(完整word)一元二次方程能力提高训练题
九年级数学上册 一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册一元二次方程（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7213.k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=144137213.k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17213.3+-＞ ∴满足条件的k 值存在，且7213.k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=， 可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3）， 考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2（1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P 在AB 的延长线上，若OQ +AB （BQ ﹣OP ），求此时直线PQ 的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2． （3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P（12，2），Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ， 一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
(完整word版)初三(九年级)数学一元二次方程应用题专项练习(带答案)
一元二次方程应用题专项练习题（带答案）一、面积问题m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？01、一个面积为120 2m的矩形？若能，则矩形02、有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2的长、宽各是多少？03、如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两m，条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2道路的宽应为多少？04、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m2，道路应为多宽？05、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中m，那么花边有多宽？央长方形图案的面积为18 206、在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个07、有一面积为54 2正方形，这个正方形的边长是多少？08、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.09、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？二、体积问题dm，求这个木箱的长和宽.10、长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 311、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.cm，求原铁皮的边长.已知盒子的容积是400 3三、数的问题12、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.13、三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？14、有五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数.15、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )A. 11B. 15C. -15 D .±1516、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.四、变化率问题（增长或减少）17、某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？18、某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______.19、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(1+x)2=1000B. 200+200×2x=1000C. 200+200×3x=1000D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=100020、某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.五、利润问题21、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？22、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
一元二次方程解法题型,易错题型,综合题型(word文档有答案)
一元二次方程解法，易错，综合题型一、类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x2－4x＋5的最小值是（）A．－1 B．1 C．2 D．55．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．(夏津县月考)求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．二、类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.第1种拆法：4x－x＝3x（正确），第2种拆法：2x－2x＝0（错误），所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x2－5x－6＝0；（2）x2＋9x－36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_______.5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(江都区期中)若关于x 的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或03．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值；(2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(朝阳中考)关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x21＋x22＝1，则k的值为_______.【易错2】8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】◆类型四与三角形结合时忘记取舍9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17C．17或19 D．1910．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二 一元二次方程与一次函数的 综合8．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是______．◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞52 B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠213．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．一、类比归纳专题：配方法的应用答案：二、类比归纳专题：一元二次方程的解法参考答案1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14，即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2，∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24；|（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3.4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x＋8＝0，∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题参考答案四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合答案：12.B 13.。
（word完整版）一元二次方程经典测试题（含答案）（2）,推荐文档
（word完整版）⼀元⼆次⽅程经典测试题（含答案）（2）,推荐⽂档评卷⼈得分⼀ ?选择题(共12⼩题，每题3分，共36分) 1 ?⽅程x (x - 2) =3x 的解为()A. x=5 B . x i =O , X 2=5 C. x i =2, X 2=0 D . x i =O , X 2=- 5 2?下列⽅程是⼀元⼆次⽅程的是()A. a?+bx+c=O B . 3x 2 - 2x=3 (x 2- 2) C . x 3 - 2x - 4=0 D. (x - 1) 2+仁0 3.关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+a 2 -仁0的⼀个根是0,则a 的值为( )A.- 1 B . 1 C . 1 或-1 D . 34 .某旅游景点的游客⼈数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万⼈次，若2017年约为17万⼈次，设游客⼈数年平均增长率为 X ，则下列⽅程中正确的是( ) A. 12 (1+x ) =17 B . 17 (1 - x ) =12C . 12 (1+x ) 2=17D . 12+12 (1+x ) +12 (1+x ) 2=175. 如图，在⼛ABC 中，/ABC=90, AB=8cm, BC=6cm 动点P ，Q 分别从点 A ， B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停⽌，点P 也随之停⽌运动.下列时间瞬间中，能使△ PBQ 的⾯积为15cm 2的是( )A. 2秒钟B. 3秒钟C. 4秒钟D. 5秒钟6. 某幼⼉园要准备修建⼀个⾯积为 210平⽅⽶的矩形活动场地，它的长⽐宽多 12⽶，设场地的长为x ⽶，可列⽅程为()A . x (x+12) =210 B. x (x - 12) =210 C. 2x+2 (x+12) =210D . 2x+2 (x - 12) =2107. —元⼆次⽅程x 2+bx - 2=0中，若b v 0，则这个⽅程根的情况是( )A .有两个正根 B.有⼀正根⼀负根且正根的绝对值⼤ C .有两个负根 D .有⼀正根⼀负根且负根的绝对值⼤8.X 1, X 2是⼀元⼆次⽅程测试题考试范围:题号得分元⼆次⽅程；考试时间：120分钟；命题⼈：瀚博教育总分第I 卷(选择题)C⽅程?+x+k=0的两个实根，若恰X12+X1x2+X22=2k2成⽴，k的值为( )A . — 1B .丄或—1 C.⼇ D .—丄或19. ⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0中，若a >0, b v 0, c v 0,则这个⽅程根的情况是（） A .有两个正根B.有两个负根C .有⼀正根⼀负根且正根绝对值⼤D .有⼀正根⼀负根且负根绝对值⼤10. 有两个⼀元⼆次⽅程：M ： ax 2+bx+c=0; N ： cW+bx+an ，其中a —⽢0,以下列四个结论中，错误的是（）如果⽅程M 有两个不相等的实数根，那么⽅程 N 也有两个不相等的实数根A . 7B . 11 C. 12 D . 1612.设关于x 的⽅程ax 2+ （a+2） x+9a=0,有两个不相等的实数根 X 1、X 2，且x 1 v 1 v x 2，那么实数a 的取值范围是（）A .⾗寻B.孕C ⾢>售 D .孑W11 7 5 5 11第U 卷（⾮选择题）评卷⼈得分⼆.填空题（共8⼩题，每题3分，共24分）13 .若X 1,沁是关于x 的⽅程x 2 — 2x- 5=0的两根，则代数式X 12- 3X 1 - X 2 -6的值是 _________ . 14.已知X 1, X 2是关于x 的⽅程x 2+ax- 2b=0的两实数根，且X 1+X 2=— 2, X 1 ?X 2=1，贝U b a 的值是 ______ .15 .已知2x |m| —2+3=9是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m= ________ .16 .已知x 2+6x=— 1可以配成（x+p ） 2=q 的形式，贝U q= ____ .17. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程（m - 1） X 2 — 3x+仁0有两个不相等的实数根，且关于 x 的不等式组 2的解集是x v — 1,则所有符合条件的整数 m 的个数是__________ .j?+4>3Cx+2）18. 关于x 的⽅程（m - 2） x 2+2x+仁0有实数根，则偶数 m 的最⼤值为 ______ . 19. 如图，某⼩区有⼀块长为18⽶，宽为6⽶的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形A . 如果⽅程M 有两根符号相同，那么⽅程 N 的两根符号也相同如果5是⽅程M 的⼀个根，那么■；-是⽅程N 的⼀个根如果⽅程M 和⽅程N 有⼀个相同的根，那么这个根必是x=111.已知m ， n 是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2 — 2tx+t 2— 2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最⼩值是（）B .C .D .绿地，它们⾯积之和为60⽶2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的⼈⾏通道，则⼈⾏道的宽度为 ______ ⽶.EH1$⽶20.如图是⼀次函数y=kx+b的图象的⼤致位置，试判断关于x的⼀元⼆次⽅程的根的判别式△ _______ 0 （填：、”或“我N”）.评卷⼈得分x2—2x+kb+1=0三.解答题（共8⼩题）21. （6分）解下列⽅程.（1）x2—14x=8 （配⽅法）(2) x2—7x—18=0（公式法）(3) (2x+3) 2=4 (2x+3)(因式分解法)22. （6分）关于x的⼀元⼆次⽅程（m- 1）x2—x—2=0（1）若x=—1是⽅程的⼀个根，求m的值及另⼀个根. （2）当m为何值时⽅程有两个不同的实数根.23. (6分)关于x的⼀元⼆次⽅程(a- 6) x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最⼤整数值；(2)当a取最⼤整数值时，①求出该⽅程的根；②求2x2- 1 的值.24. (6分)关于x的⽅程x2-( 2k- 3) x+k2+1=0有两个不相等的实数根x i、x?.(1)求k的取值范围；(2)若x i x2+|x i|+| X2|=7,求k 的值.25. (8分)某茶叶专卖店经销⼀种⽇照绿茶，每千克成本80元，据销售⼈员调查发现，每⽉的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间存在如图所⽰的变化规律.(1)求每⽉销售量y与销售单价x之间的函数关系式.(2)若某⽉该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该⽉茶叶的销售单价x为多少元.26. (8分)如图，为美化环境，某⼩区计划在⼀块长⽅形空地上修建⼀个⾯积为1500平⽅⽶的长⽅形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长⽅形空地的长为60⽶, 宽为40⽶.(1)求通道的宽度；(2)晨光园艺公司承揽了该⼩区草坪的种植⼯程，计划种植四季青”和⿊麦草”两种绿草，该公司种植四季青”的单价是30元/平⽅⽶，超过50平⽅⽶后，每多出5平⽅⽶，所有四季青” 的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平⽅⽶，已知⼩区种植四季青”的⾯积超过了50 平⽅⽶，⽀付晨光园艺公司种植四季青”的费⽤为2000元，求种植四季青”的⾯积.通G咪27. ( 10分)某商店经销甲、⼄两种商品，现有如下信息：信息1:甲、⼄两种商品的进货单价之和是3元；信息2:甲商品零售单价⽐进货单价多1元，⼄商品零售单价⽐进货单价的2倍少1元；信息3:按零售单价购买甲商品3件和⼄商品2件，共付了12元.请根据以上信息，解答下列问题：(1)求甲、⼄两种商品的零售单价；(2)该商店平均每天卖出甲⼄两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1 元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m (m>0)元.在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、⼄两种商品获取的总利润为1000 元？28. (10分)已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2-( m+6) x+3m+9=0的两个实数根分别为x i, X2. ( 1)求证：该⼀元⼆次⽅程总有两个实数根；(2)若n=4 (x i+x2)- x i x2，判断动点P (m, n)所形成的函数图象是否经过点 A (1, 16), 并说明理由.。
浙教版七年级数学下册第二章一元二次方程测试卷(Word版含答案)
浙教版七下第二章 一元二次方程测试卷（含解析）一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x -=+是二元一次方程,a 必须满足( ) A ．0a ≠B ．3a ≠-C ．3a ≠D ．2a ≠2．（3分）关于二元一次方程48x y +=的解,下列说法正确的是( ) A ．任意一对有理数都是它的解 B ．有无数个解 C ．只有一个解D ．只有两个解3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有( )（1）211x y y z -=⎧⎨=+⎩（2）03x y =⎧⎨=⎩（3）0235x y x y -=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x y x y ⎧+=⎨+=-⎩．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（3分）解方程组①216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩；②2310236x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是( )A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法,②用加减法D ．①用加减法,②用代入法5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-6．（3分）由方程组43x m y m +=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x ,y ,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是．12．（3分）试写出一个关于x、y的的二元一次方程,使它的一个解为12xy=⎧⎨=⎩,这个方程为．13．（3分）已知x、y满足方程组52723x yx y+=⎧⎨-=⎩,则x y+的值为．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y-+++-=,则x y z++等于．15．（3分）若21xy=⎧⎨=⎩是方程组75ax bybx cy+=⎧⎨+=⎩的解,则a与c的关系是．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x只,树为y棵,则可列出方程组为．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有两．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A、B、C三种套餐的促销活动．已知A种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A种套餐需35元,那么小明同学要买2个A种套餐、1个B种套餐和2个C种套餐共需费用元．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表：收费标准：目的地起步价（元)超过1千克的部分（元/千克）上海7b北京104b+目的地质量（千克）费用（元)上海26a-北京37a+23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？浙教版七下第二章一元二次方程测试卷（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x-=+是二元一次方程,a必须满足() A．0a≠B．3a≠-C．3a≠D．2a≠【解答】解：方程236ax y x-=+变形为(3)260a x y---=,根据二元一次方程的定义,得30a-≠,解得3a≠．故选：C．2．（3分）关于二元一次方程48x y+=的解,下列说法正确的是() A．任意一对有理数都是它的解B．有无数个解C．只有一个解D．只有两个解【解答】解：对于二元一次方程48x y+=,有无数个解,故选：B．3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有()（1）211x yy z-=⎧⎨=+⎩（2）3xy=⎧⎨=⎩（3）235x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x yx y⎧+=⎨+=-⎩．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）本方程组中含有3个未知数；故本选项错误；（2）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（3）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（4）第一个方程未知项2x的次数为2,故不是二元一次方程组．共2个属于二元一次方程组．故选：B．4．（3分）解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是()A．均用代入法B．均用加减法C．①用代入法,②用加减法D．①用加减法,②用代入法【解答】解：解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩比较简便的方法为代入法；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法加减法,故选：C．5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-【解答】解：2x y m =-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解, ∴代入得：264n m -+=,32m n ∴-=, 31213m n ∴-+=+=,故选：A ．6．（3分）由方程组43x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-【解答】解：原方程可化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,①+②得,7x y +=． 故选：C ．7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解答】解：根据题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩,解得：45a b =⎧⎨=⎩,将3x =,2y =-代入得：3148c +=, 解得：2c =-,则4527a b c ++=+-=． 故选：A ．8．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-【解答】解：36x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,把②代入①得,63x y +-=,整理得,9x y+=,故选：C．9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x,y,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解答】解：设甲需持钱x,乙持钱y,根据题意,得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,故选：B．10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天【解答】解：设每支牙刷x元,每盒牙膏y元．第1天：137132x y+=；第2天：2614264x y+=；第3天：3921393x y+=；第4天：5228528x y+=．假设第1天的记录正确,则第2天、第4天的记录也正确；假设第1天的记录错误,则第2天、第4天的记录也错误．故选：C．二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是3．5y =⎩移项得：5318a -=-, 合并得：515a -=-, 解得：3a =． 故答案为：3．12．（3分）试写出一个关于x 、y 的的二元一次方程,使它的一个解为12x y =⎧⎨=⎩,这个方程为3x y +=（答案不唯一） ．【解答】解：根据题意：3x y +=（答案不唯一）, 故答案为：3x y +=（答案不唯一）13．（3分）已知x 、y 满足方程组52723x y x y +=⎧⎨-=⎩,则x y +的值为 1 ．【解答】解：527(1)23(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩,（1）-（2）得：444x y +=, 1x y ∴+=,故答案为：1．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y -+++-=,则x y z ++等于 12- ．【解答】解：22(24)()|4|0x x y z y -+++-=, ∴240040x x y z y -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩, 解得：2212x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=-⎩,则112222x y z ++=--=-． 故答案为：12-．15．（3分）若21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a 与c 的关系是 49a c -= ．1y =⎩5bx cy +=⎩得2725a b b c +=⎧⎨+=⎩①②,①2⨯-②,得49a c -=． 故答案为：49a c -=．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．【解答】解：设诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为： 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 故答案为：355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有 46 两． 【解答】解：设有x 人,银子y 两, 由题意得：7498y x y x =+⎧⎨=-⎩,解得646x y =⎧⎨=⎩,故答案为46．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A 、B 、C 三种套餐的促销活动．已知A 种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B 种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C 种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A 种套餐需35元,那么小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用 210 元．【解答】解：设1盒原味的价格为x 元,1盒果粒味的价格为y 元,1盒大红枣味的结果为z 元, 由题意得：34535x y z ++=,则小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用为： 2352882(546)x y z x y z ⨯++++++ 70121620x y z =+++ 704(345)x y z =+++ 70435=+⨯210=（元),故答案为：210．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．【解答】解：经验算41xy=⎧⎨=⎩是方程1352x y+=的解,再写一个方程,如3x y-=．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩【解答】解：（1）在1(1)24(2)x yx y+=⎧⎨-=-⎩中,（1）+（2）得：33x=-,解得：1x=-,把1x=-代入（1）得：2y=．∴方程组的解为12xy=-⎧⎨=⎩．（2）在1(1)234()5()38(2)x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩中,由（1）得：56x y+=（3）,由（2）得：938x y-+=-,938x y∴=+,将938x y=+代入（3）得：46184y=-, 4y∴=-．把4y=-代入938x y=+,得2x=．∴方程组的解为24xy=⎧⎨=-⎩．21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．【解答】解：方程组27431x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②, ①3⨯+②得：1020x =,即2x =,把2x =代入①得：3y =,把2x =,3y =代入方程得：63a =+,即3a =,则原式21791715a =-+=-+=．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表： 收费标准： 目的地起步价（元) 超过1千克的部分（元/千克） 上海7 b 北京10 4b + 目的地质量（千克） 费用（元) 上海2 6a - 北京3 7a +【解答】解：依题意得：7(21)610(31)(4)7b a b a +-=-⎧⎨+-+=+⎩, 解得：152a b =⎧⎨=⎩． 答：a 的值为15,b 的值为2．23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x 盒,乙种口罩购进了y 盒,依题意得：900202519000x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：700200x y =⎧⎨=⎩,答：甲种口罩购进了700盒,乙种口罩购进了200盒．（2）207002520014000500019000⨯+⨯=+=（个),29001018000⨯⨯=（个), 1900018000>,∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元,二级水费的单价为y元,依题意得：103212(1412)51.4xx y=⎧⎨+-=⎩,解得：3.26.5xy=⎧⎨=⎩．答：该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元．（2） 3.21238.4⨯=（元),38.464.4<,∴用水量超过312m．设用水量为a3m,依题意得：38.4 6.5(12)64.4a+-=,解得：16a=．答：当缴纳水费为64.4元时,用水量为316m．。
(完整word版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、(x+5）2=16 6、2(2x －1)－x （1－2x ）=07、x 2 =64 8、5x 2-52=0 9、8（3 -x)2–72=010、3x （x+2)=5(x+2） 11、（1－3y ）2+2(3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2—2x-4=0 24、x 2-3=4x28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x —1）2+3（2x —1)+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5—x ） 33、（x ＋2） 2＝8x34、（x －2） 2＝（2x ＋3）235、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程（x －2) 2＝(2x-3）2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x —3)2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5（2x+1）=0五、选用适当的方法解下列方程（x ＋1） 2－3 （x ＋1）＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0。
一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案(供参考)
文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持 .一元二次方程计算题专题训练试题优选附答案一．解答题（共 30 小题）（x+1 ） 2﹣ 9=0． 1．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程：2．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： 4x 2﹣ 20=0．3．（ 2015?东西湖区校级模拟）解方程： （ 2x+3 ）2﹣ 25=04．（ 2015?铜陵县模拟）解方程： 4（ x+3） 2=25 （ x ﹣ 2） 2．5．（ 2015?岳池县模拟）解方程（222x ﹣3） =x．6．（ 2015 春 ?北京校级期中）解方程： （ x ﹣ 1） 2=25． 7．（ 2013 秋 ?云梦县校级期末）解以下方程：（1）用直接开平方法解方程： 2（2）用配方法解方程： 2． 2x ﹣ 24=0 x +4x+1=0 8．（ 2014 秋 ?锡山区期中）解方程：（ 1）（ x ﹣ 2） 2=25；（ 2） 2x 2﹣ 3x ﹣ 4=0；（ 3） x 2﹣ 2x=2x+1 ； （ 4） 2x 2+14x ﹣ 16=0．9．（ 2014 秋 ?丹阳市校级期中）选择适合的方法解一元二次方程：① 9（ x ﹣ 2）2﹣ 121=0 ； ② x 2﹣ 4x ﹣ 5=0． 10．（ 2014 秋 ?万州区校级期中）按要求解答：（1）解方程：（ x+3 ）2﹣2=0 ；（ 2）因式分解：4a 2﹣（ b 2﹣2b+1 ）． 11．（2014 秋 ?海口期中）解以下方程：2；2（1） x ﹣ 16=0 （ 2） x +3x ﹣ 4=0 ．12．（ 2014 秋 ?海陵区期中）解以下一元二次方程：（1） x 2﹣ 3=0 （ 2） x 2﹣3x=0 ． 13．（ 2014 秋 ?滨湖区期中）解以下方程（1） 2x 2﹣ =0；（ 2） 2x 2﹣ 4x+1=0 （配方法）（3） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）； （ 4） 3y 2+5（ 2y+1 ） =0 （公式法）．14．（ 2014 秋 ?昆明校级期中）解方程：229（ x+1 ） =4（ x ﹣ 2） ．15．（ 2014 秋 ?深圳校级期中）解方程： （ 2x ﹣ 3）2=25 ．16．（ 2014 秋 ?北塘区期中） （1） 2（ x ﹣1） 2=32 （ 2） 2（ x ﹣ 3）2=x （ x ﹣ 3）（3） 2x 2﹣ 4x+1=0 （ 4） x 2﹣5x+6=0 ．17．（ 2014 秋 ?福安市期中）解方程：（1）（ x+1 ）2=2；（ 2） x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 （用适合的方法）18．（ 2014 秋 ?华容县月考）用适合的方法解以下方程：（1）（ 2﹣ 3x ） 2=1； （ 2） 2x 2=3 （ 2x+1）．19．（ 2014 秋 ?宝应县校级月考）解方程：（1）（ 2x ﹣1） 2﹣ 9=0 （2） x 2﹣ x ﹣ 1=0 ． 20．（ 2014 秋 ?南华县校级月考）解方程：（1）（ x+8 ）（ x+1 ）=0（ 2） 2（x ﹣ 3） 2=8 （3） x （ x+7） =0（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 （5） 3（ x ﹣ 2） 2=x （x ﹣ 2） （ 6）（ y+2） 2=（ 3y ﹣ 1） 2． 21．（ 2014 秋 ?广州校级月考）解方程：（1） x 2﹣ 9=0； （ 2） x 2+4x ﹣ 1=0 ． 22．（ 2013 秋 ?大理市校级期中）解以下方程：文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.2 （ 2）用配方法解方程： 2﹣ 4x+1=0 （1）用开平方法解方程： （ x ﹣ 1） =4x （3）用公式法解方程： 3x 2+5（ 2x+1）=0 （ 4）用因式分解法解方程： 3（ x ﹣5）2=2（5﹣ x ） 23．（ 2012 秋 ?浏阳市校级期中）用适合的方法解方程：（1） 9（ 2x ﹣ 5） 2﹣ 4=0； （ 2） 2x 2﹣x ﹣ 15=0．24．（ 2013 秋 ?玉门市校级期中） （ 2x ﹣3） 2﹣ 121=0．25．（ 2015?蓬溪县校级模拟） （ 2x+3 ）2 =x 2﹣ 6x+9．26．（ 2015?泗洪县校级模拟） （ 1） x 2+4x+2=0 （ 2） x 2﹣ 6x+9= （5﹣ 2x ）2． 27．（ 2015 春 ?慈溪市校级期中）解方程：（1） x 2﹣ 4x ﹣ 6=0 （2） 4（ x+1） 2=9 （x ﹣ 2） 2． 28．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程：（1）（ 2x ﹣5） 22=49 （ 2） x +4x ﹣ 8=0． 29．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程（1） y 2=4； （2） 4x 2﹣ 8=0； （ 3） x 2﹣4x ﹣ 1=0．30．（ 2015?黄陂区校级模拟）解方程： x 2﹣ 3x ﹣7=0 ．一元二次方程计算题专题训练试题优选附答案参照答案与试题分析一．解答题（共 30 小题）21．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： （x+1 ） ﹣ 9=0．2剖析：先移项，写成（ x+a ） =b 的形式，而后利用数的开方解答．2解答：解：移项得，（ x+1） =9 ，开方得， x+1= ±3，解得 x 1=2， x 2=﹣ 4．x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ， b 同号且评论：（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：a ≠0）；（x+a ） 2=b （b ≥0）； a （x+b ） 2=c （ a ， c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数当作整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要认真察看方程的特色．2．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： 4x 2﹣ 20=0． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：先变形获得 x 2=5，而后利用直接开平方法求解． 解答：解：由原方程，得x 2=5 ，因此 x 1=， x 2=﹣．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．3．（ 2015?东西湖区校级模拟）解方程：（ 2x+3 ）2﹣ 25=0 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．专题 ：计算题．剖析：先移项，写成（ x+a ） 2=b 的形式，而后利用数的开方解答．2开方得， 2x+3= ±5，文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .解得 x 1=1， x 2=﹣ 4．x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ， b 同号且评论：（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：a ≠0）；（x+a ） 2=b （b ≥0）； a （x+b ） 2=c （ a ， c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数当作整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要认真察看方程的特色．4．（ 2015?铜陵县模拟）解方程： 22．4（ x+3） =25 （ x ﹣ 2） 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．22解答：解： 4（x+3 ） =25（ x ﹣ 2） ，开方得： 2（ x+3 ）=±5（ x ﹣ 2），解得：，．评论：本题考察认识一元二次方程的应用，解本题的重点是能把一元二次方程转变成一元一次方程，难度适中．5．（ 2015?岳池县模拟）解方程（ 2x ﹣3） 2=x 2． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 专题 ：计算题．剖析：利用直接开平方法解方程． 解答：解： 2x ﹣ 3=±x ，因此 x 1=3， x 2=1 ．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．6．（ 2015 春 ?北京校级期中）解方程： （ x ﹣ 1） 2=25． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 专题 ：计算题．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答：解：开方得： x ﹣1=±5，解得： x 1=6， x 2=﹣4．评论：本题考察认识一元二次方程的应用，题目是一道比较典型的题目，难度不大． 7．（ 2013 秋 ?云梦县校级期末）解以下方程：（ 1）用直接开平方法解方程： 2x 2﹣ 24=0（ 2）用配方法解方程： x 2+4x+1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）先将常数项移到等式的右侧，而后化未知数的系数为1，经过直接开平方求得该方程的解即可；（ 2）先将常数项 1 移到等式的右侧，而后在等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程．解答：解：（ 1）由原方程，得2x 2=24 ，∴ x 2=12，直接开平方，得x= ±2 ，文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.∴ x 1=2 ， x 2=﹣2 ；（ 2）由原方程，得 x 2+4x= ﹣1，等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，得x 2+4x+4=3 ，即（ x+2 ） 2=3；∴ x+2= ± ，∴ x 1=﹣2+ ， x 2=﹣ 2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的种类有： x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ，b 同号且 a ≠0）；（ x+a ）2=b （ b ≥0）；a （x+b ）2=c （ a ，c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．8．（ 2014 秋 ?锡山区期中）解方程：（1）（ x ﹣ 2） 2=25；（2） 2x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 ；（3） x 2﹣ 2x=2x+1 ；（4） 2x 2+14x ﹣ 16=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）利用直接开平方法，两边直接开平方即可；（ 2）利用公式法，第一计算出 △ ，再利用求根公式进行计算；（ 3）第一化为一元二次方程的一般形式，计算出△ ，再利用求根公式进行计算；（ 4）第一依据等式的性质把二次项系数化为 1，再利用因式分解法解一元二次方程即可．解答：解：（ 1）两边直接开平方得： x ﹣ 2=±5，x ﹣ 2=5 ，x ﹣ 2=﹣ 5， 解得： x 1=7， x 2=﹣3；（ 2） a=2， b=﹣ 3， c=﹣ 4，△ =b 2﹣4ac=9+4 ×2×4=41，x= = ，故 x 1=， x 2= ；（ 3） x 2﹣2x=2x+1 ，x 2﹣ 4x ﹣1=0 ，a=1， b=﹣ 4， c= ﹣ 1，△ =b 2﹣4ac=16+4 ×1×1=20， x===2，故 x 1=2， x 2=2﹣ ；（ 4） 2x 2+14x ﹣16=0， x 2+7x ﹣8=0 ，（ x+8）（x ﹣ 1） =0，x+8=0 ， x ﹣ 1=0 ， 解得： x 1=﹣ 8， x 2=1 ．评论：本题主要考察了一元二次方程的解法，重点是娴熟掌握一元二次方程的解法，并能熟练运用．9．（ 2014 秋 ?丹阳市校级期中）选择适合的方法解一元二次方程：① 9（ x ﹣ 2）2﹣ 121=0 ；② x 2﹣ 4x ﹣ 5=0．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程剖析：① 先移项，再两边开方即可；-因式分解法． ② 先把方程左侧因式分解，得出解答：解： ① 9（ x ﹣ 2）2 ﹣121=0 ，9（ x ﹣ 2） 2=121，x+1=0 ， x ﹣ 5=0，再分别计算即可．（ x ﹣2） 2=，x ﹣2=± ， x 1=， x 2=﹣ ；② x 2﹣ 4x ﹣5=0 ，（ x+1）（x ﹣ 5） =0，x+1=0 ， x ﹣ 5=0 ， x 1=﹣ 1，x 2=5．评论：本题考察认识一元二次方程，用到的知识点是用直接开方法和因式分解法，重点是根据方程的特色选择适合的解法．10．（ 2014 秋 ?万州区校级期中）按要求解答：（ 1）解方程： （ x+3 ）2﹣2=0 ；（ 2）因式分解： 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1）．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；因式分解 -运用公式法．剖析：（ 1）第一把方程右侧化为（ x+a ）2=b ，在两边直接开平方即可；（ 2）第一把 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1）化为 4a 2﹣（ b ﹣ 1） 2，再利用平方差公式进行分解即可．解答：解：（ 1） （ x+3 ） 2=2，（ x+3） 2=4，x+3= ±2，x+3=2 ， x+3= ﹣ 2，解得： x 1=﹣ 1， x 2=﹣ 5；（ 2） 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1） =4a 2﹣（ b ﹣ 1）2=（ 2a+b ﹣1（ 2a ﹣ b+1）．评论：本题主要考察了直接开平方法解一元二次方程，以及因式分解，解这种问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左侧，把常数项移项等号的右侧，化成x 2=a （ a ≥0）的 形式，利用数的开方直接求解． 11．（2014 秋 ?海口期中）解以下方程：（ 1） x 2﹣ 16=0；2（2）x +3x ﹣ 4=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）第一把﹣ 16 移到方程右侧，再两边直接开平方即可；（ 2）第一把等号左侧分解因式可得（ x+4 ）（x ﹣ 1） =0，从而获得 x+4=0 ，x ﹣ 1=0 ，再解一元一次方程即可．解答：解：（ 1） x 2=16 ，两边直接开平方得： x= ±4， 故 x 1=4， x 2=﹣ 4；（ 2）（x+4 ）（ x ﹣1） =0，则 x+4=0 ， x ﹣ 1=0， 解得： x 1=﹣ 4， x 2=1 ．评论：本题主要考察了一元二次方程的解法， 重点是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．12．（ 2014 秋 ?海陵区期中）解以下一元二次方程：（ 1） x 2﹣ 3=0（ 2） x 2﹣ 3x=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）先移项获得 x 2=3 ，而后利用直接开平方法解方程；（ 2）利用因式分解法解方程．2解答：解：（ 1） x =3，x= ± ，因此 x 1=， x 2=﹣ ； （ 2） x （ x ﹣ 3）=0 ， x=0 或 x ﹣ 3=0 ，因此 x 1=0， x 2=3 ．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．假如方程化成 2x =p 的形式，那么可得 x= ± ；假如方程能化成 （ nx+m ）2=p （ p ≥0）的形式， 那么 nx+m= ± ．也考察了因式分解法解一元二次方程．13．（ 2014 秋 ?滨湖区期中）解以下方程（ 1） 2x 2﹣ =0；（ 2） 2x 2﹣ 4x+1=0 （配方法）（ 3） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）；（ 4） 3y 2+5（ 2y+1 ） =0 （公式法） ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程利用配方法求出解即可； （ 3）方程利用因式分解法求出解即可；（ 4）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： x 2= ，开方得： x= ± ；（ 2）方程变形得： x 2﹣ 2x=﹣ ，2 2，配方得： x ﹣ 2x+1=，即（ x ﹣1） =开方得： x ﹣ 1=±，解得： x 1=1+， x 2=1﹣；（ 3）方程变形得： 2（ x ﹣3） 2﹣ x （ x ﹣ 3）=0，分解因式得： （ x ﹣ 3）（ 2x ﹣ 6﹣ x ）=0， 解得： x 1=3， x 2=6 ；（ 4）方程整理得： 3y 2+10y+5=0 ， 这里 a=3， b=10，c=5， ∵ △ =100﹣ 60=40，∴ y== ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法，娴熟掌握平方根定义是解本题的重点．22考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：两边开方得： 3（ x+1） =±2（ x ﹣ 2），即 3（ x+1） =2（x ﹣ 2）， 3（ x+1） =﹣2（ x ﹣ 2），解得： x 1=﹣ 7， x 2= ．评论：本题考察认识一元二次方程和解一元一次方程的应用，解本题的重点是能把一元二次方程转变成一元一次方程．215．（ 2014 秋 ?深圳校级期中）解方程： （ 2x ﹣ 3） =25 ． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 剖析：第一两边直接开平方可得 2x ﹣ 3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：两边直接开平方得：2x ﹣ 3= ±5，则 2x ﹣3=5 ， 2x ﹣3= ﹣ 5，故 x=4 ，x= ﹣ 1．评论：本题主要考察了直接开平方法解一元一次方程，解这种问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左侧，把常数项移项等号的右侧，化成 x 2=a （ a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．16．（ 2014 秋 ?北塘区期中） （1） 2（ x ﹣1） 2=32（ 2） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）（ 3） 2x 2﹣ 4x+1=0（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -因式分解文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可； （ 3）方程利用公式法求出解即可；（ 4）方程利用因式分解法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： （ x ﹣ 1） 2=16，开方得： x ﹣ 1=4 或 x ﹣ 1=﹣ 4， 解得： x 1=5， x 2=﹣3；（ 2）方程变形得： 2（ x ﹣3） 2﹣ x （ x ﹣ 3）=0，分解因式得： （ x ﹣ 3）（ 2x ﹣ 6﹣ x ）=0， 解得： x 1=3， x 2=6 ；（ 3）整理 a=2， b=﹣ 4， c=1， ∵ △ =16﹣ 8=8，∴ x 1=， x 2= ；（ 4）分解因式得： （ x ﹣ 2）（ x ﹣ 3）=0， 解得： x 1=2， x 2=3 ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法，娴熟掌握平方根定义是解本题的重点．17．（ 2014 秋 ?福安市期中）解方程：（1）（ x+1 ） 2=2；（2） x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 （用适合的方法）考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）两边直接开平方得 x+1=，再解一元一次方程即可；（ 2）第一把﹣ 3 移到等号右侧，在把方程左侧配方可得（ x ﹣ 1） 2=4 ，而后再两边直接开平方即可．解答：解：（ 1） x+1=， x+1= ， x+1= ﹣ ，故 x 1=﹣1+x 2=﹣ 1﹣ ；（ 2） x 2﹣ 2x=3 ，x 2﹣ 2x+1=3+1 ，（ x ﹣ 1） 2=4 ， x+1= ±2，则 x+1=2 ， x+1= ﹣2， 故 x 1=3， x 2=﹣ 1．评论：本题主要考察了直接开平方法和配方法解一元二次方程，重点是掌握直接开平方法要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（ 2014 秋 ?华容县月考）用适合的方法解以下方程：2（1）（ 2﹣ 3x ） =1；（2） 2x 2=3（ 2x+1 ）．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 专题 ：计算题．剖析：（ 1）利用直接开平方法解方程；（ 2）先把方程化为一般式，而后依据公式法解方程．-因式分解法．文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .解答：解：（ 1） 2﹣ 3x= ±1，因此 x 1=，x 2=1；（ 2） 2x 2﹣ 6x ﹣ 3=0，△ =（﹣ 6） 2﹣ 4×2×（﹣ 3） =60，x==，因此 x 1=， x 2=．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．假如方程化成 2x =p 的形式，那么可得 x= ±；假如方程能化成 （ nx+m ）2=p （ p ≥0）的形式， 那么 nx+m= ± ．也 考察了公式法解一元二次方程．19．（ 2014 秋 ?宝应县校级月考）解方程：（1）（ 2x ﹣1） 2﹣ 9=0（2） x 2﹣ x ﹣1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -公式法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： （ 2x ﹣ 21） =9，开方得： 2x ﹣ 1=3 或 2x ﹣ 1=﹣ 3，解得： x 1=2， x 2=﹣1；（ 2）这里 a=1， b=﹣ 1， c=﹣1，∵ △ =1+4=5 ， ∴ x=．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法与公式法，娴熟掌握各样解法是解本题的重点．20．（ 2014 秋 ?南华县校级月考）解方程： （1）（ x+8 ）（ x+1 ）=0（2） 2（ x ﹣ 3） 2=8 （3） x （ x+7） =0（4） x 2﹣ 5x+6=0（5） 3（ x ﹣ 2） 2=x （x ﹣ 2）（6）（ y+2 ）2=（ 3y ﹣ 1） 2．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法．剖析：（ 1）、（3）、（ 4）、（ 5）利用因式分解法求解即可；（ 2）先将方程变形为（ x ﹣ 3） 2=4 ，再利用直接开平方法求解即可；（ 6）利用直接开平方法求解即可． 解答：解：（ 1）（ x+8）（x+1 ） =0，x+8=0 或 x+1=0 ， 解得 x 1=﹣ 8， x 2=﹣1；（ 2） 2（ x ﹣ 3）2=8，文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .2（ x ﹣ 3） =4 ， x ﹣ 3=±2，解得 x 1=5， x 2=﹣ 1； （ 3） x （ x+7 ） =0， x=0 或 x+7=0 ，解得 x 1=0， x 2=﹣ 7；（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 ，（ x ﹣ 2）（ x ﹣ 3）=0， x ﹣ 2=0 或 x ﹣ 3=0， 解得 x 1=2， x 2=3 ；（ 5） 3（ x ﹣ 2）2=x （ x ﹣ 2），3（ x ﹣2） 2﹣ x （ x ﹣ 2） =0，（ x ﹣ 2）（ 3x ﹣ 6﹣ x ） =0 ， x ﹣ 2=0 或 2x ﹣ 6=0， 解得 x 1=2， x 2=3 ；（ 6）（ y+2） 2=（ 3y ﹣ 1） 2， y+2= ±（ 3y ﹣ 1）， 解得 y 1， y 2=﹣，评论：本题考察了利用因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，是基础知识，需娴熟掌握． 21．（ 2014 秋 ?广州校级月考）解方程：（ 1） x 2﹣ 9=0；（ 2） x 2+4x ﹣ 1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）先移项，而后利用直接开平方法解方程；2（ 2）将一元二次方程配成（ x+m ） =n 的形式，再利用直接开平方法求解．2x =9 ，开方，得x 1=3 ， x 2=﹣ 3；（ 2）由原方程，得 x 2+4x=1 ，配方，得 x 2+4x+2 2=1+2 2，即（ x+2 ） 2=5， 开方，得x+2= ± ，解得 x 1=﹣ 2 ，x 2=﹣ 2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ，b 同号且 a ≠0）；（ x+a ）2=b （ b ≥0）；a （x+b ） 2=c （ a ，c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再 开平方取正负，分开求得方程解”． 22．（ 2013 秋 ?大理市校级期中）解以下方程：（ 1）用开平方法解方程： （ x ﹣ 1） 2=4（ 2）用配方法解方程： x 2﹣ 4x+1=0（3）用公式法解方程： 3x2+5（2x+1 ）=0（4）用因式分解法解方程： 3（ x ﹣ 5）2=2（ 5﹣ x ）考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -公式法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）用直接开平方法解方程： （ x ﹣1） 2=4 ，即解 x ﹣1=2 或 x ﹣1= ﹣ 2，两个方程；（ 2）用配方法解方程： x 2﹣ 4x+1=0 ，合理运用公式去变形，可得 x 2﹣ 4x+4=3 ，即（ x ﹣2） 2=3；（ 3）用公式法解方程： 3x 2 （ 2x+1 ） =0，先去括号，整理可得； 2，运+5 3x +10x+5=0 用一元二次方程的公式法，两根为，计算即可；（ 4）用因式分解法解方程： 3（x ﹣ 5）2=2（ 5﹣ x ），移项、提公因式 x ﹣ 5，再解方程．解答：解：（ 1） ∵ （ x ﹣1） 2=4，∴ x ﹣ 1=±2， ∴ x 1=3， x 2=﹣1．（ 2） ∵x 2﹣ 4x+1=0 ，∴ x 2﹣ 4x+4=3 ，∴ （ x ﹣2） 2=3，∴， ∴．（ 3） ∵3x 2+5（ 2x+1 ） =0，2∴ 3x +10x+5=0 ，∴ a=3， b=10， c=5，b 2﹣ 4ac=102﹣ 4×3×5=40，∴，∴．（ 4） ∵3（ x ﹣ 5） 2=2（ 5﹣x ），2∴ 移项，得： 3（x ﹣ 5） +2（ x ﹣ 5）=0， ∴ （ x ﹣5）（ 3x ﹣13） =0 ， ∴ x ﹣ 5=0 或 3x ﹣13=0 ，∴．评论：本题综合考察对解方程的方法的灵巧掌握状况，解答时，要先察看方程的特色，再确定解方程的方法．23．（ 2012 秋 ?浏阳市校级期中）用适合的方法解方程：（ 1） 9（ 2x ﹣ 5） 2﹣ 4=0；（ 2） 2x 2﹣ x ﹣ 15=0．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法． 剖析：先察看方程而后再确立各方程的解法；（ 1）可用直接开平方法， （ 2）可用因式分解法解方程．解答：（ 1）解：化简得： ，直接开平方得：，解得： x 1=， x 2= ；（ 2）解：因分式解得： （x ﹣ 3）（ 2x+5） =0，x ﹣ 3=0 或 2x+5=0 ，解得：．评论：本题考察了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依据方程的特色灵巧采纳适合的方法．2考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．专题 ：计算题．剖析：先移项获得（ 2x ﹣ 3） 2=121，而后方程两边开方获得两个一元一次方程 2x ﹣ 3=11 或 2x ﹣3=﹣11，再解一元一次方程即可．2解答：解： ∵（ 2x ﹣ 3） =121 ，∴ 2x ﹣3=11 或 2x ﹣ 3=﹣ 11，∴ x 1=7，x 2=﹣ 4．评论：本题考察了直接开平方法解一元二次方程：先把一元二次方程变形为x2=m （m ≥0）的形式，而后两边开方获得x 1=， x 2=﹣．2225．（ 2015?蓬溪县校级模拟） （ 2x+3 ） =x ﹣ 6x+9． 剖析：先把原方程的右侧转变为完整平方形式，而后直接开平方． 解答：解：由原方程，得（ 2x+3 ）2=（ x ﹣ 3） 2，直接开平方，得 2x+3= ±（ x ﹣ 3）， 则 3x=0，或 x+6=0 ， 解得， x 1=0， x 2=﹣6．评论：本题考察了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如 x 2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右侧；第二步配方，左右两边加前一次项系数一半的平方；第三步左侧写成完整平方式；第四步，直接开方即可．2型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 2，而后（ 2）形如 ax +bx+c=0 x +px+q=0 配方．26．（ 2015?泗洪县校级模拟） （ 1） x 2+4x+2=0（ 2） x 2﹣ 6x+9= （ 5﹣ 2x ） 2． 考点 ：解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）本题二次项系数为 1，一次项系数为 4，适合于用配方法．（ 2）把方程左侧化成一个完整平方式，那么将出现两个完整平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转变为两个一元一次方程即可求解．222解答：解：（ 1） x +4x+2 =﹣ 2+2 ，2即（ x+2） =2 ，x 1=﹣ 2+， x 2=﹣2﹣ ；（ 2）（x ﹣ 3） 2=（ 5﹣ 2x ） 2，即（ x ﹣3+5 ﹣ 2x ）（ x ﹣ 3﹣5+2x ） =0，x 1=2 ， x 2= ．评论：（ 1）本题考察了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．（ 2）本题考察了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转变为一元一次方程，从而求解．27．（ 2015 春 ?慈溪市校级期中）解方程：2（1） x ﹣ 4x ﹣ 6=0（2） 4（ x+1） 2=9 （ x ﹣2） 2．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程-因式分解法．剖析：（ 1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（ 2）先移项，方程左侧分解后，利用两数相乘积为0，两因式中起码有一个为0 转变为两个一元一次方程来求解．解答：解：（ 1）由原方程，得 x 2﹣ 4x=6 ，配方，得 x 2﹣ 4x+4=6+4 ，即（ x ﹣ 2）2=10，直接开平方，得 x ﹣ 2=±，解得 x 1=2+ ，x 2=2 ﹣ ．（ 2）由原方程获得： [2（ x+1） +3 （ x ﹣2） ] [2（x+1 ）﹣ 3（ x ﹣ 2）]=0 ，整理，得（ 5x ﹣4）（﹣ x+8） =0，解得 x 1=，x 2=8．评论：本题考察认识一元二次方程： 配方法和因式分解法． 用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如 x 2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右侧；第二步配方，左右两边加前一次项系数一半的平方；第三步左侧写成完整平方式；第四步，直接开方即可．（ 2）形如 ax 2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x 2+px+q=0 ，而后 配方．28．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程：2（1）（ 2x ﹣5） =49（2） x 2+4x ﹣ 8=0 ．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：（ 1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求方程的解即可；（ 2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（ 1）（ 2x ﹣ 5） 2=49 ，2x ﹣ 5=±3，x 1=4 ， x 2=1；（ 2） x 2+4x ﹣8=0 ， x 2+4x=8 ，2x +4x+4=8+4 ，（ x+2） 2=12 ，x+2=x 1=﹣ 2+2，， x 2 =﹣ 2﹣ 2．评论：本题考察认识一元二次方程的应用， 能选择适合的方法解一元二次方程是解本题的重点，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．29．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程2（1） y =4；（2） 4x 2﹣ 8=0；（3） x 2﹣ 4x ﹣ 1=0．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：（ 1）直接开平方即可求得x 的值；（ 2）先移项，化系数为1，而后直接开平方来求 x 的值；（ 3）第一进行移项，获得 x 2﹣ 4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左侧就是完整平方式，右侧是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解答：解：（ 1）由原方程，得y= ±2，解得 y 1=2， y 2=﹣ 2； （ 2）由原方程，得4x 2=8， 2x =2 ， 解得 x 1=， x 2=﹣ ；（ 3）解： ∵ x 2﹣ 4x ﹣1=0 ∴ x 2﹣ 4x=1∴ x 2﹣ 4x+4=1+4∴ （ x ﹣2） 2=5 ∴ x=2± ，∴ x 1=2+ ， x 2=2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．总结：配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右侧； （ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加前一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．230．（ 2015?黄陂区校级模拟）解方程： x ﹣ 3x ﹣7=0 ． 剖析：利用求根公式 x=来解方程．解答：解：在方程 x 2﹣ 3x ﹣ 7=0 中， a=1， b=﹣ 3， b= ﹣7．则x= = = ，解得 x 1=， x 2= ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的重点．。
九年级上册数学 一元二次方程单元测试卷 (word版,含解析)
九年级上册数学一元二次方程单元测试卷（word版，含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．2．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% （2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率x ，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y ，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得． 【详解】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ． 根据题意，得75（1+x ）2=108，则1+x=±1.2 解得x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y ）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y ）×90%+y]万辆． 根据题意得（108×90%+y ）×90%+y≤125.48， 解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．3．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =-【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.4．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．5．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0， ∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2， ∵m 2≥0， ∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±，∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.6．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t3＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y 353．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB ＝223AB OA -=∴k ＝3． （2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OBOA= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ， ∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣13＝323． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0， 解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （1233Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，则有133250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得33533kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为353y x=-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．7．如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.（1）若28A∠=︒，求ACD∠的度数；（2）设BC a=，AC b=；①线段AD的长度是方程2220x ax b+-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC=，求ab的值.【答案】（1）ACD∠＝31︒；（2）①是；②34ab=.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC∆中，90ACB∠=︒.∴90B A∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD=，∴1802BBCD BDC︒-∠∠=∠=180622︒-︒=59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒ 31=︒.（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =- AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴x =a =- a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+，∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =.【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG = 时，求AE 的长； （2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得； （2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得． 【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-， 由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值， 当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合， 此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论： ①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH 设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH 在Rt △CFH 中 ∵CF 2=CH 2+FH 2 ∴x 2=62+（10-x ）2 解得：x=345， ∴DF=CH=GH=10-165， 即BG=10-165×2=185， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ； ∴GH=x-（10-x ）=2x-10，在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2， 化简得：3x 2-40x+136=0， ∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0， ∴此方程没有实数根． 综上可知：BG=185． 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．9．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案②【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠考点：一元二次方程的应用。
一元二次方程综合测试卷(word含答案)
一元二次方程综合测试卷（word 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ，∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t（3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ， 在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ，2573256+=-t （舍）所以当573256-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动，到达点C 停止运动．设运动时间为t 秒（1）如图1，过点P 作PD ⊥AC ，交AB 于D ，若△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79，求t 的值； （2）点Q 在射线PC 上，且PQ ＝2AP ，以线段PQ 为边向上作正方形PQNM ．在运动过程中，若设正方形PQNM 与△ABC 重叠部分的面积为8，求t 的值． 【答案】（1）t 1＝2，t 2＝4；（2）t 47758． 【解析】 【分析】（1）先求出△ABC 的面积，然后根据题意可得AP ＝t ，CP ＝6﹣t ，然后再△PBC 与△PAD的面积和是△ABC 的面积的79，列出方程、解方程即可解答； （2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可. 【详解】（1）∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝12×6×6＝18， ∵AP ＝t ，CP ＝6﹣t ，∴△PBC 与△PAD 的面积和＝12t 2+12×6×（6﹣t ）， ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79， ∴12t 2+12×6×（6﹣t ）＝18×79， 解之，得t 1＝2，t 2＝4； （2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ， ∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝477，t 2＝﹣477（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12⨯ 6×6﹣12t 2＝8， 解得：t 1＝25，t 2＝﹣25（不合题意，舍去）， 综上，t 的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.3．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式； （2）当03PQ <时，求n 的取值范围； （3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10． 【解析】 【分析】（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12y x =得： 3=1m 2，解得：m=6 则点C(6，3) ∵A(9，0)将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：0936k bk b=+⎧⎨=+⎩ 解得：k=－1，b=9∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，12n )∴PQ=192n n --∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --≤ 解得：46n <或68n <（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=139922n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12 ∴12=136922nn -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫--⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10． 【点睛】本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．4．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ， （1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围； ②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）. 【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．5．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6aa -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．6．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．7．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC=1：2（1）求A 、C 两点的坐标；（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解()2x 31x 30-++=得（x ﹣3）（x ﹣1）=0，解得x 1=3，x 2=1。
九年级数学一元二次方程单元测试卷 (word版,含解析)
九年级数学一元二次方程单元测试卷 （word 版，含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等； ②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =，DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，（1）点C的坐标为；（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：7（负值舍去），∴7当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（70）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．5．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．6．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．7．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）510 2 000105 2 500（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A 型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A 型空气净化器的利润为200元，每台B 型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A 型空气净化器33台，购进B 型空气净化器67台；（3）至少要购买A 型空气净化器2台. 【解析】解：（1）设每台A 型空气净化器的利润为x 元，每台B 型空气净化器的利润为y 元，根据题意得：5102000,200,{{1052500.100.x y x x y y +==+==解得答：每台A 型空气净化器的利润为200元，每台B 型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A 型空气净化器m 台，则购买B 型空气净化器（100﹣m ）台， ∵B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍， ∴100-m ≥2m ， 解得：m ≤100.3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W 元. 根据题意，得W =200m +100（100﹣m ）=100m +10000. ∵要使W 最大，m 需最大，∴当m =33时，总利润最大，最大利润为W ：100×33+10000=13300（元）. 此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A 型空气净化器33台，购进B 型空气净化器67台.（3）设应购买A 型空气净化器a 台，则购买B 型空气净化器（5﹣a ）台，根据题意得：12[300a +200(5-a )]≥200×3. 解得：a ≥2.∴至少要购买A 型空气净化器2台.8．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,2【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-，2即AM的解析式为112y x=--．9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x-（3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE3，设EB=x，则BF3x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE3﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．。
(word完整版)一元二次方程(含答案),推荐文档
第十六期：一元二次方程元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的,关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在知识点1 :一元二次方程及其解法A . x-i1 , x2 2配方法；三是求根公式法•此题可以用此三种方法求解,x 2 x (x 2 x)2 1-的值等于（；32、3 A . 3练习:答案：I.D.(1)2 b( 1) 30 .解方程得 b 2.原方程为x 2 2x 3C . x-i 1 , x 22D . x 11 , X2 2思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元 次方程的解法有:是因式分解法；二是以分解为（x — 1）(x — 2)=0,所以 x — 1=0 或 x —2 =0,解得 x i = 1,x 2 = 2 .故此题选A.元二次方程根与系数的 6 — 9分左右。
例1 ：方程x 2 3x 20的解是（此题以因式分解法较简单，此式可例2:若x 2思路点拨：本题考查整体思想, 即由题意知x 2 — x=2,所以原式=22 1爲U ，选 A.1•关于x 的一元二次方程 22x —3x — a 2+1=0 的一个根为2,则a 的值是（C .2•如果 1是一元二次方程 x 2 bx 3 0的一个根，求它的另一根.3•用配方法解一元二次方程:x 2 — 2x — 2=0 .2.解：Q 1 是 x 2 bx 30的一个根,分解因式，得（x 1）（x 3） 0 x 1 1 , x 2 3. 3. 移项，得 x 2 — 2x=2 . 配方 x 2 — 2x+1 2 =2+1 2 ,2 (x — 1) 2=3.由此可得x —仁土 3 ,x 1 =1+ .3 , x 2 =1 — . 3 . 最新考题个根是2ax bx c 0的根与系数关系即韦达定理，两根b c 之和是 ，两根之积是一，易求出两根之和是 2。
答案：Baa例2：设一元二次方程 x 2 7x 3 0的两个实数根分别为 x 1和x 2,则 x-1 x 2思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，X 1、X 2是一元二次方程1. （2009威海）若关于x 的一元二次方程x 2（k 3）x k 0的一个根是 2, 则另2. （2009年山西省）请你写出一个有一根为 的一元二次方程:3.（ 2009山西省太原市）用配方法解方程2x 50时, 原方程应变形为（答案: 1.1; 知识点C .2•答案不唯一，女口 x 2 1 3. B元二次方程的根与系数的关系例1：如果x 1, x 2是方程x 2 2x1 0的两个根，那么 X 1 X 2的值为:(A)- 1(B) 2(C ) 1 、2 (D) 1 思路点拨：本题考查一兀二次方程,X 1、X 2-aX 2+bX+c=0(a 工的两根，贝U x 仆 +X 2=cX 2= •要特别注意的是方程必须有实数根才 a能用这一结论，即△ =b 2— 4ac > 0.答案：7, 3 练习:(1)求实数m 的取值范围;22(2)当X 1 X 2 0时，求m 的值.(友情提示：若X -I , X 2是一元二次方程ax 2bx , x 2, x , x 2a这两个实数根是多少?1即实数m 的取值范围是m w 丄. 42•解：由题意，△ =( — 4)2— 4(m — 2)=0 即 16— 4m+2=0 , m =| .当m=^时，方程有两个相等的实数根 X 1=X 2=2 .最新考题1. (2009年兰州)阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c = 0(a 工0的两根为 X 1, X 2,则b c 两根与方程系数之 间有如下关系：X 1+X 2=— — , X 1 X 2= •根据该材料填空：已知X 1、aaX 2是方程 x 2+6x+3 = 0的两实数根，则 竺+ △的值为 ______________ •X I 、1•已知关于X 的一元二次方程X 2(2 m 1)x2 -m 0有两个实数根X i 和X 2.bx c 0(a0)两根，则有2•当m 为何值时, 关于x 的一元二次方程x 2 4x m2 0有两个相等的实数根？此时答案：1•解：(1) 由题意有(2 m 1)2(2) 2X 2 0 得(X 1 X 2)(X 1 X 2) 若X 1 X 20 ,即(2 m 1)0 ,解得 mQ1m 1不合题意，舍去.2右X 1 X 2 0 , 即 卩 x 1 x 2 0 ,由(1)知m故当 2 X12 X2x1 x222. ________________________________________________________________________ ( 2009年崇左)一元二次方程x mx 3 0的一个根为1,则另一个根为___________________________ .答案：1. 10 2. 3知识点3: 一元二次方程的应用例1 :某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元•设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是( )A • 55 (1+ X)2=35B • 35(1+ X)2=55C. 55 (1 —X)2=35 D • 35(1 —X)2=55思路点拨：列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。
第3讲(学生)一元二次方程能力提高训练题代
第3讲一元二次方程经典应用题一、增长率问题1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价2.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？三、储蓄问题3.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）四、趣味问题4.一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？五、象棋比赛5. 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.六、情景对话6.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？图1 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.七、动态几何问题7．如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.八、梯子问题8.一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？九、探索在在问题9.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.10.某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元／千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？11.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量．．．为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油．．．．量．为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量．．．．．进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量．．．下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗．．．油量．．是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量．．．，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量．．．每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量．．．．．下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量．．．是多少千克？用油的重复利用率是多少？12.小芳调查某县城商品房2013年销售均价(即销售平均价)为1400元/m2，2015年销售均价为1694元/m2，同时调查某城市2013年销售均价为2400元/m2，2015年销售均价为3000元/m2，那么，某县城或某城市的商品房的销售价大幅提高，并估计2016年商品房的销售均价各为多少．(保留4个有效数字)．。
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题05 一元二次方程(word版含答案)
专题05 一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2021•黄州区校级自主招生）关于x的方程x2﹣bx+4＝0有两个相等的正实数根，则b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．0 2．（2020•江岸区校级自主招生）若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x ﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 3．（2020•涪城区校级自主招生）若m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，则（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（）A．18B．﹣18C．20D．﹣20 4．（2020•赫山区校级自主招生）准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（）A．1m B．m C．2m D．m 5．（2020•赫山区校级自主招生）已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（）A．B．C．﹣D．﹣6．（2019•锦江区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（2020•浙江自主招生）下列给出的4个命题：命题1若|a|＝|b|，则a|a|＝b|b|；命题2若a2﹣5a+5＝0，则；命题3若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；命题4若方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．其中正确的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4 8．（2019•武侯区校级自主招生）若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M 的值一定是（）A．非负数B．负数C．正数D．零9．（2019•顺庆区校级自主招生）设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣17x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（）A．﹣2017B．0C．340D．﹣111 10．（2019•顺庆区校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4B．8C．6D．0二．填空题（共6小题）11．（2021•黄州区校级自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝．12．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．13．（2020•赫山区校级自主招生）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则x2﹣6xy+9y2＝．14．（2020•原阳县校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，则实数a，b，c之间的关系是．15．（2018•苍南县校级自主招生）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是．16．（2019•宝山区校级自主招生）设方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的两根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝．三．解答题（共8小题）17．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅰ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．18．（2021•大渡口区自主招生）某小微企业在网上销售A、B两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售A、B两种品牌木制休闲用品共450件，其中A品牌木制休闲用品每件售价20元，B品牌木制休闲用品每件售价30元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌木制休闲用品最多销售多少件？（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，A品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，B品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，结果3月售出的A品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的A品牌木制休闲用品数量增加了a%，售出的B品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的B品牌木制休闲用品数量增加了a%，结果3月的总销售额比2月最低销售额增加了a%，求a的值．19．（2019•锦江区校级自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．20．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．21．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，求m的取值范围．22．（2020•南岸区自主招生）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．23．（2020•田家庵区校级自主招生）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．24．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．专题05 一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+4＝0有两个相等的正实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×4＝b2﹣16＝0，解得：b＝4．故选：A．2．【解答】解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，故选：C．3．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，∴m2﹣2020m+1＝0，∴m2﹣2020m＝﹣1，∴（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣5）＝﹣18．故选：B．4．【解答】解：设小路的宽度为xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m，依题意，得：x（30+4x+24+4x）＝80，整理，得：4x2+27x﹣40＝0，解得：x1＝，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故选：B．5．【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0，∴5×（）2+2019×+9＝0．∴x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，∴＝．故选：B．6．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．7．【解答】解：命题1、当a＝﹣1，b＝1时，a|a|≠b|b|；故本选项错误；命题2、原方程的解是a＝．①当a＝时，1﹣a＝﹣＜0，所以；当a＝时，1﹣a＝＜0，所以；故本选项正确；命题3、若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m+3＜0，即m＜﹣3，故本选项正确；命题4、∵x1•x2＝﹣1＜0，∴方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根；∵x1+x2＝﹣m，且m＞0，∴﹣m＜0，即x1+x2＜0；∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．故该选项正确；综上所述，命题2、3、4正确，共3个．故选：C．8．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．9．【解答】解：由题意可得a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝17，cd＝1∴（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）＝[ab+（a+b）c+c2][ab﹣（a+b）d+d2]＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）＝1+20d+d2﹣20c﹣400cd﹣20cd2+c2+20c2d+c2d2＝d2+c2+2﹣400＝（c+d）2﹣400＝172﹣400＝﹣111，故选：D．10．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，故选：A．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，m2+4＞0，由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，∵，∴＝﹣3，＝﹣3，m＝﹣3，故答案为：﹣3．12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：﹣3≤k＜4且k≠．故答案为：﹣3≤k＜4且k≠．13．【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，∴x﹣3y＝2﹣3×（﹣3）＝11，∴x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2＝121，故答案为：121．14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，∴c2﹣2ac+a2﹣4（ab﹣b2﹣ac+bc）＝0，∴a2+4b2+c2﹣4ab+2ac﹣4bc＝0，∴（a﹣2b+c）2＝0，∴a﹣2b+c＝0，∴2b＝a+c（b≠c）．故答案是：2b＝a+c（b≠c）．15．【解答】解：方程x2﹣6x+a＝0的两个根为x＝3±，设x1，x2为方程两根，（1）若x1＝x2，此时a＝9，以x1、x2为两边长为腰的等腰三角形有无数个，不符合题意；（2）若x1≠x2，设x1＜x2，则x1＝3﹣，x2＝3+，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a＜9，①以x1为底，x2为腰的等腰三角形必有一个，此时，0＜a＜9，②以x1为腰，以x2为底的等腰三角形不存在，则有2x1≤x2，∴6﹣2≤3+，≥1，∴0＜a≤8，综上所述：当0＜a≤8时只有一个等腰三角形．故答案为：0＜a≤8．16．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0∴3x2+66x+263＝0∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝故答案为：．三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（i）∵方程有实数根，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤；（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．18．【解答】解：（1）设A品牌木制休闲用品购进x件，则B木制休闲用品购进（450﹣x）件，依题意得：20x+30（450﹣x）≥11500，解得：x≤200．答：A品牌木制休闲用品最多购进200件．（2）依题意得：20（1﹣a%）×200（1+a a%）+30（1﹣a a%）×（450﹣200）（1+a%）＝11500（1+a%），整理得：0.5a2﹣20a＝0，解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为40．19．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）＝＝（﹣1≤m＜1）．∵对称轴m＝，2＞0，∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．20．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣，即m的取值范围是m＞﹣；（2）由（1）知：当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．21．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×2（3m﹣1）≥0，x1+x2＝1，x1•x2＝，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，依题意有，解①得m≤，解②得m＞﹣．故m的取值范围是﹣＜m≤．22．【解答】解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．23．【解答】解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，x1＝，x2＝；（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，当a＝0时，x＝0；当a＝1时，x＝2．24．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
九年级一元二次方程(提升篇)(Word版 含解析)
九年级一元二次方程（提升篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP是等腰三角形.【解析】试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；（3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解.试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0∴1x ＝3或2x ＝4 .则AB ＝3，BC ＝4(2)由题意得()223t-3?+=∴14t =，22t =(舍去)则t ＝4时，AP.(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形.①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4.＝5，CP 1＝12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51++ ＝9.5(秒) ③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯，95PQ == ∴PC＝2PQ ＝185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形.3．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴矩形的对角线长为：()222215m n m n mn +=+-=.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．4．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216 【解析】【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4； （2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形，∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE∴BH=BF=4， 在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，∵BE=BE ，BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0∴16≥y即△ABE 的面积最小值为16．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用6．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上， 且AB ：AC=1：2（1）求A 、C 两点的坐标；（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）解)2x 31x 30-+=得（x 3x ﹣1）=0， 解得x 13，x 2=1。
1.22一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)
1.22一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1)2410x x --=； (2)22730x x ++=．【思路点拨】方程(1)的二次项系数是1，方程(2)的二次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】(1)移项，得241x x -=． 配方，得224214x x -+=+．即2(2)5x -=．直接开平方，得25x -=±， ∴ 125x =+，225x =-． (2)移项，得2273x x +=-，方程两边同除以2，得27322x x +=-， 配方，得22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接开平方，得7544x +=±． ∴ 112x =-，23x =-． 【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=-2225535()()2424x x -+=-+ 251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,22p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭ 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭ 274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. 若实数x y ，满足224250x y x y +--+=，则32x y y x+-的值是（ ）Ａ．1Ｂ．322+ Ｃ．322+ Ｄ．322-【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，． ∴32x y y x+-22121213222132221+++====+---（）．故选Ｃ． 【点评】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++- 4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（） 22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【点评】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式． 【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．2(1)1x m -=+ B ．2(1)1x m +=+ C ．22(1)1x m -=+ D ．22(1)1x m +=+ 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x ＋2)2＝9C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．已知223730216b a a b -+-+=，则4a b -的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14．分解因式44x +．15．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A ；【解析】配方的步骤是：(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】C ；【解析】x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6. 4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2px +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8．【答案】12－；【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2,所以241a b b =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5； 【解析】原式三、解答题13. 【答案与解析】(1)将常数项移到方程右边 3x 2-4x=2将二次项系数化为1：x 2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x 2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x 1=， x 2=.(2)将常数项移到方程右边x 2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得x 2-4x+(2)2=-6+(2)2．(x-2)2=2，用直接开平方法，得 x-2=±， ∴ x=3或x=．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+． 15. 【答案与解析】a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=(a 2+6ab+9b 2)-(25b 2-10bc+c 2)=(a+3b)2-(5b-c)2=(a+8b-c)(a-2b+c)∵a,b,c 为三角形的三边长,∴a+b-c ＞0,a+8b-c=(a+b-c)+7b ＞0. 故由条件只有 a-2b+c=0,即a+c=2b.。
浙教版 八年级数学下册 第2章 一元二次方程 单元综合练习(Word版 含解析)
浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》单元综合练习（附答案）一．选择题1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3+x2+2＝0B．y＝5﹣x C．x+＝5D．x2+2x＝32．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0,则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．关于x的方程x（x﹣5）＝3（x﹣5）的根是（）A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝﹣5；x2＝3D．x1＝5；x2＝3 4．若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根,则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018B．2020C．2022D．20245．若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＞﹣1D．m≥﹣1且m≠0 6．有一块矩形铁皮,长50cm,宽30cm,在它的四个角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为xcm,可列方程为（）A．4x2＝800B．50×30﹣4x2＝800C．（50﹣x）（30﹣x）＝800D．（50﹣2x）（30﹣2x）＝8007．等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．10B．12C．14D．10或148．若x＝是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程是（）A．3x2+2x﹣1＝0B．2x2+4x﹣1＝0C．﹣x2﹣2x+3＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0 9．已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根,且满足,则m的值为（）A．﹣3或1B．﹣1或3C．﹣1D．310．对于实数m,n,先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝,若x⊗（﹣2）＝10,则实数x等于（）A．3B．﹣4C．8D．3或8二．填空题11．若（m+2）x|m|+（m﹣1）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程,则m的值是．12．代数式﹣x2+2x﹣4有最值,最值是．13．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8,那么a2+b2＝．14．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根,则＝．三．解答题15．解方程：（1）4x2+2x﹣1＝0；（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．16．用适当的方法解下列方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（3）（x+1）2＝（2x﹣1）2．17．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1,求方程的另一个根x2．18．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程．（1）求m的值；（2）解该一元二次方程．19．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0,其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个相等的实数根,求m的值及方程的根．22．用一面足够长的墙为一边,其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园,中间用围栏隔开．由于场地限制,垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）（1）若生态园的面积为144平方米,求生态园垂直于墙的边长；（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．23．白银市各级公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨0.5元/个,则月销售量将减少5个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？参考答案一．选择题1．解：A．未知数的最高次数是3,不是一元二次方程,故该选项不符合题意；B．方程中未知数个数为2,不是一元二次方程,故该选项不符合题意；C．是分式方程,故该选项不符合题意；D．该方程是一元二次方程,故该选项符合题意；故选：D．2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0,∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0,∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．解：∵x（x﹣5）＝3（x﹣5）,∴x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0,则（x﹣5）（x﹣3）＝0,∴x﹣5＝0或x﹣3＝0,解得x1＝5,x2＝3,故选：D．4．解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根,∴a﹣b﹣1＝0,∴a﹣b＝1,∴2020+2a﹣2b＝2（a﹣b）+2020＝2×1+2020＝2022．故选：C．5．解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,∴,解得：m＞﹣1且m≠0．故选：B．6．解：设正方形的边长为xcm,则盒子底的长为（50﹣2x）cm,宽为（30﹣2x）cm,根据题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800,故选：D．7．解：x2﹣8x+12＝0,（x﹣6）（x﹣2）＝0,x﹣6＝0或x﹣2＝0,所以x1＝6,x2＝2,因为2+2＝4＜6,所以等腰三角形的腰长为6,底边长为2,所以这个等腰三角形的周长＝6+6+2＝14．故选：C．8．解：∵x＝是某个一元二次方程的根,∴此一元二次方程二次项系数a＝3,一次项系数b＝﹣2,常数项c＝﹣1,∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0,故选：D．9．解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根,∴x1+x2＝2m+3,x1x2＝m2,∴+＝＝＝1,解得：m＝3或m＝﹣1,把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0,Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0,此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2+x+1＝0,Δ＝1﹣4×1×1＜0,此时方程无解,即m＝﹣1舍去．故选：D．10．解：当x≥﹣2时,x2+x﹣2＝10,解得：x1＝3,x2＝﹣4（不合题意,舍去）；当x＜﹣2时,（﹣2）2+x﹣2＝10,解得：x＝8（不合题意,舍去）；∴x＝3．故选：A．二．填空题11．解：由题意得,|m|＝2,m+2≠0,解得m＝2．故答案为：2．12．解：﹣﹣x2+2x﹣4＝﹣（x2﹣2x）﹣4＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3＝﹣3﹣（x﹣1）2,∵（x﹣1）2≥0,∴﹣（x﹣1）2≤0,∴﹣3﹣（x﹣1）2≤﹣3,∴x＝1时,代数式有最大值﹣3．故答案为：﹣3．13．解：设a2+b2＝t（t≥0）,则t（t﹣2）＝8,整理,得（t﹣4）（t+2）＝0,解得t＝4或t＝﹣2（舍去）,则a2+b2＝4．故答案是：4．14．解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0,∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根,∴α+β＝3,αβ＝1,∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7,α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47,∴＝＝47,故答案为：47．三．解答题15．解：（1）4x2+2x﹣1＝0,这里：a＝4,b＝2,c＝﹣1,∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0,∴x＝＝＝,解得：x1＝,x2＝；（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2整理为y2﹣4y+2＝0,这里：a＝1,b＝﹣4,c＝2,∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0,∴y＝＝＝2±,解得：y1＝2﹣,y2＝2+．16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0,∵a＝2,b＝﹣3,c＝﹣1,∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0,∴x＝＝,∴x1＝,x2＝；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x,3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0,（x﹣1）（3x+2）＝0,∴x﹣1＝0或3x+2＝0,∴x1＝1,x2＝﹣；（3）（x+1）2＝（2x﹣1）2,（x+1）2﹣（2x﹣1）2＝0,＝0,3x（2﹣x）＝0,∴3x＝0或2﹣x＝0,∴x1＝0,x2＝2．17．解：依题意得：x1+x2＝3,即1+x2＝3,解得：x2＝2．∴方程的另一个根x2＝2．18．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程,∴,解得m＝﹣1；（2）方程为﹣2x2+2x﹣3＝0,即2x2﹣2x+3＝0,∵a＝2,b＝﹣2,c＝3,∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×3＝4﹣24＝﹣20＜0,故原方程无解．19．解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,∴m+n＝,mn＝﹣,∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．20．解：（1）△ABC是等腰三角形,理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0,∴2a＝2b,∴a＝b,∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形,∴a＝b＝c,∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0,∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0,即x2﹣x＝0,解得：x1＝0,x2＝1,即这个一元二次方程的根是x1＝0,x2＝1．21．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣16（m﹣2）＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2≥0,∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个相等的实数根,∴Δ＝（m﹣6）2＝0,解得m＝6,此时方程为x2﹣8x+16＝0,∴（x﹣4）2＝0,∴x1＝x2＝4．22．解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为（42﹣3x）米,依题意,得（42﹣3x）x＝144．解得x1＝6,x2＝8．由于x2＝8＞7,所以不合题意,舍去．所以x＝6符合题意．答：生态园垂直于墙的边长为6米；（2）依题意,得（42﹣3x）x＝150．整理,得x2﹣14x+50＝0．因为Δ＝（﹣14）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．所以该方程无解．所以生态园的面积不能达到150平方米．23．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,依题意,得：150（1+x）2＝216,解得：x1＝0.2＝20%,x2＝﹣2.2（不合题意,舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元,依题意,得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000,整理,得：y2﹣130y+4000＝0,解得：y1＝80（不合题意,舍去）,y2＝50,答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．。
一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
∴S△ACO＝ × ＝1 ，S△ODB＝ ×3＝ ．∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD．
又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝± （舍负取正），即 ＝ ．
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝ ＝ ．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
求k的取值范围；
设方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求k的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
根据方程有实数根得出 ，解之可得．
利用根与系数的关系可用k表示出 和 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
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《一元二次方程》能力提高训练题
1、已知x 2+21
x
=3,求12
42++x x x = 2、如果m 、n 是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ,122
=-n n ,那么代数式
=+-+199944222n n m
3、已知a 、b 、c 是ABC ∆三条边的长，那么方程()04
2
=+
++c
x b a cx 的根的情况是 4、方程0132
=--x x 与032
=+-x x 的所有实数根的和是 5、将代数式2x 2
+3x+5配方得
6、某工厂计划在长24m ，宽20m 的空地中间划出一块322
m 的长方形建一住房，并且使剩余的地为正方形，则这个宽度是 m
7、下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A 1562
-+x x B 3732
++y y C 2
2
42y xy x -- D 2
2
542y xy x +-
8．在等腰△ABC 中，a=3，b ，c 是x 2+mx+2－
1
2
m=0的两个根，试求△ABC 的周长． 9.问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a
－1=0，b 4+b 2－1=0，且1
a ≠
b 2，求21ab a + 的值．
中考题 11．（6分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3•月份的营业额比2月份增加10%，5
月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是__________．
12．（6分）解方程：222(1)6(1)
11
x x x x +++++=7时，利用换元法将方程化为6y 2－7y+2=0，•则应设
y=_________．
13．（6分）已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________． 14．（12分）已知：关于x 的两个方程①2x 2+（m+4）x+m －4=0与②mx 2+（n －2）x+m －3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． （1）求证：方程②两根的符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n 为整数，求m 的最小整数值．
设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m －2）x+m 2－3m+3=0•有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）若x 12+x 22=0，求m 的值;（2）求2212
12
11mx mx x x +
--的最大值．
C
B
A 第3题图
y
x
O
反比例函数
1. 已知反比例函数x
k
y =
的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。
A 、y 1＞y 2
B 、y 1＝y 2
C 、y 1＜y 2
D 、无法确定
2.函数y =mx
9
22--m m 的图象是双曲线，且在每个象限内函数值y 随x 的增大而减小，则m 的值是（ ） A.－2
B.4
C.4或－2
D.－1
3. 如图，反比例函数x
y 5
=
的图象与直线)0(>=k kx y 相交于B 两点， AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位.
A.4
B.5
C.10
D.20 4.若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数1
2y x
=的图象上，则当1x 、2x 满足_______________时，1y ＞2y .
5，在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数
k
y x
=
的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ． 6，若点(3，4)是反比例函数y ＝221
m m x
+-图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A.(2，6)
B.(2，－6)
C.(4，－3)
D.(3，－4)
7，在函数y ＝
x
2
，y ＝x +5，y ＝－5x 的图像中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图像的个数有（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3 8、如果点P 为反比例函数x
y 6
=
的图像上的一点 ， PQ 垂直与x 轴， 垂足为Q ， 那么po ∆Q 的面积为（ ）
A 12
B 6
C 3
D 1.5
9．向高为H 的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面半径为2，那么注水量y 与水深x 的函数图象是( )
10．面积为4的矩形一边为x ，另一边为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为 （ ）
二、解答题 1．反比例函数y=k
x
中，当x 的值由4增加到6时，y 的值减小3，求这个反比例函数的解析式．
3．直线y kx b =+过x 轴上的点A （32，0），且与双曲线y k x
=相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为（-
12
，4）
，求直线和双曲线的解析式．
4．已知一次函数y x =+2与反比例函数y k x
=
的图象的一个交点为P （a ，b ）
，且P 到原点的距
离是10，求a 、b 的值及反比例函数的解析式．
5．已知函数y m m x m m =+-+-()21222是一次函数，它的图象与反比例函数y k x
=的图象交于一点，交点的横坐标是
13
，求反比例函数的解析式．
11．某年上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75 元之间．经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿)度与(x —0.4)(元)成反比例．当65.0=x 时，
8.0=y ．
(1)求y 与x 之间的函数关系式． (2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度
增加20％．[收益＝用电量×(实际电价一成本价)]。