应力集中系数量化分析

应力集中系数的量化分析
摘要本文主要阐述应用圣维南原理和曲杆应力公式，对U形缺口受拉板件的应力集中系数进行分析。

了解应力集中系数的推导过程后，将能更好更全面地了解应力集中现象及圣维南原理。

关键词应力集中系数圣维南原理曲杆
众所周知，利用有限单元法可以求解各种情况下的应力问题，但因该法只能给出数值解，故不便应用于结构设计。

如果针对具体结构也能给出闭合近似解，它将具有理论价值和实用价值。

为此，本文采用圣维南原理和曲杆应力公式，对U形缺口受拉板件的应力集中系数进行分析，计算结果与有限单元解很接近。

这种利用材料力学的方法推导应力集中系数，将能更好更全面地理解应力集中现象及圣维南原理。

1 计算模型
图1表示含缺口受应力σ0拉伸的扳件。

已知板件缺口尺寸a和底边半径r o。

设板的半长L与半宽b远大于a＋r o，根据圣维南原理，设U形曲杆的I 区为缺口的应力集中影响区，该区的尺寸以r o和R0表示。

在AB截面上作用有轴力N和弯矩M (如图2所示),区II为无应力集中影响区,DC的宽度用c 表示。

图1 受拉应力作用的含缺口板
D
y
σ0
图2 AB 截面受力图
由图2所示，有如下关系 N =(a +R 0)σ
0 （1）
M =0.5(a +R 0)σ0(r 0+a ) （2） 2 沿截面AB 上的应力
根据材料力学的应力公式，沿AB 截面上的正应力
）－－（）
（从而
）
（－其中
）
（－－点的应力为：
，曲杆Ⅰ区＝由于）
（）－（－－）
（）－（－－分别为：
和，则曲杆的轴线半径－表示为：及变形前的半径作用下中性层的位置以曲杆在处纤维层的曲率半径，是曲杆Ⅰ中距中性层为这里，）
（－－＝)]}ln([){(8 )ln( 7 A 6 ])ln(2[21)( 5 ])ln(2[21
2 2
(4)
)ln(
3 0
000
000A 0A
00A 0A 0
02
02020000
00000000
00
001R r r R a r R a r R r R r r r y S r My r R N r r R r R r R r R e S r R r R r R r r R e S e r R R r R r
R r r M
y S My
r R N z z z z
++-=-==-==+=+=+==
σσρρρσ
这里，ρ是曲杆Ⅰ中距中性层为y 处纤维层的曲率半径，曲杆在M 作用
下中性层的位置以其变形前的半径r 表示为：
）
（）－（－）－（）－－（）
（－＝
从而
）
（－其中
）
（－－点的应力为：
，曲杆Ⅰ区＝由于）
（）－（－－）
（）－（－－分别为：
和，则曲杆的轴线半径－表示为：及变形前的半径作用下中性层的位置以曲杆在处纤维层的曲率半径，是曲杆Ⅰ中距中性层为这里，）
（－
－＝
9 ]}
2)ln([{)]}ln([){()(8 )ln( 7 A 6 ])ln(2[21)( 5 ])ln(2[21
2 2
(4)
)ln( 3 2
000
02
02
000
0000000
000A 000
000A 0A
00A 0A 0
02
02020000
00000000
0000
00
01r R r R r R r r R r r R a r R a r R R a r R r R r r r y S r My r R N r r R r R r R r R e S r R r R r R r r R e S e r R R r R r R r r M y S r R z z z z
+++
+-=-==-==+=+=+==σσσσρρρσ
3 应力集中系数
由式（9）可得应力集中系数K t ：
11 1 10 }]
12ln 1[]ln 1[11{1 0000A ）
（）（其中
）（）（）（）（）（）（）＋（）＋（＝a r a R r a
a a a a a a a a K t ++==-+=--+--+-=βξξξβξξσσ
4 计算方法与结果
给定ξ值后，具体计算近似闭合解的关键在于如何确定β值。

β太小则曲杆外侧没有离开圣维南影响区，β太大则曲杆应力公式又不适用。

首先选取一系列β，可求得相应的应力集中系数近似解。

在与有限单元结果比较后，得到合适的β值。

表1给出了β的变化范围。

表1 根据有限元结果所得到的β值
由表1可知，随ξ的变化β值变化不大，其平均值约为4.3，在β确定后，由式（10）可得应力集中系数K t 值，由式（11），a ＝4.3（1＋ξ）－ξ，计算结果见表2，应力集中系数的近似闭合解与有限单元解很接近。

该方法具有如下优点：
⑴模型和相应的计算公式简单，便于应用； ⑵具有较高的准确度。

表2 β=4.3时求出的应力集中系数
参考文献
1Timoshenko SP，Gere JM. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Company：1972
2张行主编材料力学分析方法北京国防工业出版社。

1988。