数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法

函数 cos(2xp) 的积分是收敛的, 因此 cos(xp) 在 [1, ∞) 中的积分是条件收敛的.
定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
a
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
函数 cos(2xp) 的积分是收敛的, 因此 cos(xp) 在 [1, ∞) 中的积分是条件收敛的.
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
解. 利用前一单元最后例子中的办法不难看出积分是收敛的. 另一方面, | cos(xp)| ≥ cos2(xp) = 1 [1 + cos(2xp)], 2
二中值定理, 当 α, β > M 时
β
ξ
β
f (x)g(x) dx = g(α) f (x) dx + g(β) f (x) dx
α
α
ξ
εξ
ε
≤
f (x) dx +
4C α
4C
≤ ε 2C + ε 2C = ε.

4C
4C
β
f (x) dx
ξ
∞
由 Cauchy 准则即知积分 f (x)g(x) dx 收敛.
x →∞
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
f +(x) = max{0, f (x)}, f −(x) = max{0, −f (x)}, 则 f + 和 f − 均为非负函数, 且 f = f + − f −. 因此, 如果 f + 和 f − 的积分均收敛, 则 f 的积分也收敛, 此时称 f 的积分绝对收 敛, 此时 |f | = f + + f − 的积分收敛. 如果 f 的积分收敛, 但 |f | 的积分发散, 则称 f 的积分条件收敛.
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
常数 C 通常是求极限得到的, 即如果极限 lim xpf (x) = l 存在, 则
x →∞
∞
如果 p > 1, 0 ≤ l < ∞, 则 f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 0 < l ≤ ∞, 则
∞
a
f (x) dx 发散;
当 l = 0 时, 如果 g(x) dx 收敛, 则 f (x) dx 也收敛;
a
a
∞
∞
当 l = +∞ 时, 如果 g(x) dx 发散, 则 f (x) dx 也发散.
a
a
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
(基本判别法) 此时无穷积分 f (x) dx 收敛当且仅当 F (α) = f (x) dx 关于
a
a
α ∈ [a, ∞) 为有界函数. 对瑕积分有完全类似的结果.
被积函数非负的情形
α
若 f 非负, 则积分 f (x) dx 关于 α 单调递增, 其极限存在当且仅当它有上界.
a
∞
α
(基本判别法) 此时无穷积分 f (x) dx 收敛当且仅当 F (α) = f (x) dx 关于
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
解. 利用前一单元最后例子中的办法不难看出积分是收敛的. 另一方面, | cos(xp)| ≥ cos2(xp) = 1 [1 + cos(2xp)], 2
a
a
α ∈ [a, ∞) 为有界函数. 对瑕积分有完全类似的结果.
∞
(比较判别法) 设 0 ≤ f ≤ Mg, M > 0 为常数. 当无穷积分 g(x) dx 收敛时,
∞
∞
a
无穷积分 f (x) dx 也收敛; 当无穷积分 f (x) dx 发散时, 无穷积分
∞
a
a
g(x) dx 也发散. 对瑕积分有完全类似的结果.
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
a
a
∞
∞
a
Abel 定理
定理 2 (Abel)
∞
如果广义积分 f (x) dx 收敛, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调有界, 则广义积分
∞
a
f (x)g(x) dx 也收敛.
a
Abel 定理
定理 2 (Abel)
∞
如果广义积分 f (x) dx 收敛, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调有界, 则广义积分
f +(x) = max{0, f (x)}, f −(x) = max{0, −f (x)}, 则 f + 和 f − 均为非负函数, 且 f = f + − f −.
绝对收敛和条件收敛
注意: 比较判别法只适用于非负函数. 对于一般的函数, 有时可以先转化为非负 函数再来判断积分是否收敛. 设 f 为一般函数, 记
由 Dirichlet 判别法可知 f (x)[g(x) − C] 的广义积分收敛, 从而 f (x)g(x) 的广义积分 也收敛.
广义积分的例子
注: 对于瑕积分也有类似的 Dirichlet 定理和 Abel 定理.
广义积分的例子
注: 对于瑕积分也有类似的 Dirichlet 定理和 Abel 定理.
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
常数 C 通常是求极限得到的, 即如果极限 lim xpf (x) = l 存在, 则
x →∞
∞
如果 p > 1, 0 ≤ l < ∞, 则 f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 0 < l ≤ ∞, 则
∞
a
f (x) dx 发散;
x x2+x+1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
x x2+x+1
例2
∞
设 a ∈ R, 研究积分 xae−x dx 的敛散性.
0
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
x →+∞
a
Dirichlet 定理
证明.
β
设 |F | ≤ C, 则当 β, α ≥ a 时 f (x) dx = |F (β) − F (α)| ≤ 2C. 由
α
lim g(x) = 0 可知, 任给 ε > 0, 存在 M, 当 x > M 时 |g(x)| ≤ ε/(4C). 由积分第
x →+∞
a
a
∞
∞
当 l = 0 时, 如果 g(x) dx 收敛, 则 f (x) dx 也收敛;
a
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
=
0,
故 [1, ∞) 中的无穷积分总是收敛的. 总之, 积分收敛当且仅当 a > −1.
绝对收敛和条件收敛
注意: 比较判别法只适用于非负函数. 对于一般的函数, 有时可以先转化为非负 函数再来判断积分是否收敛.
绝对收敛和条件收敛
注意: 比较判别法只适用于非负函数. 对于一般的函数, 有时可以先转化为非负 函数再来判断积分是否收敛. 设 f 为一般函数, 记
例4
∞
设 0 < p < 2, 研究积分 x−p sin x dx 的敛散性.
0
广义积分的例子
注: 对于瑕积分也有类似的 Dirichlet 定理和 Abel 定理.
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
常数 C 通常是求极限得到的, 即如果极限 lim xpf (x) = l 存在, 则
∞
a
f (x)g(x) dx 也收敛.
a
证明.
α
由题设可知 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数. 由 g 单调有界可知极
a
限 lim g(x) 存在, 记为 C. 此时, f (x)g(x) 可以写成
x →+∞
f (x)g(x) = f (x)[g(x) − C] + Cf (x).
一元微积分与数学分析
— 广义积分的收敛判别法
梅加强
南京大学数学系
被积函数非负的情形
α
若 f 非负, 则积分 f (x) dx 关于 α 单调递增, 其极限存在当且仅当它有上界.
a
被积函数非负的情形
α
若 f 非负, 则积分 f (x) dx 关于 α 单调递增, 其极限存在当且仅当它有上界.
a
∞
α
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
x x2+x+1
例2
∞
设 a ∈ R, 研究积分 xae−x dx 的敛散性.
0
解. 当 a < 0 时, 0 是瑕点, a > −1 时瑕积分才收敛. 又因为
lim x 2x ae−x
x →+∞
=
lim
x →+∞
x 2+a ex
a
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时