12.5 阻尼对振动的影响
阻尼与振动
单自由度体系有阻尼振动
2)ξ=1（临界阻尼）情况 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。 （振与不振的分界点）
θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
单自由度体系有阻尼振动
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共 计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
β ξ=0 ξ=0.1
共振时 1 2
4.0
3.0 2.0 1.0 0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0 1.0 2.0
θ/ω 3.0
单自由度体系有阻尼振动
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
单自由度体系有阻尼振动
FD (t )
S
k
m P(t)
FS (t ) ky(t ) FI (t ) my(t ) FD (t ) cy
m 平衡方程:
. F (t) y .
P(t) FI(t)
cy ky P(t ) m y
P(t)
单自由度体系有阻尼振动
二、阻尼对自由振动的影响
yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 2 y k 1 2 0.4 2 2 4.189s 1 T 1.5
力学系统阻尼对振动特性的影响研究
力学系统阻尼对振动特性的影响研究在我们的日常生活和工程实践中，振动现象无处不在。
从车辆的行驶过程中的颠簸，到建筑物在风中的摇晃，再到机械零件的运转，振动都扮演着重要的角色。
而在这些振动现象中，力学系统的阻尼起着至关重要的作用。
阻尼是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性。
它就像是一个“阻力器”，影响着振动的强度、频率和持续时间等特性。
为了更好地理解阻尼对力学系统振动特性的影响，让我们首先来了解一下什么是力学系统的振动。
简单来说，振动就是物体在平衡位置附近做往复运动。
比如，一个悬挂在弹簧上的重物，当它被拉离平衡位置然后释放，就会在弹簧的作用下上下振动。
这种振动的特性可以用振幅、频率和相位等参数来描述。
振幅是指振动的最大位移量，它反映了振动的强度。
频率则是单位时间内振动的次数，决定了振动的快慢。
相位则描述了振动在时间上的起始点和相对关系。
那么，阻尼是如何影响这些振动特性的呢？当一个力学系统存在阻尼时，最明显的影响就是振幅的逐渐减小。
阻尼力会消耗振动系统的能量，使得振动的幅度越来越小，最终振动停止。
这就好比一个在粗糙地面上滚动的球，由于地面的摩擦力（相当于阻尼），球的滚动速度会逐渐减慢，最终停止。
阻尼对振动频率也有一定的影响。
在一些简单的力学系统中，如小阻尼情况下的单自由度线性振动系统，阻尼的存在会使振动频率略微降低。
但在复杂的系统中，阻尼对频率的影响可能会更加复杂，需要通过详细的数学分析来确定。
此外，阻尼还会改变振动的持续时间。
阻尼越大，振动衰减得越快，振动持续的时间就越短。
反之，阻尼越小，振动衰减得越慢，振动持续的时间就越长。
为了更深入地研究阻尼对振动特性的影响，我们可以通过建立数学模型来进行分析。
以一个简单的单自由度有阻尼振动系统为例，其运动方程可以表示为：＄m\ddot{x} ＋ c\dot{x} ＋ kx ＝ 0$其中，＄m$是物体的质量，＄c$是阻尼系数，＄k$是弹簧的刚度系数，＄x$是物体的位移。
阻尼对振动的影响
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y {et C1cosrt C2 sinrt} +{Asin θt +Bcos θt }
2f 4.48 1s
(3)阻尼特性
1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主
要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷 载处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对
说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
y yP sin(t ), FS ky kyP sin(t ), FI my m 2 yP sin(t ), FD cy c yP cos(t )
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
了解阻尼对振动系统的影响及应对方法
了解阻尼对振动系统的影响及应对方法阻尼是振动系统中一个重要的参数，它对振动系统的影响不可忽视。
在本文中，我们将探讨阻尼对振动系统的影响以及应对方法。
一、阻尼对振动系统的影响阻尼是指振动系统中的能量损耗过程，它可以减小振动系统的振幅，并使其逐渐趋于稳定状态。
阻尼的存在可以消除振动系统的过渡过程，使其更加稳定和可靠。
1. 减小振幅阻尼的主要作用之一是减小振动系统的振幅。
当振动系统受到外界激励时，如果没有阻尼的存在，振动系统将会不断地振荡下去，振幅可能会越来越大，甚至导致系统失控。
而有了阻尼后，能量损耗将会使振幅逐渐减小，使系统保持在一个合适的范围内。
2. 调整振动频率阻尼还可以调整振动系统的频率。
在没有阻尼的情况下，振动系统的频率由其固有频率决定。
但是，当阻尼存在时，振动系统的频率将会发生变化。
具体来说，阻尼会使振动系统的固有频率减小，从而影响系统的振动特性。
二、应对方法在实际应用中，我们常常需要对振动系统进行控制和调节，以满足特定的需求。
下面是一些常用的应对方法：1. 增加阻尼如果振动系统的振幅过大或频率不稳定，可以考虑增加阻尼来控制振动。
增加阻尼的方法有很多种，例如增加阻尼材料的摩擦力、调整阻尼器的参数等。
通过增加阻尼，可以有效地减小振动系统的振幅，并使其更加稳定。
2. 优化结构设计在设计振动系统时，可以通过优化结构设计来减小振动的影响。
例如，在建筑物的设计中，可以合理选择材料、增加结构的刚度等，以减小振动系统的振幅。
此外，还可以采用隔振措施，如增加隔振垫、设置隔振支座等，来减小振动对周围环境的影响。
3. 使用控制器在一些需要精确控制振动的应用中，可以使用控制器来实现振动系统的控制。
控制器可以根据实际需求调整振动系统的参数，以实现对振动的精确控制。
例如，在飞机的自动驾驶系统中，控制器可以根据飞行状态和航线要求，调整飞机的姿态和振动，使其保持稳定和平稳。
总结起来，了解阻尼对振动系统的影响及应对方法对于设计和控制振动系统具有重要意义。
阻尼实验研究阻尼对振动的影响
阻尼实验研究阻尼对振动的影响在物理学中，振动是一种对象周期性的来回运动。
在实际生活中，许多系统和设备都会受到振动的影响，其中阻尼是一种重要的现象。
本文将探讨阻尼对振动的影响，并介绍一种阻尼实验的研究方法。
一、引言振动是一个物体或系统围绕其平衡位置做周期性的运动。
在没有阻尼的情况下，振动将保持永恒的运动。
然而，在实际应用中，阻尼是难以避免的，并且会对振动产生重要影响。
二、阻尼对振动的影响1. 阻尼的定义与分类阻尼是指在振动过程中对振动物体的相对运动产生阻碍的力或现象。
根据阻尼的特性，可以将其分为以下几类：- 无阻尼振动：没有外界阻力的影响，系统能够永久地保持振动。
- 强迫振动：在周期性外力作用下，系统振动频率与外力频率相同。
- 欠阻尼振动：阻尼力较小，系统在振动后会经历一段减振过程，但最终回到平衡位置。
- 临界阻尼振动：当阻尼适中时，系统在振动后恢复到平衡位置需要的时间最短。
- 过阻尼振动：阻尼力较大，系统在振动后不能完全回到平衡位置。
2. 阻尼对振动的影响阻尼的存在会改变振动系统的特性，对振动的幅度、频率和周期等方面产生影响：- 阻尼会减小振动的幅度：振动会随时间减弱，直至停止运动。
- 阻尼会改变振动的频率：阻尼越大，振动频率越低。
- 阻尼会增加振动的周期：阻尼减弱了振动系统的回复速度。
三、阻尼实验研究方法为了研究阻尼对振动的影响，可以进行一种名为“阻尼实验”的实验。
以下是该实验的步骤：1. 实验材料和器材准备- 弹簧振子：用于模拟振动系统。
- 钟摆计时器：用于测量振动的周期。
- 阻尼装置：可调节振动的阻尼大小。
2. 实验步骤1）将弹簧振子悬挂在支架上，并保证其自由振荡无阻尼状态下。
2）调节阻尼装置，逐渐增加阻尼的大小，记录每次增加后的振动周期和振幅。
3）重复步骤2，直到观察到过阻尼的情况。
3. 实验结果分析根据实验数据，绘制阻尼大小与振动周期的关系图，并分析不同阻尼对振动的影响。
可以观察到阻尼越大，振动周期越长，振动幅度越小。
阻尼
阻尼对振动的影响
1.1因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。
振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。
振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。
1.2产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。
1.3阻尼力的分类
阻尼力的方向与质量的运动速度方向相反，其大小有三种情况：阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力。
阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力属于这一类。
阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。
上述三种阻尼力中，粘滞阻尼力的分析比较简单，其他类型的阻尼力可以转化为等效粘滞阻尼力来分析。
1.4有阻尼自由振动微分方程的解
低阻尼（阻尼比小于1）情况
体系的振动是一条逐渐衰减的振动，阻尼的大小对自振频率和振幅都有影响。
阻尼比为1
动位移的变化曲线具有衰减特性，但是不具有波动性质。
阻尼比大于1
体系在自由反应中不出现振动现象。
这种情况在实际中很少遇到。
12.5 阻尼对振动的影响解析
FC cy
my cy k11 y FP t
聊城大学建筑工程学院
式中，c为阻尼系数； y 为质点速度。负号表明 FC 的方向 的方向相反，它在振动时作负功，因而造 恒与质点速度 y 成能量耗散 。 一般运动方程为:
12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）
研究有阻尼的自由振动，其目的在于： 1)求考虑阻尼的自振频率ω r或自振周期 Tr，更贴近实际情况
聊城大学建筑工程学院
y k 1 y k e
t k Tr
e
t k
e
Tr
对上式等号两边取倒数（分子与分母换位后）再取自然对数，
yk 2π Tr ln ln e Tr y k 1 r
yk 1 r 因此： ln 2 π yk 1
2πn
工程上通过实测yk 及yk+n来计算ξ 。
聊城大学建筑工程学院
关于求体系振动n周后的振幅
y 1 ln 0 2 π n yn
yn
，其计算式为：
T y y e 1 0
yn y0 e
T n
（当n=1）
当振动n周后
yn y1 y0 y0
t
其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质，但不具有 波动性质。
聊城大学建筑工程学院
综合以上的讨论可知：当ξ ＜1时，体系在自由反应中是会引 起振动的；而当阻尼增大到ξ ＝1时，体系在自由反应中即不 引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示 c 在 中，令ζ ＝1，则 cr 2m 2 mk11 2m
12.5 阻尼对振动的影响
12.5.1 关于阻尼的定义 阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
阻尼振动实验了解阻尼对振动的影响
阻尼振动实验了解阻尼对振动的影响阻尼振动实验是研究物体在受到外力作用下发生振动的过程中，阻尼对振动产生的影响。
通过实验，可以直观地了解阻尼对振动的调控作用，并且对振动现象有更深入的认识。
本文将介绍阻尼振动实验的原理与步骤，并讨论不同阻尼对振动的影响。
一、实验原理在进行阻尼振动实验之前，需要了解几个基本物理概念。
首先，振动是物体在受到外力作用后迅速来回运动的现象。
其次，阻尼是指物体在振动过程中由于外界环境的摩擦或阻碍而逐渐减弱振动幅度的现象。
阻尼振动实验中，常用的装置是简谐振动装置。
该装置通常由弹簧、质块和阻尼装置组成。
弹簧是质块进行振动的力源，质块则是振动的物体，阻尼装置则模拟外界环境对振动的阻碍作用。
实验中可以通过改变阻尼装置的位置或调整其参数来研究不同阻尼对振动的影响。
二、实验步骤1. 准备实验装置：安装简谐振动装置，调整各个零件的位置，确保实验平稳进行。
2. 设置实验参数：根据实验需求，选择合适的阻尼装置并确定其位置。
可以尝试不同位置或不同参数的阻尼装置，以获得更多的数据。
3. 开始振动：将实验装置置于平稳的工作台上，给质块施加一个初速度或初始位移，观察振动的过程。
4. 记录数据：使用合适的测量工具（如计时器、振动传感器等），记录振动的周期、振幅和衰减等数据。
5. 分析数据：根据记录的数据，观察不同阻尼条件下振动的特征，并进行数据处理，得出结论。
三、不同阻尼对振动的影响1. 无阻尼振动：在无阻尼的情况下，质块的振动将保持恒定的振幅和频率。
振动过程中能量不会衰减，持续较长的时间。
无阻尼振动是理想的振动状态，但实际很难实现。
2. 强阻尼振动：强阻尼是指阻尼力对振动系统有较大的约束作用，使振幅迅速减小。
在强阻尼情况下，质块的振动几乎立即停止。
3. 弱阻尼振动：弱阻尼是指阻尼力对振动系统的约束相对较小，使振幅缓慢衰减。
在弱阻尼情况下，质块的振动会持续一段时间，并逐渐减小振幅。
通过实验观察不同阻尼情况下的振动特征，可以发现阻尼对振动产生的影响。
阻尼现象对振动周期的影响实验研究
，系统容易发生共振现象，导致振幅急剧增大；而当阻尼过大时，系统
响应变得迟钝，影响工作效率。
实验结论和解释
阻尼现象对振动周期具有显著影响
实验结果表明，阻尼的增加会导致振动周期延长。这一结论对于工程实践中减振降噪、提 高系统稳定性具有重要意义。
阻尼与系统稳定性密切相关
实验结果还揭示了阻尼与系统稳定性之间的内在联系。适当的阻尼可以抑制系统共振，提 高稳定性；而过小或过大的阻尼都会对系统性能产生不良影响。
03
06
4. 改变阻尼器的大小，重复步骤3，记录 不同阻尼下的振动加速度数据。
05
3. 开启振动台，使其产生振动，并通过 数据采集仪记录振动加速度数据。
04
2. 将加速度传感器固定在振动台上，以 测量振动加速度。
实验数据记录和处理
01 02 03 04 05
数据记录：记录不同阻尼下的振动加速度数 据，包括振幅、频率等。
学术研究意义
阻尼现象是振动领域的重要研究方向之一。通过实验研究阻尼对振动周期的影 响，可以深入揭示阻尼现象的内在规律，为相关理论研究和工程应用提供有力 支持。
研究目的和问题
研究目的
本实验旨在通过模拟不同阻尼条件下的振动过程，探究阻尼 现象对振动周期的关键问题包括如何准确模拟不同 阻尼条件、如何精确测量振动周期以及如何通过数据分析揭 示阻尼与振动周期之间的内在关系。
振动系统内部各部件之间的摩擦 是产生阻尼的主要原因之一。这 种摩擦会导致能量的耗散，使振 动幅度减小。
外部作用
外部作用力或环境因素（如空气 阻力、水阻力等）也会对振动系 统产生影响，导致能量的损失和 振动周期的变化。
阻尼现象对振动系统的影响
A
振幅减小
阻尼力对振动系统的影响
阻尼力对振动系统的影响振动是物体在某一点上周围位置的周期性往复运动。
在振动系统中，阻尼力是一个重要的因素，它对振动产生了重要的影响。
本文将探讨阻尼力对振动系统的影响，并介绍不同阻尼情况下的振动现象。
首先，我们来了解一下什么是阻尼力。
阻尼力是指在一个物体运动过程中由于其周围介质的阻力所产生的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，切向上的方向与物体运动的方向相反。
在振动系统中，阻尼力可以通过不同的方式产生，例如空气阻力、液体阻力以及固体的内部摩擦等。
当振动系统受到阻尼力的影响时，其振动特征将发生明显变化。
在没有阻尼力的情况下，振动系统可以无限振动，即能量始终保持不变。
而当存在阻尼力时，振动系统的能量将不再恒定，而是逐渐减小。
当阻尼力很小的时候，振动系统称为欠阻尼系统。
在欠阻尼系统中，振动会经历一系列阻尼振荡，振幅逐渐减小，直至停止。
在这种情况下，系统中的能量损失较小，振动周期仍然保持较为稳定。
然而，当阻尼力增大到某一程度时，振动系统将进入临界阻尼状态。
临界阻尼的特点是振动在最短时间内消失，但不产生过振现象。
这是因为阻尼力抵消了系统的弹性势能，使振动系统在最短时间内回到平衡位置。
最后，当阻尼力继续增大时，振动系统进入过阻尼状态。
在过阻尼状态下，振动系统没有周期性，而是以较缓的速度逐渐回到平衡位置。
过阻尼系统中，振动时间较长，振幅减小缓慢，能量衰减较快。
阻尼力对振动系统的影响不仅体现在振动特征上，还对系统的稳定性产生了影响。
在一些需要稳定振动的系统中，为了降低阻尼对振动系统的干扰，可以通过一些方法来减小阻尼力。
例如，在机械系统中，可以加装减震器来降低振动的阻尼效应；在电子系统中，可以通过使用合适的电路来控制系统的阻尼特性。
总之，阻尼力在振动系统中扮演着重要的角色。
不同阻尼情况下的振动表现出不同的特征，从欠阻尼到临界阻尼再到过阻尼，每一种情况都有其独特的振动形态。
掌握阻尼力对振动系统的影响，有助于我们更好地理解和应用振动现象。
阻尼对振动的影响
（4）当 q > w 时 b < 1 动力位移与动力荷载反向。 （5）当 q >> w 时 b 0 质点只在静平衡位置 附近作极微小的振动。
**对于结构内力也存在与结构位移相似的情况
y( t) = Ae
-xw t
sin(w rt + j )
Ai+1
y ) A (t i
t i
T D
t+1 i
t
w r =w 1 - x
2
---有阻尼的自振频率 ---阻尼比
c c x = = 2mw cr
cr = 2 mw
--临界阻尼系数
3. 振动分析 振动分析
x < 1(c < 2mw )
小阻尼情况 临界阻尼情况 不振动 不振动
3.振动分析
纯强迫振动分析
y ( t) = Asin qt
P A = m( 2 - q 2 ) w
y ( t) = Asin qt
P A = m( 2 - q 2 ) w
P = × 2 mw 1
q 2 1- 2 w
P = Pd 11 = yst 2 m
q 2 1- 2 w
10.4 单自由度结构在简谐荷载下的强迫振动
(不计阻尼)
P(t)= Psinqt
P ---荷载幅值
P(t) l
EI
m y ) (t
q ---荷载频率
1.运动方程 运动方程
& m& t)+ k y t)= Psinqt y ( ( 11
---二阶线性非齐次常微分方程
2.方程的解
P y()= c cos t+ c sin t+ t 1 w 2 w sin t q 2 2 mw -q ) (
结构力学专题九(阻尼对振动的影响)
§10.2.3 阻尼对振动的影响 二、阻尼对自由振动的影响
1、运动方程的解
y(t)
c m
y(t)
k m
y(t)
0
设: c 得 2 m
y(t) 2y(t) 2 y(t) 0
Cr 2m 2 km 与体系自身特性有关
C Cr
表示阻尼系数与临界阻尼系数的比值, 称为阻尼比.
由公式 y(t) ce t sin( rt ) 知
yk yk 1
e t e (t Tr )
e Tr
ln 1
yk
2
y k 1
或：
1
2ｎ
ln
yk yk n
例1: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平 衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由 振动,经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求:
L
例２：求图示结构动力反映。
已知: EI 3200Nm2, L 1m,W 6kN,
4.5 , F 96Ｎ， ＝0.194。 FP (t)
A EI
W
计算最大动位移LL2 Nhomakorabea2
如果自振频率的计算误差为２５％时，最大 动位移可能是多少？
计算Ａ点最大动剪力
总结内力幅值计算规律：
R内 r内1(D(t) IF (t)) r内2 (FP (t))
阻尼比ξ是反映阻尼的基本系数，可通过实验得到 。
令 r 1 2 为有阻尼情况自振频率
y(t) e t (c1 sin rt c2 cosrt)
2、阻尼对振动的影响 （１）对固有频率的影响
r 12
随 增加而减小
但一般情况下, 很小，固有 r
阻尼对振动的影响
m EI=∞
9.8kN
2π 2π ωr = = = 4.189 s −1 T 1. 5
ωr = ω 1 − ξ 2 ⇒ ω = 4.191s −1
P 9.8×10 3 k= = =196×10 4 N / m A0 0.005
4 2 × 0 . 0355 × 196 × 10 ξk = = 33220 N ⋅ s / m c =2ξmω = 2 ω 4.189
2. 有阻尼的自由振动 桥梁结构的跳车试验： 在桥跨结构跨中桥面设置高度10cm的三角形垫木，使 30t汽车后轴置于其上，然后突然下落，测定桥梁结构在动 荷载作用下的强迫振动响应（阻尼比）。2. 有阻尼ຫໍສະໝຸດ 自由振动 (2) 考虑ξ=1的情况:
λ = －ω
初始 条件
y
tgθ 0 = v0
θ0
y (t ) = Ceλt
λ = ω (−ξ ± ξ 2 − 1)
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。
t
cr = 2mω = 2 mk
c ξ= cr − − 阻尼比
k c ω= , ξ= m 2mω
(3) ξ>1，体系在自由反应中仍不引起振动。
3. 有阻尼的强迫振动
回顾： 无阻尼、一般荷载下的强迫振动：
FP(t)
τ
dτ
t
υ0 1 t y (t ) = y0 cos ωt + sin ωt + Fp (τ ) sin ω (t − τ )dτ ∫ mω 0 ω
回顾：有阻尼自由振动：
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t 0 ，即得有阻尼自由振动方程 令 F P
令 2 k11 m ， c m 2 ，有 则
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m y c y ky 0 1 1
2 y 2 y y 0
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c 2m
ζ 称阻尼比。
2 y 2 y y 0
运动方程为
m yc yk y F t 1 1 P
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12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）
研究有阻尼的自由振动，其目的在于：
1) 求考虑阻尼的自振频率ωr或自振周期Tr。
2) 求阻尼比ζ，由其大小可知道结构会不会产生振动（ ζ ＜1， 结构才考虑振动），振动衰减的快慢（ ζ 越大，衰减速度越 快）。
按照等比级数
eTr 或 yk1 yk
逐渐衰减的波动曲线。
经过一个周期T ，相 2 π 邻两个振幅yk+1与yk的比值为
t T t T k r k r y y e e e k 1k
由此可见，振幅是按几何级数 衰减的，而且ζ值越大（阻尼越 大），则衰减速度越快。
设微分方程的解为
y Cet
则λ由下列特征方程所确定
2 2 2 0
其解为
1
2
根据λ ＜1、 λ =1、 λ ＞1三种情况，可得出三种运动状态，现 分析如下：
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1.考虑λ ＜1的情况（即低阻尼情况）
2 1 r
则
i 1 ,2 r
（二共轭虚根）
此时，微分方程的解为
t y e C cos t C sin t 1 r 2 r
y 0 v y 0 再引入初始条件（当t＝0时 y 0 ， 0 ，），即得
v y 0 0 y e y cos t sin t 0 r r r
t
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et 称为衰减系数。
v y t 0 0 y e y cos t sin t r r 0 r
设
v0 y0 a cos r
当振动n周后
y y y n 1 y 0 0
n
2
2.考虑ζ =1的情况（即临界阻尼情况） 由
1,2 y 2 y y 0 因此，微分方程 的解为
2
，得 1
t y C C t e 1 2
该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到 的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速 度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力
F c y C
式中，c为阻尼系数；y 为质点速度。负号表明 F C 的方向恒与质点 的方向相反，它在振动时作负功，因而造成能量耗散 。 速度 y
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T r y y e e e k 1k
t T t k r k
对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，
y 2 π T k r ln ln e T r y k 1 r
yk 1 ln 2πn ykn
令 ln
yk ，则 yk n
2πn
工程上通过实测yk及yk+n来计算ζ。
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关于求体系振动n周后的振幅
yn
，其计算式为
y 1 T T n ln 0 y y y y e 1 0 n 0 e 2πn y （当n=1） n
因此
y 1 r ln k 2π y k 1
yk 1 ln 2 π yk1
如果ζ ＜0.2，则
r 1
，于是可取
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令 ln
yk ，称为振幅的对数递减率，则 y k 1
同样，相隔n个周期
2π
2
y0 a sin
v y y 2 1 0 0 0 r a y , tan 0 v y r 0 0
则
t y e a sin( t ) r
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重庆大学土木工程1 关于阻尼的定义
阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。
振动中的阻尼力有多种来源，例如:
1) 结构与支承之间的摩擦。 2) 结构材料之间的内摩擦。 3) 周围介质的阻力等。
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12.5.2 粘滞阻尼理论
t y e a sin( t ) r
可见，低阻尼时（ λ ＜1时）仍属周期运 动，但不是简谐运动 （因为不是常数，t是 变量），是周期性的 衰减运动。
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【讨论】下面讨论两个问题： (1)阻尼对自振频率的影响
2 1 r
（随ζ 的增大而减小 )
当ζ ＜0.2时（一般建筑结构ζ ＜0.1），0.98 r 1 ，阻尼 对自振频率的影响可以忽略不计，故取
r 2 Tr T r
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(2)阻尼对振幅
ae
t
的影响
t
振幅
A t a e