小学奥数——数论专题
六年级数论综合奥数题
六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。
例如公式，余数为公式，则说公式。
2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。
例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。
3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。
例如公式、公式、公式、公式等。
合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。
例如公式，公式，所以公式、公式是合数。
4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。
例如公式。
二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。
2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。
3. 对于公式，其因数个数为公式个。
题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。
解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。
设另一个数为公式。
2. 则公式。
3. 先计算公式，那么公式。
题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。
2. 已知公式，且公式是公式的倍数。
将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。
3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。
已知公式。
4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。
5 小学奥数——数论 1 试题及解析
小学奥数——数论一.选择题（共50小题）1.一条大鲸鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和.这条大鲸鱼全长( )米.A.12B.24C.36D.482.有一串数，最前面的四个数依次是2、0、1、6.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.在这一组数中，一定不会出现的数组是( )A.2018B.2017C.9472D.41863.在10~1000之间，个位数是3或8的数的个数是( )A.200B.198C.196D.1944.在序列20170⋯中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去.那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是( )A.8615B.2016C.4023D.20175.整数1N = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132010⋯ 2011 2012 2013 2014 2015是由12015-这2015个整数，由小到大的顺序依次写出得到的，那么N 是( )位数.A.5678B.6947C.6950D.6953 6.设666673m ⋯⨯{个得数的各位数字之和为M ，333373n ⋯⨯{个得数的各位数字之和为N ，那么M 与N 的大小关系是( )A.M N >B.M N =C.M N <D.不确定7.如图，飞镖圆靶分成五个部分，每部分得分依次是1，3，5，7，9（分)，某小孩掷了六支飞镖，全部击中圆靶，下列得分中可能是他所得总分的是( )A.4B.17C.28D.568.把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有( )个连续的零.A.1B.2C.3D.4 9.算式2016201699999999⋯⨯⋯{{个个的结果中含有( )个数字0.A.2017B.2016C.2015D.201410.有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为36，B 的各位数字之和为25，且两数相加时进位三次，那么A B +的各位数字之和是( )A.33B.34C.35D.3611.有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致.现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着.那么， 这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有( )间.A.0B.10C.11D.2012.老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是( )A.188B.178C.168D.15813.有四个数，它们的和是45，把第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相同.那么，原来这四个数依次是( )A.10，10，10，10B.12，8，20，5C.8，12，5，20D.9，11，12，1314.三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有( )个.A.8B.6C.4D.215.老师在黑板上将从1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11⋯写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3 段，如果前两段的和分别是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是( )A.154B.156C.158D.16016.在下列四个算式中：2AB CD ÷=，0E F ⨯=，1G H -=，4I J +=，~A J 代表0~9中的不同数字，那么两位数AB 不可能是( )A.54B.58C.92D.9617.一个五位数，由1，2，3三个数码组成，对于其中任何一个数码，如果这个数码是1，则它后面只能写2；如果这个数码是2，它后面只能写3；如果这个数码是3，它后面可以写1，也可以写3.这样的五位数有()个.A.10B.13C.19D.2818.对一个大于0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，那么经过9次操作变为1的数有()个.A.15B.22C.25D.3419.某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：123、364、765、874、925.其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是()A.375B.724C.823D.96420.有8个谜语让60个人猜，猜对共338人次.每人至少猜对3个，猜对3个的有6人，猜对4个的有10人，猜对5个和7个的人数同样多.8个全猜对的有()人.A.6B.8C.10D.1221.蓝佛德数字是这样一种数字.它的数字中每一个数码都出现两次.并且数码1被一个其他数码分开，数码2被两个其他数码分开，等等.下面四个数是蓝佛德数字的一个是()A.12142334B.41312432C.14132342D.3243214122.2011的各位数字的和为4，具有这种性质的四位数的数共有()A.10B.15C.20D.2123.在下列四个数中，能被77整除的是()A.34987B.68486C.75999D.3298224.若1515153333a=⋯⨯⋯（有1004个15，有2008个3)，则整数a的所有数位上的数字和等于()A.18063B.18072C.18079D.1805425.在自然数1，2，3，⋯，2008中，末位是3的所有数的和是()A.201603B.201703C.201803D.20190326.从1、3、5、7、9这五个数字中任选2个，分别写在乘号的两边，组成一道乘法算式.共可得到多少个乘积不同的算式()A.5B.10C.15D.2027.已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a b c a b c⨯⨯=++，那么满足上述条件的三位数的和为()A.1032B.1132C.1232D.133228.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30.将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是()A.0.3B.0.5C.1D.1.529.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是()A.1B.3C.5D.1030.123456789101112131420052006⋯是()位数.A.6913B.6914C.6915D.691731.有194盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着；拉一下拉线开关，灯由亮变灭；再拉一下，又由灭变亮，现按顺序将这194盏灯依次编号为1，2，3，4，⋯，194，然后将编号为2的倍数的拉线开关都拉一下；再将编号为3的倍数的灯线都拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下.三次拉完后，亮着的灯有()盏.A.97B.96C.95D.9432.写有数字6，10，18的卡片各10张，现在从这30张中适当选出9张计算出它们的和，可能的和是()A.93B.98C.104D.10733.下面不能写成10个连续自然数之和的是()A.385B.495C.675D.104034.从1、2、3、⋯、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法()种.A.6B.7C.8D.935.如图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如，在填入的81个数中，()多.A.奇数B.偶数36.房间有红、黄、蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1~100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r p g（其中p为正奇数，r为正整数），就拉p次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为()A.只有红灯亮B.只有红、黄灯亮C.三灯都亮D.三灯都不亮37.在如图的奥运五环图案中，分别填写五个两位数a，b，c，d，e，使得上面的三个数a，b，c是三个连续的偶数，下面的两个数d，e是两个连续的奇数，而且a b c d e++=+，如果填入的五个数的十位数字都是1，那么这五个数的和是()A.80B.76C.72D.6838.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯的前2006个数中，偶数有()A.667个B.668个C.669个D.670个39.任意两个质数的和()A.一定是偶数B.一定是质数C.一定是合数D.可能是偶数，可能是质数，也可能是合数40.如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,(222a b b c c a +++ ) A.都不是整数B.至少有一个整数C.至少有两个整数D.都是整数41.若三个连续偶数的和是162，则它们的乘积是( )A.157248B.125748C.157284D.17258442.四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在9、10、11、⋯、67、68这60个自然数的相邻两数之间任意添加符号“+”或“一”，然后进行计算.四个同学得到的结果分别是2000、2003、2300、2320，老师看后指出：这四个结果中只有一个是正确的.这个正确的结果是( )A.2274B.2003C.23000D.232043.下面三组数中和不同的是( )A.87，76，65，54B.77，66，55，84C.58，86，64，7544.有10个房间，9个开着灯，1个关着灯，如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把所有房间的灯都关上？A.能B.不能C.不能确定 45.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.3146.若a 、b 互素，且两个最简分数之和为3135m n a b +=，则1(a b m n m n +-=⨯ ) A.5B.6C.8D.10 47.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.31 D.2948.如图，正方体每个面上各写了一个整数，并且相对的两个面上的数之和都相等，现在只看到三个面上写的数8，10与25，如果看不见的三个面上写的都是质数，那么这三个质数之和是( )A.36B.38C.52D.5849.把40写成两个质数之和的形式共有()种方法.A.4B.3C.2D.150.已知4个质数的积是它们和的11倍，则它们的和为()A.46B.47C.48D.没有符合条件的数参考答案与试题解析一.选择题（共50小题）1.一条大鲸鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和.这条大鲸鱼全长( )米.A.12B.24C.36D.48【解析】设尾长为x 米，则身长为(3)x +米，得13(3)2x x =++⨯ 3 1.50.5x x =++0.5 4.5x =9x =身长：3912+=（米)大鲸鱼全长：312924++=（米).答：这条大鲸鱼全长24米.故选：B .2.有一串数，最前面的四个数依次是2、0、1、6.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.在这一组数中，一定不会出现的数组是( )A.2018B.2017C.9472D.4186【解析】对2016进行拓展962301607478656528⋯这组数字出现奇偶性的规律为：奇偶偶奇偶，奇偶偶奇偶⋯在2018、2017、9472、4186中只要2017有两个奇数相连，不符合规律.故选：B .3.在10~1000之间，个位数是3或8的数的个数是( )A.200B.198C.196D.194【解析】个位数是3的从10到1000中，每10个数中有一个，所以，一共有(100010)1099-÷=（个)，个位数是8的从10到1000中，每10个数中有一个，所以，一共有(100010)1099-÷=（个)，所以，个位数是3或8的一共有：9999198+=（个)，故选：B .4.在序列20170⋯中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去.那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是( )A.8615B.2016C.4023D.2017【解析】枚举法0170的数字和是8下一个数字就是8.1708的数字和是16下一个数字就是6.7086的数字和是21下一个数字就是1.0861的数字和是15下一个数字是5.8615的数字和是20下一个数字是0.6150的数字和为12下一个数字就是2.20170861502⋯ 规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个.故选：B .5.整数1N = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132010⋯ 2011 2012 2013 2014 2015是由12015-这2015个整数，由小到大的顺序依次写出得到的，那么N 是( )位数.A.5678B.6947C.6950D.6953【解析】一位数有：199⨯=（个)两位数有：290180⨯=（个)三位数有：39002700⨯=（个)四位数有：4(201510001)4064⨯-+=（个)9180270040646953+++=（个)答：N 是6953位数.故选：D .6.设666673m ⋯⨯{个得数的各位数字之和为M ，333373n ⋯⨯{个得数的各位数字之和为N ，那么M 与N 的大小关系是( )A.M N >B.M N =C.M N <D.不确定 【解析】因为606667320001m m ⋯⨯=⋯{{个个；31033373100011n n -⋯⨯=⋯{{个个，所以213M =+=，1113N =++=，所以M N =，故选：B .7.如图，飞镖圆靶分成五个部分，每部分得分依次是1，3，5，7，9（分)，某小孩掷了六支飞镖，全部击中圆靶，下列得分中可能是他所得总分的是( )A.4B.17C.28D.56【解析】由题意得分至少是166⨯=，至多是6954⨯=，故A 、B 排除. 因为6个奇数的和是偶数，所以B 排除，故选：C .8.把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有( )个连续的零.A.1B.2C.3D.4【解析】因为2510⨯=，在1~10中，只有5和10两因数含有因数5，即把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有2个连续的零.故选：B .9.算式2016201699999999⋯⨯⋯{{个个的结果中含有( )个数字0. A.2017B.2016C.2015D.2014 【解析】2016201699999999⋯⨯⋯{{个个201602016100019999⎛⎫ ⎪=⋯-⨯⋯ ⎪⎝⎭{{个个2016020162016100099999999=⋯⨯⋯-⋯{{{个个个20169020169990009999=⋯-⋯{{个和个个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是： 201612015-=（个)故选：C .10.有A、B两个整数，A的各位数字之和为36，B的各位数字之和为25，且两数相加时进位三次，那么A B+的各位数字之和是()A.33B.34C.35D.36【解析】362593+-⨯=-6127=34答：A B+的各位数字之和是34.故选：B.11.有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致.现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着.那么，这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有()间.A.0B.10C.11D.20【解析】因为最开始开灯和关灯的各是10间，由于第一间的灯是开着的，所以，第一间人看到的，开灯的9间，关灯的10间，之后，他就关灯，以后无论开灯的出来看，还是关灯的出来看，始终关灯的多，即：一轮结束，灯全部会关闭，故选：D.12.老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是()A.188B.178C.168D.158【解析】设第一段有n个，则第2段有1n+个，那么第一个擦的奇数是21n+，n+，第二个擦的奇数是45被划去的两个奇数的和为：214566+++=+，n n n66n+是6的倍数，在四个选项中只有168是6的倍数，符合要求.故选：C.13.有四个数，它们的和是45，把第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相同.那么，原来这四个数依次是( )A.10，10，10，10B.12，8，20，5C.8，12，5，20D.9，11，12，13【解析】设相同的结果为2x ，根据题意有：2222445x x x x -++++=，解得5x =，所以原来的4个数依次是8，12，5，20.14.三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有( )个.A.8B.6C.4D.2【解析】考虑到一定会有进位、退位，设原数数字和为a ，则3-，4+定不是差7，否则无法成为连续4个自然数，5÷说明末位为0或5，当末位为5时，3-，4+均不进位退位；当末位为0时，3-退位，符合，所以3-相当于数字和多6，6a +；4+相当于数字和多4，4a +；5÷相当于数字和2⨯，2a ⨯；2a ⨯，2a +，4a +连续，2a ⨯为7a +，5a +，3a +中的一个，分类讨论得到25a a ⨯=+成立，所以5a =，数字和为5，尾数为0的有：500（舍去），410，320，230，140，共4个.故选：C .15.老师在黑板上将从1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11⋯写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3 段，如果前两段的和分别是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是( )A.154B.156C.158D.160【解析】因为296131=，所以擦去的第一个奇数为3121263⨯-+=.而9616310012025++=，因为2202545=，所以擦去的第二个奇数数为4521291⨯-+=.所以，两个数的和为6391154+=，故选：A .16.在下列四个算式中：2AB CD ÷=，0E F ⨯=，1G H -=，4I J +=，~A J 代表0~9中的不同数字，那么两位数AB 不可能是( )A.54B.58C.92D.96【解析】由条件可知：E、F中至少有一个为0，假设E为0；另一个可以是任何数；I和J有一个是3，有一个是1；那么0~9中的数字还剩下2、4、5、6、7、8、9；因为：1G H-=①GH是9，8时则54272÷=此时6F=②GH是8，7时则92462÷=此时5F=③GH是7，6时则58292÷=此时4F=④G、H是6，5此时不满足条件⑤时G、H是5，4时，此时不满足条件所以两位数AB可能是54、58、92；不可能是96故选：D.17.一个五位数，由1，2，3三个数码组成，对于其中任何一个数码，如果这个数码是1，则它后面只能写2；如果这个数码是2，它后面只能写3；如果这个数码是3，它后面可以写1，也可以写3.这样的五位数有()个.A.10B.13C.19D.28【解析】如果最高位（万位）是1，那么根据题意，千位上只能是2，百位上只能是3，十位上可以是1或3，得到3种情况：12312、12331、12333；如果最高位（万位）是2，那么根据题意，千位上只能是3，百位上可以是1或3，通过列举，可以得到3种情况：23123、23312、23331；如果最高位（万位）是3，那么根据题意，千位上可以是1或3，千位上如果是1，可以得到2种情况：31231、31233；千位上如果是3，可以得到2种情况：33123、33312综上所述，符合题意的五位数有：12312、12331、12333、23123、23312、23331、31231、31233、33123、33312故选：A.18.对一个大于0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，那么经过9次操作变为1的数有()个.A.15B.22C.25D.34【解析】通过1次操作变为1的数有1个，即2；经过2次操作变为1的数有2个，即4、1；经过3次操作变为1的数有2个，即3、8；⋯；经过5次操作变为1的数有8个，即11、24、10、28、13、64、31、30；经过1、2、3、4、5⋯次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8⋯，这即为斐波拉契数列，则第6次后是：5813+=个.+=个，第七次后是13821+=个，第8次后是211334即经过8次操作变为1的数有34个.答：经过8次操作变为1的数有34个.故选：D.19.某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：123、364、765、874、925.其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是()A.375B.724C.823D.964【解析】选项A，375与123对应位置上的数字没有一个相同，故错误.选项B，符合要求；选项C，823与765对应位置上的数字没有一个相同，故错误.选项D，964123对应位置上的数字没有一个相同，故错误.综上所述故选：B.20.有8个谜语让60个人猜，猜对共338人次.每人至少猜对3个，猜对3个的有6人，猜对4个的有10人，猜对5个和7个的人数同样多.8个全猜对的有()人.A.6B.8C.10D.12【解析】设猜对5个和7个的人数各为x人，3641057(606102)8338x x x ⨯+⨯+++---⨯=5812(442)8338x x ++-⨯=581235216338x x ++-=472x =18x =6061026061021844368x ---=---⨯=-=答：8个谜语全猜对的有8人.故选：B .21.蓝佛德数字是这样一种数字.它的数字中每一个数码都出现两次.并且数码1被一个其他数码分开，数码2被两个其他数码分开，等等.下面四个数是蓝佛德数字的一个是( )A.12142334B.41312432C.14132342D.32432141【解析】A 、两个3连在一起，错误；B 、41312432被4个数分开，1被1个数分开，2被两个数分开，3被3个数分开，符合要求；C 、两个3中间只有一个数字隔开，错误；D 、两个3之间只有两个数字隔开，错误.故选：B .22.2011的各位数字的和为4，具有这种性质的四位数的数共有( )A.10B.15C.20D.21【解析】分5种情况讨论，①，4个数字都为1时，即1111，有1个四位数符合题意，②，4个数字为2、0、1、1时，0不能放在首位，有3种放法，则2有3种方法，剩余的2个1，放在其余两个位置，有1种情况，则共有339⨯=个四位数符合题意，③，4个数字为3、0、0、1时，首位必须是3或1，有2种情况，在剩余的3个位置取出2个来放数字0，有233C =种情况，剩余的1个数字放在最后位置，有1种情况，则共有236⨯=个四位数符合题意，④，4个数字为2、2、0、0时，首位必须是2，有1种情况，在剩余的3个位置种取出2个来放数字0，有233C =种情况，剩余的1个数字2放在最后位置，有1种情况，则共有133⨯=个四位数符合题意，⑤，4个数字为4、0、0、0时，即4000，只有1个四位数符合题意，综合，共有1936120++++=个四位数符合题意，故选：C .23.在下列四个数中，能被77整除的是( )A.34987B.68486C.75999D.32982【解析】34987，(397)(48)7++-+=，不能被11整除，则不能被77整除.68486，(646)(88)0++-+=，能被11整除，6846626834-⨯=，个数是4，不能被7整除，则不能被77整除.75999，(799)(59)11++-+=，能被11整除，7599927581-⨯=，能被7整除，所以75999能被77整除.32982，(392)(28)4++-+=，不能被11整除，则不能被77整除，故选：C .24.若1515153333a =⋯⨯⋯（有1004个15，有2008个3)，则整数a 的所有数位上的数字和等于( )A.18063B.18072C.18079D.18054【解析】1515153333⋯⨯⋯505050533333=⋯⨯⨯⋯，50505059999=⋯⨯⋯，(50505⋯共2007位数，9999⋯共2008位数）5050505(10000001)=⋯⨯⋯-，50505050000005050505=⋯⋯-⋯，5050505049494949495=⋯⋯；（前面505050504⋯共有2007位，中间9有1位，最后494949495⋯共2007位） 前面505050504⋯加最后494949495⋯正好为2007个9，再算是中间的一个9，因此所有数位上的和为9200818072⨯=.故选：B .25.在自然数1，2，3，⋯，2008中，末位是3的所有数的和是()A.201603B.201703C.201803D.201903【解析】313232003(12200)103201201603+++⋯+=++⋯+⨯+⨯=，故选：A.26.从1、3、5、7、9这五个数字中任选2个，分别写在乘号的两边，组成一道乘法算式.共可得到多少个乘积不同的算式()A.5B.10C.15D.20【解析】54210⨯÷=答：共可得到10个乘积不同的算式.故选：B.27.已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a b c a b c⨯⨯=++，那么满足上述条件的三位数的和为()A.1032B.1132C.1232D.1332【解析】足a b c a b c⨯⨯=++=，⨯⨯=++的只有1，2，3，即1231236所以这些三位数是123，132，213，231，312，321；和为1231322132313123211332+++++=.故选：D.28.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30.将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是()A.0.3B.0.5C.1D.1.5【解析】设a b c d e<<<<，则0.3ce=，de=，12ac=，30ab=，0.6可得2a b=÷，=，0.3d c=， 2.5c b可得5个数为：÷，b，2b，5b，6b÷，0.3b再根据这几个数两两相乘的积分别为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30进行比较，得出1b=于是5个数为0.3，1，2，5，6，所以左起第2个数是1.故选：C.29.a 、b 、c 、d 、e 这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是( )A.1B.3C.5D.10【解析】设a b c d e <<<<，则：3ab =，3a b=， 6ac =；36c b=， 2c b =；120ce =2120be =60e b=； 300de =300d e =÷60300b=÷ 5b =； 那么这五个数就可以表示为：3b，b ，2b ，5b ，300b . 最大最小的四个乘积已经讨论过，再来讨论剩下的乘积，剩下的乘积就有可能表示为： 222bc b b b ==g ，255bd b b b ==g ，6060be b b==g ， 22510cd b b b ==g3515ad b b==g ， 2360180ae b b b==g ； 这些积就是：3，6，15，2180b，22b ，25b ，60，210b ，120，300； 显然：210b =.故选：D .30.123456789101112131420052006⋯是( )位数.A.6913B.6914C.6915D.6917【解析】1~9，共有9个数字组成，10~99共有290180⨯=个数字组成，100~999，共有39002700⨯=个数字组成，1000~2006共有410074028⨯=个数字组成.所以123456789101112131420052006⋯是由：9180270040286917+++=个数字组成.则其是6917位数.故选：D .31.有194盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着；拉一下拉线开关，灯由亮变灭；再拉一下，又由灭变亮，现按顺序将这194盏灯依次编号为1，2，3，4，⋯，194，然后将编号为2的倍数的拉线开关都拉一下；再将编号为3的倍数的灯线都拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下.三次拉完后，亮着的灯有( )盏.A.97B.96C.95D.94【解析】依题意可知：194盏灯亮着.2的倍数有194297÷=（盏).3的倍数有194364÷=（盏)2⋯.5的倍数有194538÷=（盏)4⋯.既是2的倍数又是3的倍数的共有194632÷=（盏)2⋯.既是2的倍数又是5的倍数的共有1941019÷=（盏)4⋯.既是3的倍数有是5的倍数有1941512÷=（盏)14⋯.同时是2，3，5的倍数的有194306÷=（盏)14⋯.拉1次的灯的，973219652--+=（盏).643212626--+=（盏).381219613--+=（盏).拉3次的共有6盏.194522613697----=.故选：A .32.写有数字6，10，18的卡片各10张，现在从这30张中适当选出9张计算出它们的和，可能的和是( )A.93B.98C.104D.107【解析】根据题意可知：6，10，18被4除，余数都是2，同余；所以选出9张卡片求和，余数变为了18.因为减去18，剩下的数可以被4整除即为答案..931875A -=，不能整除4，故错误选项..981880B -=，能整除4，故正确选项..1041886C -=，不能整除4，故错误选项..1071889D -=，不能整除4，故错误选项.故选：B .33.下面不能写成10个连续自然数之和的是( )A.385B.495C.675D.1040【解析】任意10个连续自然数中有5个偶数，5个奇数，5个奇数的和是奇数，5个偶数的和是偶数，因为奇数+偶数=奇数，所以任意10个连续自然数的和一定是奇数；因为385、495、675都是奇数，而1040是偶数，所以10个连续自然数之和不可能是1040.故选：D .34.从1、2、3、⋯、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法( )种.A.6B.7C.8D.9【解析】1，2，3，4，5，6，7中1，3，5，7是奇数，2，4，6是偶数，134+=156+=3746+=+3526+=+1726+=+1524+=+57246+=++共7种故选：B .35.如图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如，在填入的81个数中，( )多.A.奇数B.偶数【解析】因为：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以，第一行填的数中由偶数开始，偶数结束，偶数比奇数多1个，第二行填的数中由奇数开始，数数结束，偶数比奇数少1个，同样，第三得填的数中偶数比奇数多1个，第四行填的数中偶数比奇数少1个，即前8行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多一个.所以，81个数字中偶数多. 答：81个数中偶数多.故选：B .36.房间有红、黄、蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1~100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r p g （其中p 为正奇数，r 为正整数），就拉p 次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为( )A.只有红灯亮B.只有红、黄灯亮C.三灯都亮D.三灯都不亮【解析】奇数和为135992500+++⋯+=，编号为2p 者有21⨯，23⨯，25⨯，⋯，249⨯，次数为13549625+++⋯+=； 编号为22p 者有221⨯，223⨯，225⨯，⋯，2225⨯，拉开关次数为13525169+++⋯+=； 同理可得编号32p 者拉36次；42p 者9次，52p 与62p 者拉开关次数1315++=次.总计2500625169369533444836+++++==⨯.所以最后三灯全关闭.故选：D.37.在如图的奥运五环图案中，分别填写五个两位数a，b，c，d，e，使得上面的三个数a，b，c是三个连续的偶数，下面的两个数d，e是两个连续的奇数，而且a b c d e++=+，如果填入的五个数的十位数字都是1，那么这五个数的和是()A.80B.76C.72D.68【解析】Q三个连续偶数之和等于两个连续奇数之和且都在0到20之间，∴只需使两个奇数的和为3的倍数即可，∴.Q填入的五个数的十位数字都是1，++++=，∴这五个数的和是101214171972故选：C.38.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯的前2006个数中，偶数有()A.667个B.668个C.669个D.670个【解析】每三个数是一组，每组中有1个偶数；÷=⋯2006366822006个数中有668个这样的一组，还余2个数，余下的这两个数都是奇数，所以一共有668个偶数.故选：B.39.任意两个质数的和()A.一定是偶数B.一定是质数C.一定是合数D.可能是偶数，可能是质数，也可能是合数【解析】如：235+=，5是质数；358+=，8是偶数也是合数；279+=，9是合数；所以，任意两个质数的和可能是偶数、可能是质数、也可能是合数.故选：D .40.如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,(222a b b c c a +++ ) A.都不是整数B.至少有一个整数C.至少有两个整数D.都是整数【解析】当a ，b ，c 都为偶数时，则a b +，a c +，c b +的和为偶数， 那么,,222a b b c c a +++都为整数； 当a ，b ，c 都为奇数时，则a b +，a c +，c b +的和为偶数， 那么,,222a b b c c a +++都为整数； 当a ，b ，c 中有一个偶数，两个奇数时，a b +，a c +，c b +的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么,,222a b b c c a +++只有一个为整数； 当a ，b ，c 中有一个奇数，两个偶数时，a b +，a c +，c b +的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么,,222a b b c c a +++只有一个为整数； 所以，如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,222a b b c c a +++中至少有一个为整数. 故选：B .41.若三个连续偶数的和是162，则它们的乘积是( )A.157248B.125748C.157284D.172584【解析】162354÷=，54252-=，54256+=，525456157248⨯⨯=. 答：它们的积是157248.故选：A .42.四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在9、10、11、⋯、67、68这60个自然数的相邻两数之间任意添加符号“+”或“一”，然后进行计算.四个同学得到的结果分别是2000、2003、2300、2320，老师看后指出：这四个结果中只有一个是正确的.这个正确的结果是( )A.2274B.2003C.23000D.2320【解析】由于91011682310+++⋯=，23202310>，所以D错误、(23102274)218-÷=，1829÷=，所以在9前是减号即可，符合题意.(23102003)30768-=>，错误.(23102000)215568-÷=>，错误.故选：A.43.下面三组数中和不同的是()A.87，76，65，54B.77，66，55，84C.58，86，64，75【解析】选项A、B都是2奇2偶，所以得数是偶数；只有选项C都是1奇3偶，所以得数是奇数；故选：C.44.有10个房间，9个开着灯，1个关着灯，如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把所有房间的灯都关上？A.能B.不能C.不能确定【解析】每次拨动4个开关，拨动的总次数是偶数；要把9个开着的灯关闭，拨动的总次数是一个奇数；偶数≠奇数故选：B.45.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为()A.311B.35C.31【解析】由题意可知，这三个质数的最小公倍数是三者的积，又因为它们的倒数之和的分母是1001，所以把1001就是这三个质数的最小公倍数.100171113=⨯⨯7111331++=故选：C .46.若a 、b 互素，且两个最简分数之和为3135m n a b +=，则1(a b m n m n +-=⨯ ) A.5 B.6 C.8 D.10【解析】因为若a 、b 互素，且计算结果的分母为35，则35就是这两个质数的乘积， 3557=⨯，所以，5a =，7b =，则7531m n +=，解得，3m =，2n =，所以，1a b m n m n+-⨯ 5713223=+-⨯ 5=；故选：A .47.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.31 D.29【解析】因为，100171113=⨯⨯所以，这三个质数分别是：7、11、13，所以，这三个质数的和是：7111331++=，答：这三个质数的和为31.故选：C .48.如图，正方体每个面上各写了一个整数，并且相对的两个面上的数之和都相等，现在只看到三个面上写的数8，10与25，如果看不见的三个面上写的都是质数，那么这三个质数之和是( )A.36B.38C.52D.58【解析】设和10相对的数是a ，和8相对的数是b ，和25相对的数是c ，。
【精品资料】小学奥数知识点-数论
数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
小学生奥数数论练习题五篇
小学生奥数数论练习题五篇1.小学生奥数数论练习题1.小华买了一本共有96张练习纸的练习本, 并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸, 并将写在它们上面的50个编号相加。
试问, 小丽所加得的和数能否为2000？【分析】不可能。
因为25个奇数相加的和是奇数, 25个偶数相加是偶数, 奇数加偶数=奇数2.有98个孩子, 每人胸前有一个号码, 号码从1到98各不相同。
试问: 能否将这些孩子排成若干排, 使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
【分析】不可以。
一名为98个数中有49个奇数, 奇数加偶数等于奇数, 奇数不是二的倍数。
3.有20个1升的容器, 分别盛有1, 2, 3, …, 20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。
问: 在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水？2.小学生奥数数论练习题1.有甲、乙、丙三人, 每人或者是老实人, 或者是骗子。
甲说: “乙是骗子。
”乙说: “甲和丙是同一种人。
”丙是________。
2.狼在星期一、二、三讲假话, 其余各天都讲真话；狐狸在星期四、五、六讲假话, 其余各天都讲真话。
有一天, 有人遇见狼, 它说了两句话:（1）昨天是我说假话的日子；（2）后天和大后天仍是我说假话的日子。
这天是星期________。
3.小明、小强、小兵三个人进行赛跑, 跑完后, 有人问他们比赛的结果。
小明说: “我是第一。
”小强说: “我是第二。
”小兵说: “我不是第一。
”实际上, 他们中有一个人说了假话。
______是第一, _______是第二, ______是第三。
3.小学生奥数数论练习题3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3 3 3=100答案与解析(1)(333-33)÷3=100(2)33÷3×3×3+3+3=100(3)33+33+33+3÷3=100(4)(33-3)×3+3+3+3+3÷3=100(5)3×3×3×3+3×3+(33-3)÷3=1004.小学生奥数数论练习题1.有红、蓝、黑三种铅笔共20支, 其中黑铅笔的支数比红铅笔的一半多1支, 蓝铅笔的支数比黑铅笔的一半多1支。
小学奥数专题之数论
1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
1359 ，1935，3195，3915，9135，93152 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4于是丙为60，甲为90，乙为40504 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( D)A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511666-10=656888,511,656除以这个数，余数相同888-511=377888-656=232这个数为377与232的公因数，且大于10377=13×29232=8×29所以这个自然数为292 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
小学奥数数论知识点
小学奥数数论知识点一、数的认识1. 自然数：用于计数和排序的数，包括0和正整数。
2. 奇数与偶数：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。
3. 质数与合数：质数是只有1和本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和本身外还有其他因数的自然数。
4. 因数与倍数：如果整数a能被整数b整除，a是b的倍数，b是a的因数。
二、数的运算1. 加法与减法：加法是将两个或多个数合并成一个数的运算，减法是从一个数中去掉另一个数的运算。
2. 乘法与除法：乘法是重复加法的简化，除法是将一个数分成几个相等部分的运算。
3. 余数：在除法中，被除数除以除数后剩下的数称为余数。
三、数的性质1. 唯一分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为质数的乘积。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个或多个整数共有的最大的因数，最小公倍数是这些整数的最小公共倍数。
3. 奇偶性：奇数加奇数得偶数，偶数加偶数得偶数，奇数加偶数得奇数。
四、数的应用1. 约数倍数问题：涉及找出一个数的约数或倍数的问题。
2. 质数问题：涉及质数的分布、判断和性质的问题。
3. 分数的拆分与比较：涉及将分数拆分为不同单位的和，以及比较分数大小的问题。
五、解题技巧1. 枚举法：通过列举所有可能的情况来找到答案。
2. 反证法：假设某个结论是错误的，通过推理得出矛盾，从而证明原结论是正确的。
3. 归纳法：通过观察一系列特殊情况，找出一般规律。
六、例题解析1. 例题一：找出20以内的所有质数。
- 解析：20以内的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。
2. 例题二：求36和54的最大公约数。
- 解析：通过辗转相除法，可以求得36和54的最大公约数是18。
七、总结数论是数学的基础分支之一，对于培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。
小学奥数数论涉及的知识点广泛，包括数的认识、数的运算、数的性质、数的应用以及解题技巧等。
掌握这些知识点，对于提高学生的数学素养和解决复杂问题的能力至关重要。
小学奥数关于数论知识点的总结
小学奥数关于数论知识点的总结数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。
有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
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【篇一】1. 奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2. 位值原则形如：abc =100a+10b+c3. 数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4(或25)的倍数8和125 末三位数是8(或125)的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4. 整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5. 带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a ÷b=q……r, 0≤r【篇二】分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 ×p2 ×...×pk约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1 ×p2 ×...×pk 那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
(完整版)小学奥数数论专项训练试卷
小学奥数专项训练——数论一、填空题1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是__________和__________。
2．有一种三位数,它能同时被2、3、7整除,这样的三位数中,最大的一个是__________，最小的一个是__________。
3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是__________岁和__________岁。
4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是__________。
5．2310的所有约数的和是__________。
6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有__________个。
7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__________。
8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是__________。
9．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。
它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是__________，商的个位数字是__________，余数是__________。
10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有__________个。
11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n＝__________。
12．555555的约数中，最大的三位数是__________。
13．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有__________种不同的值。
14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。
六年级奥数-数论专题
数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
小学奥数——数论专题
名校真题测试卷10 （数论篇一）1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2、（05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是_____。
3 （05年首师附中考题）1 21+2022121+5051313131321212121212121=________。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
(02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为121+221+521+1321=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
小学五年级奥数数论(五篇)(最新)
【#小学奥数# 导语】解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
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1.小学五年级奥数数论将2008写成3个不同的质数之和，其中的质数的可能值是多少？考点：质数与合数问题；奇偶性问题。
分析：要使其中的一个质数尽量大，就要使其它另两个质数尽量小，因此可从最小的质数进行验证，最小的两个质数为2，3；2008-2-3=2003，2003也为质数。
解答：解：最小的两个质数为2，3；2008-2-3=2003，2003也为质数，即3+2+2003=2008。
所以，将2008写成3个不同的质数之和，其中的质数的可能值是2003。
点评：由于本题的取值范围较小，所以通过验证法进行解答比较简单。
2.小学五年级奥数数论甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。
那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？解答：解；他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，180+181-1=360（次）所以拿360次后，甲盒里只剩下一个棋子；李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数，由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数，则甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
答：这个棋子是黑色。
3.小学五年级奥数数论某校师生为贫困地区捐款1995元。
这个学校共有35名教师，14个教学班。
各班学生人数相同且多于30人不超过45人。
如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995。
小学奥数数论专题--完全平方数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--完全平方数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】是的平方．【答案】7777777的平方【解析】，，原式．【题文】，这个算式的得数能否是某个数的平方？【答案】不可能【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361,400,441,484,529,576,625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【题文】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【答案】14，20【解析】设该数为，那么它的平方就是，因此．由于，⑴所以，，，可得，；故该数的约数个数为个；⑵或者，，可得，那么该数的约数个数为个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【题文】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【答案】31【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于，所以、、……、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【题文】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【答案】254【解析】先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为．【题文】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
小学奥数数论50题
数论50题1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
2．|3．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个【分析】75=3×25若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8先任给一个去掉8的，17925即满足要求1）若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数2）|3）若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个。
4．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8□中的数字是1—5．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。
6．一次考试中，某班同学有13考了优秀，12考了良好，17考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超过50，求有多少人不及格【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人数为（1-12-13-17）×42=1人7．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除?（第14届迎春杯考题）【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）-（0002，1002，2002，3002）…….(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。
小学奥数-数论专题知识总结
小学奥数-数论专题知识总结数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。
（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961,442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题一、分析因数1.如何求一个数的所有因数？把这个数分解质因数，把各个质因数分别写在一起，它们中任意几个的积都是这个数的因数。
例如：求 420 的所有因数420=2×2×3×5×7则 420 的所有因数为：1、2、3、4、5、6、7、10、12、14、15、20、21、28、30、35、42、60、70、84、140、210、4202. 如果知道一个数的几个因数，如何快速求出这个数？举例说明：若某个数是 $4$ 的倍数,$4$ 就是它的因数。
那么这个数可以写成 $4k$ 的形式，其中 $k$ 是一个整数。
同理如果这个数是 $3$ 的倍数，那么这个数可以写成 $3l$ 的形式，其中$l$ 是一个整数。
所以它可以写成 $12m$ 的形式，其中 $m$ 是一个整数。
因此，若某个数是 $3$ 和 $4$ 的倍数，那么它可以写成$12n$ 的形式，则此数即为 $12$ 的倍数。
二、最大公约数和最小公倍数1. 求最大公约数（简称 GCD）辗转相除法：把小的数不断地从大数中减，直到减不下为止。
用小数去减大数，然后用余数去除小的数。
如此反复，直到余数为零。
举例说明：求最大公约数 $84$ 和 $18$。
用 $84-18=66$，$18$ 去除 $66$（注意，是 $18$ 在除），余数为 $12$。
用 $18-12=6$，$12$ 去除 $6$，余数为 $0$。
由于余数为 $0$，所以 $6$ 就是最大公约数。
2. 求最小公倍数（简称 LCM）最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
举例说明：求最小公倍数 $84$ 和 $18$。
先求出它们的最大公约数 $6$。
再将它们的乘积除以最大公约数，即 $\\frac{84\\times 18}{6}=504$。
所以 $84$ 和 $18$ 的最小公倍数为 $504$。
三、质数和合数1. 质数和合数分别是什么？质数是指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和本身，没有其他的因数的数，也就是只有 $1$ 和它本身两个约数的数。
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名校真题测试卷10 （数论篇一）1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2、（05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是_____。
3 （05年首师附中考题）1 21+2022121+5051313131321212121212121=________。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
(02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为121+221+521+1321=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
二、2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。
三、基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a×p22a×...×pk ak（#)其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak）[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。
（1996年小学数学奥林匹克初赛）5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。
（迎春杯刊赛第10题）6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）7）平方数的总结：小生初四个考点：1：平方差A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
[讲解练习]：82-72+62-52+42-32+22-12=＿＿。
2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:平方和。
8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。
1 数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。
而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。
这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。
问男女生各多少人？【来源】：06年理工附入学测试题【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
2 质数与合数（分解质因数）【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。
由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。
而能分解出5的一定是5的倍数。
注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。
因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B2- A2=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。
[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）约数和倍数【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。
这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【例9】（★★★）1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。