Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系

Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系

摘要本文讨论了Banach空间中闭线性算子的三种广义逆，并进一步讨论三者关系问题。

关键词Banach空间；闭线性算子；闭凸集；自反严格凸；度量广义逆

1 基本概念

定义1.1[1]设X,Y为Banach空间，为线性算子，集值映射定义为：

，的集值度量广义逆，其中

若单值算子满足称为（集值）度量广义逆的一个单值选择。

定义1.2[1]集值映射的对偶映射，如果

集值映射被称为具有闭凸值的，是指对任意的闭凸集。

引理1.1[2]设X,Y都是线性赋范空间，为了线性算子T连续必须且仅须T 有界。

引理1.2设X,Y为自反Banach空间且Y严格凸，为具有闭值域的稠定线性算子或定义在X上的有界线性算子，则X可以赋等价的严格凸的范数使得唯一存在满足

为集值度量广义逆的单值选择。

2 主要结果

定理1.1设X为有穷维Banach空间，Y为自反严格凸且具有性质的Banach 空间具有闭值域的稠定闭线性算子或定义在X上的有界线性算子则X可以赋等价的范数使得唯一存在满足

为集值度量广义逆的连续单值选择此处上与欧式范数等价的范数取为引理1.2中

证明：因为n维Banach空间在范数下等距同构n维欧式空间Rn而n维欧式空间范数具有严格凸性质，由引理1.2知为集值度量广义逆的单值选择。

下面仅需证为连续算子。

由的定义，知有在范数下且在原范数下现证：任取往证

在上引进图像范数：由T的闭性，知为Banach空间，因为R(T)为Y的闭子空间，从而R(T)在Y的诱导拓扑下为Banach空间再由T的闭性，知为连续线性的满射，应用开映射定理[3]存在,使得对任意存在满足

令，得到于是有

应用闭值域定理[5]，有,因此换言之，有

因为在范数下是弱下半连续的，有又因为，得所以得

因为为有穷维严格凸Banach空间，为闭凸子集，从而为子集因此，这与假设矛盾因此

由于Y为具有H性质的自反严格凸的Banach空间，由引理1.1知，为连续的，于是，对于使得有

取及于是

即任取因此为连续算子

参考文献

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