投影定理

因此, y1y, z1z,这就证明了 XYY .证毕.
定义(4) 当X=Y+Z，且Y垂直Z时，
下面给出正交投影的概念
定义(5) 当Y是Hilbert空间X的闭子空间时,对每个 xX, 存在唯一的 yY及 zY ,使 xyz .称y为x在空间Y
上的正交投影,简称为投影.
投影定理
主要定义:
定义(1)设X是线性空间, x,y 是X中的两点, 称集合
z x ( 1 ) y |0 1
为X中连接x和y的线段,记为[x,y].如果M是X的子集,对 M中的任何两点x,y,必有[x,y],则称M为X中的凸集.
定义(2)设X是内积空间,则
x,yX, xyx,y0
当今，落地式铣镗床发展的最大特点是 向高速 铣削发 展，均 为滑枕 式(无 镗轴)结 构，并 配备各 种不同 工艺性 能的铣 头附件 。该结 构的优 点是滑 枕的截 面大， 刚性好 ，行程 长，移 动速度 快，便 于安装 各种功 能附件 ，主要 是高速 镗、铣 头、两 坐标
双摆角铣头等，将落地铣镗床的工艺 性能及 加工范 围达到 极致， 大大提 高了加 工速度 与效率 。
卧式镗铣床运行速度越来越高，快速 移动速 度达
到25～30m/min，镗杆 最高转 速6000r/min。 而卧式 加工中 心的速 度更高 ，快速 移动高 达50m/min， 加速度5m/s2， 位置精 度0.008～0.01m m， 重复定 位精度 0.004～ 0.005mm。
落地式铣镗床铣刀
由于落地式铣镗床以加工大型零件 为主， 铣削工 艺范围 广，尤 其是大 功率、 强力切 削是落 地铣镗 床的一 大加工 优势， 这也是 落地铣 镗床的 传统工 艺概念 。而当 代落地 铣镗床 的技术 发展， 正在改 变传统 的工艺 概念与 加工方 法，高 速加工 的工艺 概念正 在替代 传统的 重切削 概念， 以高速 、高精 、高效 带来加 工工艺 方法的 改变， 从而也 促进了 落地式 铣镗床 结构性 改变和 技术水 平的提 高。
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高速电主轴在卧式镗铣床上的应用 越来越 多，除 了主轴 速度和 精度大 幅提高 外，还 简化了 主轴箱 内部结 构，缩 短了制 造周期 ，尤其 是能进 行高速 切削， 电主轴 转速最 高可大10000r/min以 上。不 足之处 在于功 率受到 限制， 其制造 成本较 高，尤 其是不 能进行 深孔加 工。而 镗杆伸 缩式结 构其速 度有限 ，精度 虽不如 电主轴 结构， 但可进 行深孔 加工， 且功率 大，可 进行满 负荷加 工，效 率高， 是电主 轴无法 比拟的 。因此 ，两种 结构并 存，工 艺性能 各异， 却给用 户提供 了更多 的选择 。
令 vn yn x,则vn n,且
vn vm
yn
ym
-2x
2
1 2(yn
ym) x
因为M是凸集,所以
1 2(yn
ym)M,由此可得
vn vm 2
又因为 ynymvnvm,由平行四边形公式,有
有,
yn ym 2 vn vm 2
- vn vm 2 2( vn 2 vm 2)
-(2)2 2(n m) ,
定义(6) 对任一 xX ,令 Px y ,
其中y是x在Y上的投影,称P为X到Y上的投影算子
重要性质
1. P是X到Y上的有界线性算子,且当Y{0}时,
P 1 .
2. P X Y ,P Y YP, Y { 0 }.
3. P2P ,其P中 2PP.
作业:
(1) 考虑投影算子在迭代中的应用. (2) P264-265 第6,12题
现在，又开发了一种可更换式主轴 系统， 具有一 机两用 的功效 ，用户 根据不 同的加 工对象 选择使 用，即 电主轴 和镗杆 可相互 更换使 用。这 种结构 兼顾了 两种结 构的不 足，还 大大降 低了成 本。是 当今卧 式镗铣 床的一 大创举 。电主 轴的优 点在于 高速切 削和快 速进给 ，大大 提高了 机床的 精度和 效率。
AX, xAx,a0,aA
BX, ABa,b0,aA,bB
定理1(极小化向量定理) 设X是内积空间,M是Ｘ中的非空凸 集,并且按Ｘ中由内积导出的距离完备,那么对每个
xX, 存在唯一的 yM,使得 d(x,M)xy.
证明：令d(x,M) ,由下确界定义yn M,存
在,n=1,2,3,…,使得
n xyn (n)
那么成立 XYY .
证明: 因为Y是X的闭子空间,所以Y是X的完备子 空间,由推论1及引
理1,对于任何 xX, 存在唯一的 yY 及 zY , 使 x=y + z 若另有 y1 Y 及 z1 Y ,使 x y 1 z 1 ,则 y 1 -y z 1 -z, 因为
y 1 y Y , z 1 - z Y , 于 y 1 y z 1 - z 是 Y Y { 0 }
22
22
4
1 2(yy0)x
2
.
有M的凸性, , 所以 ,因此
12(y0 y)M
1 2(y0
y)x
2
2
0yy0242420
因而 yy0 0 , 即 y y0 .这就证明了唯一性. 证毕.
评注: 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,他在微分方程,
现代控制论和逼近论中有重要应用.
推论1 设X是内积空间,M是X的完备子空间,则 对每一个 xX,存在唯一的 yM , 使
有(4)式知,是M中柯西点列,单M按内积导出的距离完备,
因而存在 yM,使 yn y(n ),
因为 yM,所以, xy ,但是
xy x-yn yyn
n yn y
上面不等式右端当时 n ,极限为 ,所以得到
xy
.若又有
yy0 2
y0(yMx)(y,0使x得) 2
xy0
,
2 y-x 2 2 y0 -x 2 (y-x)(y0 -x)2
xy d(x,M)
.
引理1 设X是内积空间,M是X的线性子空间,则对
每一个 xX,存在唯一的 yM ,使得
xy d(x,M) ,那么,xyM.
定义(3) 设X是内积空间,M是X的子集,称集合 M 为M
在X中的正交补,其中 M x X |xM .
定理2(投影定理) 设Y是Hilbert空间的闭子空间