静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
静电场泊松方程
静电场泊松方程介绍静电场泊松方程是描述静电场分布的重要方程，它通过求解泊松方程来确定电势分布。
静电场泊松方程是物理学与工程学中的一项基础知识，它在电磁学、电子学、电容器设计等领域起着重要作用。
在本文中，我们将对静电场泊松方程进行全面、详细、完整且深入地探讨。
首先，我们将介绍静电场的基本概念，然后详细讨论泊松方程的定义和推导过程，最后讨论静电场泊松方程在实际应用中的重要性和应用案例。
静电场的基本概念静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
在静电场中，电荷的分布决定了电场的形状和强度。
根据电荷的正负性质，电场可以分为正电场和负电场。
在静电场中，电荷与电场之间存在以下关系：1.电荷受到电场力的作用，力的大小和方向由电场和电荷的性质决定。
正电荷受到正电场的斥力，负电荷受到正电场的引力。
2.电场的强度与电荷的比例成正比，与电荷与距离的平方成反比。
电场强度可表示为：E=kq，其中E为电场强度，k为库仑常数，q为电荷量，r为距离。
r23.电场是矢量量，具有方向和大小。
泊松方程的定义与推导泊松方程是描述电势分布的重要方程，它与电场之间存在以下关系：1.电场具有旋度为零的特点，也即电场是一个保守场。
电场可以表示为负梯度电位的形式：E=−∇V，其中E为电场，V为电势。
2.电场的散度等于电荷密度除以介电常数：∇⋅E=ρ，其中ρ为电荷密度，ε为ε介电常数。
基于以上两个关系，我们可以推导出泊松方程：∇⋅(−∇V)=−∇2V=ρε其中，∇2为拉普拉斯算子。
根据泊松方程，我们可以通过求解电荷分布和边界条件来确定静电场中的电势分布。
泊松方程的解与应用案例求解泊松方程是一个重要的数学问题，在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些泊松方程的解与应用案例：1. 平行板电容器在平行板电容器中，两块平行金属板之间存在恒定电场。
通过求解泊松方程，可以确定电势分布和电场强度分布。
这对于电容器的设计和制造非常重要。
2. 圆柱电容器圆柱电容器是一种常见的电容器结构，它在电子设备中得到广泛应用。
高数泊松方程
高数泊松方程
泊松方程（Poisson's equation）是一个在物理学和数学中常见的偏微分方程，它描述了静电场、引力场或热传导等物理现象。
在二维或三维空间中，泊松方程可以表示为：
Δf = ρ
其中，Δ 是拉普拉斯算子（Laplacian operator），f 是某个标量场（如电势、温度等），ρ 是该场的源（如电荷密度、热源等）。
在高等数学中，泊松方程通常用于求解具有特定边界条件的偏微分方程。
例如，在静电学中，给定电荷分布ρ，我们可以使用泊松方程来求解电势 f 的分布。
为了求解泊松方程，我们可以使用分离变量法、有限差分法、有限元法或谱方法等数值方法。
这些方法可以帮助我们找到满足方程和边界条件的近似解。
需要注意的是，泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，这意味着它的解在整个定义域内都是光滑的。
此外，泊松方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如电磁学、流体力学、热力学等领域。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
物理化学泊松方程
物理化学泊松方程泊松方程是物理化学中一种重要的偏微分方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
它是电场的基本方程之一，也是研究电子结构、电解质溶液等领域的基础。
我们来了解一下泊松方程的基本形式。
在三维空间中，泊松方程可以表示为：▽²Φ = -ρ/ε₀其中，▽²Φ表示拉普拉斯算子作用于电势Φ得到的结果，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
这个方程建立了电势分布和电荷分布之间的关系，通过求解该方程，我们可以得到电势场的分布情况。
泊松方程的物理意义可以从两个方面理解。
首先，它描述了电势场中的电荷分布情况。
当电荷密度ρ为零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，描述了无电荷的电势场分布情况。
其次，泊松方程还可以用于求解电势场中的电荷分布。
通过已知的电势分布，可以反推出电荷分布情况，这在研究电子结构、电解质溶液等问题时非常有用。
泊松方程在物理化学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，泊松方程被用来研究电子在晶格中的运动和能带结构；在电解质溶液中，泊松方程被用来研究电位分布和电解质浓度之间的关系。
此外，泊松方程还可以应用于电容器、半导体、生物电势等领域。
为了求解泊松方程，我们需要给定边界条件。
边界条件可以是电势值的固定值，也可以是电势梯度的固定值。
根据边界条件的不同，可以得到不同形式的泊松方程解。
对于一些复杂的情况，如非线性泊松方程、含时泊松方程等，求解起来可能更加困难，需要借助数值计算方法或近似方法。
泊松方程是物理化学中一种重要的方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
通过求解泊松方程，可以得到电势场的分布情况，从而揭示了电势和电荷分布之间的联系。
泊松方程在固体物理、电解质溶液等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
电位的泊松方程和衔接条件
回顾
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
(x, y, z) 1 (x, y, z) dV C
4π0 V
R
(x, y, z) 1 (x, y, z) dS C
4π0 S
R
(x, y, z) 1 (x, y, z) dL C
4π0 L
R
E
E
本节的研究目的
在没有电荷分布的场域中， 0
2 0
电位满足拉普拉斯方程
二、电位的衔接条件
因为，Dn En
E en
en
n
由
D2n
D1n
，得
1
1
n
2
2
n
1 2
1
1
n
2
2
n
分界面两侧电位的衔接条件
题7. 如图所示平板空气电容器(板的尺度大于板间距离)中，
有体密度为 的电荷均匀分布，已知两板间电压值为 U0 。
电位满足的微分方程 电位在分界面上的衔接条件
本节的研究内容
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程 二、电位的衔接条件
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程
根据静电场基本方程的微分形式和物性方程，可得
D ( E) E E
均匀介质中 0
E
() 2
2
电位满足泊松方程
3 3 n34
4
4 n34
34
区域内边界
，电位函数为
2
2
2x
0
x2 Bx C
2 0
根据题意可知
x x
0 d
0
U0
x 0 x d
d
O U0
x
0C
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
静电场微分方程及唯一性定理
2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一
静电场的详细计算
静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。
电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。
上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。
这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。
如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。
可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学内容
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
第二章静电场_第一部分
6
2. 静电场的散度方程和旋度方程
一.积分形式的静电场两个基本方程 1.高斯定理
uuur
uur r ∫ D0 • ds = ∑ q
表明 D 在闭合面S上通量特性，q为闭合面S包围的电 荷。 2.静电系统的守恒定理
0
∫
ur r E •dl = 0
ur 表明 E 在闭合回路上的环流量特性，电场具有守恒性。
2.3 泊松方程、拉普拉斯方程
1.泊松方程
推导
ρ ∇ ϕ= − ε0
2
泊松方程
uur u r u r ∴ ∇ • D 0 =∇ • (ε 0 E)=ε 0∇ • E =ε 0∇ • ( −∇ϕ ) = − ε 0∇ 2ϕ uur ∇ • D 0 = − ε 0∇ 2ϕ =ρ
)
此时电位函数
u ( z ) = ϕ ( z ) −ϕ ( z0)
σ ⎡ 2 2 2 2 ⎤ = + − + − + z a a z z z 0 ⎥ ⎣ ⎦ 2ε 0 ⎢
0
当
a→∞ u ( z) = 2ε 0
σ
(z
0
− z)
此时
ur E = −∇u ⎧ σ ur ez ⎪ ⎪ 2ε 0 =⎨ ur σ ⎪− ez ⎪ ⎩ 2ε 0 z>0 z<0
q2受到的电场力： F ( R, q1 , q2 ) 点电荷电场强度：
r R
q1
q2
r r q1 1 v E ( R, q1 ) = ⋅ 2 eR 4πε 0 R
u v v 1 1 R ⎛ ⎞ 利用： ∇ ⎜ ⎟ = −e R =− 3 2 R R ⎝R⎠
r r 1 q1 E ( R, q1 ) = − ∇( ) 4πε 0 R
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
静电场基本方程课件
答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
E1sin 1= E2sin 2
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
解：
• D
0 •
静态场特性及方程
4.2 静态场的特性及方程1.静态场的基本概念2.静态场的泊松方程和拉普拉斯方程静态场：是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
0,0,0V D Bt t tρ∂∂∂===∂∂∂1. 静态场的基本概念静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场。
静电场：由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。
恒定电场：导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场。
c d d d 0d d d 0lSlV SVSH l J SE l D S VB S ρ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰c 0V H J E D B ρ∇⨯=∇⨯=∇⋅=∇⋅=静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
2.静态场的麦克斯韦方程组c d +)d d d d d d 0l Sl S V S VSDH l J S t BE l St D S VB S ρ∂⋅=⋅∂∂⋅=-⋅∂⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（一般形式：静态场方程：(1) 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程3. 泊松方程和拉普拉斯方程E φ=-∇VD E ερ∇⋅=∇⋅=()Vεφρ∇⋅-∇=2Vρφε∇=-20φ∇=静电场基本方程：d 0d d l V SVE l D S V ρ⋅=⋅=⎰⎰⎰VE D ρ∇⨯=∇⋅=D Eε=——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
——泊松方程——拉普拉斯方程V ρ=无源区域E φ=-∇c 0J E σ∇⋅=∇⋅=()0σφ∇⋅-∇=2φ∇=恒定电场基本方程：c d 0d 0l SE l J S ⋅=⋅=⎰⎰00c E J ∇⨯=∇⋅=c J Eσ=——恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场。
——拉普拉斯方程(2) 恒定电场的拉普拉斯方程(3) 恒定磁场的矢量泊松方程B A=∇⨯cB H J μμ∇⨯=∇⨯=cA J μ∇⨯∇⨯=2c()A A A J μ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=0A ∇⋅=洛仑兹规范：——矢量泊松方程2c A J μ∇=-cd d d 0lSSH l J SB S ⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰c 0H J B ∇⨯=∇⋅=B Hμ=恒定磁场基本方程：——恒定磁场是无散有旋场。
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E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度 E可以用一个标量 函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
静电场的基本方程：
积分形式：
Edl C
ax
x
ay
y
az
z
2
ax
x
ay
y
az
z
ax
x
ay
y
az
z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
14
拉普拉斯算符2在三种坐标系中的表示
➢直角坐标系：2
2
x2
2
y 2
2
z 2
➢圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
➢球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
一次积分
d
dx
1 2
0 x2 0d
C1
一次积分
边界条件： x 0,
0;
0 x3 6 0 d
C1x C2
C1
U0 d
0d 6 0
;
x d , U0 .
C2 0
21
0x3 6 0 d
U0 d
0d 6 0
x
E
0 x2 2 0 d
U0 d
0d 6 0
ax
22
填空题：
静电场电位所满足的微分方程是
E 0
或（E ）
D
2
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
3
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
4
一、静电场的基本方程
前面已经得出： ➢静电场是无旋场
E 0 (静电场守恒性的微分形式)
➢静电场是守恒场
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
介质方程：
D
D 0rE
E
7
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
★ 电位的泊松方程
பைடு நூலகம்
2
★ 静电场的基本方程
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
r r
18
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
r
C1 r2
一次积分
C1 r
C2
边界条件： r a , U ; r , 0。
C1 aU; C2 0。
aU (a r ) r
19
例2-10 P66
两无限大平行板电极，板间距为d，电压
为U0，并充满密度为0x/d的体电荷。用 泊松方程的方法求板间的电场强度。
解：
2
0x 0d
x 0, 0
(0 x d)
x d, U0
0x d
2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d20
d 2 0 x dx2 0d
。
2
原来就是泊松方程啊！ ~~~~~~ORZ…………………
23
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
16
2、给定电场分布，即已知 D和E ，
求电荷的分布。
D 或
E
17
例2-9 P66 已知导体球的电位是U（设无穷远处的电位为0）， 球的半径为a，求球外的电位函数。 解：球外的电位满足拉普拉斯方程（=0），且电场
具有球面对称性，因此= (r)。 球 坐 标 系，
2
1 r2
r
r 2
r