数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.3.1) 凸函数
一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。
一元函数微分公式
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。
这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。
除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。
由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。
为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。
借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。
这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。
然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。
这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。
牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。
一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：(1)Ф’(t)在[α,β]上连续；(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。
(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。
(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。
数学基本知识：一元微积分
数学基本知识：一元微积分在极限论中已经知道，初等函数在其自然定义域内是各点连续的，相关函数在定义域内的极限仅是计算其函数在极限点上的值即可，这是一件简单到几乎无意义的事情。
自然，《高等数学》不可能如此的简单，总得找一些不那么平凡的事情才可能有非凡的拓展。
对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限：g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x上式中的x0暂视为一个常数。
显然，函数g(x)在其x=0的点上无定义（即此点不属于g(x)的自然定义域）。
此外还可看出，若要使g(x)在x=0点上为第一类间断点（以后可以看到这是个要求满足的基本条件），就必须要求lim[x→0]F(x0+x) = F(x0)，即F(x)在x=x0点连续。
现在就讨论函数g(x)在x=0点上的极限。
由于g(x)在x=0点上非连续，故不可能通过此点上的函数值（g(0)无定义）得其极限。
如下分几种情况讨论：1）F(x)在x0点上不连续。
显然，lim[x→0] g(x)发散。
2）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限发散。
3）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在但不相等。
4）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在且相等。
上述情况1和2中，g(x)在x=0点上都无极限存在。
而在情况3和4中，可以通过g(x)在x=0点上所存在的左右极限来定义函数F(x)的某些特性，即以后要看到的微分（导数）。
微分其实就是极限论中的待定型，而由于待定型自身就是个随各种问题变化无穷的东西，所以说微分是个适应性很强的分析工具。
如果lim[x→0] g(x)存在，则得到一个与x0有关的数，令其为f(x0)（或F'(x0)）。
再将前面暂视为常数的x0视为自变量，用x代替，则得到一个与F(x)关联的新函数f(x)（以后会知道这就是F(x)的导函数）。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.6.1) 简单的微分方程
一元微积分与数学分析—简单的微分方程梅加强南京大学数学系给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.解.f =0意味着f =C1(常数).因此f(x)=C1d x=C1x+C2.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).注1可见,在初始条件f(0)=1下方程f =f的唯一解就是指数函数e x.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).阻尼运动例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).注2当t→∞时v(t)→mgλ,即下降速度有上限.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.注3x=sinh t⇒e t−e−t=2x⇒(e t)2−2x e t−1=0⇒e t=x+√1+x2.例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.解.以线的最低位置为坐标原点建立直角坐标,其中X轴与等高两点的连线平行.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.注4以后我们将知道, (x)=x1+(y )2d t.解(续).记λ=ρg/H,则有y (x)=λx1+(y )2d t.记f(x)=y (x),则f (x)=λ1+f2(x),d f√1+f2=λd x=λx+C,由前例和f(0)=y (0)=0(Fermat定理)可得arcsinh f(x)=λx,即f(x)=sinh(λx).这说明y(x)=sinh(λx)d x=1λcosh(λx)+C,由y(0)=0可得y(x)=1λ[cosh(λx)−1].用方程刻画双曲三角函数例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.注5也可以令g=f +λf,则g =λg,可以由此解出g,进而解出f.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.注6也可以令g=ω2F2+(F )2,则g =2ω2FF +2F (−ω2F)=0,这说明g为常数(能量守恒),从而恒为零.任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.例8设轻质弹簧一端固定,另一端系有质量为m的质点,求质点的运动规律.m F图2:弹簧振子弹簧受力分析解.以质点平衡位置为原点建立坐标系,质点所受的力记为F.根据胡克定律,F=−kx,其中k是弹簧的劲度系数.质点的运动方程为−kx(t)=mx (t).记ω2=k/m,根据前例的讨论可得x(t)=x(0)cos(ωt)+v(0)ωsin(ωt)=A sin(ωt+θ),其中A称为振幅,θ为初始相位,ω为频率,2π/ω是运动周期.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.3.1) Lebesgue定理
零测集
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多.
或者说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 为了准确地刻画这些现象, 我们 引入如下概念.
零测集: 设 A ⊂ R, 如果任给ε > 0, 均可找到至多可数个开区间 {Ii }, 使得 A 包 含于这些区间之并, 且
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
当 δ > 0 时, 记
Df (δ) = {x ∈ [a, b] | ωf (x) ≥ δ}.
间断点集
设 f 为 [a, b] 中的有界函数. f 的间断点全体记为 Df , 根据命题 1,
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
包含于右边.
间断点集
设 f 为 [a, b] 中的有界函数. f 的间断点全体记为 Df , 根据命题 1,
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
当 δ > 0 时, 记
Df (δ) = {x ∈ [a, b] | ωf (x) ≥ δ}.
断言: Df =
∞ n=1
Df (1/n).
π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, 使得每一个小区间 [xi−1, xi ] 要么包含于某个 (αj , βj ), 要么包含于某个 Ix 之中.
Lebesgue 定理
证明(续).
记 I1 = {i | [xi−1, xi ] 包含于某个 (αj , βj )}, I2 = {1, 2, · · · , n} \ I1,
零测集
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多.
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.5.1) 洛必达法则
lim
x →a+
f (x) g (x )
=
α.
证明.
补充定义 f (a) = g(a) = 0, 则 f , g ∈ C0[a, b). 由 Cauchy 定理, 任给 x ∈ (a, b), 存在
ξ ∈ (a, x), 使得
f (x) f (x) − f (a) f (ξ)
=
=.
g(x) g(x) − g(a) g (ξ)
=
.
g(b) − g(a) g (ξ)
证明. 由 g 处处非零和 Rolle 定理可知 g(b) = g(a). 记
f (b) − f (a)
ν=
, h(x) = f (x) − νg(x),
g(b) − g(a)
则 h(a) = h(b). 根据 Rolle 定理, 存在 ξ ∈ (a, b), 使得 h (ξ) = 0. 此时 f (ξ) = νg (ξ), 整理以后即得欲证等式.
g(a + η)
g(x) = g(x) + g (ξ) 1 − g(x) .
利用 (1) 式以及条件 (i) 不难得知, 存在正数 δ < η, 使得当 x ∈ (a, a + δ) 时
f (x) g(x) < ε,
这说明
lim
x →a+
f (x) g (x )
=
0.
(2) α ∈ R. 此时, 通过将 f 换成 f − αg 可以转化为情形 (1).
ξ ∈ (a, b), 使得
f (b) − f (a) f (ξ)
=
.
g(b) − g(a) g (ξ)
Cauchy 中值定理
定理 1 (Cauchy)
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.9.1) Taylor展开和近似计算
一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.1.1) Riemann积分
一元微积分与数学分析—Riemann积分梅加强南京大学数学系问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.1/211/21f(x)O x y它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.从直觉上来看,当一个函数连续变化时,平均值应该是有意义的;如果函数变化太过剧烈,取平均值可能就没有什么意义.Riemann和设f是定义在闭区间[a,b]中的函数(不一定连续),考虑由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f在[a,b]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O xy设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O x y为此,设π:a =x 0<x 1<···<x n =b 为区间[a ,b ]的一个分割,当1≤i ≤n 时,任取ξi ∈[x i −1,x i ].记∆x i =x i −x i −1,称n i =1f (ξi )∆x i 为f 在[a ,b ]中的一个Riemann 和(积分和).Riemann积分的定义定义1(Riemann积分)设f如上.如果存在实数I,使得任给ε>0,均存在δ>0,当分割π的模满足 π <δ时,均有ni=1f(ξi)∆x i−I<ε,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n,则称f在[a,b]中Riemann可积(简称可积),记为f∈R[a,b].I称为f在[a,b]中的Riemann积分(简称积分),记为b a f(x)d x=I=limπ →0ni=1f(ξi)∆x i,其中f称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a,b分别称为积分下限与积分上限.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.证明.假设f在[a,b]中可积,沿用上面的记号,记I为其积分.在积分的定义中,取ε=1,此时存在相应的δ>0.取定正整数n>(b−a)/δ,对区间[a,b]作n等分,则b−anni=1f(ξi)−I<1,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n.特别地,当1≤i≤n时,有|f(ξi)|<j=i |f(x j)|+nb−a(1+|I|),∀ξi∈[x i−1,x i].这说明f在每一小区间[x i−1,x i]中均为有界函数,从而是[a,b]中的有界函数.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢?注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.基本想法:一个变化的量趋于某个极限时,其振幅趋于零;反之亦然.Darboux 上和与Darboux 下和给定分割π,f 在[x i −1,x i ]中的上确界和下确界分别记为M i ,和m i ,令S π(f )=ni =1M i ∆x i ,s π(f )=n i =1m i ∆x i ,我们称S π(f )为f 关于π的Darboux 上和(简称上和),而s π(f )称为Darboux 下和.O y x O yx引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.证明.以k=1例.设新添加的分点¯x∈(x j−1,x j).则Sπ (f)−Sπ(f)=M j(¯x−x j−1)+M j(x j−¯x)−M j∆x j这里Mj 和Mj分别是f在区间[x j−1,¯x]和[¯x,x j]中的上确界.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明.用π1∪π2表示将π1和π2的所有分点合并后得到的分割,则由刚才的引理即得sπ1(f)≤sπ1∪π2(f)≤Sπ1∪π2(f)≤Sπ2(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.上积分和下积分定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.我们称infπSπ(f)为f在[a,b]中的上积分,supπsπ(f)为f在[a,b]中的下积分.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本
b
f (x)g(x) dx
a
b
= [fn(x) − f (x)]g(x) dx
a
b
≤ M |fn(x) − f (x)| dx ≤ M/n,
a
这说明 (2) 式成立.
分段线形逼近
命题 4 (分段线性逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列连续的分段线性函数 fn, 使得 fn(a) = f (a), fn(b) = f (b),
一元微积分与数学分析
— Riemann 积分的基本性质
梅加强
南京大学数学系
积分的基本性质
推论 1
(1) 设 [α, β] ⊂ [a, b], 如果 f 在 [a, b] 中可积, 则 f 在 [α, β] 中也可积. (2) 设 c ∈ (a, b), 如果 f 在 [a, c] 及 [c, b] 中都可积, 则 f 在 [a, b] 中也可积, 且
b
lim
n→∞
a
|fn(x) − f (x)| dx = 0,
(1)
且每一个 fn 均介于 f 的上下确界之间. 此时, 任给 g ∈ R[a, b], 还有
b
b
lim
n→∞
a
fn(x)g(x) dx =
a
f (x)g(x) dx.
(2)
阶梯逼近
命题 3 (阶梯逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列阶梯函数 fn, 使得
当 |g| 有正下界时, 不妨设 |g| ≥ m > 0. 此时, 由 1/g(x) − 1/g(y )
=
|g (x )−g (y )| |g (x )g (y )|
可
得 ωi (1/g) ≤ m−2ωi (g), 由此可知 1/g 可积, 于是 f /g = f · (1/g) 可积.
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.6.1) Taylor公式
−
ζ )n−1 (x
−
x0),Leabharlann (Cauchy 余项)k =0
其中 ζ = x0 + θ (x − x0), θ ∈ (0, 1).
Lagrange 余项和 Cauchy 余项
证明.
受分部积分的启发,
考虑以
t
为变量的函数
F (t)
=
n−1
f
(k ) (t k!
)
(x
−
t)k .
对
t
求导可得
k =0
n−1
F (t) =
f (k+1)(t ) (x
−
t )k
−
f (k)(t ) (x − t )k−1
k!
(k − 1)!
k =0
= 1 f (n)(t)(x − t)n−1. (n − 1)!
根据 F 的构造, 我们有
F
(x )
−
F
(x0)
=
f
(x )
−
n−1
f
(k)(x0) (x k!
−
x0)k .
k =0
例1 设 f 在 x0 处二阶可导, 求极限 lim [f (x0 + h) − f (x0) − f (x0)h]/h2.
h→0
预测函数的行为
例如, 当已知质点在某一时刻的位置和速度时, 在短时间内我们可以预计该质点作匀 速直线运动; 如果连加速度也知道的话, 可以更准确地预测为受外力作用下的加速运 动.
一元微积分与数学分析
— Taylor 公式
梅加强
南京大学数学系
函数的局部性态
研究函数如何随变量而变化时, 我们首先考虑的是连续性. 如果函数 f (x) 在 x0 处连续, 则
数学分析(上册)答案-张勇 杨光崇-第六章一元函数积分学
思考与练习 6-11. 回答下列问题:① 定积分作为积分和的极限,能否表示为()∑=∞→∆nk kkn xf 1lim ξ?答：不能.因为n →∞并不能推出0T →.② 积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ的值与哪些因素有关?定积分()⎰badx x f 的值与哪些因素有关?答：()∑=∆nk k k x f 1ξ与函数，区间和区间的分割和取的点有关。
()⎰badx x f 只与函数和区间有关.③ 将区间[]b a ,n 等分,[].,,2,1,,,1n k x x n ab x k k k k =∈-=∆-ξ,积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ是否为定值?答：不是.因为和()∑=∆nk kkxf 1ξ还与k ξ的取法有关.④ 在定积分的定义给出之前,如下说法是否合理?为什么?“曲边梯形()x f y ≤≤0”,[]b a x ,∈的面积不大于矩形[]b a x M y ,,0∈≤≤的面积,其中[](){}x f M b a x ,max ∈=.答: 不合理.因为在定积分定义给出之前,曲边梯形的面积没有定义,当然也就不能与矩形的面积比较大小.⑤ 0→T 是什么意思?当0→T 时,积分和()∑=∆nk kkxf 1ξ的极限是J 是什么意思?答：}{max 1i ni x T ∆=≤≤，0→T 表示对区间分割后最大的区间的长度都趋于0.设f 是定义在],[b a 上的一个有界函数,J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对],[b a 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集}{i ξ,只要δ<T ,就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,则称函数f 在区间],[b a 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在],[b a 上的定积分或黎曼积分,记作()baJ f x dx =⎰.2. 按定积分定义证明:⎰-=baa b k kdx )(.证明：0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{}i ξ，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ξ===≡∈∆=∆=∆=-∑∑∑,对任意的0ε>,任意取定0δ>，当T δ<时,有()1()()()0niii f x k b a k b a k b a ξε=∆--=---=<∑,所以函数()f x k =在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰3. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集}{i ξ,把定积分看作是对应的积分和的 极限,来计算下列定积分:①⎰13dx x ； ②⎰<<bab a x dx)0(2, 提示:()i i i i i i i i x x x x x x x x 111112212-=-+∆---; ()i i i i i i i i x x x x x x x x 1111212121-=-+∆----. 解 ①将[0,1]n 等分，分点为，0,1,2,,1k n =-.在区间1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取k n 作为k ξ 而 313011l i m nn k k x d x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰3411l i m n n k k n →∞==∑224111lim (1)44n n n n →∞=⋅+=.②取i ξ=后211110111111()nn i i i i i i n x x x x x x a b -==-⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪⎝⎭∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，0,1,2,,k n =.在区间1[,]k k x x -作为k ξ则212111lim ()n b k k a n k dxx x x a b -→∞=⎛⎫=-=-∑⎰ 4. 已知一质量不均匀分布的棒的线密度x =ρ,长为l ,试求该棒的质量.解：所求质量为：22l xdx M l==⎰思考与练习 6-21． 计算下列积分:①⎰+10)32(dx x ; ②⎰+10211dx x ; ③⎰22e e x dx ; ④⎰--102dx e e xx ; ⑤⎰-3211πdx x; ⑥⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+942123dx x x ; ⑦()⎰+π0sin 2cos dx x x . ⑧⎰1dx a x; ⑨⎰22sin πxdx ; ⑩ ⎰+21211dx x.解①()()112(23)313004x dx x x +=+=+-+=⎰；②4arctan 111102π==+⎰x dx x ； ③()()22222ln 2ln ln 2212e e e e dx x e e x==-=-=⎰；④()()111001001111()122222x x x x e e dx e e e e e e e e -----=+=+-+=+-⎰；⑤3arcsin arcsin 1130302πππ==-⎰x dx x；⑥()93131319222222449944301020dx x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰； ⑦()()()00cos 2sin (sin 2cos )sin 2cos sin02cos04x x dx x x ππππ+=-=---=⎡⎤⎣⎦⎰； ⑧aa a a dx a x xln 1ln 1010-==⎰；⑨()22011sin 2cos2cos cos0122xdx x πππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰；⑩()2211ln ln(2ln(1x =+=+-+=⎰。
数学分析目录
第一章集合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射与实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及应用7．1微分中值定理7．2Taylor展开式及应用7．3LHospital法则及应用第八章导数的应用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类R［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分与广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的应用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理应用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1Cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4Abel-Dirichlet 判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的Abel-Dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章Fourier级数15．1Fourier级数15．2Fourier级数的收敛性15．3Fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章Euclid空间上的点集拓扑16．1Euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2Euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章Euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2Euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的应用20．1偏导数在几何上的应用20．2方向导数和梯度20．3Taylor公式20．4极值20．5Logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3Green公式23．4Green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3Gauss公式24．4Stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3B函数和函数第二十六章Lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3Lebesgue积分26．4（L）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7Fubini定理练习及习题解答复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
数学分析 散度定理
事实上, 由于 ϕ 将上半欧氏空间映到 Ω 中, 在边界上向量 ϕun 方向必定朝内. 根 据叉乘的性质,
设 X = (f1, · · · , fn) 为 C1 向量场, 它决定了 (n − 1)−形式
n
η = (−1)i−1fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,
i =1
此时 dη = div(X ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn, 其中 divX =
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
为了求边界的法向, 我们先讨论 Rn 中的叉乘运算, 它是 R3 中叉乘运算的推广.
在 Rn 中给定 n − 1 个向量 v 1, · · · , v n−1, 我们要构造另一向量 w , 使得 w 与 v i = (v1i , · · · , vni ) (1 ≤ i ≤ n − 1) 均正交. 为此, 考虑线性函数 : Rn → R:
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定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
a
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
函数 cos(2xp) 的积分是收敛的, 因此 cos(xp) 在 [1, ∞) 中的积分是条件收敛的.
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
解. 利用前一单元最后例子中的办法不难看出积分是收敛的. 另一方面, | cos(xp)| ≥ cos2(xp) = 1 [1 + cos(2xp)], 2
二中值定理, 当 α, β > M 时
β
ξ
β
f (x)g(x) dx = g(α) f (x) dx + g(β) f (x) dx
α
α
ξ
εξ
ε
≤
f (x) dx +
4C α
4C
≤ ε 2C + ε 2C = ε.
4C
4C
β
f (x) dx
ξ
∞
由 Cauchy 准则即知积分 f (x)g(x) dx 收敛.
x →∞
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
f +(x) = max{0, f (x)}, f −(x) = max{0, −f (x)}, 则 f + 和 f − 均为非负函数, 且 f = f + − f −. 因此, 如果 f + 和 f − 的积分均收敛, 则 f 的积分也收敛, 此时称 f 的积分绝对收 敛, 此时 |f | = f + + f − 的积分收敛. 如果 f 的积分收敛, 但 |f | 的积分发散, 则称 f 的积分条件收敛.
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
常数 C 通常是求极限得到的, 即如果极限 lim xpf (x) = l 存在, 则
x →∞
∞
如果 p > 1, 0 ≤ l < ∞, 则 f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 0 < l ≤ ∞, 则
∞
a
f (x) dx 发散;
当 l = 0 时, 如果 g(x) dx 收敛, 则 f (x) dx 也收敛;
a
a
∞
∞
当 l = +∞ 时, 如果 g(x) dx 发散, 则 f (x) dx 也发散.
a
a
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
与幂函数进行比较
将函数 f (x) 与 x−p 比较, 我们可以得到如下的 Cauchy 判别法:
(基本判别法) 此时无穷积分 f (x) dx 收敛当且仅当 F (α) = f (x) dx 关于
a
a
α ∈ [a, ∞) 为有界函数. 对瑕积分有完全类似的结果.
被积函数非负的情形
α
若 f 非负, 则积分 f (x) dx 关于 α 单调递增, 其极限存在当且仅当它有上界.
a
∞
α
(基本判别法) 此时无穷积分 f (x) dx 收敛当且仅当 F (α) = f (x) dx 关于
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
条件收敛的例子
例3
∞
设 p > 1, 研究积分 cos(xp) dx 的敛散性.
1
解. 利用前一单元最后例子中的办法不难看出积分是收敛的. 另一方面, | cos(xp)| ≥ cos2(xp) = 1 [1 + cos(2xp)], 2
a
a
α ∈ [a, ∞) 为有界函数. 对瑕积分有完全类似的结果.
∞
(比较判别法) 设 0 ≤ f ≤ Mg, M > 0 为常数. 当无穷积分 g(x) dx 收敛时,
∞
∞
a
无穷积分 f (x) dx 也收敛; 当无穷积分 f (x) dx 发散时, 无穷积分
∞
a
a
g(x) dx 也发散. 对瑕积分有完全类似的结果.
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
通常可以利用极限去找常数 M. 即如果极限 l = lim f (x)/g(x) 存在, 则当
x →+∞
∞
∞
0 < l < ∞ 时, 积分 f (x) dx 和 g(x) dx 同时收敛或发散;
a
a
∞
∞
a
Abel 定理
定理 2 (Abel)
∞
如果广义积分 f (x) dx 收敛, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调有界, 则广义积分
∞
a
f (x)g(x) dx 也收敛.
a
Abel 定理
定理 2 (Abel)
∞
如果广义积分 f (x) dx 收敛, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调有界, 则广义积分
f +(x) = max{0, f (x)}, f −(x) = max{0, −f (x)}, 则 f + 和 f − 均为非负函数, 且 f = f + − f −.
绝对收敛和条件收敛
注意: 比较判别法只适用于非负函数. 对于一般的函数, 有时可以先转化为非负 函数再来判断积分是否收敛. 设 f 为一般函数, 记
由 Dirichlet 判别法可知 f (x)[g(x) − C] 的广义积分收敛, 从而 f (x)g(x) 的广义积分 也收敛.
广义积分的例子
注: 对于瑕积分也有类似的 Dirichlet 定理和 Abel 定理.
广义积分的例子
注: 对于瑕积分也有类似的 Dirichlet 定理和 Abel 定理.
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
a
常数 C 通常是求极限得到的, 即如果极限 lim xpf (x) = l 存在, 则
x →∞
∞
如果 p > 1, 0 ≤ l < ∞, 则 f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 0 < l ≤ ∞, 则
∞
a
f (x) dx 发散;
x x2+x+1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.