高数A1_第十一章学习笔记_

｝ f ( x, y ) 在被积曲线弧Ｌ上是连续的．
[ f ( x, y) g ( x, y)]ds
L
L
f ( x, y )ds g ( x, y )ds ．
L
L2
②关于被积曲线弧的有限可加性：

L1 L2
f ( x, y )ds f ( x, y )ds f ( x, y )ds ．
５．对空间有向曲线弧的曲线积分也有完全类似的定义：
n n


P ( x, y, z )dx lim i 1 P(i ,i , i ) xi ； Q ( x, y, z )dy lim i 1 Q (i ,i , i ) yi ；
Baidu Nhomakorabea0

0
以及


R ( x, y, z )dz lim i 1 R (i ,i , i ) zi ；
'2 (t ) '2 (t ) ，然后对参数ｔ从 到 作定积分就可以了．
1
厂
-------------------------高数上册辅导材料---------徐松林版---------------------------------------
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2
的闭区间上具有一阶连续导数且 '
(t ) '2 (t ) 0 ，则两类曲线积分之间有如下关系式：
L

L
P( x, y )dx Q ( x, y )dy [ P( x, y ) cos Q ( x, y ) cos ]ds
； y ), ( x, y ) 为有向曲线弧Ｌ上的动点 ( x, y ) 处的切向量的方向角｝
L 在点
( x, y ) L 处的线密度函数｝ ，所以被积函数 f ( x, y ) 就必须也只须是定义在积分曲线弧Ｌ上的，也即被积函数 f ( x, y ) 的两个自变量 ( x, y ) 一定是满足曲线弧Ｌ的方程；而＂ｄｓ＂是积分曲线弧Ｌ上的弧微分，所以有
ds dx 2 dy 2
定理 设 ；为了统一积分变量，我们自然想到可利用积分曲线弧Ｌ的参数方程来达到目的．
L1
③关于被积函数的单调性： 若在积分曲线Ｌ上总有 特别地，总有 |
则有 f ( x, y ) ds g ( x, y ) ds ． f ( x, y ) g ( x, y ), ( x, y ) L ，
L L

L
f ( x, y )ds | | f ( x, y ) | ds ．
L
二．对弧长的曲线积分的计算法――――＂参数方程统一积分变量计算法＂． 重要提示： 在计算对弧长的曲线积分 处！正因为

L
f ( x, y )ds 时应时刻联想到它的物理意义，这样会对我们牢记如下的转化公式是很有好
L 的质量｛其中被积函数

L
f ( x, y )ds 的物理意义表示曲线形构件
f ( x, y ) 表示曲线形构件
一定要小于积分上限 ＂．特殊地，
（i）如果有向曲线Ｌ是以普通方程形式 y
x x, ( x) 给出时，我们就可取Ｘ为参数，则Ｌ的参数方程就是 y ( x ),
xB xA
进而有

L
P( x, y )dx Q ( x, y )dy {P[ x, ( x )] Q[ x, ( x)] '( x )}dx ；
f ( x, y ) 表示曲线
形构件 L 在点 ( x, y ) L 处的线密度函数｝ ． ４．对空间曲线弧的曲线积分也有完全类似的定义


f ( x, y , z )ds lim f (i ,i , i )si ．
0
５．对弧长的曲线积分的基本性质｛今后，我们总假定被积函数 ①关于被积函数的线性可加性：
以及

L
f ( x, y )dy f ( x, y )dy ．
L
―――此性质３表明：当积分弧段方向改变时，对坐标的曲线积分的值会改变符号；即对坐标的曲线积分是与方向有关的！ 二．对坐标的曲线积分的计算法 ―――与对弧长的曲线积分计算法基本一致，也是用＂积分曲线Ｌ的参数方程＂来统一变量，将其转化为关于参数ｔ的定积分．
②关于被积有向曲线的有限可加性：

L1 L2
f ( x, y )dx f ( x, y )dx f ( x, y )dx ．
L1
③关于被积弧段的有向性：设Ｌ是有向光滑曲线弧， L 表示Ｌ的反向曲线弧， 则有


L
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
L
间上具有一阶连续导数且 ' 式：
2
(t ) '2 (t ) 0 ，则曲线积分 P( x, y )dx Q ( x, y )dy 一定存在，且有如下计算公
L

L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy {P[ (t ), (t )] '(t ) Q[ (t ), (t )] '(t )}dt ．
x (t ), Ｌ的参数方程为 f ( x, y ) 在曲线弧Ｌ上有定义且连续， ( t ) 其中 (t ) 与 (t ) 在 [ , ] 上具有 y (t ),
2
一阶连续导数，且 '
(t ) '2 (t ) 0 ，则曲线积分 f ( x, y )ds 存在，且有如下计算公式：
厂
-------------------------高数上册辅导材料---------徐松林版---------------------------------------
2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
安 徽 建 筑 工 业 学 院
定理 设
x (t ), 又设当参数ｔ单调地由 f ( x, y ) 在有向曲线弧Ｌ AB 上有定义且连续，且有向曲线弧Ｌ的参数方程为 y (t ),
变动到 时，动点 M ( x, y ) 从有向曲线弧Ｌ的起点Ａ运动到终点Ｂ，函数 (t ) 与 (t ) 在以 及 为端点的闭区
安 徽 建 筑 工 业 学 院
―――这里必须注意一点，此定积分的＂下限 一定要小于积分上限 ＂．
§2．对坐标的有向曲线积分（第二类曲线积分） １．对坐标的有向曲线积分的物理背景（＂变力沿有向曲线弧Ｌ所作的功＂） 设一个质点在ＸＯＹ平面内从点Ａ沿有向光滑曲线弧Ｌ移动到点Ｂ，且在移动过程中质点受到变力
三．两类曲线积分之间的联系 定理（ｉ）设
x (t ), 又设当参数ｔ单调 f ( x, y ) 在有向曲线弧Ｌ AB 上有定义且连续，且有向曲线弧Ｌ的参数方程为 y (t ),
地由ａ变动到ｂ时，动点 M ( x,
y ) 从有向曲线弧Ｌ的起点Ａ运动到终点Ｂ，函数 (t ) 与 (t ) 在以ａ及ｂ为端点
F ( x, y ) P ( x, y )i Q( x, y ) j 的作用 （其中函数 P ( x, y ), Q( x, y ) 在有向曲线弧Ｌ ， 则变力 F ( x, y ) AB 上连续）
在有向曲线弧段Ｌ
n AB 上所做的功可表达为： W lim i 1[ P (i ,i )xi Q(i ,i )yi ] ．
0
―――由此引出对坐标的有向曲线积分的概念（为了很好地记住且理解这个概念，＂变力沿有向曲线弧Ｌ所作的功＂的这一物 理模型就显得十分重要了，我们应充分利用这个概念的物理原型来帮助记忆！ ） ． ２．对坐标的有向曲线积分的定义（＂四步曲＂）(i)分割有向积分曲线弧；(ii)近似计算；(iii)求和；(iv)取极限．
W W , AB 对质点所做的功． W x y F
P( x, y )dx 且 Wy Q ( x, y )dy ｝
L L
―――这里 Wx 与 W y 分别表示变力 F ( x, y ) P ( x, y )i Q( x, y ) j 沿Ｘ轴与沿Ｙ轴对质点所做的功．


注解：此公式表明，在计算对坐标的有向曲线积分

L
P( x, y )dx Q ( x, y )dy 时，只要把Ｘ，Ｙ，ｄｘ，ｄｙ分别代换为积
分曲线Ｌ的参数方程中的表达式 (t ) ， (t ) ， '(t ) dt ，
'(t )dt ，然后从有向曲线弧的起点Ａ所对应的参数值ｔ＝
到有向曲线弧的终点Ｂ所对应的参数值ｔ＝ 作定积分就可以了．－――且必须注意一点，此定积分的＂下限 不
0
n
６．对坐标的有向曲线积分的基本性质（今后，我们总假定被积函数 ①关于被积函数的线性可加性：
f ( x, y ) 在有向曲线弧Ｌ上是连续的． ）
L
[ f ( x, y) g ( x, y)]dx
L
f ( x, y )dx g ( x, y )dx ．
L
L2
f
(
x
,
y
)

L
f ( x, y )ds lim i 1 f (i ,i ) si
0
n
２．对弧长的曲线积分存在的充分条件：只要被积函数 ３．对弧长的曲线积分的物理意义：
f ( x, y ) 在积分曲线弧Ｌ上是连续的，则对弧长的曲线积分就一定存在．
L 的质量｛其中被积函数

L
f ( x, y )ds 的物理意义表示曲线形构件

L
P ( x, y )dx lim i 1 P (i ,i ) xi 与 Q( x, y )dx lim i 1 Q (i ,i ) yi ．
0
L
n
n
0
３．对坐标的有向曲线积分存在的充分条件：只要被积函数 分
f ( x, y ) 在有向积分曲线弧Ｌ上是连续的，则对坐标的有向曲线积
x ( y ), ( y ) 给出时，我们就可取Ｙ为参数，则Ｌ的参数方程就是 y y,
YB YA
（ii）如果有向曲线Ｌ是以普通方程形式 x
进而有

L
P( x, y )dx Q( x, y )dy {P[ ( y ), y ] '( y ) Q[ ( y ), y ]}dy ．

L
f ( x, y )dx 与 f ( x, y )dy 就一定存在．
L
４．对坐标的有向曲线积分的物理意义： 沿有向曲线弧Ｌ

L
P( x, y )dx Q ( x, y )dy 的物理意义表示变力 F ( x, y ) P ( x, y )i Q( x, y ) j
｛其中 Wx
b
｛其中 ( x, 此处若记

L
P( x, y )dx Q( x, y )dy WF ，则有 WF [ P ( (t ), (t )) '(t ) Q ( (t ), (t )) '(t )]dt ．
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
安 徽 建 筑 工 业 学 院
第十一章 §1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 一．对弧长的曲线积分概念与性质 １．对弧长的曲线积分的定义（＂四步曲＂）(i)分割积分曲线弧段；(ii)近似计算；(iii)求和；(iv)取极限．
L

L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] '2 (t ) '2 (t )dt , ( )


注解：此公式表明，在计算对弧长的曲线积分

L
f ( x, y )ds 时，只要把Ｘ，Ｙ，ｄｓ分别代换为积分曲线弧Ｌ的参数方程中的
表达式 (t ) ， (t ) ，以及