空间中的勾股定理

空间中的勾股定理

福建东山一中 林周梅

在《立体几何》授课过程中,做过这么一道题,如下图:三棱锥V ABC −中,三个侧面

VAB 、VBC 、VCA 两两垂直,三侧面VAB 、VBC 、VCA 与底面ABC 所成的二面角分别为30°、45°、60°,底面积为1,求三棱锥的侧面积.

解 由三个侧面

VAB 、VBC 、VCA 两两垂直,易知,VA 、

VB 、VC 两两垂直.

在平面VAB 内, 过点V 作VF AB ⊥

于F ,连结CF ,易证

∴VFC ∠为侧面的角的二面角,VFC ∠∵△CAB 在面∴cos30VAB CAB S

S ∆∆=°∴cos30VAB S ∆=°⋅同理可得VBC S ∆=cos60VCA S S ∆∆=°⋅到此,这道题似乎已圆满完成了,答案似乎也是无懈可击的.事实上,本题的已知条件是错的,这样的棱锥根本不存在.设,VA a VB = ,b =VC c =,由三棱锥V ABC −中,三个侧面

VAB 、VBC 、VCA 两两垂直,可得三条侧棱VA 、VB 、VC 两两垂直,则AB =, BC =,CA =.在平面VAB 内,

过点V 作VF AB ⊥于F ,连结CF ,则CF ⊥

AB (过程同上).

∴VFC ∠为侧面VAB 与底面ABC 所成的角,30VFC ∠=°,又VC VF ⊥,

∴1sin 302

VC CF =°=,22CF VC c ==, ∴12.ABC S c ∆==

同理可得:1ABC S ∆==,

1ABC S ∆==.

222222

221,a c b c ⎧+=⎪(1)△ABC 的垂心.)

∴VFC α∠=,且VC VF ⊥,VH CF ⊥,

∴cos HF VF

VF CF

α==,

∴2(cos )HAB

CAB

S HF VF HF VF CF CF S α∆∆=⋅==,

同理可得:

·23·

2(cos )HBC ABC S S β∆∆=

,2(cos )HCA BCA

S

S γ∆∆=, ∴222(cos )(cos )(cos )αβγ++ HBC HCA HAB CAB ABC BCA

S S S

S S S ∆∆∆∆∆∆=++ 1HAB HBC HCA

ABC

S S S S ∆∆∆∆++=

=,

因此α、β、γ应满足关系式 222(cos )(cos )(cos )1αβγ++=.

由222(cos30)(cos 45)(cos60)°+°+°

22213

(()()12222

=++=≠, 也可以说明本文开头给出的题目是一道错题.

另外,三棱锥V ABC −中,三个侧面VAB 、

VBC 、VCA 两两垂直,三侧面VAB 、VBC 、VCA 与底面ABC 所成的二面角分别为α、

β、γ,

由cos VAB

CAB S VF CF S α∆∆=

=,cos VBC ABC

S S β∆∆=, cos VCA

BCA

S S γ∆∆=

. 我们还可以得到一个结论:

2222()()()()VAB VBC VCA ABC S S S S ∆∆∆∆++=. 这可以看成空间中的勾股定理:若三棱锥三个侧面两两垂直,则三个侧面的面积的平方和等于底面面积的平方.

应用这个公式,可解决一些难度较大的问题.

例 一个三棱锥的三个侧面两两垂直,若体积为定值V ,求此三棱锥的底面积的最小值(或者求三棱锥的高的最大值).

解 设三棱锥V ABC −的三条侧棱长分别为,,VA a VB b VC c ===,

∵三棱锥V ABC −的三个侧面两两垂直,

∴VA ⊥侧VBC .

∴1

3

A VBC VBC V V S VA −∆==⋅

111

()326b c a abc =⋅⋅⋅⋅=. ∴6abc V =.

又 ∵2222()()()()ABC VAB VBC VCA S S S S ∆∆∆∆=++

222111

()()()222ab bc ca =++ 2222221

()4

a b b c c a =++

1

(34≥

1

34

=⋅.

∴ABC S ∆≥=.

当且仅当222222a b b c c a ==,即a b c ==时,等号成立.即三棱锥底面△ABC 的面积取

, 同时,三棱锥的高取得最大值

13ABC V S ∆==⋅

一道竞赛题的推广

福建师范大学数学系2002级 周郑鹃

1 预备知识

定比分点公式在2R 上,设点(,)P x y ,1(,A x

1)y ,22(,)B x y ,AP

PB λ=,则121x x x λλ

+=+,y =

121y y λλ++,即点为P (121x x λλ++,12

1y y λλ

++).

一般的,在m R 上,设点12(,,)m P x x x L ,

'1(,A x ''2)m x x L ,"""

12(,)m B x x x L ,AP PB

λ=,则i x =

·24·