四中国古代数学家

4.刘徽对《九章算术》的注释：
（1）内容详细、丰富，纠正了原书流传下来的 一些错误。 （2）对一些不完整的公式和定理作出逻辑证明。 （3）对一些不明确的概念提出了确切而又严格 的定义。比如：幂（面积）、率（比例关系）、 正负数…… （4）提出了大量新颖的见解，创造了许多数学 原理并严加证明。
1.2 刘徽的数学成就
如图，在阳马 PABCD 中，侧棱PD底面 ABC且DPDCD，
过棱 PC的中点 E，作 EFPB交于点 F，连接D,ED,FBD ,B.E
（Ⅰ）证明：PB面DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖臑，
若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说
明 （理ⅡP由）； 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3
2.出入相补原理
所谓出入相补原理：是指一个平面图形从一处 移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块， 那么各部分面积的和等于原来图形的面积。立体 的情况也是这样。
G
H bF
G
H bF
3.刘徽原理
刘徽原理：邪解“暂堵”，其一为“阳
马”，一为“鳖臑”，“阳马”居二，
“鳖臑”居一，不易之率也。
V阳马
选修3-1 数学史选讲 （人教A版）
中国古代数学家
新乡市第一中学 高一年级组 王丹阳
一、刘徽—中国古典数学理论的奠基人
刘徽，魏晋间人，263年注释《九章算术》
“徽幼习《九章》，长再详览。 观阴阳之割裂，总算术之根源， 探赜（深奥，玄妙）之暇，遂悟 其意。是以敢竭顽鲁，采其所见， 为之作注。”
——刘徽《九章算术注》
过棱 PC的中点 E，作 EFPB交于点 F，连接D,ED,FBD ,B.E
（Ⅰ）证明：PB面DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖臑，
若 明 （是理Ⅱ，由）写 ； 若出面鳖何其D臑方E每究神F个与竟兽面面是？A的B直C角D所（成只二需面立竟识写角体出的出的几现字结大何我！论小题不）为中认；3 若,不求是DBCC ，．说
二、祖冲之—具有世界影响的数学家
祖冲之（429—500年），南 北朝时著名的数学家、天文学 家和机械发明家。
2.1 祖冲之对圆周率的杰出贡献
1.祖冲之“更开密法”，求得圆周率
“正数在盈朒二限之间”
3 . 1 4 1 5 9 2 （ 6 朒 数 ） 3 . 1 4 1 5 9 2 （ 7 盈 数 ）
1.1 刘徽与《九章算术》
1.《九章算术》的历史地位
琢磨推敲细思量， 说方道圆话短长。 若把《原本》比《算术》， 此中翘楚是《九章》。
——严敦杰 能与《几何原本》媲美， 被尊称为“算经之首”。
2.《九章算术》的成书年代
“往者暴秦焚书，经书散坏。自时厥 后，汉北平候张苍（秦汉两朝官员）、 大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等 因旧文之遗残，各称删补。故校其目与 古或异，所论者多近语也。”
第一步：将一个立方体分成四部分
（外三棋）
（内棋）
第二步：算出“外三棋”体积 祖暅原理
V外三棋V阳马 13r3
Q r2 h2 P Sh T
r
FE
M hN
h
第三步：算出“牟合方盖”体积
V内棋

r3

1 3
r3

2 3
r3
V牟合方盖
8
2 3
r3
16r3 3
第四步：算出球的体积 V源自牟合方盖 4圆内接正12288（ 6211）边形 圆内接正24576（6212）边形
精丽罕俦，千古独绝。 —茅以升
2.祖冲之还给出了圆周率的两个分数近似值： 约率： 22
7
密率：355 (祖率) 113
密率 3 5 5 是分子、分母不超过1000的分数
113
中最接近 的分数。 ——华罗庚
2.2 祖氏父子推出了球的体积公式
,求
DC BC
．
分析：易证 DE 面 PBC
E F
则 DE PB
D
C
又 PB EF
DE EF E
A
B
PB 面 DEF
2015年湖北卷（19）《九章算术》中，将底面为长方形且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为 直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马 PABCD 中，侧棱PD底面 ABC且DPDCD，

2 3
V暂堵
2
A
V鳖臑
A
1 3
V暂堵
A
A B
C B
C A
B
CB
CB
C
“暂A堵 BC A ” BC “阳A马 B” BC “鳖臑 A” ABC
2015年湖北卷（19）《九章算术》中，将底面为长方形且
有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为
直角三角形的四面体称之为鳖臑．
——刘徽《九章算术注》
由此推测《九章算术》 初成于秦，修订于汉。
3.《九章算术》的特点
（1）内容丰富，全书采用 问题集的形式，收集了246 个与生产、生活实践有联 系的应用问题。每题大致 由“问”“答”“术”三 部分组成。 （2）这些问题分别隶属于 方田、粟米、衰分、少广、 商功、均输、盈不足、方 程、勾股九章，是为《九 章算术》 书名之由来。
V球

V牟合方盖 136r3
V球

16 3
r3 4

4 r3 3
2.3 博学多才，成就斐然
1.编制《大明历》 2.机械发明：
造千里船、指南车、水碓磨、欹器 3.著《缀术》
共五卷，是一部内容极为精彩的数学书。 曾作为官办学校的教材。政府举行数学考试 时，多从《缀术》中出题。内容深奥，以至 于“学官莫能究其深奥，故废而不理”。北 宋时期失传。
1.创立割圆术
在《九章算术》原著中， 圆周率沿用自古以来的数据：
“径一周三”（取 =3）
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
运用此“割圆术”，刘徽分割至圆内 接正192边形时，得出圆周率的不足近 似值为3.14，割至圆内接正3072边形时， 得出圆周率的近似值为3.1416.这个结 果是当时世界上圆周率的最佳近似值。
出卷老师，您 别闹了，我还 是去养马吧！
4.刘徽论球
牟合方盖
同
伞
《九章算术》中“开立圆术”：V球体196直径3
刘徽：然此意非也。何以验之？
r r
刘徽指出：
V球 S圆
V牟合方盖S正方形 4
刘徽指出：
V球 S圆
V牟合方盖S正方形 4
如何求牟合方盖的体积？ 刘徽百思不得其解，最终 不得不“敢不阙疑，以俟 能言者”。