12.5 阻尼对振动的影响

该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到 的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速 度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力
F c y C
式中，c为阻尼系数；y 为质点速度。负号表明 F C 的方向恒与质点 的方向相反，它在振动时作负功，因而造成能量耗散 。 速度 y
yk 1 ln 2πn ykn
令 ln
yk ，则 yk n
2πn
工程上通过实测yk及yk+n来计算ζ。
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关于求体系振动n周后的振幅
yn
，其计算式为
y 1 T T n ln 0 y y y y e 1 0 n 0 e 2πn y （当n=1） n
t 0 ，即得有阻尼自由振动方程 令 F P
令 2 k11 m ， c m 2 ，有 则
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m y c y ky 0 1 1
2 y 2 y y 0
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c 2m
ζ 称阻尼比。
2 y 2 y y 0
设微分方程的解为
y Cet
则λ由下列特征方程所确定
2 2 2 0
其解为
1
2
根据λ ＜1、 λ =1、 λ ＞1三种情况，可得出三种运动状态，现 分析如下：
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1.考虑λ ＜1的情况（即低阻尼情况）
t y e a sin( t ) r
可见，低阻尼时（ λ ＜1时）仍属周期运 动，但不是简谐运动 （因为不是常数，t是 变量），是周期性的 衰减运动。
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【讨论】下面讨论两个问题： (1)阻尼对自振频率的影响
2 1 r
因此

y 1 r ln k 2π y k 1
yk 1 ln 2 π yk1
如果ζ ＜0.2，则
r 1
，于是可取
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令 ln
yk ，称为振幅的对数递减率，则 y k 1
同样，相隔n个周期
2π
t
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et 称为衰减系数。
v y t 0 0 y e y cos t sin t r r 0 r
设
v0 y0 a cos r
（随ζ 的增大而减小 )
当ζ ＜0.2时（一般建筑结构ζ ＜0.1），0.98 r 1 ，阻尼 对自振频率的影响可以忽略不计，故取
r 2 Tr T r
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(2)阻尼对振幅
ae
t
的影响
t
振幅
A t a e
运动方程为
m yc yk y F t 1 1 P
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12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）
研究有阻尼的自由振动，其目的在于：
1) 求考虑阻尼的自振频率ωr或自振周期Tr。
2) 求阻尼比ζ，由其大小可知道结构会不会产生振动（ ζ ＜1， 结构才考虑振动），振动衰减的快慢（ ζ 越大，衰减速度越 快）。
2 1 r
则
i 1 ,2 r
（二共轭虚根）
此时，微分方程的解为
t y e C cos t C sin t 1 r 2 r

y 0 v y 0 再引入初始条件（当t＝0时 y 0 ， 0 ，），即得
v y 0 0 y e y cos t sin t 0 r r r
2
yຫໍສະໝຸດ Baidu a sin
v y y 2 1 0 0 0 r a y , tan 0 v y r 0 0
则
t y e a sin( t ) r
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按照等比级数
eTr 或 yk1 yk
逐渐衰减的波动曲线。
经过一个周期T ，相 2 π 邻两个振幅yk+1与yk的比值为
t T t T k r k r y y e e e k 1k
由此可见，振幅是按几何级数 衰减的，而且ζ值越大（阻尼越 大），则衰减速度越快。
当振动n周后
y y y n 1 y 0 0
n
2
2.考虑ζ =1的情况（即临界阻尼情况） 由
1,2 y 2 y y 0 因此，微分方程 的解为
2
，得 1
t y C C t e 1 2
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T r y y e e e k 1k
t T t k r k
对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，
y 2 π T k r ln ln e T r y k 1 r
12.5 阻尼对振动的影响
12.5.1 关于阻尼的定义
阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。
振动中的阻尼力有多种来源，例如:
1) 结构与支承之间的摩擦。 2) 结构材料之间的内摩擦。 3) 周围介质的阻力等。
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12.5.2 粘滞阻尼理论