复数的概念

复数

复数在现教材中虽被“淡化”，但根据近年高考试题分析，它依然是高考得“基础分”的热点试题之一. （一）高考要求：

1、了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示．

2、掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （二）热点分析：

1、 从历年高考试题看，复数部分的考查重点是复数的有关概念、复数的代数

形式运算及运算的几何意义．

2、 复数的有关概念是复数运算，复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数，两复数相等及复数的模，在解答涉及这些概念的复数运算、推理题中，对这些概念的理解、掌握是审清题的关键也是获得解题思路的源泉．

3、在对复数代数形式运算的考查中，常出现可利用复数i ，1±i ，2

32

1±-i ，的

乘方运算的结果，如,2)1(2i i =±k k n i i 44=+，1)(32

3

2

1=±-i 来简化计算过程．

（三）复习建议：

1．坚持全面复习与重点复习相结合

本章的知识点有：(1)数的概念的发展，(2)复数的有关概念，(3)复数的向量表示，(4)复数的加法与减法，(5)复数的乘法与除法由于试题中本章内容多以中低档题的出现．难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高．所

以对基本问题不能放松要求，举例如下： (1)复数的基本概念：

如复数为虚数，纯虚数的条件，模的性质，复数相等条件的运用等。 (2)下述结果的变形运用

①)(,1,,13424144N n i i i i i i n n n n ∈-=-===+++

②,2)1(2i i =±i i i i =-=+-11,， ③设i 2

32

1+-=ω则,,123ωωω== 012=++ωω

(3)复数问题实数化的基本方法

由复数相等的定义，可以将复数问题转化为实数问题，这就是复数问题实数化的基本方法．

2、重视复数与相关知识的联系

(1)复数问题可转化为实数范围内的代数问题．

(2)复数问题转化为平面几何问题在复习过程中，要充分利用有关知识，实现问题的转化

3．强调数学思想方法的训练

①转化思想：要求在全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向三角、几何转化

②分类讨论思想：分类讨论是—种重要的解题策略和方法．它能使复杂的问题简单化，复数考试中经常用到这种分类讨论思想．

③数形结合思想：运用数形结合思想处理复数平面问题是高考考查的热点之一，应引起注意．

复数的概念

一、知识回顾

1、复数：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数,a,b 分别叫它的实部和虚部．

2、分类：复数),(R b a bi a ∈+中，当时b=0，就是实数；当b ≠0时，叫做虚数；当a=0, b ≠0时，叫做纯虚数

3．复数的相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等， 4．共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时．这两个复数互为共轭复数。(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．

5、复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫虚轴．

6．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大小， 考试要求:

了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示．

二、基本训练

1（广东卷）若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b += （Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）52

（Ｄ）５

2. （福建卷）复数i

z -=11的共轭复数是

A ．i 2

12

1+

B ．i 2

12

1-

C ．i -1

D ．i +1

3．已知关于x 的方程

有实根，则纯虚数m 的值是

A ．

B ．

C ．

D ．

4．若复数

（

）在复平面内对应的点位于虚轴上，

则 的取值集合为

A

B

C

D

5.若1z ＝sin2θ+icos θ,2z =c0s θ+i 3sin θ

，当θ＝（ ）时，1z ＝2z A πk B

3

2π

π+k C

3

2π

π±k D

6

2π

π+k

6. 若x-2+yi 和3x-i 互为共轭复数，则实数x,y 的值是 .

7. 方程0)22()5()2(2=-++-+i x i x i 的实数解是x=_______

8.（北京卷）若 12z a i =+, 234z i =-，且1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 三、例题分析： 1、

实数m 取什么值时，复数)22lg(2--m m ＋（232++m m ）i ，

⑴是纯虚数；⑵是实数

2、已知x 、y 为共轭复数且i xyi y x 643)(2-=-+

求x 、y

3、已知i x x z 1221++=，i a x z )(2

2+=，对任意

x ∈R 均有||||21z z >成立，试求实数a

的取值范围

4、z ∈C ，求满足z 1+∈R ，且|z –2| =2的复数

四、作业 同步练习复数的概念

1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ⋅=在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内

2、若复数z 满足i z z 2110||-=-，则z ＝ （ ） A －3＋4i B －3－4i C 3－4i D 3＋4i

3、设z 为复数，则“|z|=1”是“z z 1+∈R ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件

4、复数)2(sin cos 1παπαα<<⋅++=i z 的模为（ ） A 2cos 2α B –2cos 2α C 2sin 2α D –2tan 2

α 5、已知1z ，2z 是复数，以下四个结论正确的是 ( ) ⑴若1z ＋2z ＝0，则1z ＝0，且2z ＝0 ⑵|1z |＋|2z |＝0,则1z ＝0，且2z ＝0