圆内接四边形“余弦定理”和“海伦公式”

外森伯克不等式的另一种加细
江苏新海高级中学 孙四周
其中 p = ( a + b + c + d ) / 2 . 1 1 证明 S = ab sin C + cd sin A ,即 2 2 ① 2S = ab sin C + cd sin A . ∵ a 2 + b 2 − 2 ab cos C = BD 2 = c 2 + d 2 − 2 cd cos A , 1 ∴ (a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 = ab cos C − cd cos A , ② ① 2 +② 2 得 1 4S 2 + ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 4 2 = (ab ) + (cd ) 2 + 2abcd (sin A sin C − cos A cos C ) = (ab ) 2 + (cd ) 2 − 2abcd cos( A + C ) = ( ab) 2 + (cd ) 2 − 2abcd (2cos 2 (θ /2) − 1) = (ab + cd ) 2 − 4abcd cos 2 (θ /2) ∴ 16 S 2 = [4( ab + cd ) 2 − ( a2 + b2 − c2 −d 2 ) 2 ] − 16abcd cos 2 (θ / 2) = (2ab + 2cd + a 2 + b 2 − c 2 − d 2 )(2ab + 2cd −a 2 − b 2 + c 2 + d 2 ) − 16abcd cos 2 (θ /2)
2 2 2 2 = ( a + b) − ( c − d ) ( c + d ) − ( a − b)
也许是因为它太著名的缘故 ,人们对外 森伯克不等式已经作了好几种形式的加强 [1] , 本文将给出另一种加细形式. 约定 R、r、 ∆ 分别指△ ABC 的外接圆半 径、内切圆半径、面积、s 指△ ABC 的半周长. 引理 1 △ ABC 中,有 A B C ∆ = 4 Rr cos cos cos . 2 2 2 2 证明 ∆ = 2 R sin A sin B sin C , A B C r = 4 R sin sin sin , 2 2 2 两式相除得 ∆ A B C = 4 R cos cos cos , 2 2 2 r A B C 即 ∆ = 4 Rr cos cos cos .证毕. 2 2 2 引理 2 △ ABC 中, Rr ≥ 2 3∆ / 9 . A B C 3 3 注意到 cos cos cos ≤ ,易得. 2 2 2 8 引理 3 △ ABC 中, a 2 + b2 + c2 ≥ 18 Rr . 证明 要证原不等式成立,只要证 abc ∆ ⋅ . a 2 + b2 + c2 ≥ 18 ⋅ 4∆ s abc 即证 a 2 + b2 + c 2 ≥ 9 , 2s 即证 2s (a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 9abc , 而 2s (a 2 + b2 + c2 ) = (a + b + c )(a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 3 3 abc ⋅ 3 3 a 2b 2 c 2 = 9abc . 故原不等式成立. 证毕. 又注意到 18 Rr ≥ 4 3∆ .立刻得 定理 △ ABC 中, a 2 + b2 + c2 ≥ 18 Rr ≥ 4 3∆ . 参考文献
似形△ A ' B 'C ' ,则△ G ' A ' A 、△ G ' B ' B 、△ G ' C ' C 中必有一个三角形的面积等于其余两 个三角形的面积之和. 定理 4 设△ ABC 关于点 P 的 1 号心为 Q,在直线 AB、BC、CA 上分别取一点 D、E、 AD BE CF F,使 = = = λ, ③ DB EC FA 则△ PQD 、△ PQE 、△ PQF 中必有一个三 角形的面积等于其余两个三角形面积之和. 证明 以点 P 为原点、以直线 PQ 为 x 轴 建立直角坐标系 xPy ,设顶点 A、B、C 的坐标 分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) 、 ( x3 , y3 ) ,点 Q 的坐 标为 ( xQ , yQ ) , 点 D 、 E 、 F 的坐标分别为 ( x1 ', y1 ') 、 ( x2 ', y2 ') 、 ( x3 ', y3 ') .注意到③,由定 比分点的坐标公式可知 y + λ y2 y + λ y3 y1 ' = 1 , y2 ' = 2 , 1+ λ 1+ λ y + λ y1 y3 ' = 3 . 1+ λ 将这三个等式两边分别相加 ,并注意到 ①,可得 y1 '+ y2 ' + y 3 ' = y1 + y2 + y3 = 0 . ④ 又注意到 P 为原点 (0,0) ,且 yQ = 0 ,由[2] 可知 1 1 (xQ y1 '− x1 ' yQ ) = xQ y1 '; 2 2 1 1 ∆( PQE ) = xQ y2 '; ∆( PQF ) = xQ y3 '. 2 2 将这三个等式两边分别相加 ,并注意到 ④,可得 ∆( PQD ) = ∆( PQD ) + ∆( PQE ) + ∆( PQF ) = 0 . 据此(仿效定理 2 的证明)易知,△ PQD 、 △ PQE 、△ PQF 中必有一个三角形的面积 等于其余两个三角形面积之和.命题得证. 在这个定理中 Q 为△ ABC 的垂心、 奈格 尔点和伪垂心 ,也可以得到三个相应的推论 , 这里就不赘述了. 参考文献
利用以上“余弦定理”或“海伦公式”容易 解决一类涉及圆内接四边形边长、角、面积 等问题. 例 1 (2001年高考文科试题(19)) 解 由已知得 a = 6 , b = c = 4 , d = 2 , 则 p = (6 + 4 + 4 + 2)/2 = 8 . 据“海伦公式”,得 S四边形ABCD = ( p − a )( p − b )( p − c)( p − d)
换为“四边形 ABCD ”,我们可以得到圆内接 四边形面积“海伦公式”的推广. 定 理 2 设四边形 ABCD 的边长分别为 BC = a , CD = b, DA = c, AB = d , 且 A + c = θ (或 B + D = θ ),则四边形 ABCD 的面积为
S = ( p − a )( p − b )( p − c )( p − d ) − abcd cos 2 θ , 2
∴ S = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) .证毕.
Fra Baidu bibliotek
则 B = 90o ,∴ AC 为圆的直径.
∴ 2 R = AC = a 2 + d 2 = 602 + 252
= 4225 = 65 . 故此圆的周长为 65π ,应选 ( D ) . 例 4 已知圆内接四边形 ABCD 的各边 AB, BC, CD, DA 分 别 为 1,9,8,3, 求 圆 的 半 径 R .(1983年重庆市初中数学竞赛题) 解 设 a = 9 , b = 8 , c = 3 , d = 1 ,根据 “余弦 定理”, c 2 + d 2 − a 2 − b2 cos A = 2(cd + ab) = 32 + 1 2 − 9 2 − 8 2 9 =− , 2(3 × 1 + 9 × 8) 10 9 2 19 ) = , 10 10
c2 + d 2 − 2 cd cos A = a 2 + b 2 + 2ab cos A c 2 + d 2 − a 2 − b2 由此得 cos A = ① 2(cd + ab) cos C = 同理可证 a2 + b 2 − c 2 − d 2 . 2( cd + ab) d +a −b − c , 2( da + bc)
= (8 − 6)(8 − 4)(8 − 4)(8 − 2)
sin A = 1 − cos 2 A = 1 − ( −
=8 3. 例 2 已知. 内接于圆的四边形的边长分 为 a、b、 c、d ,如果这个四边形又有内切圆. ・18・
BD = c 2 + d 2 − 2cd cos A 9 385 = 32 + 12 + 2 × 3 ×1 × = , 10 5 则 BD 385/5 385 = = . 2sin A 2 × 19/10 19 若把定理1中的“圆内接四边形 ABCD ” R=
[1] 熊曾润.三角形的 1 号心及其性质.福建中学数 学,2002(10). [2] 熊曾润.平面闭折线趣探.中国工人出版社,2002. P90～P91.
圆内接四边形“余弦定理” 和“海伦公式”
福建莆田城厢区文献中学 福 建 莆 田 第 五 中 学 吴 山 陈天雄
2001 年全国高考数学文科试题(19)是: 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB = 2 , BC = 6 , CD = DA = 4 , 求 四 边 形 ABCD 的面积. D c 本题主要考查三角 A 形的余弦定理和面积公 d b 式.如果把条件一般化, a C 即把四边形边长用字母 B 表示,那么在用四边形边 长表示 cos A 及四边形边长面积时 ,会发现类 似于三角形的圆内接四边形的“余弦定理” 和面积的“海伦公式”. 定理 1 设圆内接四边形 ABCD 的边长分 别为 BC = a , CD = b , DA = c , AB = d ,则 c 2 + d 2 − a 2 − b2 cos A = , 2(cd + ab) cos B = cos C = cos D = d 2 + a 2 − b2 − c2 , 2(ad + bc ) a2 + b 2 − c 2 − d 2 , 2( ab + cd ) b2 + c2 − d2 − a2 . 2(bc + ad )
且四边形 ABCD 的面积 S = ( p − a )( p − b )( p − c)( p − d ) , 其中 p = ( a + b + c + d ) / 2 . 证明 如图,连结 BD ,在△ ABD 和△ CBD 中,分别应用余弦定理,得 BD 2 = c 2 + d 2 − 2cd cos A , BD 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C , 又易知 cos C = − cos A ,则 ・17・
cos B = cos D =
b +c −d −a . 2(bc + ad )
2 2 2 2
又 S = S ∆ABD + S ∆CBD = cd sin A / 2 + ab sin(π − A) / 2 = ( ab + cd )sin A / 2 , 即 2S = (ab + cd )sin A .
2 2 2 2
求证,该四边形面积 S = abcd . (1982 年上海市高中数学竞赛题) 证明 据“海伦公式”, S = ( p − a )( p − b )( p − c)( p − d ) . 又由这个四边形有内切圆,知 a + c = b + d ,则 p = a + c = b + d , 代入上式即得 S = abcd . 例 3 如果边长依次为25 、39、52和60的 四边形内接于一圆,那么此圆的周长为( ). (1995年全国初中数学联赛试题) A. 62 π B. 63π C. 64 π D. 65 π 解 设 d = 25 , c = 39 , b = 52 , a = 60 .根据 “余弦定理”, cos B = = d 2 + a 2 − b2 − c2 2( da + bc) 252 + 602 − 522 − 392 = 0. 2(25 × 60 + 52 × 39)
2 2 2 2
②
又由①得: (a + b − c − d ) / 2 , = (ab + cd )( − cos A) , ③ 2 2 ② +③ 得: 1 4S 2 + (a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 = (ab + cd ) 2 . 4 2 16 S = 4( ab + cd ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 = (2ab + 2cd + a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) ⋅ (2ab + 2cd − a 2 − b 2 + c 2 + d 2 ) = [( a + b) 2 − ( c − d ) 2 ][( c + d ) 2 − ( a − b) 2 ] = (a + b + c − d )( a + b − c + d ) ⋅ (c + d + a − b)(c + d − a + b ) . = 16( p − a )( p − b)( p− c)( p − d) .