(完整版)《高数》积分判别法
积分判别法证明
积分判别法证明
积分判别法是数学中的一种重要方法，用于证明函数的收敛性和发散性。
本文将介绍积分判别法的证明方法。
首先，我们考虑一个正函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的积分，即
∫a^b f(x)dx。
如果该积分收敛，那么我们可以按照以下步骤证明：
1. 对于任意 x∈[a,b]，由正函数的定义可知 f(x)≥0。
2. 我们设 g(x) 为一个小于 f(x) 的正函数，即 g(x)<f(x)，
且在区间 [a,b] 上连续。
3. 根据积分的定义，我们有∫a^b g(x)dx≤∫a^b f(x)dx。
由于 f(x) ≥ 0，所以∫a^b f(x)dx ≥ 0。
因此，如果∫a^b g(x)dx 发散，那么∫a^b f(x)dx 也一定发散。
4. 根据积分的比较判别法，如果∫a^b g(x)dx 收敛，那么∫a^b f(x)dx 也一定收敛。
综上所述，我们通过对积分的比较来判断一个函数的收敛性或者发散性。
需要注意的是，在使用积分判别法时，我们需要选择一个适当的小于原函数的正函数 g(x)。
如果我们选择的 g(x) 过于简单，那么
可能无法得到正确的结论；如果选择的 g(x) 过于复杂，那么证明的过程会变得非常复杂。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的 g(x)，并且灵活运用各种积分技巧，以便更好地应用积分判别法。
- 1 -。
积分判别法证明
积分判别法证明积分判别法是一个在高等数学中广泛使用的重要工具，其可以用来判断一些无穷级数的敛散性。
本文将针对积分判别法进行证明。
首先，我们先讲一下积分判别法的基本思想。
对于一个正项级数∑an，如果存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛，则∑an也收敛；反之，如果∫f(x)dx从1到正无穷发散，则∑an也发散。
证明的思路是：我们对于一个正项级数∑an，假设它满足上述条件，即存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛。
我们希望能够证明，这个级数也收敛。
我们可以将∑an拆分成很多个部分，即∑an = ∑(2^n-2^(n-1))an。
显然，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 也是一个正项级数，并且∑an和∑(2^n-2^(n-1))an的敛散性是等价的。
因此，我们只需要证明，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 都收敛，就可以证明原级数∑an也收敛。
我们将∑(2^n-2^(n-1))an记为Sn，那么Sn的前n项和为An = 2^n-1。
我们将f(x)拆分成很多个部分，即f(x) =f(1)+f(2)+...+f(n)+...，其中f(n)(x) = f(2^n-1-x)，即f(n)(x)是f(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的反函数。
由于f(x)单调递减且正，因此f(n)(x)也单调递减且正。
我们可以通过变量代换和分部积分，得到∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n的值为Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
因此，我们可以得到∑(2^n-2^(n-1))an = Sn = ∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n ≤ Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
注意到f(n-1)(x)在区间[2^(n-2),2^(n-1)]上的值都比f(n)(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的值大，因此∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)≥∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n。
08第八讲 积分判别法
数学分析第十二章数项级数积分判别法第八讲数学分析第十二章数项级数定理12.9（积分判别法）积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞⎰同时收敛或同时发散.证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.nn f n f x x f n n 依次相加可得11221()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有111()(1)()d (1)()d .m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.则由(12)式左边, 对任何正整数m ,数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有-≤≤=∑⎰11()d ().(13)mm f x x S f n S 10()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰是同时发散的.11221()()d (1)().(12)m mm m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞⎰根据定理反常积分收敛用同样方数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.是发散的.数，1d 1p x p x+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )p p n n n n n n n 解2d ,(ln )p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d pu u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级复习思考题数学分析第十二章数项级数1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n nu v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。
(完整word版)无穷积分的性质与收敛判别法(word文档良心出品)
§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质; 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
掌握收敛的 Cauchy 准则、比较判教学内容: 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 f f (xdx 收敛与否，取决于函数」a极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分f f (X dx 收敛的充要条件是：任给 」a uF (u ) = t f (X dx 在U7 + s 时是否存在Z >0,存在G >a ,只要比、u 2>G ,便u 2 u 2 W . 【a f (X )dX - J a f (X )dX = J u f (X )dX -be u证明：由于 J a f(xdx=li m ( f(xdx =li mF(u),所以 u _ 耘 ,U2[f (X dx 收敛二 limF(u)存在 ng >0^G > a ，只要 5、u 2> G ，便有 I u 2 Wf (X Jdx 4 J f (X )dx - J f (X )dx =1 F (u ?) -F (uj |< &aa此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1(线性性质) 说a■—梧f^xdx 与J f2(xdx 都收敛，k i 、k 2为任意常数，贝U a 广k i f i (X )+k 2 f2(x )dx 也收敛，且a -be |- ] -be -bef k 1 f ^^+ k 2 f 2(X )ax = k^ f 1(xdx + k 2j f ^x dx 。
(1)a"a&af.a^^0 r则『k i fi (x )+k 2auu(X d X=|i m [ fNxHx , J 2 珂 f2(XdX = |i m J af2(x)dx= lim [k i fi (x )+k 2f2(x )]dxuu= lim [k i 〔 f i (x)dx % J a f 2(x)dx]uu= k i|iml f i (x)dx+k 2|imi f 2(x)dx-be -be=k 1J 1 +k 2J 2 = k 1J f 1(x)dx +k 2j f 2(x)dx.f2(x)dx.u —J性质2若f 在任何有限区间［a , u ］上可积，av b则］f (x dx 与［f(xdx 同敛态(即同时收 敛或同时发散)，且有-be b-bef f (X dx = I f (X dx + f f (X dx ,a a b其中右边第一项是定积分。
柯西积分判别法
柯西积分判别法柯西积分判别法是指在微积分领域，借助柯西不等式的广义方法，根据函数的性质判断函数是否可以经由积分来求得它的积分值。
它是一种根据某一函数及它的衍生物来判断该函数是否可以用积分求取它的积分值的快速方法。
柯西积分判别法是计算定积分的一种非常有用的方法，可以根据函数的特性直接判断该函数是否可以由柯西不等式求取其积分值。
考虑函数f(x)在区间[a,b]上可导，在任意区间[c,d]上有：F(d)-F(c)=∫bacf(x)dx即：F'(x)=f(x),其中F(x)为f(x)的某一积分。
如果能找出一种方法，可以根据函数f(x)的性质就可以知道F(x)是否可以由F(x)=∫bacf(x)dx求取，则可以大大减轻求积分时负担。
这就是柯西积分判别法的基本思想。
根据柯西积分判别法，可以将函数f(x)划分为正交系统的三类，即：自变量的多项式系统（P）、对数函数系统（L）和指数函数系统（E）。
首先介绍自变量的多项式系统，即P类：P类的函数的形式为P(x)=aoxn+a1xn-1+···+an-1x+an，其中n≥0，此系统的积分值可以由P(x)=∫bacaxn+a1xn-1+···+an-1x+an dx求取，F(x)=∫bapow(x)dx。
接着介绍对数函数系统，L类：L类函数的形式为L(x)= (bx+c)alog(ax+d)，其中a,b,c,d＞0，在此系统中，函数的积分值可以由L(x)= ∫bac (bx+c)alog(ax+d)dx求取，F(x)=∫balog(ax+d)dx+cpow(x)dx。
最后介绍指数函数系统，E类：E类函数的形式为e（x) = ain（x+b），其中a ＞0，在E类函数中，积分值可以由e（x) = ∫b acin（x+b）dx求取，F(x)＝∫bacin （x+b）dx。
柯西积分判别法为快速求得定积分提供了一种有用的方法，它可以帮助我们快速识别函数f（x）是否可以由积分求取，减轻了求积分时的负担。
积分的级数敛散判别法
积分的级数敛散判别法在数学中，级数是由一个无穷多的项按顺序相加所得到的无穷和。
而积分就是连续函数在一定区间内的面积，很多时候需要进行级数求和或者积分运算。
那么如何判断级数和积分是否收敛呢？接下来我们将通过讨论级数的敛散判别法，来回答这个问题。
一、收敛级数的判别法1. 比较判别法比较判别法是通过将要求的级数与另一个已知收敛或发散的级数进行比较，以此来判断级数的敛散性。
比较判别法分为比较判别法之一、比较判别法之二和极限比较判别法。
比较判别法之一是如果对于级数的每一项，都有它的绝对值小于等于另一个已知收敛的级数，那么该级数也收敛。
比较判别法之二是如果对于级数的每一项，都有它的绝对值大于等于另一个已知发散的级数，那么该级数也发散。
极限比较判别法是通过比较级数的项和与另一个已知级数的项和的极限，来判断级数的敛散性。
通常情况下，这个“另一个已知级数的项和”往往是一个比较容易判断敛散状态的级数。
2. 比值判别法比值判别法是通过求级数的项与其后一项的商的极限来判断级数的敛散性。
如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则该判别法无法确定级数的敛散性。
3. 根值判别法根值判别法是通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的敛散性。
如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则该判别法无法确定级数的敛散性。
二、收敛积分的判别法1. 牛顿—莱布尼茨公式牛顿—莱布尼茨公式是连续函数的积分和原函数之间的关系式。
即原函数F(x)是连续函数f(x)的积分，根据牛顿—莱布尼茨公式，如果连续函数f(x)在有限区间[a,b]上有界，那么它的定积分也一定存在。
但是，如果函数f(x)不连续，那么它的积分就不能由牛顿—莱布尼茨公式得到。
2. 柯西准则柯西准则是判断积分收敛性的经典准则之一。
柯西准则是指如果函数f(x)在[a,b]内连续，并且对于任意的ε>0，都存在正数M和a的某个点c，使得当x在(a,c)内时，有|f(x)|≤M|(x-a)^(-1/2+ε)|；那么a到b的定积分就收敛。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
积分判别法
积分判别法生活中的选择题一般很难做，往往把一些事情弄得非常复杂。
而运用积分判别法就能够迅速作出正确的判断，从而做出正确的选择。
例如：去市场买西红柿和土豆，两者都是3元/斤，它们各有10斤，如果同时买，共需18元，若卖者称了6斤，则可以便宜到5元，假设卖者在先前给你看过的几次称重中总是超出1斤，那么他今天也许只给你看1斤，明天也许会少给，而且不止一次。
但最可能的情况是一开始给你看的1斤比较多，逐渐减少，直到最后少于6斤。
因为小学生们的计算水平还不高，所以难免会碰上这种棘手的问题。
在日常生活中我们应该学会积分判别法，灵活地处理好这类问题。
要想解决这个问题，我们首先要知道，有关质量的“斤”，一般用“千克”表示，而1千克= 2斤。
即1kg=2斤。
所以我们可以用以下方法来进行判断：每天放学回家后，我们都要测量一下今天吃饭用的碗有多重。
因为这些碗大多都比较轻，可以准确测量。
但是要想将碗全部装满的话，那就太沉了。
所以，我们必须找出一个合适的标准。
其实，家里经常用的米袋子，就是最合适的标准。
不信，你可以拿起一个米袋子对着光照一照，你会发现，它的透明度差不多。
另外，因为它是装米的袋子，所以密度应该和米一样，重量也应该与之接近，就是说， 1千克的米袋子，应该大约和1千克的米相当。
这样，我们就可以把10个1千克的米袋子叠在一起，再称量一下总重量，然后除以10，就得到大米的重量，那就是1千克。
用这个办法，我们可以称出许多东西，如一斤猪肉、两斤大米等。
由此，我们得知1kg=2斤。
所以说，在日常生活中，我们碰到了类似问题，首先要做的是把握住问题的核心，换个角度思考，找出合适的标准，然后再利用积分判别法，对问题进行分析。
然后根据具体的情况进行处理，这样，我们就能够将问题解决得更加妥善。
因此，我们学习了积分判别法后，在以后的学习或生活中碰到类似的问题时，就不会茫然无措了。
所以，让我们充分运用积分判别法吧！你的积分判别法掌握得怎么样呢？希望大家通过练习后，都能熟练地使用它。
11.2无穷积分的收敛判别法
f ( x )g ( x )dx 收敛.
作业
习题11.2 习题 1、1), 2), 3, 5); 、 2、2), 4); 3; 4. 、
∫
b
a
f ( x )g( x )dx = g (a )∫ f ( x )dx + g ( b )∫ f ( x )dx
a
ξ
b
ξ
证：当g单调减时, 令h( x ) = g ( x ) − g (b ), 非负递减
∫
b
a
f ( x )h( x )dx = h( a )∫ f ( x )dx
a
ξ
= [ g (a ) − g (b )]∫ f ( x )dx
∴当A' , A" > A0时, ∫
A"
A'
f ( x )g ( x )dx ≤ 4 Mε ,
+∞
由Cauchy收敛原理知 ∫a
f ( x )g ( x )dx 收敛.
例2
∫
+∞
1
sin x dx — — 条件收敛 x
证 ⑴
∫
A
1
满足1o sin xdx = cos A − cos 1 ≤ 2,
+ ∞ sin x 1 dx收敛. g ( x ) = , 递减趋向于 0, 满足 2o ∴ ∫1 x x sin x sin x sin 2 x 1 cos 2 x ⑵ Q = ≥ = − x x x 2x 2x + ∞ cos 2 x +∞ 1 ∫1 2 x dx 收敛, ∫1 2 x dx 发散, + ∞ sin x dx 发散. ∴∫ 1 x
∞
1
f ( x )dx = xf ( x )
01-积分判别法
§2 正项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
例13(i)讨论下列1 级数; 的敛(ii)散性.
1
.
n2 n(ln n) p
n3 n(ln n)(ln ln n) p
解 研究反常积分 dx ,由于 2 x(ln x) p
dx
2 x ln xp
有
m
m
Sm
f (n) f (1) f ( x)dx f (1) f (x)dx.
1
1
n1
根据定理12.5, 级数 f (n) 收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
反之, 若 f (n)为收敛级数, 则由(12)式右边，对任
一正整数 m(>1)有
m
1 f ( x)dx Sm1 f (n) S.
(13)
因为f (x)为非负减函数, 故对任何正数 A, 都有
A
0 1 f ( x)dx Sn S, n A n 1.
根据定理11.2, 反常积分 f ( x)dx收敛. 用同样方 1
法, 可以证明
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
积分判别法
积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛⇔⎰∞1f 收敛. 此时⎰∞1f ≤∑f (n )≤⎰∞1f + f (1).证 ⎰21f ≤f (1) = f (1), ⎰32f ≤f (2)≤⎰21f , … ,⎰+1n n f ≤f (n )≤⎰-n n f 1, 相加得⎰+11n f ≤∑-nk k f 1)(≤⎰n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负.例1(p 级数)∑pn 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件.证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法.*证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p , … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞=32ln ln 1 ,ln 1n p n p n n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1<n 21或21n ). △∑nn )(ln 1(n n a →0). △∑! n a n (a >0) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n +(nn a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1-n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n -q , 收敛).△∑(na - 1) (a >1) (由xa x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n 1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n qp n n n 的收敛性.解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p -1 x (ln ln x ) q -1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时∀p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ⎰⎰∞∞==3ln 3ln )(uu du x f dx I q p . p >1时取r使p >r >1,由u r u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =⎰∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u uu q p ln 1 →∞, I 发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p =1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.*例4 (p.16.10) a n ↓, 非负, 则∑a n 收敛⇔∑2m m a 2(=2a 2 + 4a 4 + …)收敛.证 设∑2 m m a 2= s . 因为n s 2= a 1 + a 2 + … +n a 2= a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + … + a 7 ) + … +(+++--)1221n n a a n a 2≤a 1 + 2a 2 + 4a 4 + … = a 1 + s , 故∀n s n <n s 2≤a 1 + s , 由收敛原理得∑a n 收敛.设∑a n = s , 则由a 2 ≤ a 1 + a 2 , 2 a 4 ≤ a 3 + a 4等得∑=nm m m a 12221≤ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s . 因此∑2m m a 2的部分和有界, 从而收敛.应用: ∑pn 1收敛⇔∑2m mp 21=∑2(1-p )m 收敛⇔21-p < 1⇔p >1 . ∑∑∑∑⇔=⇔p p p m p m m p m m n n 12ln 12ln 212ln 1收敛收敛收敛⇔p >1. *例5 (Raabe 判别法) 若lim n (1 -n n a a 1+) = l , 则l >1时∑a n 收敛, l < 1时∑a n 发散, l =1时不定.证 l >1时取p 使l >p >1,则n 充分大时n (1-n n a a 1+)>p ,n n a a 1+<1-pp p n n n n p ---=-≤)1()11(. 由比较法, 收敛. l <1时对充分大的n 有n (1 -n n a a 1+)<1, n n a a 1+>1-11)1(1---=n n n。
积分收敛判别法
积分收敛判别法以积分收敛判别法为标题，本文将介绍积分收敛判别法的基本概念、使用方法和常见的收敛判别法。
积分收敛判别法是数学中一个重要的概念，用于判断一个积分是否收敛或发散。
通过学习积分收敛判别法，我们能够更好地理解积分的性质和应用。
一、积分收敛和发散的概念在介绍积分收敛判别法之前，我们先来回顾一下积分收敛和发散的概念。
对于一个函数f(x)，如果它在某个区间[a,b]上的积分存在有限的极限，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=L〗，则称该积分收敛，L为该积分的值。
反之，如果该积分的极限不存在或为无穷大，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=±∞〗，则称该积分发散。
积分收敛判别法是通过对函数f(x)在某个区间[a,b]上的性质进行分析，来判断该积分是否收敛或发散的方法。
它基于一些重要的数学定理和性质，如比较判别法、绝对收敛判别法、积分中值定理等。
三、比较判别法比较判别法是积分收敛判别法中常用的一种方法。
它的基本思想是通过将要判断的积分函数与一个已知的收敛或发散的函数进行比较，来判断该积分的收敛性。
1. 比较判别法之比较定理比较定理是比较判别法的重要定理之一。
它给出了两个函数f(x)和g(x)的关系，当满足条件时，可以通过比较函数f(x)和g(x)的积分来判断积分的收敛性。
比较定理有两种形式：比较定理之一和比较定理之二。
比较定理之一：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤f(x)≤g(x)时，若∫_a^bg(x)dx收敛，则∫_a^bf(x)dx也收敛；若∫_a^bf(x)dx发散，则∫_a^bg(x)dx也发散。
比较定理之二：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤g(x)≤f(x)时，若∫_a^bg(x)dx发散，则∫_a^bf(x)dx也发散；若∫_a^bf(x)dx收敛，则∫_a^bg(x)dx也收敛。
2. 比较判别法之极限定理极限定理是比较判别法的另一种形式。
第4讲 一般函数无穷积分的判别法
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判
别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.
定理11.3（狄利克雷判别法）
∫ 若 F (u) u f ( x) dx 在[a, +∞)上有界，g( x)在[a, +∞) a +∞
+
当 1 < p < +∞ 时，
∫1
类似可证: +∞ 当 0 < p ≤ 1时， ∫1
∞ sin x x p dx 绝对收敛.
cos x x p dx 条件收敛;
∫ 当 1 <
p
<
+∞
+
时， 1
∞
cos x xp
dx
绝对收敛.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
∫ ∫ 例6
讨论
+∞ 1
sin x xp
dx
与
+∞ 1
cos x xp
dx
(
p
>
0)
的收敛性.
∫ 解 当 p > 1时, 由于
sin x xp
≤
1 xp
,
因此
+∞ 1
sin x xp
d
x
绝对
收敛.
若 0 < p ≤ 1 , 则当 u ≥ 1时
+∞
∫ [a,+∞)上有界, 由狄利克雷判别法 a f ( x) g1( x)dx
高等数学第11章第2节无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可积, 且⎰+∞=ak dx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )定理： 无穷 积分⎰+∞adx x f )(收敛 εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不真. 绝对型积分与非绝对型积分 .二 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判别法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim . 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且λ=+∞→)(lim x f x p x . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分 ⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xxp 与⎰+∞1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果, 积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 .但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )作业：P275 2， 3， 4(3)(4)(5)(6), 5(1)(4)。
无穷级数积分判别法
无穷级数积分判别法无穷级数积分判别法是数学中用来判断无穷级数收敛或发散的方法之一。
在数学中，无穷级数是指由无穷多个数相加或相减而得到的数列，它是数学分析中的重要概念之一。
对于一个无穷级数，我们可以使用积分判别法来判断其是否收敛。
积分判别法是基于函数的连续性和单调性来进行判断的。
我们需要将无穷级数的通项表示为一个函数。
然后，我们对该函数进行积分，得到一个新的函数。
接下来，我们观察这个新函数的性质，判断它是否收敛。
如果新函数收敛，则原无穷级数也收敛；如果新函数发散，则原无穷级数也发散。
具体来说，我们可以使用以下三个常用的无穷级数积分判别法：1. 柯西收敛判别法：柯西收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足a(n+1) / a(n) <= 1，则该级数收敛；如果 a(n+1) / a(n) >= 1，则该级数发散。
2. 比值收敛判别法：比值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) a(n+1) / a(n) < 1，则该级数收敛；如果 lim(n->∞) a(n+1) / a(n) > 1，则该级数发散。
3. 根值收敛判别法：根值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) √(a(n)) < 1，则该级数收敛；如果lim(n->∞) √(a(n)) > 1，则该级数发散。
这些判别法的基本思想都是通过比较级数通项的性质来判断级数的收敛性。
需要注意的是，这些判别法只能判断正项级数的收敛性，对于一般的级数，我们需要将其拆分为正项级数和负项级数分别判断。
还有一些特殊的级数，如幂级数、调和级数等，它们有自己特定的判别法。
幂级数的判别法涉及到收敛半径和收敛区间的计算，而调和级数的判别法则需要使用积分来进行推导。
总结起来，无穷级数积分判别法是一种重要的数学工具，它能够帮助我们判断无穷级数的收敛性。
通过对级数通项进行积分，并观察积分函数的性质，我们可以得出级数的收敛或发散的结论。
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
(完整版)《高数》积分判别法
(完整版)《高数》积分判别法积分判别法 若在[1，∞）上 f 减， 非负, 则∑f （n)收敛 1 f 收敛。
此时 1 f ≤∑f （n）≤ 1 f + f (1).证 ≤ 1n f +12 ff ≤f （1) = f (1）， 23 f （1). 令 n→∞得证。
≤f (2)≤ 12f，…，nn1 f≤f (n）≤ nn1 f， 相加得 1n1 f≤nf(k)k 1注。
条件可改为 x 充分大时 f 减， 非负。
例 1（p 级数）∑ 1 当且仅当 p > 1 时收敛。
np证一. p > 0 时用积分判别法； p≤0 时由必要条件.证二 p≤1 时由 n p≥n 1 得发散， p>1 时用积分判别法.＊证三 p≤1 时由 n p≥n 1 得发散. p 〉 1 时按下列方法加括号： 括号内的项数依次为 1, 2, 4, 8,16， …, 则由 1 1 2 1 , 1 1 4 1 ， … 及比较判别法知加括号后的级数收敛， 故 p 级数也2 p收敛3。
p 2 p 2 p1 4 p7 p 4 p 4 p1△n21 n ln p, nn3nln1 n lnpn，….备考。
设 f (x) = （x ln px） 1 （x≥2）， 则 p≥0 时显然 f 减. 而 p< 0 时对充分大的 x， f 仍减［p〈 0 时 f ' (x） = （x ln px） 2 ln p 1x (ln x + p）< 0 (x > e p）， 故可直接应用积分判别法得∑(n ln pn） 1 当 p > 1 时收敛， p≤1 时发散。
△∑ n (1 n)3(~1 )。
n2△nn 1(~1 n)。
△(1np n)pq(~ 1 ) 。
△∑sin 1nqn(～ 1 ). n△∑ 1 nn（ n an= 1 →0, n或1 nn<1 2n或1 n2).△∑ 1 (ln n)n（ n an→0)。
积分判别法
积分判别法今天，我们要学习的知识就是——积分判别法。
什么是积分判别法呢？顾名思义，就是从各方面来评价一个人。
首先我们来说第一个例子： x，一位英俊潇洒、风度翩翩的少年； y，一位面目清秀、非常漂亮的小姑娘； z，一位身材健美的阳光少年……这样三位同学站到你面前，你怎么能够一眼就分辨出他们谁是谁呢？1、“打扮”是指人的外表穿戴。
比如： x同学穿着整洁，脸色白皙，这便是一种“打扮”； y同学穿着时髦，脸上略施粉黛，这也算是“打扮”。
2、言行举止可以看出人的性格。
比如： x同学彬彬有礼，从不大声喧哗，这也是一种“打扮”。
y同学性格内向，总是默默无闻地做事，很少讲话，更没有任何动作，这也属于“打扮”。
3、在同学中玩游戏也是对别人的一种“打扮”。
比如：每次游戏中x同学总是扮演一些十分困难的角色，并且主动和y同学组成搭档。
这也是一种“打扮”。
3。
打扮还包括用具的装饰。
比如：一件非常好看的衣服，但是它的穿法和颜色和自己不搭配，这也是一种“打扮”。
4。
心灵美也是一种“打扮”。
比如：即使长得再丑陋的人，只要心灵美丽，精神高尚，那么他就是一位美丽的人。
同样，即使长得再漂亮的人，如果心灵肮脏、灵魂低下，那他就是一位丑陋的人。
所以，“打扮”是人的重要特征之一，但它还远远不是全部。
其实，我们每个人的穿戴、打扮、言行举止都属于一种“打扮”。
我们通过观察别人的外貌、言行举止等，就能够大致推断出一个人的品质修养。
一个人的品质修养，是我们了解和评价一个人的重要依据。
刚才我们说了这么多，不禁让我们感慨万千：“我们与人交往时，只有注意自己的形象和礼仪，提升自身修养，才能给别人留下良好的印象。
”那么，怎样才能提高自身修养呢？我想，关键就在于平时的“打扮”。
假如一个人很懒惰，穿着很邋遢，头发蓬乱，满口脏话，讲起话来毫无顾忌，不修边幅，那么别人就会觉得他不太讲卫生，甚至很难相处，因此[gPARAGRAPH3]一定的印象。
相反，一个人在平时的生活中非常讲究个人卫生，而且经常注意修饰自己的容貌，即使不化妆，也会给人干净整洁的感觉，这样的人别人也愿意和他交往。
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积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛⇔⎰∞1f 收敛.
此时⎰∞1f ≤∑f (n )≤⎰∞1f + f (1). 证 ⎰21f ≤f (1) = f (1), ⎰32f ≤f (2)≤⎰21f , … ,⎰+1n n f ≤f (n )≤⎰-n n f 1, 相加得⎰+11n f
≤∑-n k k f 1)(≤⎰n f 1+ f (1). 令n →∞得证.
注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n
1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件.
证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法.
*证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p , … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞
=32ln ln 1 ,ln 1n p n p n
n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1<n 21或21n ). △∑n
n )(ln 1(n n a →0). △∑! n a n (a >0) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e
1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n +(n n a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1
-n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n -q , 收敛). △∑(n a - 1) (a >1) (由
x a x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n
1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n q
p n n n 的收敛性.
解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p -1 x (ln ln x ) q -1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时∀p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ⎰⎰∞∞==3ln 3ln )(u
u du x f dx I q p . p >1时取r 使p >r >1, 由u r
u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =⎰∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u u
u q p ln 1
→∞, I 发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p =1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.
*例4 (p.16.10) a n ↓, 非负, 则∑a n 收敛⇔∑2m m a 2(=2a 2 + 4a 4 + …)收敛.
证 设∑2 m m a 2= s . 因为n s 2= a 1 + a 2 + … +n a 2= a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + … + a 7 ) + … +
(+++--)1221n n a a n a 2≤a 1 + 2a 2 + 4a 4 + … = a 1 + s , 故∀n s n <n s 2≤a 1 + s , 由收敛原理
得∑a n 收敛.
设∑a n = s , 则由a 2 ≤ a 1 + a 2 , 2 a 4 ≤ a 3 + a 4等得∑=n
m m m a 1
2221≤ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s . 因此∑2m m a 2的部分和有界, 从而收敛.
应用: ∑
p n 1收敛⇔∑2m mp 21=∑2(1-p )m 收敛⇔21-p < 1⇔p >1 . ∑∑∑∑⇔=⇔p p p m p m m p m m n n 12ln 12ln 212ln 1收敛收敛收敛⇔p >1. *例5 (Raabe 判别法) 若lim n (1 -n n a a 1+) = l , 则l >1时∑a n 收敛, l < 1时∑a n 发散, l = 1时不定.
证 l >1时取p 使l >p >1,则n 充分大时n (1-n n a a 1+)>p ,n n a a 1+<1-p p p n n n n p ---=-≤)
1()11(. 由比较法, 收敛. l <1时对充分大的n 有n (1 -n n a a 1+)<1, n n a a 1+>1-11)1(1---=n n n。