第6章 内生性和工具变量估计方法-第6章

1 ˆ 1 1 in
n
( X i X )ui
2
i1 ( X i X )

n
1
n 1

n
i 1 n
Cov(X,u) 0 2 Var( X ) (Xi X ) i 1
( X i X )ui
• 多元线性模型下，不仅内生变量前的回归 系数不一致，外生变量前的系数也可能不 一致。
( 1.000) ( 7.785)
fathedu 作工具变量：
ln( wage ) 0.441 0.059 educ
( 0.989) (1.686)
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y 0 1 X1 r X r r1 X r1 k X k u
定义2：如果存在变量 Zl ，满足 （1）与 u 不相关 Cov(Zl , u) 0 ， （2）与 X l 相关 Cov(Zl , X l ) 0 ， 称 Zl 为 X l 的工具变量，也称工具 ，l 1,, r 。
6.2 工具变量估计方法
6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
Y 0 1 X1 2 X 2 3 X 3 u
X 1 为内生变量， X 2 和 X 3 为外生变量， Z2 为 X1 Z1 、
的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： 第一阶段（first stage）：以内生变量为因变量， 所有外生变量为自变量做回归
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续） log(wage) 0 1exper 2exper2 3edu u
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
Y 0 1 X u
假设来自百度文库验： 统计量
t 1
ˆ 1IV S1IV
给定误差项服从正态分布，则 t1 ~ t (n 2) 若没给定分布，大样本情况下服从标准正态分布。
工具变量估计法
一元线性回归模型
例子6.2 已婚女性小时工资 直接OLS： ln( wage ) 0.185 0.109 educ
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y 0 1 X1 r X r r1 X r1 k X k u
同一元情形一样，总体矩条件：
Cov( Z l , u ) E(Z l u ) E[Z l (Y 0 1 X 1 k X k )] 0, l 1,, r Cov( X m , u ) E( X mu ) E[ X m (Y 0 1 X 1 k X k )] 0, m r 1,, k
一个内生自变量
Y 0 1 X1 2 X 2 3 X 3 u
对模型 X1 0 1Z1 2 Z2 3 X 2 4 X 3 v 的参数约束 检验可以验证工具变量的优良性。 原假设： H : 0
0 1 2
• 用第五章构造的Tr 统计量进行F检验，若 Tr值够大， 通常大于10则认为相关性足够，可做工具变量。 • 若接受原假设，则表明工具变量与内生变量相关 性太弱，其不适宜做工具
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
定义1：如果存在变量 Z ，满足 （1）与 u 不相关 Cov( Z , u ) 0 （2）与 X 相关 Cov(Z , X ) 0 称 Z 为 X 的工具变量，也称工具(instrument)。
结论2：工具变量估计的性质 （1）工具变量估计是一致估计 （2）工具变量估计具有渐进正态分布
Z
X
Y
u
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
结论3：OLS估计和工具变量估计 一元线性回归模型的自变量为外生时，OLS估 计可看做以自变量本身为工具的工具变量估计。 例子6.1 气温与冷饮消费（续）
2 X Cov ( X 2 , u ) X , X Cov ( X 1 , u ) ˆ 2 2 2 [ X X (1 X , X )]
1 2 1
ˆ 不以概率收敛到 。 只要 X , X 0 ， 2 2
1 2
1
2
1
2
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续） log(wage) 0 1exper 2exper2 3edu u
edu 的工具变量： mothedu 、 fathedu husedu 、
在EViews的工具变量设定框中输入：
2 ˆ u i1 i n
1 其中， ˆ2 ˆZ ,X
n2

n
n
i 1
( X i X )(Z i Z )
i1 ( X i X )2

2 ( Z Z ) i i 1
n
ˆ ˆ X ˆi Yi u 0 IV 1IV i
工具变量估计法
一元线性回归模型
第6章
内生性和工具变量估计方法
内生性和工具变量估计方法
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
6.3 内生性检验 重要概念
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
得拟合值
X1 0 1Z1 2 Z2 3 X 2 4 X 3 v
ˆ ˆ0 ˆ1Z1 ˆ 2 Z2 ˆ3 X 2 ˆ4 X 3 X 1
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
Y 0 1 X1 2 X 2 3 X 3 u
类比原则得样本矩条件，可解得参数估计。
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y 0 1 X1 r X r r1 X r1 k X k u
结论4：工具变量估计的性质 p ˆ jIV （1） jIV 2 ˆ n ( ) ~ N ( 0 , （2） ˆ ) jIV jIV (a) 2 ˆ j 0,1,, k 。 其中 ˆ 为 jIV 的方差，
6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
工具变量估计法
EViews操作
例子6.2 已婚女性小时工资（续） log(wage) 0 1exper 2exper2 3edu u
工具变量估计法
EViews操作
例子6.2 已婚女性小时工资（续） log(wage) 0 1exper 2exper2 3edu u 点击选择按钮（Options）对参数估计协方差矩 阵的估计方法进行选择，本例采用的是横截面数据， 因此采用怀特异方差一致的协方差矩阵估计。
1
(Y
i 1
i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
ˆ Y ˆ 0 IV 1IV ˆ 1IV

n
i 1 n
( Z i Z )(Yi Y )
i 1
( Z i Z )( X i X )
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
2
工具变量估计法
EViews操作
例子6.2 已婚女性小时工资（续） log(wage) 0 1exper 2exper2 3edu u 暂时只考虑 edu 的内生性，用 mothedu 作其工具 变量。 EViews实现步骤：
建立工作文件，组（group）打开相关变量，在数据表格界 面点击Proc→Make Equation进入模型设定对话框并依次输入 因变量和自变量，点击Estimation settings下拉菜单中的TSLSTwo-Stage Least Squares，在弹出对话框中输入工具变量
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
模型： Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u 若 Cov( X r , u) 0 则 X r 为内生自变量。 • 存在内生自变量时，OLS估计不再有一致性
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
以一元回归模型为例： Y 0 1 X u
用住房面积 House 作为工具变量
Coldr 0 1AirCd u
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
方差估计：若 Var (u | Z ) E(u 2 | Z ) 2
S2 1 IV ˆ2 n 2 2 ˆ Z ,X ( X X ) i1 i
结论1：OLS估计的不一致性 （1）线性回归模型内生自变量回归系数的 OLS估计不是一致估计； （2）如果和内生自变量相关，外生自变量回 归系数的OLS估计不是一致估计
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX du / dX
ˆ 是对 du / dX 的估计。
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y 0 1 X u
总体矩条件：
Cov(Z,u) E (Zu) E[(Y 0 1 X )Z ] 0 E(u) E(Y 0 1 X ) 0
类比出样本矩条件：
n n
1
(Y
i 1 n
n
i
ˆ ˆ X )Z 0 0 1 i i ˆ ˆ X )0 0 1 i
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
2 1 2 SX n ( X X ) , ji j j i 1 n n
j 1,2
2 1 SX n i1 ( X ji X j )ui , j 1,2 j ,u 2 1 SX n i1 ( X 1i X 1 )( X 2i X 2 ) 1,X 2 n
X 1 为内生变量， X 2 和 X 3 为外生变量， Z2 为 X1 Z1 、
的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： ˆ 作为 X 1 的工具 第二阶段（second stage）：将 X 1 变量，对模型 Y 0 1 X1 2 X 2 3 X 3 u
实施工具变量估计
两阶段最小二乘法：TSLS
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
以不带截距项的二元回归模型为例：
Y 1 X1 X 2 u
Cov( X1, u) 0 Cov( X 2 , u) 0
2 2 2 ˆ S S S X1 , X 2 X1 ,u ˆ X1 X 2 ,u 2 2 2 ˆX S X1 S X 2 (1 ) 1,X 2
jIV
jI V
工具变量估计法
多元线性回归模型 例子6.3 在职男性工资
log(wage) 0 1exper 2exper 3edu X 由于能力变量的缺失，导致经验和教育都具内 生性，因此Kling用居住地附近是否有四年制大学 （虚拟变量）作为 edu 的工具变量，以年龄和年龄 2 exper exper 的平方作为 和 的工具变量