a)，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM ，n 〉＝CM ·n| CM ||n|＝a× －2 ＋ －a ×1＋0×22a×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°．20．(本小题满分12分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x轴于D ，动点Q 满足DQ ＝23DP．(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E(1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使OE ＝12(OM＋ON)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x 0，y 0)，Q(x ，y)，依题意，得点D 的坐标为D(x 0,0)，DQ＝(x －x 0，y)，DP＝(0，y 0)，又DQ ＝23DP ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ， ∵点P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1．(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)满足OE ＝12(OM ＋ON )，则E(1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2 x 1＋x 2 9＋ y 1－y 2 y 1＋y 24＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，∴椭圆上存在点M ，N 满足OE ＝12(OM ＋ON)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0．21．(本小题满分12分)如图，已知点E(m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ．由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －1 ，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋1，2k 1． 同理点N(2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM|·|EN|＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12· 2k 21 2＋ －2k 12＝2 k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4．(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －m ，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋m ，2k 1． 同理点N ⎝⎛⎭⎫2k22＋m ，2k 2． ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m)＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA|．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得PQ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵AC ·BC ＝0，∴AC ⊥BC，∠ACB ＝90°． 又|OC －OB |＝2|BC －BA|，即|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵A(2,0)，∴C(1,1)． 又点C 在椭圆上，a ＝2， ∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝43， ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 243＝1．(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称． 设k PC ＝k(k≠0且k≠±1)，则k C Q ＝－k ， 则直线PC 的方程为y －1＝k(x －1)⇒y ＝k(x －1)＋1，① 直线CQ 的方程为y －1＝－k(x －1)⇒y ＝－k(x －1)＋1，② 将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k(k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0．③ ∵C(1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根， ∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1． k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k x P ＋x Q －2k x P －x Q ＝k·6k 2－21＋3k 2－2k －12k 1＋3k 2＝－4k 1＋3k 2－12k 1＋3k 2＝13． 而k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ＝λAB ．又|PQ |＝ x P －x Q 2＋ y P －y Q 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22 ＝160k 2 1＋3k 2 2＝1609k 2＋1k 2＋6≤2303， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33时取等号． 又|AB |＝10，∴λmax ＝230310＝233．。